CC BY
7
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, вып. 1. С. 48-59
Izvestiya of Saratov University. New Series. Series: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2021, vol. 21, iss. 1, pp. 48-59
Научная статья УДК 539.3
https://doi.org/10.18500/1816-9791-2021-21-1-48-59
Особенности сложных колебаний гибких микрополярных
сетчатых панелей
Е. Ю. Крылова10, И. В. Папкова2, О. А. Салтыкова2, В. А. Крысько2
1 Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, д. 83
2Саратовский технический университет имени Гагарина Ю. А., Россия, 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, д. 77
Крылова Екатерина Юрьевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического и компьютерного моделирования, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-7593-0320 Папкова Ирина Владиславовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и моделирования, [email protected], https://orcid.org/0000-0003-4062-1437 Салтыкова Ольга Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и моделирования, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-3880-6662 Крысько Вадим Анатольевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и моделирования, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-4914-764X
Аннотация. В работе построена математическая модель сложных колебаний гибкой микрополярной цилиндрической панели сетчатой структуры. Уравнения записаны в перемещениях. Геометрическая нелинейность учитывается по модели Теодора фон Кармана. Рассматривается неклассическая континуальная модель панели на основе среды Коссера со стесненным вращением частиц (псевдоконтинуум). При этом предполагается, что поля перемещений и вращений не являются независимыми. В рассмотрение вводится дополнительный независимый материальный параметр длины, связанный с симметричным тензором градиентом вращения. Уравнения движения элемента панели, граничные и начальные условия получены из вариационного принципа Остроградского - Гамильтона на основании кинематических гипотез Кирхгофа - Лява. Предполагается, что цилиндрическая панель состоит из п семейств ребер одного материала, каждое из которых характеризуется углом наклона относительно положительного направления оси, направленной по длине панели, и расстоянием между соседними ребрами. Материал изотропный, упругий и подчиняется закону Гука. Для гомогонизации системы ребер по поверхности панели применяется континуальная модель Г. И. Пшеничного. Рассматривается диссипативная механическая система. Дифференциальная задача в частных производных сводится к обыкновенной дифференциальной задаче по пространственным координатам методом Бубнова - Галеркина в высших приближениях. Задача Коши решается методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности. Используя метод установления, в качестве примера проведено исследование влияния геометрии сетки и учета микрополярной теории на поведение сетчатой панели, состоящей из двух семейств взаимно перпендикулярных ребер.
Ключевые слова: цилиндрическая панель, микрополярная теория, сетчатая структура, модель Кирхгофа - Лява, метод Бубнова - Галеркина, метод установления, континуальная модель Г. И. Пшеничнова
Благодарности: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 18-01-00351а).
Для цитирования: Крылова Е. Ю., Папкова И. В., Салтыкова О. А., Крысько В. А. Особенности сложных колебаний гибких микрополярных сетчатых панелей // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, вып. 1. С. 48-59. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2021-21-1-48-59 Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0)
Article
https://doi.org/10.18500/1816-9791-2021-21-1-48-59 Features of complex vibrations of flexible micropolar mesh panels E. Yu. Krylova10, I. V. Papkova2, O. A. Saltykova2, V. A. Krysko2
1 Saratov State University, 83 Astrakhanskaya St., Saratov 410012, Russia
2Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, 77 Politechnicheskaya St., Saratov 410054, Russia
Ekaterina Yu. Krylova, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-7593-0320 Irina V. Papkova, [email protected], https://orcid.org/0000-0003-4062-1437 Olga A. Saltykova, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-3880-6662 Vadim A. Krysko, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-4914-764X
Abstract. In this paper, a mathematical model of complex oscillations of a flexible micropolar cylindrical mesh structure is constructed. Equations are written in displacements. Geometric nonlinearity is taken into account according to the Theodore von Karman model. A non-classical continual model of a panel based on a Cosserat medium with constrained particle rotation (pseudocontinuum) is considered. It is assumed that the fields of displacements and rotations are not independent. An additional independent material parameter of length associated with a symmetric tensor by a rotation gradient is introduced into consideration. The equations of motion of a panel element, the boundary and initial conditions are obtained from the Ostrograd-sky-Hamilton variational principle based on the Kirchhoff-Love's kinematic hypotheses. It is assumed that the cylindrical panel consists of n families of edges of the same material, each of which is characterized by an inclination angle relative to the positive direction of the axis directed along the length of the panel and the distance between adjacent edges. The material is isotropic, elastic and obeys Hooke's law. To homogenize the rib system over the panel surface, the G. I. Pshenichnov continuous model is used. The dissipative mechanical system is considered. The differential problem in partial derivatives is reduced to an ordinary differential problem with respect to spatial coordinates by the Bubnov - Galerkin method in higher approximations. The Cauchy problem is solved by the Runge - Kutta method of the 4th order of accuracy. Using the establishment method, a study of grid geometry influence and taking account of micropolar theory on the behavior of a grid plate consisting of two families of mutually perpendicular edges was conducted.
Keywords: cylindrical panel, micropolar theory, mesh structure, Kirchgoff - Love model, Bub-nov - Galerkin method, establishment method, G. I. Pshenichnov continuous model Acknowledgements: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project No. 18-01-00351A).
For citation: Krylova E. Yu., Papkova I. V., Saltykova O. A., Krysko V. A. Features of complex vibrations of flexible micropolar mesh panels. Izvestiya of Saratov University. New Series. Series: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2021, vol. 21, iss. 1, pp. 48-59 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2021-21-1-48-59
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0)
ВВЕДЕНИЕ
Пластины, панели, оболочки являются элементами инженерных конструкций во всех областях жизнедеятельности человека. Поэтому интерес к математическому моделированию влияния различных факторов на сложные колебания указанных механических объектов не ослабевает [1-4]. Быстрое развитие микроэлектромеханических технологий в приборостроении, робототехнике, медицине и других передовых отраслях привело к широкому использованию в качестве элементов конструкций микро- и наноразмерных панелей и оболочек. Этот факт обусловливает необходимость создания надежных математических моделей для анализа их динамического поведения и НДС. Классическая механика твердого тела не в состоянии учитывать масштабные эффекты. Поэтому при построении математических моделей микро- и наноразмерных механических объектов необходимо опираться на теории, позволяющие моделировать размерно-зависимое поведение, одно из ведущих мест среди которых занимает микрополярная (моментная, несимметричная) теория [5-10]. В работах [11-15] построены общие прикладные теории микрополярных упругих тонких оболочек, пластин и балок. Для численного анализа в большинстве публикаций по данной тематике используются линейные модели [16-19]. Однако существуют экспериментальные данные, подтверждающие необходимость учета нелинейности при моделировании поведения рассматриваемых объектов [20]. Микро- и наноразмерные сетчатые панели и оболочки широко используются в электромеханических системах, в медицине для изготовления биологически совместимых имплантов, венозных шунтов. Исследований, посвященных анализу НДС и динамики сетчатых конструкций с учетом их размерно-зависимого поведения, очень мало [19,21,22]. В настоящей работе построена математическая модель сложных колебаний гибкой микрополярной сетчатой цилиндрической панели, состоящей из двух взаимно перпендикулярных систем ребер, находящейся под действием нормальной распределенной нагрузки. На основании полученной математической модели методом установления проведен анализ влияния геометрии сетки на поведение цилиндрической панели. Материал панели — псевдоконтинуум Коссера со стесненным движением частиц [23]. Сетчатая структура учитывается по феноменологической континуальной модели Г. И. Пшеничнова [24].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Объектом исследования является цилиндрическая панель, занимающая в пространстве И3 область О = {0 ^ х ^ с; 0 ^ у ^ Ь; — \ ^ я ^ |}. Панель состоит из п семейств густо расположенных ребер одного материала, что позволяет использовать континуальную модель. С учетом гипотез Кирхгофа - Лява и геометрической нелинейности в форме Т. фон Кармана компоненты тензора деформаций запишутся
в виде:
ди 1 / дт\ 2 д2 т
дХ + 2 ^~зХ) - '
'УУ
ду 1 ду + 2
дт
Аду
д2 т
- кут - ^'
(1)
вх
1 / ди ду'
ху _ 2 V эу + ЭХ
+
дт дт
д2
т
дх ду дхду
где и, у — осевые смещения срединной поверхности панели в направлениях х, у соответственно, т — прогиб, ку — геометрический параметр кривизны панели.
В работе рассматривается неклассическая континуальная модель на основе среды Коссера, где наряду с обычным полем напряжений учитываются также и моментные напряжения. При этом предполагается, что поля перемещений и вращений не являются независимыми [23]. В таком случае компоненты симметричного тензора изгиба-кручения запишутся следующим образом:
д2
т
Ххх
дхду 1 ( а2 у
Хуу
д2т дхду'
Хху
1 / д2 и д 2
д2 и
Хуг _
4 V дх2
2 ду2 дх2
Ххг 4 \ ЭхЭу Эу2) '
(2)
Для материала панели определяющие соотношения примем в виде [25]:
Е
Ох.х _
[вхх + Vвуу] } х ^ у, Оху _ 1
Е
+ V
вх
ху
тз- _
Е12
ГГ^ -
Хгз , 1,3 _ х, у,
где огз — компоненты тензора напряжений, тц — компоненты cимметричного тензора момента высшего порядка, Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона для однородного материала, I — дополнительный независимый материальный параметр длины, связанный с тензором изгиба-кручения %.
Уравнения движения в смешанной форме элемента гладкой панели, эквивалентной сетчатой, граничные и начальные условия получены из энергетического принципа Гамильтона - Остроградского [26,27]. Напряжения, возникающие в эквивалентной гладкой панели, связанные с напряжениями в ребрах, составляющих углы у с осью абсцисс, будут иметь вид:
Ох
тхх
п ц £ 2 _ у- Ох 5з С°в2 Уз
■Л а3
тзх 5ц соб2 Уз
= £
?=1
аз
тх
°уу _ ^
Ох 5з й1п2 Уз
=1 п
аз
т
уу=
т?х5ц бш2 уз
=1
аз
= £
тх 5з соб Уз
Ох
^^ о3х5з соб уз б1п
тхх
• 1 аз
з=Л 3
п т3х 5з соб уз б1п уз
= £
т
=1
аз
у г
= £
з=1
=1 2
а
(3)
т^ 5з б1п уз
аз
где п — количество семейств ребер, 5з, аз, уз — расстояние между ребрами, ширина ребер, угол между осью х и осью ребер 3-го семейства. Напряжения с индексом 3 относятся к ребрам.
в
2
Физические соотношения для сетчатой панели определяются на основании метода множителей Лагранжа:
{aj, mj} = [ахх, mxx} cos2 щ + {ayy, myy} sin2 щ + {aXy, mXy} cos щ sin {a3z,m{} = {aZx,mZx} cos щ + {aZy,mZy} sin щ.
(4)
Положим, что деформация оси какого-либо ребра равна деформации линии, совпадающей с осью этого ребра в расчетной модели. Будем считать, что одна из главных центральных осей поперечных сечений ребер панели совпадает с направлением нормали к срединной поверхности панели. Подставляя (3) и (4) в выражения для моментов и усилий, записанные для гладкой панели, получим выражения моментов и усилий панели с учетом сетчатой структуры. Подставляя (3) и (4) в выражения для моментов и усилий, записанные для гладкой панели, найдем выражения моментов и усилий панели с учетом сетчатой структуры. Тогда из уравнений движения гладкой панели, выведенных из вариационного принципа, получим уравнения движения микрополярной панели сетчатой структуры в смешанной форме [28]. В дальнейшем будем рассматривать панель с двумя семействами ребер = 45°, (р2 = 135° , 61 = 62 = 6, ах = а2 = а (рис. 1).
У ^ С учетом безразмерных параметров:
X
h2
h2
u
—u, v = — v, c b
x
cx, y = by,
w = hw, 5 = h-, a = ha, l = hi,
k = hi ky b2 ky,
q
(5)
*=к-, -=yji
Рис. 1. Геометрия сетки Fig. 1. The grid geometry
где е — коэффициент диссипации среды, р — плотность материала панели, д = д0 sin(^pЬ) — внешняя нормальная нагрузка, д0 и ир — ее интенсивность и частота, Ь —
время. Уравнения движения элемента рассматриваемой микрополярной сетчатой цилиндрической панели примут вид (черта над безразмерными переменными опущена):
l2(v - 1)
h2 d4
u h2 д4v
+
h2 d4u h2 д4 v
+
b2 dy4 b2 дхду3 c2 dx2 dy2 c2 дх3ду
+ 2(v - 1)
д2
u
дy2
д 2v
b2 д2
u
b дw
3w дw
-2(3 + v)^ - 4(1 + v)?^ - 4ky(1 + v)Ш + 4(1 - v)9y2 дх
8a(v2 - 1) h2 д2u
^dw 32w 4b2 дwд2w
-8—^— - 4(1 + v) —-
l2 (v - 1)
дy дxдy
h2 34 u h2
b2 дxдy3 2
д4
c2 дх дх2 h2 d4u
+
5
h2 34v
b2 дх2 3y2 c2 дx3дy c2 дх4
c2 dt2'
7 . c2 дw
- ky(1 + v-
bh дy
c" 32 v
д 2u
д 2v
дw 32\
w
-4(1 + v)- 2(3 + v) - 2(1 - v)дх2- 4(1 + v)b2 ay ay2
8a(v2 - 1) h2 3^
5 X2~3¥ '
3w 32w _,dwd2w
-8 „ „ „ +4(v - 1)-
дх ЗхЗу
dy дх2
(6)
(7)
4
2
д 4т
ЬН ду4
+ 4[1 + I2(V - 1)]
с2 д4 т Ь2 дх2 ду2
с2 ду
+ [(1+ у)+612(1 - V)] Ь2 ди
Ь2 д4 т с2 дХ44
дт
+12ку (1 + V) Ь2т + 12кУ(1 + V) ГНду + 12ку(1 + V) Н2 дх - ^(1 + V) Гн V ду
-12(1 + V )-
с2 дт д2у
д2
т
Ь2 ду ду2
ч /дт\2 д2т .32т ди
-18(1 + V) тН - 12(1 + V)--2-
- 12ку(1 + V)— т—- - 12(1 + V)
ду д2
т
ЬН ду2
Ь2 ду ду2
\ду ) ду2
д 2т
д2 идт ду2 дх ду2 дх
Ь дт
- 6ку (1 + v)-{-:: +
+6(-5 + 3v)
ду2
дт\ 2 ^Лдт д2 и
— - 24--
дх ду дхду
л „ дт д2у - 24 „ „ „ + 24(v - 1)
Н дх ди д2 т
ду дхду
дх дхду
,ду д2 т пл,п дт дт д2 т ^ , ч Ь2 дт д2 и +24^ - 1) ———- + 24^ - 5) — — —- - 12(1 + V)—————2+
дх дхду Ь дт д2 у
дх дх дхду Ь д2 т
с2 дх дх2
+12("-1)ТЩа*- 12ку(1 + ")Нт1х -12(1 + V)
с2 ду д2т Ь2 ду дх2
+6(3' - »( -У
д2т ди д2т Ь2 дт 2 д2т
- 12(1 + -)-х-х? -18(1 +V)-х)
дх2 _ 24a(v2 - 1) 5
дх2
д2т дт
+ £~дг
Я
(8)
К уравнениям (6)-(8) следует присоединить начальные и граничные условия в зависимости от условий закрепления и загружения панели.
В данной модели жесткость ребер на изгиб в плоскости, касательной к срединной поверхности панели, не учитывается, поэтому порядки систем дифференциальных уравнений, описывающих поведение сетчатых и сплошных панелей, совпадают. При этом совпадают и формулировки граничных условий соответствующих краевых задач [24].
ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Статические задач в теории пластин и оболочек традиционно решались с применением различных приближенных методов, которые позволяют свести систему уравнений в частных производных к системе нелинейных алгебраических уравнений. В данной работе решение статических задач будет представлено с помощью метода установления, впервые примененного для оболочек В. И. Феодосьевым [29]. В рассматриваемом методе решение системы уравнений в частных производных сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Подобный подход имеет некоторые преимущества. Метод установления обладает высокой точностью, так как его можно отнести к итерационным методам, здесь каждый шаг по времени является новым приближением к точному решению задачи. Кроме того, метод установления не имеет большой чувствительности к выбору начального приближения. Простота получения неединственных решений статических задач также является серьезным плюсом метода. Решая задачу Коши при е = екр для ряда значений параметра нормальной постоянной во времени нагрузки Яъ, получаем последовательность прогибов тъ для центральной точки панели. На основе этих данных строится зависимость т(я) и исследуется напряженно-деформированное состояние системы. Здесь стоит отметить, что необходимо уделять
2
2
2
2
2
2
+
2
серьезное внимание выбору екр, так как в некоторых случаях при отсутствии учета рассеяния энергии значение критической динамической нагрузки может равняться приблизительно половине значения статической критической нагрузки [30]. Следуя вышеописанному методу, исследуем поведение сетчатой микрополярной цилиндрической панели, жестко защемленной по торцам с параметрами сетки ^ = 450, = 1350, = 52 = 5, ах = а2 = а. Начальные условия выбраны нулевыми. Математическая модель колебаний рассматриваемой системы представляет собой дифференциальную задачу в частных производных, для сведения которой к обыкновенной дифференциальной задаче используем метод Бубнова - Галеркина в высших приближениях. Для удовлетворения граничным условиям жесткой заделки компоненты перемещений возьмем в виде
i(x, = Umn(t) sin2 sin2 (nP
v(x, y, t) = £ Vmn(t) cos2 (^^A cos2 (, (9)
rrrn ^ ' ^ '
w(x,y,t) = £ Wmn(t)sin^m^) sin^^ •
Задача Коши решается методом Рунге-Кутта 4-го порядка точности.
На рис. 2 приведена диаграмма зависимости прогиб-время для рассматриваемой задачи при I = 0, ку = 0, с = Ь = 1, Н = 0.02, 5 = а = 0.02, д0 = 550.
1400 1200 1000 800
550 400 200
20
40
60
80
100
Рис. 2. Выбор коэффициента диссипации среды Fig. 2. The choice of the medium dissipation coefficient
В результате численного эксперимента выяснилось, что при коэффициенте диссипации е < 0.5 не происходит установления колебаний довольно длительное время (Ь > 40), соответственно, количество итераций, необходимых для получения решения с абсолютной погрешностью е = \ш(и) — гш(Ь— )| ^ 10-5, будет значительным. Для рассматриваемой задачи оптимальным является значение коэффициента диссипации екр = 0.5.
На рис. 3 приведены диаграммы прогиб-нагрузка в зависимости от параметра кривизны панели ку и дополнительного параметра длины I, связанного с учетом моментных напряжений, расстояния между ребрами семейств сетки а. Параметры эксперимента: с = Ь = 1, Н = 0.02, 5 = 0.02, е = 0.5, до £ [0; 1700], Ь £ [0; 50].
На рис. 3, а приведены зависимости нагрузка-прогиб для сетчатой пластины ку = 0 с расстоянием между ребрами а = 0.02. Данные на рис. 3, а показывают,
что увеличение дополнительного параметра I (I = 0; 0.3; 1) приводит к росту жесткости на изгиб и, как следствие, к уменьшению прогиба при одинаковых значениях нормальной нагрузки.
На рис. 3, б приведены графики нагрузка-прогиб для различных значений коэффициента кривизны сетчатой (а = 0.02) микрополярной (I = 0.3) панели ку = 0; 16; 24. Графики качественно согласуются с аналогичными для гладких пластин. При ку = 16 на графике наблюдается точка перегиба, при ку = 24 — явление хлопка.
q 80
60 -
40 -
20 -
1 / 1 //
1=1 /1=03 //
\/ \ // -
V / //
- / / //1=0
/ sis' 1 1
0.5
w
а / a
q
80 60 40 20 0
ky =16/ / ky=24/.
- j / ...........
-
/ //
/ //
¡1/ i i
0
w
Q
80 60 40 20 0
0
б / b
2 3 в / С
w
Рис. 3. График w(q) в зависимости от: а — дополнительного параметра длины 1; б — параметра кривизны панели ky; в — расстояния между ребрами семейств
сетки a
Fig. 3. The graph of w(q) versus: a — additional length parameter 1; b — panel curvature parameter ky; c — distance between edges of a families
Графики w(q), построенные для микрополярной панели с параметром кривизны ky = 24 и значением дополнительного параметра длины l = 0.3 в зависимости от расстояния между ребрами (а = 0.02; 0.04; 0.08), приведены на рис. 3, в. Видно, что увеличение расстояния между ребрами решетки приводит к уменьшению жесткости панели на изгиб.
ВЫВОДЫ
На основании теории Г. И. Пшеничнова в работе построена математическая модель нелинейных колебаний сетчатых микрополярных цилиндрических панелей. Методом Феодосьева проведен анализ влияния разреженности сетки, значения дополнительного параметра длины, параметра кривизны на поведение цилиндрической
0
0
1
1
2
1
4
панели, состоящей из двух семейств взаимно перпендикулярных ребер. Показано, что поведение сетчатой панели качественно совпадает с поведением гладкой панели. Учет теории микрополя приводит к увеличению жесткости панели, увеличение расстояния между ребрами решетки влечет уменьшение изгибной жесткости панели.
Список литературы
1. Белосточный Г. Н, Мыльцина О. А. Геометрически нерегулярные пластинки под действием быстропеременных по временной координате силовых и температурных воздействий // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4. С. 442-451. https://doi.org/10.18500/ 1816-9791-2015-15-4-442-451
2. Белосточный Г. Н, Мыльцина О. А. Динамическая устойчивость геометрически нерегулярной нагретой пологой цилиндрической оболочки в сверхзвуковом потоке газа // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия : Физико-математические науки. 2018. Т. 22, № 4. С. 750-761. https://doi.org/10.14498/ vsgtu1653
3. Krylova E. Y., Papkova I. V.Erofeev N. P., Zakharov V. M, Krysko V. A. Complex fluctuations of flexible plates under longitudinal loads with account for white noise // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2016. Vol. 57, № 4. P. 714-719. https://doi.org/10.1134/S0021894416040167
4. Krysko V. A., Papkova I. V., Awrejcewicz J., Krylova E. Y., Krysko A. V. Non-symmetric forms of non-linear vibrations of flexible cylindrical panels and plates under longitudinal load and additive white noise // Journal of Sound and Vibration. 2018. Vol. 423. P. 212-229. https://doi.org/10.1016/j-.jsv.2018.02.065
5. Еремеев В. И., Зубов Л. М. Механика упругих оболочек. Москва : Наука, 2008. 280 с.
6. Rubin M. B. Cosserat Theories: Shells, Rods and Points. Dordrecht : Kluwer, 2000. 488 p. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9379-3
7. Neff P. A geometrically exact planar Cosserat shell-model with microstructure: Existence of minimizers for zero Cosserat couple modulus // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2007. Vol. 17, № 3. P. 363-392. https://doi.org/10.1142/S0218202507001954
8. Birsan M. On Saint-Venant's principle in the theory of Cosserat elastic shells // International Journal of Engineering Science. 2007. Vol. 45, iss. 2-8. P. 187-198. https://doi.org/10.1016/jJ.iJengsci.2007.03.003
9. Wang F. Y. On the solutions of Eringen's micropolar plate equations and of other approximate equations // International Journal of Engineering Science. 1990. Vol. 28, iss. 9. P. 919-925. https://doi.org/10.1016/0020-7225(90)90041-G
10. Altenbach H, Eremeyev V. A. On the linear theory of micropolar plates // ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. 2009. Vol. 89, iss. 4. P. 242-256. https://doi.org/10.1002/zamm.200800207
11. Саркисян С. О. Математические модели микрополярных упругих тонких балок // Доклады Национальной академии наук Армении. 2011. Т. 111, № 2. С. 121-128.
12. Саркисян С. О. Общие математические модели микрополярных упругих тонких пластин // Известия Национальной академии наук Армении. Механика. 2011. Т. 64, № 1. C. 58-67.
13. Саркисян С. О. Общая теория микрополярных упругих тонких оболочек // Физическая мезомеханика. 2011. Т. 14, вып. 1. С. 55-66.
14. Саркисян С. О. Общая динамическая теория микрополярных упругих тонких оболочек // Доклады Академии наук. 2011. Т. 436, № 2. С. 195-198.
15. Саркисян С. О. Математическая модель микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений // Вестник Пермского государственного технического университета. Механика. 2010. № 1. С. 99-111.
16. Zhou X., Wang L. Vibration and stability of micro-scale cylindrical shells conveying fluid based on modified couple stress theory // Micro and Nano Letters. 2012. Vol. 7, iss. 7. P. 679-684. https://doi.org/10.1049/mnl.2012.0184
17. Safarpour H, Mohammadi K, Ghadiri M. Temperature-dependent vibration analysis of a FG viscoelastic cylindrical microshell under various thermal distribution via modified length scale parameter: A numerical solution // Journal of the Mechanical Behavior of Materials. 2017. Vol. 26, iss. 1-2. P. 9-24. https://doi.org/10.1515/jmbm-2017-0010
18. Sahmani S., Ansari R., Gholami R., Darvizeh A. Dynamic stability analysis of functionally graded higher-order shear deformable microshells based on the modified couple stress elasticity theory // Composites Part B : Engineering. 2013. Vol. 51. P. 44-53. https://doi.org/10.1016/j-.compositesb.2013.02.037
19. Krylova E. Yu., Papkova I. V.., Sinichkina A. O., Yakovleva T. B, Krysko-yang V. A. Mathematical model of flexible dimension-dependent mesh plates // Journal of Physics : Conference Series. 2019. Vol. 1210. P. 012073. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1210/1/ 012073
20. Scheible D. V.., Erbe A., Blick R. H. Evidence of a nanomechanical resonator being driven into chaotic responsevia the Ruelle - Takens route // Applied Physics Letters. 2002. Vol. 81. P. 1884-1886. https://doi.org/10.1063/L1506790
21. Еремеев В. А Об одной нелинейной модели сетчатой оболочки // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2018. № 4. С. 127-133. https://doi.org/ 10.31857/S057232990000704-4
22. Крылова Е. Ю., Папкова И. В., Яковлева Т. В., Крысько В. А. Теория колебаний углеродных нанотрубок как гибких микрополярных сетчатых цилиндрических оболочек с учетом сдвига // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2019. Т. 19, вып. 3. С. 305-316. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2019-19-3-305-316
23. Ерофеев В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. Москва : Издательство Московского университета, 1999. 328 с.
24. Пшеничнов Г. И. Теория тонких упругих сетчатых оболочек и пластин. Москва : Наука, 1982. 352 с.
25. Yang F, Chong A. C. M., Lam D. C. C, Tong P. Couple stress based strain gradient theory for elasticity // International Journal of Solids and Structures. 2002. Vol. 39, iss. 10. P. 2731-2743. https://doi.org/10.1016/S0020-7683(02)00152-X
26. Остроградский М. Особенности сложных колебаний гибких микрополярных сетчатых панелей // Memoires de l'Academie imperiale des sciences de St. Petersbourg. 1850. Vol. 8, no. 3. P. 33-48.
27. Pofessor Hamilton on the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously applied to Optics // Report of the British Association for the Advancement of Science. 4th meeting (1834). London : John Murray, Albemarle Street, 1835. P. 513-518.
28. Крылова Е. Ю., Папкова И. В., Салтыкова О. А., Синичкина А. О., Крысь-ко В. А. Математическая модель колебаний размерно-зависимых цилиндрических оболочек сетчатой структуры с учетом гипотез Кирхгофа - Лява // Нелинейный мир. 2018. Т. 16, № 4. С. 17-28. https://doi.org/10.18127/j20700970-201804-03
29. Феодосьев В. И. Геометрически нелинейные задачи теории пластин и оболочек // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. Москва : Наука, 1966. С. 971-976.
30. Крысько В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов : Издательство Саратовского университета, 1976. 216 с.
References
1. Belostochny G. N., Myltcina O. A. The geometrical irregular plates under the influence of the quick changed on the time coordinate forces and temperature effects. Izvestiya of Saratov University. New Series. Series: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2015, vol. 15, iss 4, pp. 442-451 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2015-15-4-442-451
2. Belostochnyi G. N., Myltcina O. A. Dynamic stability of heated geometrically irregular cylindrical shell in supersonic gas flow. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhni-cheskogo Universiteta, Ser. Fiziko-Matematicheskie Nauki [Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences], 2018, vol. 22, no. 4, pp. 750-761 (in Russian). https://doi.org/10.14498/vsgtu1653
3. Krylova E. Y., Papkova I. V., Erofeev N. P., Zakharov V. M., Krysko V. A. Complex fluctuations of flexible plates under longitudinal loads with account for white noise. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2016, vol. 57, no. 4, pp. 714-719. https://doi.org/10.1134/S0021894416040167
4. Krysko V. A., Papkova I. V., Awrejcewicz J., Krylova E. Y., Krysko A. V. Non-symmetric forms of non-linear vibrations of flexible cylindrical panels and plates under longitudinal load and additive white noise. Journal of Sound and Vibration, 2018, vol. 423, pp. 212229. https://doi.org/10.1016/jjsv.2018.02.065
5. Eremeev V. I., Zubov L. M. Mekhanika uprugikh obolochek [Mechanics of Elastic Shells]. Moscow, Nauka, 2008. 280 p. (in Russian).
6. Rubin M. B. Cosserat Theories: Shells, Rods and Points. Dordrecht, Kluwer, 2000. 488 p. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9379-3
7. Neff P. A geometrically exact planar Cosserat shell-model with microstructure: Existence of minimizers for zero Cosserat couple modulus. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 2007, vol. 17, no. 3, pp. 363-392. https://doi.org/10.1142/S0218202507001954
8. Birsan M. On Saint-Venant's principle in the theory of Cosserat elastic shells. International Journal of Engineering Science, 2007, vol. 45, iss. 2-8, pp. 187-198. https://doi.org/10.1016/j-.ijengsci.2007.03.003
9. Wang F. Y. On the solutions of Eringen's micropolar plate equations and of other approximate equations. International Journal of Engineering Science, 1990, vol. 28, iss. 9, pp. 919-925. https://doi.org/10.1016/0020-7225(90)90041-G
10. Altenbach H., Eremeyev V. A. On the linear theory of micropolar plates. ZAMM — Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik, 2009, vol. 89, iss. 4, pp. 242-256. https://doi.org/10.1002/zamm.200800207
11. Sargsyan S. H. Mathematical models of micropolar thin elastic bars. Reports of NAS RA, 2011, vol. 111, no. 2, pp. 121-128 (in Russian).
12. Sargsyan S. H. General mathematical models of micropolar thin elastic plates. Proceedings of National Academy of Sciences of Armenia: Mechanics, 2011, vol. 64, no. 1, pp. 58-67 (in Russian).
13. Sargsyan S. H. General theory of micropolar elastic thin shells. Fizicheskaya mezomekhanika [Physical Mesomechanics], 2011, vol. 14, iss. 1, pp. 55-66 (in Russian).
14. Sargsyan S. H. The general dynamic theory of micropolar elastic thin shells. Doklady Physics, 2011, vol. 56, no. 1, pp. 39-42. https://doi.org/10.1134/S102833581090115X ~
15. Sargsyan S. H. Mathematical model of micropolar elastic thin shells with independent fields of displacements and rotations. PNRPU Mechanics Bulletin, 2010, no. 1, pp. 99111 (in Russian).
16. Zhou X., Wang L. Vibration and stability of micro-scale cylindrical shells conveying fluid
based on modified couple stress theory. Micro and Nano Letters, 2012, vol. 7, iss. 7, pp. 679-684. https://doi.org/10.1049/mnl.2012.0184
17. Safarpour H., Mohammadi K., Ghadiri M. Temperature-dependent vibration analysis of a FG viscoelastic cylindrical microshell under various thermal distribution via modified length scale parameter: A numerical solution. Journal of the Mechanical Behavior of Materials, 2017. vol. 26, iss. 1-2, pp. 9-24. https://doi.org/10.1515/jmbm-2017-0010
18. Sahmani S., Ansari R., Gholami R., Darvizeh A. Dynamic stability analysis of functionally graded higher-order shear deformable microshells based on the modified couple stress elasticity theory. Composites Part B: Engineering, 2013, vol. 51, pp. 44-53. https://doi.org/10.1016/j-.compositesb.2013.02.037
19. Krylova E. Yu., Papkova I. V., Sinichkina A. O., Yakovleva T. B., Krysko-yang V. A. Mathematical model of flexible dimension-dependent mesh plates. Journal of Physics: Conference Series, 2019, vol. 1210, pp. 012073. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1210/1/012073
20. Scheible D. V., Erbe A., Blick R. H. Evidence of a nanomechanical resonator being driven into chaotic responsevia the Ruelle-Takens route. Applied Physics Letters, 2002, vol. 81, pp. 1884-1886. https://doi.org/10.1063/L1506790
21. Eremeev V. A. A nonlinear model of a mesh shell. Mechanics of Solids, 2018, vol. 53, no. 4, pp. 464-469. https://doi.org/10.3103/S002565441804012X
22. Krylova E. Yu., Papkova I. V., Yakovleva T. V., Krysko V. A. Theory of vibrations of carbon nanotubes like flexible micropolar mesh cylindrical shells taking into account shift. Izvestiya of Saratov University. New Series. Series: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2019, vol. 19, iss. 3, pp. 305-316 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2019-19-3-305-316
23. Erofeev V. I. Volnovye protsessy v tverdykh telakh s mikrostrukturoi [Wave Processes in Solids with Microstructure]. Moscow, Moscow University Press, 1999. 328 p. (in Russian).
24. Pshenichnov G. I. Teoriya tonkikh uprugikh setchatykh obolochek i plastin [The Theory of Thin Elastic Mesh Shells and Plates]. Moscow, Nauka, 1982. 352 p. (in Russian).
25. Yang F., Chong A. C. M., Lam D. C. C., Tong P. Couple stress based strain gradient theory for elasticity. International Journal of Solids and Structures, 2002, vol. 39, iss. 10, pp. 2731-2743. https://doi.org/10.1016/S0020-7683(02)00152-X
26. Ostrogradsky M. Features of complex vibrations of flexible micropolar mesh panels. Mémoires de l'Académie impériale des sciences de St. Pétersbourg, 1850, vol. 8, no. 3, pp. 33-48 (in Russian).
27. Pofessor Hamilton on the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously applied to Optics. Report of the British Association for the Advancement of Science. 4th meeting (1834). London, John Murray, Albemarle Street, 1835, pp. 513-518.
28. Krylova E. Yu., Papkova I. V., Saltykova O. A., Sinichkina A. O., Krys'ko V. A. Mathematical model of vibrations of the cylindrical shells, which are dimensionally dependent with the net structure, taking into account the Kirchhoff-Love hypotheses. Nelineinyi mir [Nonlinear World], 2018, vol. 16, no. 4, pp. 17-28 (in Russian). https://doi.org/10.18127/j20700970-201804-03
29. Feodosiev V. I. Geometrically nonlinear problems in the theory of plates and shells. Proceedings of the Sixth All-Union Conference on the Theory of Shells and Plates. Moscow, Nauka, 1966, pp. 971-976 (in Russian).
30. Krys'ko V. A. Nelineinaia statika i dinamika neodnorodnykh obolochek [Nonlinear Statics and Dynamics of Inhomogeneous Shells]. Saratov, Izdatel'stvo Saratovskogo uni-versiteta, 1976. 216 p. (in Russian).
Поступила в редакцию / Received 09.09.2019 Принята к публикации / Accepted 13.12.2019 Опубликована / Published 01.03.2021
