CC BY
14
УДК 550.37 : 550.837 DOI: 10.25513/2222-8772.2018.4.61-77
ИССЛЕДОВАНИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВЕРТИКАЛЬНО НЕОДНОРОДНОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ
С.А. Терентьев
к.ф.-м.н., доцент, e-mail: s.a.terentyev@gmail.com А.К. Гуц
д.ф.-м.н., профессор, e-mail: guts@omsu.ru Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия
Аннотация. Электромагнитное поле в задачах электроразведки часто представляется в виде интегралов с быстроосцилирущим ядром. При вычислении этих интегралов на ЭВМ приходится деформировать контур интегрирования в плоскость комплексного переменного. В статье изучена допустимая область деформации контура интегрирования в случае неоднородной среды. Источник поля — вертикальный гармонический диполь.
Ключевые слова: электроразведка, электромагнитное поле вертикального электрического диполя, быстроосцилирующие интегралы, деформация контура, комплексная плоскость, отсутствие особых точек, область деформации.
Введение
При аналитическом решении задач электроразведки очень часто компоненты электромагнитного поля могут быть выражены в виде интеграла
У и(Х,р)К(X,r)d\, о
где К (А) — быстро осциллирующее по А ядро. При вычислении таких интегралов на ЭВМ приходится деформировать контур интегрирования в комплексную область C изменения переменной А. В связи с этим необходимо прежде всего определить область D\ с I, в которой подынтегральная функция и(Х,р) не имеет особенностей по А. В случае горизонтально-слоистой среды, состоящей из слоев с плоскими поверхностями раздела, указанная задача была решена С.И. Смагиным [1]. Трёхслойная среда была изучена в [2, c. 116-119].
В данной работе рассматривается более общий случай неоднородной среды с параметрами и (проводимость), ^ (магнитная проницаемость) и е (электрическая проницаемость), зависящими от глубины z залегания слоя. Источником поля является гармонический электрический вертикальный диполь.
1. Постановка задачи
Пусть имеется неоднородная среда, ограниченная плоскими поверхностями раздела г = г0,г = где г0 < ^ (ось г направлена вверх, рис. 1). Параметры среды будем считать функциями переменной г. При г > ^ и г < г0 среда
предполагается однородной с а = а», ^ = ^.
Источник электромагнитного поля находится в точке с декартовыми координатами (0,0,0).
»1 Е-
о(г) е(г)
°о ^о ес
Рис. 1. Горизонтальная среда
На поверхностях раздела г = г» (г = 0,1) ставим граничные условия для электромагнитного поля Е, Н:
д Е"
0,
д1
0,
\Н1]г=г1
д Н"
0
д1
0,
где индекс I означает горизонтальную составляющую поля, а д/д1 — производную по касательному к поверхности раздела направлению. Если поле (=Е или Н) задано интегралом
К(х, у, Х)и(г, X)dX,
(1.1)
то будем К называть ядром интегрального оператора (1.1), а и(г,\) — плотностью.
Продолжим Л в комплексную плоскость
С = (Л = Аж + г\у : Хх, Ху е К}.
Область, лежащую в плоскости С, в которой плотность и(г,Х) не имеет особенностей по Л, будем обозначать через
В этой статье мы определяем область для электромагнитного поля, создаваемого вертикальным гармоническим электрическим диполем.
2. Поле вертикального гармонического электрического диполя
В этом параграфе подробно изучим электромагнитное поле, создаваемое вертикальным гармоническим электрическим диполем, находящимся в неоднородной среде.
2.1. Исходные уравнения
Предположим для начала, что
a,p,,e е С 1(R),
a(z) = 0 при z е R. Будем исходить из следующей системы уравнений Максвелла
rot E = гшрН,
rot Н = (а — гше)Е + j, (2.1)
div еЕ = р, div B = 0, (2.2)
где j — сторонний электрический ток, р — электрические заряды, зависимость во времени определялась фазовым множителем exp(-iut), т. е. гармоничность источников означает следующую зависимость от времени
M ^ Me-iMt.
Полагаем
Н = rotA, (2.3)
Е = iu^A — (2.4)
Подставляя (2.3), (2.4) в (2.2) получим
VdivA — ДА = (iup,a + ш2ер)А — (а — + j
или
ДА + (iup,a + ш2ер)А = —j + V[divA + p • (a — гше)} — p • V(a — гше). Пусть
<p =---— div A. (2.5)
a — гше
Тогда получаем уравнение для векторного потенциала
△A —V(a—ше) ^a + + Ш2£^)А = —j. (2.6)
a — гше
Будем рассматривать в качестве источника вертикальный электрический диполь, для которого
j = (0,0,8(х, у)8(г)), т. е. предполагаем, что диполь находится в точке (0, 0, 0) и, соответственно,
А = (0,0,А).
Решение уравнения (2.6) будем искать в виде
1
А = — А/о(Аг)u(z, \)d\, 2ж I
(2.7)
где г = л/х2 + у2, а 10 — функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Подставив (2.7) в (2.6) и используя представление
à(x, У) = 2^ А 1о(Аг)dA
получим следующее дифференциальное уравнение
d2u dz2
^ ^ /л2 l2. (a — iue)' du
- (А2 + k2)u - ( )
-г = Ф),
a — гше dz
(2.8)
где к2 = — (ги ¡ла + и2е¡л), а штрих ' означает дифференцирование по г.
Необходимо теперь указать соответствующие рассматриваемой задаче краевые условия. Непрерывность касательных составляющих полей Е и Н, а также гладкость функций на поверхностях раздела г = г0 и г = ^ влекут
условия:
[H ] dHz
0, E ] z=z, = 0,
~dE7
0, z
dz
0,
где квадратные скобки означают скачок
Lf(z)]z=z, = Д* + 0) - лZi - 0).
Откуда
M z=z; = 0, du
0, = 0, 1
Кроме того, следует добавить условия излучения
du
lim |u| = 0, lim —
(2.9)
(2.10)
z=z
z=z
z=z
0
Краевую задачу (2.3), (2.9), (2.10) заменим эквивалентной краевой задачей
¿2и ¿г2
(а — гше)' ¿и
^ — (А2 + к2)и — - • ^ = 0,
а — гше
г е (го,г1) \ {0},
¿и
0,
¿г
Иш |м| = 0, Иш ■ 1 ■ ■
г—>±оо
¿и
¿г
0,
[и]г=0 ¿и
¿г
1,
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
г=0
в которой введена дополнительная (фиктивная) поверхность г = 0, содержащая источник. Задача (2.11)-(2.15) отличается от задачи (2.8)-(2.10) тем, что в ней отсутствуют сингулярные функции в качество коэффициентов. Уравнение (2.11) перепишем в следующем виде
(а — гше)^(-— • ^ — (Л2 + к2)и = 0,
аг \ а — гше аг )
или, вводя Л = Аж + г\у
&
а + гше йи
а2 + ш2е
22
а + гше
а2 + ш2е
22
[А2 — Х2у — ш2ер + г(2ХхХу — шар)] и = 0. (2.16)
Пусть и = их + ги2.
Тогда уравнение (2.16) представляет собой систему двух дифференциальных
уравнения
а
йщ
ше
йи2
а2 + ш2е2 ¿г а2 + ш2е2 ¿г
а(Х2х — X2 — ш2ер) — ше(2ХхХу — ар)
а2 + ш2е
22
их +
+
ше(Х2х — X2 — ш2ер) + а(2ХхХу — ар)
а2 + ш2 е2
Щ = 0,
ше
йщ
+
а
йи2
а2 + ш2е2 ¿г а2 + ш2е2 ¿г
ше(Х1 — X2 — ш2ер) + а(2ХхХу — ар)
а2 + ш2е2
-щ
а(Х2х — X2 — ш2ер) — ше(2ХхХу — ар)
а2 + ш2е
22
42 = 0.
Вводя матрицы
и =
(:)
0
2=2
0
а
Ш£
Р
а2 + ш2 £2 а2 + ш2£
22
Ш£
а
\ а2 + ш2 е2 а2 +
( а(А2 — X2 — ш2£р) — ш£(2\х\у — ар) ^(А2 — X2 — ш2£р) + а(2\х\у — ар) \
Я
а2 + ш2£
22
а2 + ш2£
22
<ш£(Х2х — X2 — ш2£р) + а(2Аж Ху — ар) а(А2 — Х2 — ш2£р) — ш£(2ХхХу — ар)
V
а2 + ш2£
22
а2 + ш2£
22
можно изучаемую систему дифференциальных уравнений переписать в компактном виде
1И1) + <*• = 0- (2.17)
(Л/А/ \ (Л/А/ I
При этом краевые условия (2.12)-(2.15) примут следующий вид:
¿ик
К ]г=2
0,
0, к = 1, 2; г = 0,1,
(2.18)
Иш 1щ | = 0, Иш
г—>±оо
¿Ш
¿Щ
К ]^=о = 0,
¿и2
1,
х=0
¿г
0.
х=0
(2.19)
(2.20) (2.21)
2.2. Пространство Ж>(1)(К, К2)
Пусть и : К ^ К2 — вектор-функция, компоненты которой и1(г),и2(г), имеет первые производные по Соболеву, принадлежащие Ь2(Ж), т. е.
ик е Ж
(1)
(к = 1, 2).
Рассмотрим линейное пространство Ж2(1)(К, К2) всех таких вектор-функций. Введём в Ж2(1)(К, К2) скалярное произведение
(и,ь)щт = (и1,Ь1)щ(1)(К) + (и2,Ь2)щт(К)
(2.22)
и норму
т. е.
I и 11^(1) =
и)щт
Ж>(1)(К, К2) = (К) х Ж>(1)(К2)
и, следовательно, это банахово пространство.
0
Рассмотрим в W2(1) (R, R2) билинейную форму
+те 2
С a(z) ^ dui dvi
a(u, v)= —^-2 > ——— dz+
4 J a2(z)+u2e2(z)^ dz dz
-те i=1
+ те 2
f a(z)[\2x -X2y - u2e(z)ii(z)] - ue(z)[2\x\y - a(z)i(z)] 2
+ -—- >uiVidz, (2.23)
J a2(z) + u2e2(z) ^
-те i=1
где
u = const > 0, a(z) > 0, i(z) > 0, e(z) > 0 - гладкие функции,
( Xx,Xy) e Dx,
Dx = {(Ax, Xy) e R2 : a[A2x - A? - ш2е ß] > ше [2 Ax Ay - aß] для Vz e R}.
Пусть
ад a
M (z)
a2 + ш%2 : a[AX — A? — ш2е ß] — ш£ [2AxAy — aß] a2 + ш2е2
Теорема 1. Если a = inf L(z) > 0, ß\ = inf M(z) > 0,
zeR zeR
A\ = max{supL(z),supM(z)} <
zeR zeR
то билинейная форма (2.23) задаёт в W2(1)(R, R2) скалярное произведение, эквивалентное произведению (2.22).
Доказательство. Достаточно показать, что имеют место следующие неравенства:
а(и,и) ^ consЬ I и Н^(1) (2.24)
Н и II(1) ^ const • а(и,и) (2.25)
для любой и e W2(1)(R, R2). Имеем
+те 2 2 2
а(и,и) = У L(z) ^^ ^ +/M (z) dz.
Заметим, что а(и,и) ^ 0 при A = (Ax,Ay) e Dx.
Имеем
2 2 2 2
/ад £(£)*<* /е(£)
|| и ||
ж
(1)
Далее
+оо
+оо
М(г) ^ Ах ^иЦг ^ АЛ || и ||
и V«
=1
=1
Следовательно,
а(и,и) ^ 2АЛ || и ||
ж
(1),
и тем самым неравенство (2.24) установлено.
Докажем неравенство (2.25). Допустим, что оно не верно. Тогда для любого натурального т ^ 1 найдётся функция ит е Ж2(1)(Е, К2), для которой
|| ит (1)> т • а(и m, ).
Положим
Тогда
Ут(г)
ит(г) || ит ||
(1)
|| Ут = 1
(2.26)
Откуда
а(Ут, Ут) < —.
т
2 ' \г< 1
аг ) та
+оо 2
(2.27)
/ 2
=1
трх
Имеем, используя (2.27) и (2.28)
(2.28)
|| Ут — Уп Ц^(1) = | Ут — Уп ||2ХЬ2 + || ^^ — ^ |12хЬ ^
^ (| Ут ||L2 хЬ2 + || Уп ||L2 хЬ2 )2 + ^ ^ хЬ2 + || ^ ||L2 хЬ2
)
^ 2 || Ут Н1 хь +2 || Уп Н1 хь +2 || |Ц хь +2 || ^ Н1 хь ^
2 2 2 2
^ т/3\ п(3\ та па
2
2
и
1
Тогда || ут — уп (1)^ 0 при т,п ^ <х>, т. е. последовательность {ут} фун-
даментальна в Ж>(1)(К,К2). Поэтому она сходится в Ж2(1)(К, К2) к элементу V Е Ж>(1)(К,К2).
Переходя к пределу в (2.26), (2.28), получим
II « 11^(1) = 1, (2.29)
2
[ ¿^ = 0
„ ¿=1
= 0. (2.30)
Из (2.30) следует = 0, т. е. V = 0. Последнее противоречит (2.29). Теорема 1 доказана.
■
Замечание 1. В практически важном случае обычно берут ше = 0. Тогда
А2 - А2
М (г)
■X у
а(г)
Очевидно, условие ¡3\ > 0 означает ограниченность а (г).
2.3. Существование слабых решений в классе Ж2(1)(К, К2)
Рассмотрим вопрос о существовании и единственности решения краевой задачи (2.17)-(2.21) в классе функций, допускающих первые обобщённые производные в смысла Соболева.
Домножим слева уравнение (2.17) на ф* = (фьф2), где фг - гладкие функции, и проинтегрируем по г от г = 0 до г = (г = 0,1):
/ Ф*Тх (Р^ + / Ф*^и(1г = 0 0 0
или
ф РТ~
-г,;
^-г р Л А-,*
(1ф* Р^Аг + / ф*ЦЫг = 0.
0 ] ¿г ¿г 00
Получаем два уравнения (при г = 0,1):
ф*(^ — 0)Р(го)^(— 0) — ф*(0)Р(0)^(+0) — [ + I ф*ЯЫг = 0,
00
0 0
ф*(^ + 0)Р(го)^(^ + 0) — ф*(0)Р(0)^(—0) + [ ¿ф.р^г — [ ф*Яийг = 0.
-го го
Вычитая из первого уравнения второе, получаем
-21 г1
к*
Р^<1г+ [ + ф*(— 0)Р(гг)^(^ — 0) —
У <1г ¿г У <1г
¿0
Ни
—ф*( го + 0)Р (го) — (го + 0) — ф*(0)Р (0)
¿и
0. (2.31)
=0
В силу непрерывности и и ^ на поверхностях раздела г = можно распространить интегрирование в (2.31) на всю вещественную ось г. В этом случае, учитывая условия излучения (2.19), мы вместо (2.31) будем иметь следующее тождество:
/ /
У аг аг У
— оо —оо
+ .2(0)+(!-2(0)ф-(°> + ,2(0)''+(12(0)ф2(») = 0. М
Соотношение (2.32) распространяется на класс функций ф и и из ^^(Е, К2) с нормой
|| и ^ = ^ Щ ||^1)(К) + || и2 ||^1)(К). Введём следующую билинейную форму
/ /
а(и, ф) = — I I ф*Яи<1г (2.33)
I аг аг I
—оо —оо
и линейную форму
<«■>=-о>Ач0)М0)—2(0)ф2(0)=0. <2.34>
Тогда (2.32) принимает вид
а(и,ф) = 1(ф). (2.35)
Имеем
+оо 2 2 +о° 2
а(и,и) = J Ь(г) ^^ + / М(г) '^/dui2dz.
—оо
Допустим, что
а = т£ВД > 0 (2.36)
и пара ( \х,\у) принадлежит области Бх С К2, определённой как
Ох = {(Ал, Ху) е К2 : а[\2х — — Ш2£ц] > ш£[2ХхХу — ар] для Уг е К}.
Зафиксируем А е БЛ. По теореме 1 билинейная форма а(и,ф) задаёт в Ж2(1)(К, К2) скалярное произведение, эквивалентное стандартному скалярному произведению
(и,ф)ш (1) = (и1,ф1)ш (1) + (и1,ф1)ш (1),
если только
Рл = ^
.гег
а
[ АХ — А^ — ш2е ¡] — ше [2АхАу — ал] а2 + ш2е2
>0
иАА < (см. 2.2). Следовательно,
а(и,и) ^ со'пвЬ || и (1) .
(2.37)
Далее в области ИЛ имеем
|а(и, ф)| ^ Ал
Е
=1
йиг (1фг
dz + ^ / |игфг ^
=1
<
^Ал
1/2
Е
=1
йиг
дьфг
\ 1/2 2 / \ 1/2 / + ¿ии2^) [ /ф
1/2
^ Ал
(
=1
|| ^ ||^2(К) + || иг ||
2
¿2 (К)
1/2
|| -ф ||Ь2(М) + || фг |Ь2(К)
)
1/2
+
£ О
=1
йиг
+ > ; ( || иг Щ« + || ^ Шю)^ ( || фг &(К) + || ^ Н!^))
(ф - \ 1/2
2А^ || иг (1) • || фг (1) ^
=1
^ Ал
\
Ё || иг ||
иг (1) •
=1
\
Ё || фг ^^(1) = Ал || и •|| ф
(1),
=1
т. е.
1 а(и,ф) ^ сошь ! и (1) •||ф !
(1)
(2.38)
Из (2.37), (2.38), согласно теореме Лакса-Мильграма [3, с. 180], следует однозначная разрешимость вариационной задачи (2.35) в классе Ж2(1)(К,К2).
Итак, краевая задача (2.17)-(2.21) имеет единственное слабое решение. При этом достаточно требовать лишь интегрируемости функций Ь(г) и М(г), а не а,л,£ е С11
2
2
2
2.4. Определение области Их
Пусть и(г,Л) — классическое решение задачи (2.17)-(2.21). Покажем, что оно не имеет особенностей по Л при Л € Их. Из (2.32) при ф = и имеем
+оо + оо
I '^^—Р^дьХ + I и*Яис1г+
—оо —оо
.(0) ч <Ш£(0) . . .
+ .2(0) ^(С)"'«» + .2(0) + ^(0) и2(0)=^ (2-39)
При Л Е Их имеем
^ Л) " - .2(0)+(0)%2(0)и-(0- Л) - .2(0)"++^, 2(0) «2(0. Л) > 0 (2-40) Из (2.39) и (2.40) получаем неравенство
+оо 2
0 < [ (^ < 1(Л)- (2.41)
— оо
Теорема 2. При условии (2.36) классическое решение и(г,Л) не имеет по переменной Л е Их особенностей.
Доказательство. Пусть и(г,Л) имеет полюс порядка т в точке Л0(г), т. е. предполагаем, что и(г,Л) аналитична по Л, кроме точки Л0(г). Тогда в некоторой окрестности точки Л0(г) имеем
и(г,Л) = а(г] , а(г) = 0, т > 1. (2.42)
^ У [ Л - Ло(г)]т к ' к '
Откуда
, Л) = [(Лх - Лхо(г))2 + (Лу - Луо(г))2]—тх
Хх
т
х 1т а(г)^2 Ст • (Лх - Лхо(г))к(-)т—к(Лу - Луо(г))т—к
к=0
или
т
Е Ьк(г)(Лх - Лх0(г))к(Лу - Лу0(г))т—к Щ(г, Л) = [(Лх -Лх0(г))2 + (Лу - Лу0(г))2]т . (2.43)
Покажем, что
Л0(г) € С (К) П С \{0}),
производные Л0(г) справа и слева от 0 конечны.
}
(2.44)
Действительно, из (2.42) видно, что если Л = Л0(г), то и(г,Л) можно дважды дифференцировать по Л.
Тогда, дифференцируя по Л равенство
получим
[Л -Ло(г)]ти(г,Л) = ф),
Пи
[ Л - Лс(г)]т — + т[Л - Лс(г)]т-1и = 0, дЛ
ди
[ Л — Л0(г)] — + ти = 0
дЛ
Ло(г) = Л +
ти
(
и д\)
(2.45)
Так как и Е С 1(Е \ {0}), и Е С(Е) и существуют конечные производные у и по г в 0 справа и слева, то из (2.45) следует (2.44)1.
Предположим, что Л0(г) е/ Л0(0). Возьмём г0 так, что Л0(г0) = Л0(0). Из непрерывности Л0(г) заключаем, что существует сегмент [7,$], г0 Е (7, такой, что разложение (2.42) справедливо для всех г Е [7,5] при любом Л, принадлежащем некоторому кругу в с центром Л0(г0). Тогда из (2.41) следует
0 €
(Л), Л Е в,
куда можно подставить (2.43). Получаем
0 €
[р( Лх — Лхо(г),Лу — Луо(^))]2 [( Лх — Лхо(^))2 + (Лу — Луо(г))2 ]2т+2
¿г € а ч(Л),
(2.46)
где р(и, ь) — полином степени € т + 1 с коэффициентами — полиномами от
п (г) п (г) ^Р^) аху0(г) Пх (/'),ПУ йг ' йх ■
Возьмём Л так, что оно не есть особенность для и(0, Л). Тогда ( Л) — конечно, то есть (2.46) означает сходимость выписанного интеграла. Но он как раз расходящийся, если Л равно, например, Л0где г 1 Е [7,5]. Получили противоречие.
Но мы предполагали, что Л0(г) ^Л0(0). Пусть теперь Л0(г) е Л0(0). При Лу = Лу0(0) имеем
и2^, Л)
и ( , Л)
пу (¿0
[ Лх — Лхо(0)]т
пх(г)
[ Лх — Лхо(0)]т
(2.47)
(2.48)
1ди/дХ Е С(Е \ {0}), поскольку дифференцируя интегральное тождество (2.32) по Л, получаем интегральное тождество для ди/дХ. Для него вариационная задача подобна задаче (2.32).
Значит ди/дХ Е ^2(1). Откуда ди/дХ Е С(Е), благодаря вложению ^2(1) С С.
(1)
Из (2.39), (2.40) имеем
0 ^
/ dui\2 ( du2\ \ dz ) \dz J
dz ^ a q(X)
Подставляя (2.47), (2.48) в (2.49), получаем
0 ^
idu\ \ 2 idu2\2 \dz J \ dz J
dz ^ a-lq(X)[Xx — Ало(0)]
2m
a
-1
a2(0) + u2e2(0)
[аж(0)а(0) + ue(0)ay(0)][АЛ - Ало(0)]
2m
Устремляя Аж к Аж0(0), получаем
da
( da^\ / day\ \ dz ) \dz )
dz = 0,
то есть
(2.49)
Ux(z) = const, ay (z) = const. Учитывая условие на бесконечности (2.19), получаем
a(z) = 0,
то есть
u(z,X) = 0.
Это противоречит граничному условию [^]z=0 = 1. Следовательно, функция u(z,X) не имеет полюсов по А в области D\.
Но u(z,X) не имеет и существенных особенностей. Действительно, по теореме Пикара [4, с. 141] и(0,А) будет принимать в окрестности существенно особых точек А0(0) любые конечные значения, за исключением, быть может, одного. Тогда найдётся точка Xl такая, что м(0,А1) = wl(0,Al) > 0. Но это противоречит неравенству (2.40).
Итак, особых точек по А у решения u(z,X) задачи (2.17)-(2.21) быть не может.
Теорема 2 доказана.
2.5. Вычисление электромагнитного поля на ЭВМ
Имеем
H = rot A,
E = iupA + V
|-1— divA \
[a — iu£ J
A = (0, 0,4),
2
2
где
А(х,у, г) = — Л10(Лг )п(г ,Л)йЛ. 2ж I
Следовательно, поля Н и Е выражаются в виде суммы интегралов вида
V" 1о( Л т)
¿ки(х, Л) ¿г к
Лс1Л, \а\,к € 2,
где V" — производная по х и у.
В силу теоремы 2 при Л Е Их функция
к и( , Л) ¿г к
не имеет особенностей по Л. Значит, можно деформировать контур интегрирования в комплексную область изменения переменной Л, не выходя за пределы области Их. Это позволяет избежать быстроосцилирующих функций в качестве
Рис. 2. Область В\
подынтегральных выражений и, следовательно, эффективно провести вычисление полей Н, Е на ЭВМ.
В практически важном случае ше ~ 0. Тогда
Их = {(Лх,Лу) Е Е2 : \Лх\ > \Лу\},
т. е. область допустимой деформации контура интегрирования достаточно простая (рис. 2), в то же время весьма приемлемая с точки зрения процедуры вычисления интересующих нас интегралов на ЭВМ [2].
Заключение
Результат, представленный в данной статье, был анонсирован в [5], а его полное изложение было дано в научном отчёте [6], который находится в труднодоступном архиве. Там можно найти и решение аналогичной задачи для горизонтально-слоистой среды с горизонтальным (магнитным и электрическим) диполем в качестве источника.
Следует сказать, что случай вертикального электрического диполя является наиболее сложным. Сложнее только горизонтальные диполи. Эти случаи дают не одно, а два уравнения, аналогичные вертикальным электрическому и магнитному диполям (второе проще анализировать). Кроме того, в одном из них на горизонтали источника терпит разрыв не производная, а само решение. Это вынуждает изменить класс пространств, в котором ищется решение. Но ничего принципиально нового нет.
В одном из отчётов [7-11] приведена иная постановка задачи для случая всех диполей. В качестве неизвестных выбраны вертикальные компоненты полного (включая сторонний источник) электрического и магнитного «тока». Коэффициенты принадлежат пространству Lа решение ищется в классе W2(l). Более того, удалось дать определения вертикального и горизонтального диполей (и электрического, и магнтного), находящихся на границе разрыва параметров среды (но не наклонного). При этом содержание теорем не меняется.
Наконец, заметим, что в настоящее время модель вертикально неоднородной среды практически не актуальна. Тем не менее она используется:
а) как фоновая в методе объёмных интегральных уравнений. Именно для неё вычисляется функция (тензор) Грина;
б) в случае недостатка числа измеряемых сигналов, например, при инверсии для навигации во время бурения;
в) реже в других случаях электромагнитного каротажа или наземной электроразведки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Смагин С.И. Расчёт функции Грина уравнения Гельмгольца с одномерным кусочно-постоянным волновым числом // Сб.: Условно-корректные задачи математической фишки в интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск, 1973.
2. Табаровский Л.А. Применение метода интегральных уравнений в задачах геоэлектрики. Новосибирск : Изд-во «Наука», Сибирское отделение, 1975.
3. Partial Differential Equations // Lectures in applied mathematics. 1957. V. 31.
4. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М. : Наука, 1969.
5. Гуц А.К., Терентьев С.А. Исследования особенностей спектральной плотности для электромагнитного поля в вертикально неоднородной проводящей среде // Сб.: Автоматизация анализа и синтеза структур ЭВМ и вычислительных алгоритмов. Омск : ОмПИ, 1982. С. 78-80.
6. Терентьев С.А., Гуц А.К. Теоретическое исследование электромагнитного поля в проводящих неоднородных средах // Отчёт по НИР. Омск : ОмГУ, 1980. Деп.во ВНТИЦ 25.02.81, № Б 919817. 48 с.
7. Терентьев С.А., Гуц А.К., Кайзер В.В. Теоретическое исследование электромагнитного поля в проводящих неоднородных средах // Депонированный отчёт по НИР. Инв. № 0283.0006913. Омск : ОмГУ, 1982. 58 с.
8. Терентьев С.А., Бронников И.Н. Разработка алгоритмов расчёта на ЭВМ электромагнитных полей источников различной конфигурации в горизонтально-слоистой среде // Депонированный отчёт по НИР. Инв. № 0285.0011141, № гос. рег. 0184.0015161. Омск : ОмГУ, 1984. 31 с.
9. Терентьев С.А. Алгоритм расчёта электромагнитного поля в вертикально-неоднородной проводящей среде // Сб.: Электрофизические проблемы защиты устройств связи от влияний на железнодорожном транспорте. Омск : ОмИИТ, 1985. C. 32-33.
10. Терентьев С.А., Балыкина О.Н, Романовская А.М., Ультан А.Е. Математические методы в прикладных исследованиях // Депонированный отчет по НИР. Инв. № 0986.0039352, № гос. рег. 0185.0051835. Омск : ОмГУ, 1985, 90 с.
11. Терентьев С.А., Балыкина О.Н, Романовская А.М., Ультан А.Е. Математические методы в прикладных исследованиях. // Депонированный отчёт по НИР. Инв. № 02.88.0022619, № гос. рег. 0185.0051835. Омск : ОмГУ, 1987. 54 с.
INVESTIGATIONS OF THE SPECTRAL DENSITY OF THE ELECTROMAGNETIC FIELD IN A VERTICALLY INHOMOGENEOUS
CONDUCTIVE MEDIUM
S.A. Terentyev
PhD. (Phys.-Math.), Associate Professor, e-mail: sa.terentyev@gmail.com
A.K. Guts
Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: guts@omsu.ru Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Abstract. The electromagnetic field in electrical exploration problems is often represented as integrals with a fast-oscillating nucleus. When calculating these integrals on a computer, it is necessary to deform the contour of integration into the plane of the complex variable. The article studies the allowable deformation region of the integration contour in the case of a non-uniform medium. The source of the field is a vertical dipole. A similar problem was solved for a horizontally layered medium with a horizontal harmonious dipole as a source.
Keywords: Electrical exploration, electromagnetic field of vertical electric dipole, fast-oscillating integrals, deformation contour, complex plane, absence of singular points, deformation domain.
Дата поступления в редакцию: 17.10.2018
