Особенности решения лучевых уравнений для крутопадающих на ионосферу траекторий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528.8, 520.88

DOI 10.18522/0321-3005-2016-2-86-90

ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЛУЧЕВЫХ УРАВНЕНИИ ДЛЯ КРУТОПАДАЮЩИХ НА ИОНОСФЕРУ ТРАЕКТОРИЙ*

© 2016 г. Г.А. Жбанков

Жбанков Геннадий Анатольевич - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Научно-исследовательский институт физики Южного федерального университета, пр. Стачки, 194, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: [email protected]

Zhbankov Gennadii Anatolievich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Senior Researcher, Research Institute of Physics of the Southern Federal University, Stachki St., 194, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Метод геометрической оптики является лучшим приближением волнового уравнения в случае ионосферы. Ампли-тудно-траекторные расчеты в его рамках наиболее последовательно и эффективно реализуются на пути решения расширенной системы характеристических уравнений (метод характеристик). Однако этот метод сталкивается с трудностями при расчете крутопадающих на анизотропную среду лучей. Предлагается решение данной проблемы путем переброски компонент волнового вектора в окрестности точки отражения.

Ключевые слова: амплитудно-траекторные расчеты, метод характеристик, анизотропная среда, волновой вектор, система дифференциальных уравнений, модель ионосферы, конструкция Поверлейна.

The method of geometrical optics is the best approximation of the wave equation in the case of the ionosphere. Amplitude-trajectory calculations within it more consistently and effectively implemented in the way of solving the extended system of characteristic equations (method of characteristics). However, this method has difficulty in calculating an anisotropic medium steep rays. In this paper, we propose a solution to this problem through transfer component of the wave vector in the vicinity of the point of reflection.

Keywords: amplitude-trajectory calculations, method of characteristics, anisotropic medium, wave vector, system of differential equations, model of the ionosphere, Poverleyn design.

Расчеты распространения радиоволн в ионосфере аналитическими методами возможны только для небольшого числа случаев, когда ионосферу можно заменить крайне упрощенными моделями и пренебречь ее неоднородной структурой и влиянием магнитного поля. Однако решаемые в настоящее время научные и практические задачи требуют максимального приближения модели к реальным условиям.

Наилучшим приближением волнового уравнения в случае ионосферы, по-видимому, можно считать метод геометрической оптики. Он занимает среди других приближенных методов решения волновых уравнений особое место. С одной стороны, это обусловлено тем, что он позволяет в ряде случаев получить аналитическое решение, когда при аналогичных условиях могут быть решены и исходные уравнения Максвелла. Это дает возможность осуществить более детальную проверку метода. С другой стороны, данный подход приводит к решению уравнения эйконала, которое относится к классу уравнений Гамильтона - Якоби [1-3]. Тогда в теории распространения радиоволн в ионосферной плазме могут быть применены методы, развитые в классической механике [2, 3].

Было разработано несколько методов для ам-плитудно-траекторных расчетов в возмущенной

среде в этом приближении: Смита [4], рефракционного интеграла [5], характеристик [3, 6], поперечных смещений [7] и др.

Наиболее последовательно и эффективно в рамках геометрооптического приближения задача нахождения траекторных и энергетических характеристик реализуется на пути решения расширенной системы характеристических уравнений (метод характеристик).

Данный метод хорошо зарекомендовал себя при расчетах в изотропной среде и в большинстве случаев при использовании анизотропной модели среды. Однако он сталкивается с трудностями при расчете траекторий лучей, крутопадающих на ионосферу, описываемую анизотропной моделью. В настоящей работе предлагается решение этой проблемы путем переброски волнового вектора.

Основные уравнения метода характеристик

Приведем основные уравнения метода характеристик, которые требуются для дальнейшего изложения.

Используя уравнение эйконала в виде и(к,г,Г,а>) = 1 [к2 -к0п2(к,г,Г,а)[ = 0, (1)

получим систему дифференциальных уравнений

* Работа выполнена при поддержке внутреннего гранта ЮФУ № 213.01-2014/013ВГ.

для нахождения траектории в магнитоактивнои неоднородной среде в виде [6]

dr

1 ön1

= p---= p

dr 2 öp

dp _ 1 ön2 dr~ 2 ör

1 ön2

2 ö cos ß

• h'

(2)

где т - независимая вспомогательная переменная; г = {х, у, г} = {х^} - радиус-вектор в декартовой системе координат; р = -¡-^ = {р'} - норми-

1к 0

рованный волновой вектор; |к0 = к0 = а /с;

( \

h' =

ö cos ß

p

__1_

öp N. . - ,

k = |k| (sin в cos p, sin в sin p, cos в);

h т cos ß

p

вертикалью и магнитным полем, 3 = (к,Ь) .

Амплитуду волны можно найти по формуле [3]

A = A

D

И ■

D(r)

VF '

(3)

р р(г°) ~ ,о

где F = —- расходимость лучеи; A - началь-D(()

ное значение амплитуды при входе в слой; D(r) -якобиан перехода от декартовых координат r = {Xj} к лучевым / = {в,р,е}; в , p - соответственно полярныи и азимутальныи углы;

D((0 )= D(()\t

- его начальное значение:

D(() =

ö(x, y, z) ö(e, p, r)

öx öx öx

~дв öp ör

öy öy. öy

öe öp ör

öz öz öz

~öe öp ör

d

(

dr

ör

dr

ö/k öp

Vö/k J

ö f ör ö/k vör ö f öp ö/k

öp

ö/k

ör

^ ön2 ör ^ ör ö/k

(4)

Таким образом, мы получили обобщенную систему характеристических уравнений геометриче-

ской оптики, состоящую из векторных уравнений (2), (4), которая и лежит в основе амплитудно-траекторных расчетов. В проекциях на оси декартовой прямоугольной системы координат (ДПСК) она состоит из 18 дифференциальных уравнений первого порядка:

^ 1 дн2 ,, dpj _ 1 дн2 ду

'' ¿т 2 ду дх{

( дх ^

-= Pi--

dr 2 ö cos ß

(5)

d_ dr

-1 h' 2

ö/k

1 öp±. 2 ö/k

h = (0, sin а, cos а),

а - угол между

^2 2 ö n

ö(cos ß)2

f öpл h' 1

22 ö2n2

ö cos ßöv

öv öXj VöX1 ö/k

1 ön2

2 ö cos ß |p|2

h'

öP,

1 ö/

+ Pi

dp, h) ^

J ö/k

pi cos ß

p

+ cos ß^P- +

ö/k

öp ^

Pl я

1 ö7k

d f öP' ]

dr vö/k J

ö 2 n 2

1 öv.

2 öx.

ö2n2 f öv öx, )

vöxi ö/k

öv2

+ -

övö cos ß

öp h'i —

1 ö/k

+

1 ön2 ö v öx,

дх-

Производные —— находятся путем интегриро-

дУк

вания присоединенной к (2) системы уравнений для д г

-, которая получается при ее дифференцирова-

дУк

нии по параметрам ук :

2 ду дX'Xj дук где у = ®0/со, с0- плазменная частота в текущей точке.

Особенности решения для крутопадающих на ионосферу траекторий

Рассмотрим систему характеристических уравнений (5) для непрерывно дифференцируемой среды распространения. Тогда, если нет внешнего магнитного поля, правые части этих уравнений -аналитические функции. При решении таких систем уравнений характеристики не имеют никаких особенностей. По-иному складывается ситуация в магнитоактивной ионосфере. В этом случае уравнения (5) в магнитоактивной ионосфере имеют особую точку, которая проявляется для обыкновенной волны в виде «острия» на лучевой траектории [8, 9]. Такое свойство отражает поведение поверхностей постоянного показателя преломления, которые для обыкновенной волны при у = 1 вырождаются в отрезок, параллельный вектору геомагнитного поля. В общем случае, когда ионосфера и геомагнитное поле горизонтально неоднородны, заранее указать начальные условия, обеспечивающие особенность на лучевой траектории, невозможно. Следовательно, представляет интерес детальное исследование лучевых уравнений в окрестности особенности, когда у ^ 1.

+

1

+

о

d

Анализ приводит к следующему асимптотическому решению лучевых уравнений в окрестности особой точки V = 1 [5]:

х' - х = сот^ (1 - у); к' - к = соп^ л/Г-V .

Это решение показывает:

- в окрестности особой точки пространственные координаты луча быстрее стремятся к своему пределу, чем компоненты волнового вектора;

- х' непрерывно изменяется при переходе V через 1;

- волновой вектор к' стремится к своему пределу к = И/|и| двумя путями, о чем свидетельствуют различные знаки векторной константы при

л/Т-V .

Последнее свойство наиболее важно при численном решении волновых уравнений, поскольку оно говорит о невозможности в процессе поиска решения перейти с одной ветви траектории на другую.

Поэтому в окрестности особенности необходимо использовать некоторый метод, основанный на физических принципах распространения радиоволн и позволяющий провести переброску системы (5) через особую точку. В ранее проведенном анализе данной особенности [10] автором высказываются только общие предложения решения и не приводится его конкретная методика, которую можно использовать непосредственно при расчетах.

В данной работе дается подробное описание такого метода.

Дальнейшие наши рассуждения основаны на конструкции Поверлейна (рисунок) для обыкновенной волны, чье общее схематическое изображение приведено в верхнем левом углу иллюстрации. На остальной части рисунка показана сильно увеличенная центральная часть конструкции.

Конструкция Поверлейна для обыкновенной волны

Рассматриваемую плоскость можно назвать условной плоскостью магнитного меридиана. Она содержит вектор магнитного поля и и вектор локального градиента электронной плотности. Точка О является ее центром; наклонная сплошная прямая линия КЯ, помеченная значком вектора И , соответствует сегменту того отрезка, к которому стягиваются поверхности показателя преломления при у ^ 1 (как известно, его ориентация определяется ориентацией магнитного поля); две штриховые линии (АС и БП) соответствуют сечению плоскостью магнитного меридиана поверхности показателя преломления, близкой к у = 1 (форма такой поверхности очень близка к форме прямого цилиндра, ось которого совпадает с КЯ). Две вертикальные прямые АБ и СП представляют собой два варианта лучевых траекторий (по определению в конструкции Поверлейна траектории изображаются прямыми, параллельными вектору градиента электронной концентрации). Для характеристики локального направления градиента электронной плотности введем единичный вектор g = СМе/\СМе\.

Пусть точки А и С - точки траекторий, где мы решили произвести переброску. Тогда точки Б и П -те точки, для которых мы должны определить новые значения компонент волнового вектора. Пусть к - волновой вектор до переброски, а к' -волновой вектор после нее. В конструкции Поверлейна такой волновой вектор всегда соединяет точку траектории с центром О.

Следующие 4 отрезка равны друг другу, и поскольку соответствующие векторы параллельны вектору % , мы вводим общее обозначение для них:

ЛЬ = ЬБ = СР = РБ = т • % .

Поскольку отрезки ОЬ и ОР коллинеарны с вектором Ь = И/|И|, мы можем для вектора ОЬ

(или вектора ОР ) ввести обозначение /Ь.

Существуют следующие векторные

соотношения, общие для случаев 1 и 2 к +1 • Ь = т • % 2т • % + к' = к

где к = (ку, к2) - волновой вектор до отражения; к' = (ку,к'2) - после отражения; Ь = (8та,со8а) -

( \ (ау аV

, ^ Н -а ■ а) - ^адиент

электронной концентрации.

Нетрудно видеть, что они также включают случай траектории, проходящей через центр О: в этом случае I = 0 и автоматически получается условие распространения обратно по той же траектории ( к' = -к ).

(6)

магнитное поле; g = lgv, g

Поскольку векторы, входящие в систему (6), двумерные, она сводится к системе 4 скалярных линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно 4 неизвестных величин: /, т и двух компонент вектора к'. (Компоненты векторов к, g и Ь известны в точках А и С). Такая система имеет однозначное решение.

Таким образом, мы приходим к идее переброски компонент волнового вектора. Поскольку соотношения (6) — векторные, мы их можем расписывать по компонентам и решать в любой координатной системе, в частности в той, в которой записаны и решаются лучевые уравнения. Если нужно найти новые значения углов (например а), их легко можно выразить через компоненты волнового вектора. Преимущество нового подхода заключается в том, что не нужно следить за величинами компонент волнового вектора, достаточно включить универсальное условие переброски при у ^ 1.

Применение к траекторным расчетам

Рассмотрим распространение в плоскости магнитного меридиана (У0Т).

Для компонент волнового вектора решение находится из системы (6). После преобразований получаем

\k'y = ky - • g y

\К = kz - 2m • gz

(7)

где m = ■

kz sin a - ky cos a gz sina- gy cos a

dk'y dky „ 5gy ^ dm -=--2m--2 gy-

ду ду ду dy

^ Лz. - 2m ^ - 2gz ^ '

ду ду ду z ду

(8)

Jy д i dV \ d 2V дх d V ду d V дг Здесь —- = —I — 1 =--+ —-— + -

ду ду ^ dy ) dxdy ду dy ду dydz ду

ôg2 _ _д_( dV_) d2V дх d2V + d^VÊL ду ду ^ dz ) dxdz ду dydz ду dz2 ду '

дк.

дк„

-^sma--cos a

ду ду

дm

ду gz sina- gy cosa

h ■ ^y - sina--cosa

- m •

ду

ду

gz sina-gy cosa

Дифференцируя по у = (в,ф) дисперсионное соотношение к2 = п2, получаем после отражения

, ск 1 дп2 дг 1 дп2 дк к— = -

(10)

или в проекции на оси:

ду 2 дг ду 2 дк ду дк дг 1 дп2 ( ду дг^ ду дУ + ду д2 | ^ ду дт 2 ду удг ду ду ду д2 ду ) В общем виде его можно записать в виде

ду д2

а —+ ь — = с.

ду ду

В этом уравнении присутствуют две неизвестные величины — и —. Таким образом, для пол-

ду ду

ного решения необходимо еще одно уравнение, содержащее производные от пространственных координат по лучевым.

Для этого продифференцируем уравнение (9) по координате г (или у):

-1 ь-дк

^2 2 д п

ду 1 дг

22

2 ду дуд cos ß дz 2 ду И в проекции на оси:

22

д n ду ду дп д у + -

ду2 дz дг ду д^

дх ду

( я2 „2

„2 Я2.Л

д п ду ду дп д у + ■

ду дz дх ду дxдz

+

9y

Сд2п2 ду ду

дп2 д2у ^

ду2 дz дy ду дyдz

Пространственные координаты г = (у, 2) не изменяются.

В случае расширенной системы изменение волнового вектора к приводит к скачку производных от п2 (г,к). Таким образом, изменяются все 8 вели-( 5г'^ (дк Л

чин, входящих в нее: I — I, I-I, где у - луче-

[ду) 1ду)

вые координаты.

Путем дифференцирования (6) по у можно получить значения производных от волнового вектора после отражения:

ду

(.

2 2

д 2 n ду2

дп 2 д 2 у ду дz2

Л

= -h'

дк,.

22 д п

ду

ду дуд cos ß дz

Или

dy dz a^--V b — = cn

А А А

dy dy

Из системы двух уравнений (10) и (11)

(11)

dy dz

находятся величины — и — <

dy dy

с^ a^ с о a

2 ai

дz

ду b1a2 - b2ai

b1 дz

дy

ду а а ду В общем случае трехмерно-неоднородной среды необходимо сначала перейти из системы координат, в которой производятся расчеты к локальной магнитной системе, провести переброску, а затем вернуться назад, к рабочей системе координат.

Переход между различными системами координат сводится к поворотам относительно общего начала координат по известным формулам [11].

Для нахождения коэффициентов преобразования систем координат можно использовать нормированные векторы %гааУ = — и Ь, определенные

О-

в обеих системах.

+

+

2

+

с

= (cos в cos ф, cos в sin ф, sin в) ,

В вертикальной рабочей системе географиче-dV

ских координат — dr

h' = (cos I sin D,cos I cos D,sin I), где I - магнитное наклонение, отсчитываемое от Земли; D - магнитное склонение (направление на магнитный полюс, угол, заключенный между северным направлением истинного и магнитного меридианов). В северном полушарии I<0 (направление вниз), в южном — I>0.

В локальной магнитной системе координат t

dV

X y z :

dr

= (0,0,1) ; h ' = (Q,sina,cosa), где a -

угол между магнитным полем и вертикалью.

Заключение

В настоящей работе предложен метод решения проблемы, связанный с применением метода характеристик в случае расчета траекторий лучей, крутопадающих на анизотропную среду. Используя его, мы можем заменить расчеты в окрестности точки отражения переброской компонент волнового вектора. Данная процедура опирается на физические основы распространения радиоволн и не приводит к потере точности решения.

Литература

1. Гершман Б.Н., Ерухимов Л.М., Яшин Ю.Я. Волновые явления в ионосфере и космической плазме. М., 1984. 392 с.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М., 1988. 216 с.

3. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М., 1980. 304 с.

4. CCIR. Supplement to report 252-2. Genova, 1982. 38 p.

5. Кияновский М.П., Зырянова Л.А. Метод рефракционного интеграла и его применение к расчету радиотрасс // Техника средств связи. Серия СС. М., 1987. Вып. 5. С. 4 — 15.

6. Лукин Д.С., СпиридоновЮ.Г. Применение метода характеристик для решения на ЭВМ задач распространения электромагнитных волн в неоднородных анизотропных средах // Лучевое приближение и вопросы распространения радиоволн. М., 1971. С. 265 — 279.

7. Носиков И.А., Бессараб П.Ф., Клименко М.В., Клименко В.В. Использование метода поперечных смещений для расчета радиотрасс в модельной ионосфере // Physics of Auroral Phenomena : Proc. XXXVIII Annual Seminar. Apatity, 2015. P. 142 — 145.

8. Дэвис К. Радиоволны в ионосфере. М., 1973. 503 с.

9. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М., 1967. 684 с.

10. Вертоградов Г.Г. Комплексные исследования ионосферного распространения декаметровых радиоволн на трассах разной протяженности : дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Ростов н/Д., 2007.

11. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1973. 832 с.

References

1. Gershman B.N., Erukhimov L.M., Yashin Yu.Ya.

Volnovye yavleniya v ionosfere i kosmicheskoi plazme [Wave phenomena in the ionosphere and space plasma]. Moscow, 1984, 392 p.

2. Landau L.D., Lifshits E.M. Mekhanika [Mechanics]. Moscow, 1988, 216 p.

3. Kravtsov Yu.A., Orlov Yu.I. Geometricheskaya optika neodnorodnykh sred [Geometrical optics of inho-mogeneous media]. Moscow, 1980, 304 p.

4. CCIR. Supplement to report 252-2. Genova, 1982, 38 p.

5. Kiyanovskii M.P., Zyryanova L.A. Metod refraktsionnogo integrala i ego primenenie k raschetu radiotrass [Refractive integral method and its application to the calculation of transmission paths]. Tekhnika sredstv svyazi. Seriya SS. Moscow, 1987, no 5, pp. 4-15.

6. Lukin D.S., Spiridonov Yu.G. [Application of the method of characteristics for solving problems on the computer of electromagnetic wave propagation in inho-mogeneous anisotropic media]. Luchevoe priblizhenie i voprosy rasprostraneniya radiovoln [The ray approximation and propagation issues]. Moscow, 1971, pp. 265-279.

7. Nosikov I.A., Bessarab P.F., Klimenko M.V., Klimenko V.V. Ispol'zovanie metoda poperechnykh smeshchenii dlya rascheta radiotrass v model'noi ionosfere [The use of transverse displacements to calculate the transmission paths in the model the ionosphere]. Physics of Auroral Phenomena. Proc. XXXVIII Annual Seminar. Apatity, 2015, pp. 142-145.

8. Devis K. Radiovolny v ionosphere [The radio waves in the ionosphere]. Moscow, 1973, 503 p.

9. Ginzburg V.L. Rasprostranenie elektromagnitnykh voln v plazme [The propagation of electromagnetic waves in plasma]. Moscow, 1967. 684 s.

10. Vertogradov G.G. Kompleksnye issledovaniya ionosfernogo rasprostraneniya dekametrovykh radiovoln na trassakh raznoiprotyazhennosti : dis. ... d-ra fiz.-mat. nauk [Integrated studies of the ionospheric propagation of decameter radio waves on the routes of varying length]. Rostov-on-Don, 2007.

11. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [Handbook of mathematics for scientists and engineers]. Moscow, 1973, 832 p.

Поступила в редакцию

31 марта 2016 г.