CC BY
5
УДК 535.8; 537.9; 539.33 doi:10.21685/2072-3040-2022-1-8
Особенности рекомбинационного излучения в квантовых точках с примесными комплексами (А+ + е) во внешнем электрическом поле. Часть II. Квантово-размерный эффект Штарка в спектрах рекомбинационного излучения квантовых точек с примесным комплексом (А+ + е)
А. В. Левашов1, В. Д. Кревчик2, М. Б. Семенов3, А. В. Разумов4
1'2'3'4Пензенский государственный университет, Пенза, Россия l,2,3,[email protected]
Аннотация. Актуальность и цели. Интерес к оптическим свойствам квантовых точек (КТ) с примесными комплексами (А+ + е) связан с возможностью создания на основе таких структур новых элементов полупроводниковой оптоэлектроники. При этом высокая чувствительность зонной структуры и энергии примесных состояний в КТ к внешнему электрическому полю открывает возможности для управления спектрами рекомбинационного излучения в примесных комплексах. Цель работы заключается в теоретическом исследовании влияния внешнего электрического поля на излучательную рекомбинацию в примесном комплексе (А+ + е) в полупроводниковых КТ. Материалы и методы. Расчет спектральной интенсивности рекомбинационного излучения (СИРИ) в квантовой точке с примесными комплексами (А+ + е) во внешнем электрическом поле выполнен в дипольном приближении. Влияние электрического поля на основное состояние электрона в КТ учитывалось во втором порядке теории возмущений. Спектральные кривые СИРИ, а также зависимости СИРИ от напряженности внешнего электрического поля построены для КТ на основе 1^Ь. Результаты. В дипольном приближении проведен расчет СИРИ с учетом лоренцева уширения энергетических уровней в КТ с примесным комплексом (А+ + е). Расчет основан на использовании адиабатического приближения при описании взаимодействия дырки, локализованной на А+-центре, с электроном, локализованным в основном состоянии КТ. Показано, что значительное изменение СИРИ происходит вследствие уменьшения интеграла перекрытия волновых функций электрона и дырки, локализованной на А+-центре, за счет электронно-дырочной поляризации. Показано, что асимметрия положения минимума адиабатического потенциала в электрическом поле приводит к нетривиальной зависимости СИРИ от координат А+-центра: при приближении примесного центра к границе КТ происходит сдвиг максимума СИРИ в коротковолновую область спектра, а увеличение напряженности электрического поля приводит к значительному падению интенсивности излучения и сдвигу его максимума в длинноволновую область спектра (квантово-размерный эффект Штарка). Выводы. В электрическом поле возможно эффективное управление СИРИ с участием примесных комплексов (А + + е) за счет модификации электронного адиабатического потенциала.
Ключевые слова: квантовая точка, примесный комплекс, метод потенциала нулевого радиуса, адиабатическое приближение, квантово-размерный эффект Штарка, спектральная интенсивность рекомбинационного излучения, адиабатический потенциал электрона
Финансирование: работа выполнена при поддержке гранта Министерства науки и высшего образования Российской Федерации № 0748-2020-0012.
© Левашов А. В., Кревчик В. Д., Семенов М. Б., Разумов А. В., 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
Для цитирования: Левашов А. В., Кревчик В. Д., Семенов М. Б., Разумов А. В. Особенности рекомбинационного излучения в квантовых точках с примесными комплексами (A+ + e) во внешнем электрическом поле. Часть II. Квантово-размерный эффект Штарка в спектрах рекомбинационного излучения квантовых точек с примесным комплексом (A+ + e) // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 1. С. 83-96. doi:10.21685/2072-3040-2022-1-8
The features of recombination radiation in quantum dots with an (A+ + e) impurity complex in an external electric field. Part 2. Quantum size Stark effect in the recombination emission spectra of quantum dots with an (A+ + e) impurity complex
A.V. Levashov1, V.D. Krevchik2, M.B. Semenov3, A.V. Razumov4
i,2,3,4penza state University, Penza, Russia i,2,3,[email protected]
Abstract. Background. Interest in the optical properties of quantum dots (QD) with (A+ + e) impurity complexes is associated with the possibility of creating new elements of semiconductor optoelectronics based on such structures. In this case, the high sensitivity of the band structure and the energy of impurity states in QD to an external electric field opens up possibilities for controlling the spectra of recombination radiation in impurity complexes. The purpose of this research is to study the effect of an external electric field on radiative recombination in the (A+ + e) impurity complex in semiconductor QD. Materials and methods. The calculation of the spectral recombination radiation intensity (SRRI) in a quantum dot with (A+ + e) impurity complexes in an external electric field was performed in the dipole approximation. The influence of the electric field on the ground state of an electron in a QD was taken into account in the second order of the perturbation theory. The spectral curves of the SRRI, as well as the dependences of the SRRI on the strength of the external electric field, were plotted for QD based on InSb. Results. In the dipole approximation, the SRRI was calculated taking into account the Lorentz broadening of energy levels in QD with the (A+ + e) impurity complex. The calculation is based on the use of the adiabatic approximation to describe the interaction of a hole localized at the A+ center with an electron localized in the ground state of the QD. It is shown that a significant change in SRRI occurs due to a decrease in the overlap integral of the wave functions of an electron and a hole localized at the A+ center due to the electron-hole polarization. It is shown that the asymmetry of the adiabatic potential minimum position in an electric field leads to a nontrivial dependence of the SRRI on the coordinates of the A+ center: when the impurity center approaches the QD boundary, the SRRI maximum shifts to the short-wavelength region of the spectrum, and an increase in the electric field strength leads to a significant drop in the radiation intensity and a shift of its maximum to the long-wavelength region of the spectrum (quantum size Stark effect). Conclusions. In an electric field, efficient control of SIRI with the participation of the (A+ + e) impurity complexes is possible due to the modification of the electronic adiabatic potential.
Keywords: quantum dot, impurity complex, zero radius potential method, adiabatic approximation, quantum size Stark effect, spectral recombination radiation intensity, electron adiabatic potential
Acknowledgments: the research was supported by the grant No. 0748-2020-0012 of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation.
For citation: Levashov A.V., Krevchik V.D., Semenov M.B., Razumov A.V. The features of recombination radiation in quantum dots with an (A+ + e) impurity complex in an external electric field. Part 2. Quantum size Stark effect in the recombination emission spectra of quantum dots with an (A+ + e) impurity complex. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy.
Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(1):83-96. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2022-1-8
Введение
Полупроводниковые квантовые точки (КТ), синтезированные в диэлектрической матрице, представляют значительный интерес в качестве новых материалов для разработки приборов оптоэлектроники [1]. Отдельный интерес представляет изучение рекомбинационных процессов, связанных с переходом электрона из основного состояния размерно-квантованной зоны КТ на уровень А+-центра. Как показано в ряде работ (см. например, [6-10]), взаимодействие легкого электрона и тяжелой дырки приводит к образованию «встроенного» адиабатического потенциала, действующего на А+-состояние. Модифицируя параметры адиабатического потенциала, например с помощью внешнего электрического поля, можно добиться эффективного управления электронно-дырочными корреляциями в примесных комплексах (A+ + e) и, как следствие, оптическими свойствами полупроводниковых КТ, что во многом определяет перспективы создания новых оптоэлектронных приборов. Цель данной работы заключается в теоретическом исследовании влияния внешнего электрического поля на излучательную рекомбинацию в примесном комплексе (A+ + e) в полупроводниковых КТ.
Спектральная интенсивность рекомбинационного излучения в сферически-симметричной точке с Л+-центрами при наличии внешнего электрического поля
Рассмотрим процесс излучательного перехода электрона на уровень А+-центра в условиях внешнего электрического поля (направленного по оси z) для изолированной сферически-симметричной КТ. Будем считать для определенности, что внутри объема КТ находится всего лишь один А+-центр, который может располагаться в произвольном месте оси z. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямые переходы, пренебрегая электрон-фононным взаимодействием.
Спектральная интенсивность рекомбинационного излучения (СИРИ), связанного с переходом электрона из размерно-квантованной зоны КТ на уровень А+-центра, определяется выражением [11]:
Ф(ю) =
4ю2 Vee2 Pehe0
c3V m0
i2 8(E -Ef -йю), (1)
где e - заряд электрона; V - объем КТ; Ре^ - матричный элемент оператора импульса на блоховских амплитудах зонных носителей; ю - частота излучаемой электромагнитной волны поляризации eo ; £ - диэлектрическая проницаемость материала КТ.
Энергия начального состояния определяется выражением
Ei = Eg + Enl, соответственно энергия конечного состояния Ef = Й2^2/2 , при этом энергия отсчитывается от основного уровня адиабатического по-
2
n
тенциала электрона, Е^ - ширина запрещенной зоны в объемном полупроводнике и Еп I - энергия электронов в размерно-квантованной зоне с квантовыми числами п и /. В дальнейшем будет рассматриваться процесс рекомбинации, связанный только с переходом электрона из основного состояния КТ (п = 1,/ = 0).
Во втором порядке теории возмущений волновую функцию электрона ¥п 1т(г,ф) в основном состоянии можно представить в виде [12]:
~ цЯ*2 Н\п
¥ п ,0,0 (г, 0 ф) = ф0,0,0 (г, 0 ф) + ^—Щ-^ п,1,0 (Г 0 фХ
п=1 к ( -
(2)
где волновая функция
фп,/,т(г, 0 Ф) = 7/,т(0, Ф)
>/2>/+1/2(^^п, / / Я
+3/2 (Хп, /)
(3)
является решением уравнения Шредингера для сферически-симметричной ямы с бесконечно высокими стенками с энергией Еп / = Й2X% / / (2ту*Я2) ,где
соответственно Хп / - п-й корень функции Бесселя полуцелого порядка / +1/2, к = ть / те; ц = еЕ а^ / Е^ ; Е - напряженность внешнего электрического поля.
Матричный элемент (в безразмерных единицах) в выражении (2) имеет
вид
н1п =
2 Я* Хп,1 (п 81П (X п,1))( -п2))-008 ((п,1)(( -П3 Хпд)
(п2 - Xп21 ) (3008((п,1 )п,1 + 81П ((п,1 )((,1 - 3
. (4)
Волновую функцию дырки, локализованной на А -центре, в сферической системе координат при условии, что примесный центр расположен на оси г, можно записать в виде
, га )= С ехР
г*2 - 2г* 008 0^0 + г02 + (г* - г* )2
2Тп
'е-Чп* (1 -е_2г
>-3/2
X
х ехр
1 (г *2 + 2г*2 - 2 г * г* 008 0+ (га- г*)
2уи
* *ч 2
-2еГ (г* - г*)(г* - г * 008 0) )(1 - th *)
(5)
где г0 = еЕ / т*юп, а нормировочная константа может быть представлена в виде
C =
(я?n )3/21exP
i (z0- 4)2 th (^)
n + 3)----2.
n
N-1
1 - e
-2t
3/2
(6)
Тогда матричный элемент в (1) можно записать как
■ 2/3
M1X = J¥1,0,0 (r(r, za )dr = C^X
x J
(1
- e2t
-x exp
2 Y(e4t -1)R*2
(1 -e"2t)3/2(e2t +1)((e* -1)2z* + 2etz*a) xj(e2t - 1)R*2 ( (e2t -1) ( - za )2 +y(e2t + 1)t ^ 3 + 2E*A+ )
x
+
+ 2i YR*((2e2t +1 + 2e3t + e4t
) + 2( + e3t)п + Y2(e2t -1)2n2 )J
x
( 2iet ((e3t +2)z*+2e2tzJ )n
x
(e4t -1) R
( (
( ( erf
V v
R*(x4)-Z
a
л ( + erf
R*(x+^)+Z
a
j j
erf
V v
R*(x+^K
a
+ erf
R*(x4) + Z
a
x
J j
xexp
_./* ~ 3t * /it *i 2i I z0 + 2e z0 + 2e za ) n
(e4t -1)R*
dt + c^y 2
nx
x 2 J exp
m=0 0
t - 2tE*A +
(2 zaz0- 2 z*2 - zi2)cth (t)+2 z* (z0- za)cosech (t)
x
x( 2 - 2e
4t
(3 + 2m)((e2t + 1)R(*)3/2 Г(1 + m)(z0 -z'a -z*Qsh(t))x
x( sin ((m,1) )Xm,\
3) + 3cos ((m,1 )m,1
-1
x
OO
X
if / * * * \
3 1 (zQsh(t) + za -zq )cosech(2t)
F
v v (
- F
v
+ m, 2 2'
Y
3 3 izgsh(t)+z* -zQ*\cosech(2t) —+m,—, 2 2
-l))m,1
X
я
\1+2m ^
X 3
Xm1
X
J
(7)
где
a
=R*v2we
4t
-1, X = (e2t +1)Rq , ^ = (er-1)zzQ + 2e%. Z=/y(e2t -1)Xn q , F(a,в,x) - вырожденная гипергеометрическая функция; erf (z) - интеграл вероятности; r(z) - гамма-функция.
При расчете второго интеграла в (7) было учтено, что Rq » ah, а также использовалось представление функции Бесселя в виде степенного ряда [13]:
\2m+v
^v(z )= Z
(-1f|f
m=0
! r(m + V +1)
m
(8)
Энергия электрона в основном состоянии, в боровских единицах, во втором порядке теории возмущения равна
* п
e1,Q =
2
RQ
*2
- +
-I2 i>*2 и2 1 R H1n
=1 п
n=1
-X,
(9)
n,1
Сходимость рядов в выражениях (2) и (9) определяется малостью безразмерного параметра д, по которому ведется разложение в соответствующих рядах теории возмущений. Поскольку этот параметр зависит от напряженности электрического поля, то следует указать его максимальное значение при используемых в расчетах значениях электрического поля. Так, при ^ = 150кВ/м; д = 0,01, соответственно значения матричных элементов
определяемых формулой (4), для первых трех значений п равны Иц = 0,31;
И\2 = 0,02; И13 = 0,007. Таким образом, основной вклад в рядах теории
возмущений в формулах (2) и (9) вносят первые три слагаемых.
Учет мезоскопического уширения пика в спектре рекомбинационного излучения требует замены 5 -функции в (1) на лоренцевский контур
Ф(ю) =
4ro2Vee2 PeheQ
c32nV mQ
2
X
X-
|Mq| 2Г
Eg +
~ Ehq2R*2Hi n2X2 . + ^—~-~----- ЙЮ
(10)
Й П
2mh«0 n=1 п2 - X«,1
2 mh
+ Г2
или в боровских единицах: Ф( X) = Фо
2 Г*
(
Eg +
v
kn2 1
п*2 + k ^ _2 X2
«0 kn=1 п - Xn,1
2 п*2 т_т2
1n -n2 -X
2
(11)
+ Г
*2
где Ф0 = X т*а* / (лЙК))Рейе0 / т0| |2
n
= >/ Ы / Eh
Г* = Г/Eh
X = Йю / Eh,
а* = lei
/ (( Й с)
постоянная тонкой структуры с учетом ста-
тическом относительном диэлектрическом проницаемости.
На рис. 1 показана энергетическая схема процесса излучательной рекомбинации, связанной с переходом электрона из размерно-квантованной зоны КТ на уровень А+-центра. Сравнение рис. 1,а и 1,б показывает модификацию адиабатического потенциала при наличии внешнего электрического поля, что, в частности, проявляется в смещении минимума потенциала противоположно направлению вектора напряженности электрического поля на величину г = zo.
На рис. 2-5 приведены результаты численного анализа формулы (11). При этом расчет проводился для КТ на основе InSb при |Ег | = 10 мэВ и Д = 45 нм , полуширина пиков рекомбинационного излучения принималась равной Г = 3мэВ . На рис. 2 можно видеть динамику СИРИ при изменении положения А+-центра в КТ при наличии внешнего электрического поля. Асимметрия положения минимума адиабатического потенциала в электрическом поле приводит к нетривиальной зависимости СИРИ от координат А+-центра. Так, переход га = го ^ га = 0 ^ га = -го приводит к уменьшению интеграла перекрытия волновых функций электрона и дырки локализованной на А°-центре и, как следствие, к падению максимума СИРИ. В то же время положение максимума СИРИ смещается в коротковолновую область спектра, что связано с влиянием границ КТ.
Следует отметить, что абсолютное значение максимума СИРИ определятся максимальным значением интеграла перекрытия, входящего в (1) и соответствует положению примесного центра в середине КТ, что видно из рис. 3.
На рис. 4 представлены кривые СИРИ при фиксированном положении примесного центра для различных значений напряженности электрического поля. Из сравнения рис. 4,а-в видно, что рост напряженности электрического поля приводит к сдвигу максимума СИРИ в длинноволновую область спектра и уменьшению его абсолютного значения (квантово-размерный эффект Штарка).
Рис. 1. Энергетические схемы процесса излучательной рекомбинации, связанной с переходом электрона из размерно-квантованной зоны КТ на уровень ^4+-центра: а - в отсутствие внешнего электрического поля; б - при наличии внешнего электрического поля
230.70 2.10.75 230Л0 2J0.S5 230.90 230.95 231.00 hj..inB
a)
230.50
230,55
230,60
6)
230,65 230,70
h.с, лай
231.70
211.75
2- us»
2.4JU
231 .^C
231.95
в)
Рис. 2. Спектральная зависимость интенсивности рекомбинационного излучения при фиксированном значении напряженности электрического поля Е = 30 кВ/м для трех фиксированных значений координат примесного центра: а - г = 0; б - г = 20; в - г = —
-10 0 10
г/я„
Рис. 3. Зависимость СИРИ при ^ = 30 кВ/м от энергии фотона ЙЮ и координаты А+-центра г*а
б)
Рис. 4. Спектральная интенсивность рекомбинационного излучения при фиксированном значении координаты примесного центра г = 0 для разных значений напряженности внешнего электрического поля
в)
Рис. 4. Окончание
о
Рис. 5. Зависимость спектральной интенсивности рекомбинационного излучения (в логарифмическом масштабе) от энергии фотона Йю и напряженности Е внешнего электрического поля при фиксированном значении координаты примесного центра г = 0
На рис. 5 представлена зависимость СИРИ от напряженности электрического поля, когда Л+-центр расположен в середине КТ. Из рис. 5 видно, что при изменении напряженности электрического поля от 0 до 150 кВ/м интенсивность рекомбинационного излучения уменьшается на три порядка и происходит смещение максимума в длинноволновую область спектра примерно на 3 мэВ. Сдвиг по энергии фотона связан с уменьшением расстояния между энергетическими уровнями размерного квантования электронов и дырок на величину
е2 Е2 / (2т*юП) + £ д2Я2И2п / ((,1 — п2),
п=1
где первое слагаемое соответствует обычному квадратичному эффекту Штар-ка, а второе учитывает сдвиг энергетических уровней электронов (во втором порядке теории возмущения) под действием внешнего электрического поля. Значительное изменение СИРИ происходит вследствие уменьшения интеграла перекрытия волновых функций электрона зоны проводимости и дырки локализованной на А+-центре за счет электронно-дырочной поляризации.
Заключение
В дипольном приближении проведен расчет СИРИ с учетом лоренцева уширения энергетических уровней в КТ с примесным комплексом (А+ + e). Расчет основан на использовании адиабатического приближения при описании взаимодействия дырки, локализованной на А+-центре, с электроном, локализованным в основном состоянии КТ. Показано, что значительное изменение СИРИ происходит вследствие уменьшения интеграла перекрытия волновых функций электрона и дырки, локализованной на А+-центре, за счет электронно-дырочной поляризации. Показано, что асимметрия положения минимума адиабатического потенциала в электрическом поле приводит к нетривиальной зависимости СИРИ от координат А+-центра: при приближении примесного центра к границе КТ происходит сдвиг максимума СИРИ в коротковолновую область спектра, а увеличение напряженности электрического поля приводит к значительному падению интенсивности излучения и сдвигу его максимума в длинноволновую область спектра (квантово-размер-ный эффект Штарка). В электрическом поле возможно эффективное управление СИРИ с участием примесных комплексов (А+ + e) за счет модификации электронного адиабатического потенциала.
Список литературы
1. Yumoto J., Fukushima S., Kubodera K. Observation of optical bistability in CdSxSel-1-doped glasses with 25-psec switching time // Opt. Lett. 1987. Vol. 12. P. 832-837.
2. Эфрос Ал. Л., Эфрос А. Л. Межзонное поглощение света в полупроводниковом шаре // Физика и техника полупроводников. 1982. Т. 16, № 7. С. 1209-1214.
3. Екимов А. И., Онущенко А. А. Квантовый размерный эффект в оптических спектрах полупроводниковых микрокристаллов // Физика и техника полупроводников. 1982. Т. 16. C. 1215-1219.
4. Sauvage S., Boucaud P., Julien F. H., Gerard J-M., Thierry-Mieg V. Appl. Coherent propagation of femtosecond optical pulses in amonoclinic ZnP2 single crystal // Phys. Lett. 1997. Vol. 71. P. 2785-2788.
5. Sauvage S., Boucaud P., Julien F. H., Gerard J-M., Marin J-Y.J Appl. Infrared spectroscopy of intraband trasitions ins elf-organized InAs/GaAs quantum dots // Phys. Lett. 1997. Vol. 82. P. 3396-3401.
6. Екимов А. И., Онущенко А. А., Эфрос Ал. Л. Квантование энергетического спектра дырок в адиабатическом потенциале электрона // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1986. Т. 43, № 6. С. 292-294.
7. Кревчик В. Д., Левашов А. В., Калинин Е. Н. Энергетический спектр связанного на А+-центре экситона в квантовой точке в адиабатическом приближении // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. 2004. № 5. С. 185-187.
8. Кревчик В. Д., Левашов А. В. Энергетический спектр комплекса А+ + e в квантовой точке в адиабатическом приближении // Физика твердого тела. 2006. Т. 48, № 3. С. 548-550.
9. Кревчик В. Д., Левашов А. В. Энергетический спектр и оптические свойства примесного комплекса A+ + e в структурах с квантовыми точками // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. 2QQ7. № 2. С. 153164.
1Q. Кревчик В. Д., Разумов А. В., Будянский П. С. Влияние магнитного поля на ре-комбинационное излучение, связанное с А+-центрами в квантовых точках // Известия вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2Q15. № 3. С. 125-143.
11. Zhou Hai-Yang, Gu Shi-Wei, Shi Yao-Ming. Electronic and Shallow Impurity States in Semiconductor Heterostructures Under an Applied Electric Field // Communications in Theoretical Physics. 2QQ5. Vol. 44, № 2. P. 375-381.
12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М. : Физматлит, 2Q16. Т. 3. 8QQ с.
13. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М. : Наука, 1965-1967. Т. 1, 2.
References
1. Yumoto J., Fukushima S., Kubodera K. Observation of optical bistability in CdSxSe1-1-doped glasses with 25-psec switching time. Opt. Lett. 1987;12:832-837.
2. Efros Al.L., Efros A.L. Interband absorption of light in a semiconductor ball. Fizika i tekhnika poluprovodnikov = Physics and technology of semiconductors. 1982;16(7):1209-1214. (In Russ.)
3. Ekimov A.I., Onushchenko A.A. Quantum size effect in optical spectra of semiconductor microcrystals. Fizika i tekhnika poluprovodnikov = Physics and technology of semiconductors. 1982;16:1215-1219. (In Russ.)
4. Sauvage S., Boucaud P., Julien F.H., Gerard J-M., Thierry-Mieg V. Appl. Coherent propagation of femtosecond optical pulses in amonoclinic ZnP2 single crystal. Phys. Lett. 1997;71:2785-2788.
5. Sauvage S., Boucaud P., Julien F.H., Gerard J-M., Marin J-Y.J Appl. Infrared spectroscopy of intraband trasitions ins elf-organized InAs/GaAs quantum dots. Phys. Lett. 1997;82:3396-3401.
6. Ekimov A.I., Onushchenko A.A., Efros Al.L. Quantization of the energy spectrum of holes in the adiabatic potential of an electron. Pis'ma v Zhurnal eksperimental'noy i te-oreticheskoy fiziki = Letters to the Journal of experimental and theoretical physics. 1986;43(6):292-294. (In Russ.)
7. Krevchik V.D., Levashov A.V., Kalinin E.N. Energy spectrum of an exciton bound at the A+ center in a quantum dot in the adiabatic approximation. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Estestvennye nauki = University proceedings. Volga region. Natural sciences. 2004;(5):185-187. (In Russ.)
8. Krevchik V.D., Levashov A.V. Energy spectrum of the A+ + e complex in a quantum dot in the adiabatic approximation. Fizika tverdogo tela = Solid state physics. 2006;48(3):548-550. (In Russ.)
9. Krevchik V.D., Levashov A.V. Energy Spectrum and optical properties of the A+ + e impurity complex in structures with quantum dots. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Estestvennye nauki = University proceedings. Volga region. Natural sciences. 2007;(2):153-164. (In Russ.)
1Q. Krevchik V.D., Razumov A.V., Budyanskiy P.S. Effect of a magnetic field on recombination radiation associated with A+ centers in quantum dots. Izvestiya vuzov. Povolzh-skiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2015;(3):125-143. (In Russ.)
11. Zhou Hai-Yang, Gu Shi-Wei, Shi Yao-Ming. Electronic and Shallow Impurity States in Semiconductor Heterostructures Under an Applied Electric Field. Communications in Theoretical Physics. 2005;44(2):375-381.
12. Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantovaya mekhanika = Quantum mechanics. Moscow: Fizmatlit, 2016;3:800. (In Russ.)
13. Beytmen G., Erdeyi A. Vysshie transtsendentnye funktsii = Higher transcendental functions. Moscow: Nauka, 1965-1967;1, 2. (In Russ.)
Информация об авторах / Information about the authors
Александр Владимирович Левашов кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Aleksandr V. Levashov
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor
of the sub-department of physics,
Penza State University (40 Krasnaya
street, Penza, Russia)
Владимир Дмитриевич Кревчик
доктор физико-математических наук, профессор, декан факультета информационных технологий и электроники, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Vladimir D. Krevchik Doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean of the faculty of information technology and electronics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Михаил Борисович Семенов доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Mikhail B. Semenov Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the sub-department of physics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Алексей Викторович Разумов кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры общей физики и методики обучения физике, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Aleksey V. Razumov Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, associate professor of the sub-department of general physics and physics teaching methods, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 20.01.2022
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 10.02.2022 Принята к публикации / Accepted 28.02.2022
