CC BY
18
УДК 535.8; 537.9; 539.33 doi:10.21685/2072-3040-2021-4-12
Особенности температурного гашения рекомбинационного излучения в полупроводниковых квантовых точках с примесными комплексами
В. Д. Кревчик1, А. В. Разумов2, М. Б. Семенов3, Е. А. Печерская4, И. М. Мойко5, П. Е. Голубков6
1,2,3,4,5,6Пензенский государственный университет, Пенза, Россия l,2,з,5physics@pnzgu.ru, 4реа1@^1ги, 6golpavpnz@yandex.ru
Аннотация. Актуальность и цели. Полупроводниковые квантовые точки, благодаря своим уникальным оптическим свойствам, являются перспективным материалом для создания приборов оптоэлектроники. В то же время параметры приборов существенным образом меняются в широком диапазоне температур, что требует знания температурной зависимости как зонной структуры, так и энергии примесных уровней в квантовых точках. При этом электрон-фононное взаимодействие выступает в качестве важнейшего механизма температурного сдвига энергетических уровней. Цель работы заключается в теоретическом исследовании влияния электрон-фононного взаимодействия на температурную зависимость излучательной рекомбинации в примесном комплексе (А+ + е) в полупроводниковой квазинульмерной структуре. Материалы и методы. Теоретическое рассмотрение влияния температуры на энергетические уровни в полупроводниковой квантовой точке проводилось статистическим методом в предположении, что основной вклад в температурную зависимость дает электрон-фононное взаимодействие. Дисперсионное уравнение, определяющее энергию связи дырки в примесном комплексе (А+ + е) в сферически симметричной квантовой точке, получено в рамках адиабатического приближения в модели потенциала нулевого радиуса. Расчет спектральной интенсивности рекомбинационного излучения в квазинульмерной структуре с примесными комплексами (А+ + е) выполнен в дипольном приближении с учетом дисперсии радиуса квантовых точек. Кривые температурной зависимости построены для случая квантовых точек на основе 1^Ь. Результаты. Рассчитана температурная зависимость энергии связи в комплексе
(А+ + е) для различных значений радиуса квантовой точки. Показано, что с ростом температуры энергия связи дырки уменьшается, что связано с температурным «рас-
плыванием» волновой функции квазистационарного А+ -состояния в условиях элек-трон-фононного и дырочно-фононного взаимодействия. Найдено, что с уменьшением
радиуса квантовой точки энергия связи А+ -состояния увеличивается за счет роста энергии основного состояния адиабатического потенциала электрона. Рассчитана зависимость спектральной интенсивности рекомбинационного излучения от энергии перехода для различных значений температуры. Найдено, что с ростом температуры происходит сдвиг пороговой энергии перехода в коротковолновую область спектра и имеет место температурное гашение рекомбинационного излучения. Это связано с уменьшением интеграла перекрытия волновых функций начального и конечного состояний электрона из-за роста энергии перехода. Выводы. Влияние электрон-фононного взаимодействия на рекомбинационные процессы в примесном комплексе (А+ + е) в сфе-
© Кревчик В. Д., Разумов А. В., Семенов М. Б., Печерская Е. А., Мойко И. М., Голубков П. Е., 2021. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
рически симметричной квантовой точке проявляется в температурном гашении спектральной интенсивности рекомбинационного излучения. Эффект выхода на «плато», по-видимому, является общим для разных механизмов фотолюминесценции. Ключевые слова: квантовая точка, примесный комплекс, метод потенциала нулевого радиуса, адиабатическое приближение, электрон-фононное взаимодействие, интенсивность рекомбинационного излучения
Финансирование: работа выполнена при поддержке гранта Министерства науки и высшего образования Российской Федерации № 0748-2020-0012. Для цитирования: Кревчик В. Д., Разумов А. В., Семенов М. Б., Печерская Е. А., Мойко И. М., Голубков П. Е. Особенности температурного гашения рекомбинационного излучения в полупроводниковых квантовых точках с примесными комплексами // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 4. С. 155-177. doi:10.21685/2072-3040-2021-4-12
Features of recombination radiation temperature reduction in semiconductor quantum dots with extrinsic complexes
V.D. Krevchik1, A.V. Razumov2, M.B. Semenov3, E.A. Pecherskaya4, I.M. Moyko5, P.E. Golubkov6
i,2,3,4,5,6penza state University, Penza, Russia u,3,5physics@pnzgu.m, 4pea1@list.ru, 6golpavpnz@yandex.ru
Abstract. Background. Semiconductor quantum dots, due to their unique optical properties, are a promising material for creating optoelectronic devices. At the same time, the devices' parameters change significantly over a wide temperature range, which requires knowledge of the temperature dependence of both the band structure and the energy of impurity levels in quantum dots. In this case, the electron-phonon interaction acts as the most important mechanism for the temperature shift of energy levels. The purpose of this work is to theoretically study the effect of electron-phonon interaction on the temperature dependence of
radiative recombination in an extrinsic complex (A+ + e) in a semiconductor quasi-zero-dimensional structure. Materials and methods. The theoretical consideration of the temperature effect on the energy levels in a semiconductor quantum dot was carried out by a statistical method under the assumption that the main contribution to the temperature dependence comes from the electron-phonon interaction. The dispersion equation, which determines the binding energy of a hole in an extrinsic complex (A+ + e) in a spherically symmetric quantum dot, was obtained in the framework of the adiabatic approximation in the model of a zero-radius potential. The calculation of the spectral intensity of recombination radiation in a quasi-zero-dimensional structure with extrinsic complex (A+ + e) was performed in the dipole approximation taking into account the dispersion of the radius of quantum dots. The temperature dependence curves are plotted for the case of InSb-based quantum dots. Results. The temperature dependence of the binding energy in the complex
(A+ + e) is calculated for various values of the quantum dot radius. It is shown that, with increasing temperature, the hole binding energy decreases, which is associated with the
temperature "spreading" of the wave function of the quasistationary A+ -state under conditions of electron-phonon and hole-phonon interactions. It was found that with a decrease in
the radius of a quantum dot, the binding energy of the A+ -state increases due to an increase in the energy of the ground state of the adiabatic potential of an electron. The dependence of the spectral intensity of the recombination radiation on the transition energy is calculated for various values of temperature. It was found that with increasing temperature,
the threshold transition energy shifts to the short-wavelength region of the spectrum, and temperature quenching of the recombination radiation takes placeThis is due to a decrease in the overlap integral of the wave functions of the initial and final states of an electron due to an increase in the transition energy. Conclusions. The effect of electron-phonon interaction on recombination processes in extrinsic complexes (A+ + e) in a spherically symmetric quantum dot manifests itself in temperature reduction of the spectral intensity of the recombination radiation. The effect of reaching a "plateau" appears to be common to different photoluminescence mechanisms.
Keywords: quantum dot, extrinsic complex, zero-radius potential method, adiabatic approximation, electron-phonon interaction, intensity of recombination radiation
Acknowledgments: the work was supported within the grant No. 0748-2020-0012 of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation.
For citation: Krevchik V.D., Razumov A.V., Semenov M.B., Pecherskaya E.A., Moyko I.M., Golubkov P.E. Features of recombination radiation temperature reduction in semiconductor quantum dots with extrinsic complexes. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;(4):155-177. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2021-4-12
Введение
Как правило, температурная зависимость фотолюминесценции в квантовых точках определяется конкурирующими процессами, связанными с радиационным и безызлучательным механизмами релаксации носителей заряда. Так, например, в работе [1] экспериментально исследовалась рекомбинация носителей заряда в квантовых точках (КТ) на основе Ge, выращенных на подложках Si и SiO2. Наблюдавшиеся низкие энергии активации температурного гашения линий фотолюминесценции (ФЛ) авторы работы объясняют тем, что при повышении температуры дырки с уровней размерного квантования переходят на уровни дефекта, локализованного в окрестности КТ. В этом случае разность энергии активации температурного гашения ФЛ и энергии локализации дырок на уровнях размерного квантования равна энергии залегания дефекта. Таким образом, при повышении температуры возникает недостаток дырок в КТ, и рост ФЛ оказывается невозможным. В работе [2] показано, что характер температурного затухания интенсивности люминесценции самоорганизованных квантовых точек в квантовых ямах, образованных слоями CdTe в ZnTe, зависит от частоты возбуждающего света, а при надбарьер-ном возбуждении сильно зависит от плотности оптического возбуждения. Обнаружено, что увеличение интенсивности возбуждения приводит к насыщению термического тушения люминесценции в области низких температур. Сделан вывод, что такое поведение отражает насыщение центров безызлуча-тельной рекомбинации фотовозбужденными носителями.
Для понимания экстремального вида температурных зависимостей ФЛ может оказаться полезной модель экситонной люминесценции полупроводниковых КТ [3, 4]. Авторы [3] с использованием трехуровневой энергетической схемы получили согласующееся с экспериментом уравнение, описывающее температурную зависимость интенсивности ФЛ в полупроводниковых КТ. Экспериментально наблюдаемый эффект температурного разгорания фотолюминесценции кластеров nc-Si в пленках S1O2 связан с увеличением плотности триплетных возбуждений, выступающих в качестве излучательных
состояний [3]. В работе [4] рассмотрены процессы возбуждения-релаксации размерно-ограниченных экситонов в полупроводниковых КТ при непрямом высокоэнергетическом возбуждении. Для описания температурного поведения ФЛ КТ в диэлектрической матрице SiO2 использована модель, учитывающая процесс заселения триплетных состояний КТ при переносе возбуждения подвижными экситонами матрицы. Получены аналитические выражения, учитывающие многостадийные схемы релаксационных переходов. Авторы [4] делают вывод о том, что сложный характер температурных зависимостей при непрямом возбуждении ФЛ может быть связан с многоэтапным процессом передачи энергии с участием экситонных состояний матрицы и КТ. Таким образом, многообразие возможных механизмов возбуждения ФЛ в КТ требует детального анализа в каждом конкретном случае с учетом реализации различных схем переноса поглощаемой энергии и типа электронных переходов.
Цель настоящей работы заключается в теоретическом исследовании влияния электрон-фононного взаимодействия на энергию связи дырки в примесном комплексе (A+ + e ) в сферически симметричной КТ, а также на температурную зависимость спектральной интенсивности рекомбинационного излучения (СИРИ) квазинульмерной структуры с примесными комплексами
(A+ + e ).
Температурная зависимость энергетических уровней в полупроводниковой квантовой точке
Как известно [5-8], с ростом температуры в полупроводниковых материалах наблюдается уменьшение ширины запрещенной зоны Eg (Т). Исключение составляют некоторые узкозонные полупроводники на основе халько-генидов свинца, где с ростом температуры ширина запрещенной зоны увеличивается [5].
В случае полупроводниковой КТ роль, аналогичную ширине запрещенной зоны, играет расстояние между уровнями основного состояния в размерно-квантованных зонах. При этом для большинства полупроводниковых материалов наиболее существенный вклад в температурную динамику указанных энергетических уровней вносит электрон-фононное взаимодействие [8, 9]. Теоретическое рассмотрение влияния температуры на энергетические уровни в полупроводниковой КТ можно провести статистическим методом (см. например [8]) в предположении, что основной вклад в температурную зависимость вносит электрон-фононное взаимодействие.
Вероятность того, что электрон находится в состоянии с энегией Еп , задается функцией Ферми
1
1 + ехр
кТ
(1)
где Ер - энергия Ферми.
Как известно, в квантовой статистике величина Еп имеет смысл свободной энергии и определяется квантовым каноническим распределением Гиббса
w(E ) = exp|Enk-E
(2)
где w (E) - вероятность заданного дискретного значения энергии E .
В нашем случае En - это энергия электрона, усредненная по колебательным состояниям кристаллической решетки и определяемая как
Н- § ]=2>Р (-f^,
(3)
здесь Eni - энергия электрона, когда он находится в состоянии п, а кристаллическая решетка в состоянии /. Эта энергия складывается из электронного слагаемого Een, энергии фонона Ep и энергии электрон-фононного взаимодействия Е
ep •
E ■ = E + E + E
т en p ep ■
(4)
Если q - волновой вектор фонона, ю/а (q), ®га (q) - частоты продольных ^А) и поперечных (ТА) акустических фононов, а Йю/а ^), Йю^а (q) -энергии двухчастичного электрон-фононного взаимодействия, то для Ер и
Eep можно записать в виде П a
Ep + Eep = { Й[®LA (q) + 2®TA (q) + ®eLA (q) + 2®eTA (q)] —я/ a
Ni +-
', (5)
здесь а - постоянная решетки; N = 0,1,2,... — фононные числа заполнения.
Для интегрирования в (5) необходимо знание соответствующих законов дисперсии. Для трех ветвей акустических фононов (продольной и двух поперечных) в приближении длинных волн справедлив линейный закон дисперсии:
® p (q )=vjq,
(6)
где V^ — скорость звука для ]-й ветви фононов.
Энергия электрон-фононного взаимодействия определяется выражением [10]:
n®ep (q)=—*
kT
2pV
■G.
(7)
где Н - деформационный потенциал; р - плотность материала КТ; О - интеграл перекрытия.
Тогда, выполняя в (5) интегрирование, получим
exp
n
kT
exp
kT
Z exp
f
i=0
a
i
JkT
1 2 —+—
vLA vTA
Ni +-
(8)
здесь у^а и УТЛ - скорости продольных и поперечных фононов и введено обозначение
О =
лЙEG
(9)
где а - постоянная кристаллическои решетки.
Проводя суммирование в (8) для температурной зависимости «-го энергетического уровня, получим
Еп = Ееп + кТ 1п
(
4ик
О
уы4кТ
\ ( ик
2О
V
УТЛ
4кТ
(10)
Температурная зависимость энергии связи дырок в комплексах (Л+ + е ) в полупроводниковых КТ
Рассмотрим далее задачу о связанных состояниях дырки в примесном комплексе (Л+ + е) в полупроводниковой сферически симметричной КТ. В качестве модели удерживающего потенциала КТ используется потенциал бесконечно глубокой сферически симметричной потенциальной ямы:
и (г ) =
[0, если г < % если г > Яо,
(11)
где Яо - радиус КТ.
Взаимодействие электрона, находящегося в основном состоянии в КТ
с дыркой, локализованной на Л0 -центре, будем рассматривать в рамках адиабатического приближения [11]. В этом случае электронный потенциал V« I т (г), действующий на дырку, можно считать усредненным по движению электрона [11]:
Vпlm (г )
„2 Я |ш 4,2 1 п1т
ХГе )
4пе0е
dre
г - г
(12)
где е - заряд электрона; е - диэлектрическая проницаемость материала КТ; £0 - электрическая постоянная; I = 0, ± 1, ± 2,... - магнитное квантовое число; I = 0,1, 2,... - орбитальное квантовое число; ^п+т (ге) - волновая функция электрона в КТ, определяемая выражением
^ 3 (Кп1ге)
^п1т (ге )= ¥1т (^е, Фе )
I+-2
л/2П^л/Т/+3 (кп1Я0)
2
(13)
здесь Кп+ определяется выражением
Knl -,
Xn,l kT , +-^ ln
r>2 г? r>2 R EhR0
4sh
Q
vLA<
sh
2Q
л/kT J 1 vTA4kT
(14)
Рассмотрим случай, соответствующий ^-состоянию электрона, при этом I = 1, т = 0, тогда выражение (12) можно представить в виде
2 п 2п
^1,0( гк ) =-7--Г sin М 0е Г d Фе Х
4пе0е •> •>
0
о
х
( 2 2 ^
jn,1,0 ( Л, Фе )| re2 dre + -j0 n,1,0 ( Л, Фе )| drt
0 <Jrh2 + re2 -2rhre cos°e rh
е гк
или, учитывая явное выражение для волновой функции:
2
Vn,1,0 (rh ) --
3e
-J sin 0e х
32rcVR2J2 (Kn1R0))
(15)
2n
х cos2 0ed 0e
J d фе
rh
J2 (Kn1re )re dre R J5, (Knlre )re dre
e R
■+ J
0 V rh2 + re2 - 2rhre cos °e г* ^Ч? + re2 - 2rhre cos
. (16)
После интегрирования по угловым переменным фе, 0е и по радиальной координате электрона ге получим
е2
уп\<0(гн) = -
1 Ъ * С 1 Л / * *
27 л^еЯ*6К*5 г* J| ((Г
2
3Rq4 + 6K*2R rh2 + 9г* +
+6Kn2Vrh4 - 4Kn4R04rh4 - 9rh4 cos(2Kn1^0) +12^R*2rh4 cos(nR) --3R04 cos (2 ЗД) + 4 K*1 R*V (Ci (R) - Ci (2 K^)) -
( + 3R03 -K*2R^V^КЛ sin(1Я0
-4 <4
/ * л
IR* J*
I rh)
(17)
где
г* = гк/ак Я = ^0/ак, Кп =
С/ (х)— интегральный косинус.
X2,i kT , +-гт ln
*2 *2 R0 EhR
4sh
Q
vZA*
sh
2Q
yfkT ) 1 vTA4kT
2
В рассматриваемом случае р-состояния с т = 0 минимум потенциальной энергии смещен относительно центра КТ. Положение минимума г\
определяется из решения трансцендентного уравнения вида
¿К,1,0(гк )
dr
= 0.
(18)
h
Раскладывая выражение (17) в ряд Тейлора вблизи г\ тщ и ограничиваясь квадратичным по радиальной координате дырки г\ слагаемым, получим
„2
Vn,1,0( rh ) =
7 3 *6 *5 *6 2 - -2 п e0eR0 Kn1 rh min J5/2 (Kn1R
X
X
*2 / *2 *2 *2 / *2 *2 *2 *2 *2 \ rhmin (2Kn1 R rhmin (3R0 + 3rhmin - 2Kn1 R rhmin ) +
+4K *4 R*4r *4
+4Kn1 R0 rh min
Ci(2K*1R*)-Ci(2K^r*
■In
*
V rh min J J
' 2Kn1rhminR X
(*2 *3 *2 / * * \ *3 / * * \ *3 / * * \ \
Knl R0 rh min sin (2Kn1rhmin )-9rhmin sin (2Kn1R0 )-3R0 sin (2Kn1rhmin )) +
(* * \ *4 * / *2 *2 *4 *4 / *2 *2 \
r* - rh min )2R0 rh min (-6 - ^n^hmin + 2Knl rhmin + 6 (1 - Kn2 rhmin )X
(* * \ * * / *2 *2 \ / * * \ \ / * * \2 2Kn1rh min ) + Kn1rh min (( rh min - 12)sin (2Kn1rh min ))-(rh - rh min ) X
x2R0*4 (-15 - 9Kn2 r*mm+Kn4r/*mm+(15 - 21Kn2 r*min+k*4 hL )x
(* * \ / * * *з *3 \ / * *
2Kn1rhmin ) + (30Kn1rhmin -7Knlr/°min )sin(2Kn1rhm
здесь rh min ~ rh min/ah
После преобразований выражение (19) можно представить как
О / \ 2
,2 mh®n (rh -rT
(19)
Vn,1,0(rh) =--* ßn
2
(20)
где величины ßn, ron и r* определяются следующим образом:
ßn =
1
7 3 *5 *5 *6 2 1 * *
2 п R0 Kn1 rhmin J5/2 ((n1R0
X
(*2 / *2 *2 *2 / *2 *2 *2 *2 *2 \ rhmin (2Kn1 R0 rhmin (3R0 + 3rhmin - 2Kn1 R0 rhmin ) +
+3R*4 + 9rln + 3r/*mmcos(k^R)(R*2 -3)-3R*4cos(К^г*min ) +
+4K*4 n*4 *4 +4Kn1 R rh min
i* * \ / * * 2ЗД))-Ci (2^
ln
R*
' 2Kn1rhmin R0 x
V rh min J J
(*2 *3 / * * \ *3 / * * \ *3 / * * \ \
K* R0 rhminsin (2Kn1rhmin )- 9rhmin sin (2Kn1R )- 3R0 sin (2Kn1rhmin )) +
*4 *2 *2 *2 *4 *4 *2 *2
+2R0 rh min ( -6 - 6Kn1 rh min + 2Kn1 rh min + 6 (1 - Kn1 rh min
)cos (2 (hn
+
** / *2 *2 \ • I * *
+Kn1rh min ((1 rh min — 12)sln (2Kn1rh m
X
*2 *2 *4 *4
15 + 9Kn1 rh min — Kn1 rh min
- cos (2Kn1rh mm )x(15 - 21K2 rhnmn + Kl rhmn )-
30Kn1rhmin - 7Kn1rhmm )sin (2Kn1rhn
-1
(21)
ЙЮп =
,-2 2 Й e
25 mhn3£0£R) Kn1 r*^J5/2 ((n1R0 )
x
(*2 *2 *4 *4 / * * \ / *2 *2 *4 *4 ^
15 + 9K* ryhmin - Knl rh min - cos ( 2Kn1rh min ) (15 - 21K* rh min + Knl r* min (
(* * *3 *3 \ / * *
30Kn1rhmin - 7Kn1 rhmin )sin (2Kn1rh m
12
(22)
и
*
r* = rh min
T 'h min 2
(*2 *2 *4 *4 / *2 *2 \
-6 - 6 Kn1 rh min + 2 Kn1 rh mm + 6 (1 - Kn1 rh mm ) x
x
)s(2Kn1r/*min ) + Kn1rhmin ((hrin - 12)sin(2Kn1r/*min
*2 *2 *4 *4 *2 *2 *4 *4
15 - 9Kn1 rh min + Kn1 rh min + (15 - 21Kn1 rh min + Kn1 rh min ) x
* * *3 *3 \ / * *
x cos ( 2Kn1rhmin ) + ( 30Kn1rhmin - 7Kn^rhmm )sin (2Kn1rhm
-1
(23)
Уровни энергии осциллятора (20) с учетом (10) даются в виде
En (T) = + йюп Ini +n2 +n3 + - 1 +
n1, n2, ' e0eR0 n V 1 2 3 2 J
+kT ln
f
4sh
a
\ f 2a >
sh
vLA1
J V vTAjkT
(24)
а соответствующие одночастичные волновые функции запишутся как
где Сп =
(х, г ) = СпехР
( 2 2 2 ^ х + у + г
2а1
{ ( ( „ ^
я,
п1
V ап ;
я
п2
у
V ап ;
я
п3
V ап ;
, (25)
^п1+п2+п3 I I I_3/2 3
2 п^^^'л ап
-1/2
= ^Й / (тИ®п ) ; яп (х) -
полино-
мы Эрмита; п1, п2 , п3 - квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням гармонического осциллятора.
Далее, используя процедуру метода потенциала нулевого радиуса (см. например [12]), получим уравнение, определяющее зависимость энергии
дырки в комплексе (Л+ + е) от температуры Т и параметров КТ.
Короткодействующий потенциал примеси моделируется потенциалом
2 *
нулевого радиуса мощностью у = 2n.fi / (ат ), который имеет вид
^(х^ у, г; ха, уа , га ) = у5(х -ха )8(у-Уа )5(-га )
1 + (г-га )
V а) дг
(26)
где а определяется энергией связи Е/ этого же Л+ -центра в объемном полупроводнике.
В приближении эффективной массы волновая функция ^ХИ (х, У, г; ха, уа, га) электрона, локализованного на короткодействующем потенциале, удовлетворяет уравнению Шредингера:
(ЕХИ - H)и (хУ, г;ха,уа, га ) = = Vs(х,У,г;ха,уа,га )и (х,У, г; ха,уа, га ) (27)
где Ехи = -Й2Х2 / (2т*) - собственные значения оператора Гамильтона
^ = ;Н + ^(х у, г; ха, уа, га ).
Для определения энергии связи дырки в комплексе (Л+ + е) в адиабатическом приближении необходимо построить одночастичную функцию Грина G (х, у, г; ха, уа, га; Ехп) к уравнению Шредингера с гамильтонианом, содержащим потенциал (26):
О ( ^ г; ха, Уа, га; ЕХк ) = - £
п1, п2, п3
ГЧ,П2,"3
(ха,уа,га)п (х,у,г)
п3 \ а'^а' а) щ,п2,п3 V >
Ы + Е;п2,п3 (Т)
(28)
Уравнение Липпмана - Швингера для Л+ -состояния в КТ с параболическим потенциалом конфайнмента запишется как
¥
хи
(х, У, г; ха, Уа, га )= { { { ^у^О (х, у, г; ха, уа, га; ЕХк )Х
—^ —^ —^
хУ§( y, г; Ха, Уа, 2а )к (( УЬ z1, ха, Уа, 2а )• Подставив (26) в (29), получим
^Хк (x, У, 2; Ха, Уа, 2а ) = УО (x, У, 2 Ха, Уа, 2а; ЕХк )х
х(Т^Хк )( У, 2 Ха,Уа, 2а ),
(29)
(30)
где
(T^Xh )(У,xa,Уа, za )= lim
r
Ф^Фа е^ба
1 + (r - Га ) дГ
^Xh ( У,xa, Уа, za ).(31)
Действуя оператором Т на обе части соотношения (30), получим уравнение, определяющее зависимость энергии связанного состояния Ехк
А+ -центра от параметров КТ, положения R а =(ха,Уа,2а) примеси и температуры Т:
2ПЙ2
а =-— (ТО)(ха,Уа,2а;ха,Уа,2а;ЕХк ). (32)
тк
Тогда для функции Грина (28) с учетом (24) и (25) получим в боровских единицах:
G ( У, z, Ха, Уа, Za; nXh ) =--f1-exP
n 2 an Eh
f *2 *2 *2 *2 *2 *2 \ x2 + У 2 + z2 + x*2 + Уа2 + Z*2
X
(*\ / * \ / * \ / * \ / * \ / * v x )нщ (x* ) Hni (у )Hn2 (у* ) Hn3 (z )Hn3 (^ X
1/2/3
2n !n1!
2n2 !n2!
2n3 !n3!
X\ nXh
^ ßn +ß 1 fn1 + n2 + n3 + 2 I +
kT +—ln
Eh
e0eR0 Ehah
(
4sh
О
vLA*
sh
2О
-JkT J V vTA4kT
-1
(33)
где введены обозначения Пха = Eh|/Eh ; ß = E^/Йюи , Eh - боровская энер-
гия дырки.
Далее с учетом того, что
Га e2ßßn kTß,
ßnxh--+ —- ln
e0eR0Ehah Eh
4sh
О
vLA"
sh
2О
4kT vTA4kT
+
+ п + п2 + щ + —
\-1 те
в = Г dt ехр
( 2 е2ввп
№ -
е0еЯ0Екак
- + п1 + п2 + п3 +
3 кТ в, +- +—- 1п
2 Еи
4sh
( О >
уьл
sh
( 2О
V ЬЛ J
4кТ ; V УТЛ4кТ
\ 1Л
(34)
выражение для функции Грина примет следующий вид:
О ( У, г, ха, Уа, га,ПХИ ) =--зТ^-ехР
п ап РЕИ
( 2,2,2,2,2,2 ^
х + ха + У + Уа + г + га
2а„
Х
Х Г dt ехр
впхи--е^+М 1п
е0еЯ0 Екак
4sh
( О >
уьл
( 2О
V ' ьл » — /
л/кТ
+
Х
^ „ Л
^ Лп1 яп
Х
£
ап ;
я„
V ап
п1 =0 V ;
п!
£
( е-t ^п2 Яп2
( У ^
V ап ;
я„
(уа
V ап ;
Х
п2=0 V ;
п2'
( _ Л
Х
£
( ^п3 Яп3
V ап ;
Л
я„
V ап ;
п3=0 V ;
п3!
(35)
Выполняя суммирование по квантовым числам п^ п2, Щ и выделяя расходящуюся часть выражения для функции Грина (35), получим
1 те
О ( а, ПХИ )=--3-Г dt ехр
п2а1$Ек 0
(а е2ррп кТв
Рпхи--х
е0еЯ0 Екак Ек
х 1п
4sh
( О >
уьл
sh
( 2О
V -ЬЛ " — J
4кТ ) V УТЛ4кТ
V 1Л - —
3 + —
2
3 ( „2 , 02 >
(1 - ехр (-t)) 2 ехр
2а„
Х
Х ехр
2(Да)e~t -(г2 + Яа2 ап (1 -е-*)
2 , г>2\ „^ ^
ехр
(г - Яд )2 2а^
2п 2 ап^Еи
Х
Х-т ехр
г - Я
( е2вп , кТ
+—Х
Хк * г,
еЯ0Екак Ек
х 1п
4sh
( О >
sh
( 2О
V J V уТл4кТ
ТЛ
3 + —
2
-1/2 ^ |г - Яа
(36)
Подставляя (36) в (30), получим дисперсионное уравнение, определяющее зависимость энергии связи дырки в комплексе (Л+ + е) от параметров КТ, температуры Т и электронного квантового числа п:
П =
ПХк -
kT. - +—ln
ЩЕкак Eh
(
4sh
Q
+.— dt exp 1 -t (Ря 1
Pnxh -
x ln
4sh
Q
VLA
■JkT
Vla^.
e2PP„ *
eR0 Ehah
f
^ f sh
2Q
VTA
4kT
3
+ —+
2
3 kTp + —+—-x
2 Eh
sh
2Q
УТЛ
4kT
x
x
2tV2t
-(1 -e"2t) 2 exp
*2 „ i
X1
-t
1 + e
-t
(37)
где П = >/Щ / Щ .
На рис. 1 показан результат численного анализа дисперсионного уравнения (37) для случая центрированного Л+ -центра (Я = 0 ) при разных значениях радиуса КТ Я . При этом было учтено, что энергия связи Л+ -состояния отсчитывается от уровня основного состояния адиабатического потенциала электрона. Видно, что с ростом температуры энергия связи дырки уменьшается, это связано с температурным «расплыванием» волновой функции квазистационарного Л+ -состояния в условиях электрон-фононного и дырочно-фононного взаимодействия.
Температурная зависимость интенсивности рекомбинационного излучения
Рассмотрим далее процесс излучательного перехода возбужденного
электрона на уровень Л+ -центра. Энергетический спектр электрона в размерно-квантованной зоне с учетом (10) запишется в виде
ХП ¡Eh
Enl = n,l h + kT ln
Ro
*2
4sh
Q
VLA
4kT
^ f sh
2Q
VTA
4kT
(38)
здесь Хп I - корень функции Бесселя полуцелого порядка (I +1/ 2).
Волновая функция электрона дается выражением вида (13). СИРИ с учетом дисперсии размеров КТ определяется выражением вида [13]:
Ф(<в) =
4ю2л/ее2 Pehe0
c3V m0
{£\М\Х fp(и)«(( -Ef -h<)du ,
(39)
где т0 - масса свободного электрона; Peи - матричный элемент оператора импульса на блоховских амплитудах зонных носителей; ю - частота излучаемой электромагнитной волны поляризации в0; V - объем КТ; Р(и) -функция Лифшица - Слезова [14]:
34 еи2 ехр [-1/(1 - 2 и/3)]
р (и ) =
5
, и <-
7
11
2 3 (и + 3)3 (3/2 - и) 3
(40)
и >-
3
2
1
----
2
- 3
1 1 1 1
10 65 11« 184 242 ЗМ
Т, К
Рис. 1. Температурная зависимость энергии связи дырки в комплексе (Л+ + е) при П/ = 7 для различных значений радиуса КТ Я ; кривые: 1 - Я) = 1; 2 - Я) = 1,5; 3 - Я) = 2
Волновая функция Л+ -состояния только постоянным множителем отличается от функции Грина (35) и в случае центрального расположения
Л+ -центра в КТ определяется выражением
Yh (r) = -C JdtexpJ-V
f 2 е2вп kT v Xh--:-+-x
V
£R)Ehah Eh
x ln
4sh
Q
vLA
JkT
f
sh
2Q
Y
x(l - exp (-t)) 2 exp
vTA^, -2t
1 + e~
3 + —
2
x
м
x
1 - e-2t) 2аП
где С - нормировочный множитель, определяемый выражением вида
( .Л Л
C=
2>/л
11 nXh (T) 2
,3
nXh (T)
f„ 2
x
nXh (t )-1
x
nXh (T) f Y f nXh (T) + ^ -Y f nXh (T) 1' > -1
2 V 2 V J 2 2 V J J
-1/2
(41)
(42)
здесь пХй (Т) определяется дисперсионным уравнением (37).
Матричный элемент излучательного перехода возбужденного электрона на уровень 5 -центра имеет вид
9 /
Ми= ' ЧJL^JL(Е"Мт -,г"Ж^Р,(43)
Учитывая (13), (33) и (41), матричный элемент излучательного перехода электрона из основного состояния размерно-квантованной зоны на уровень А+ -центра в КТ можно представить в виде
M1,X =
- 3 _5 1
a-12 2 п 4V3 р2
V^r*4 j 3 ((n,1)
f1+nXh(T) ^ 2
nXh (T)
2 fnXh(T)-1 ^
x
x
nX h (T)
f
Y
V V
nXh (T)+1 2
f„ 2
-Y
nXh (T) 1
-1
x
2
X
+~+п 2п
ш
0 —п 0
*2
г cos 0 sin 0Х
X | & ехр
вПМк--Р-+ 1п
е0еК0 Екак Ек
4sh
О п
sh
2Пп
л/кТ ) V УТА4кТ
3 +—
2
+
+
(1 - ехр (—)) 2 ехр
1 + е
—2t
*2
Х-
1 — е"2) 2
Л
1+3/2
¥1,ш (0 Ф)
Г у >
——г * '
у К ,
^¿1+3/2 (п,1)
. (44)
После интегрирования для квадрата матричного элемента (44) имеем
М
1, М =
РкУп,1 Г ( 2 1 1 +пМк 2 V /
5 22П 2акК09 ¿3/2 (пД)¿5/2 (п,1) пМк 2 Г ( 2 Л ПМк — 1 2 V /
-X
X
( („ 2 |
¥
ПМк
+1
—¥
V V
( 2 11 I ПМк 1| — 1
У /
2 2
—1
X
X
| & ехр
впмк -фп-+М 1п
е0еК0 Екак Ек
4sh
О
\
VЬА
4кт
г
sh
2О
Л'
x(l-exp(— t)) 2 ехр
Л _—2t % Л
1 — е
1 + e~2t
^^^ /V "0 У
2|
УТАу[кТ 2
+ -
X
п,1
К*
3
(1 —2t 12 1 — е 2
V1 + е"^ /
(45)
Тогда для СИРИ в КТ (39) можно записать
а^к*п,1 У 2 Ек^2
Ф(Х ,Т ) = -
-X
22 П 2К*12Й2с3 ¿3/2 ((,,1)¿5/2 (п,1 ))
Реке0
т0
X
| &Р(и)
X
X
Г ( 2 1 1 + пМк 2 V / Пмк
[ПАЛ 2 ( 2 2 Г ПМк 2 V —1) 2
/
( ( 2 |
¥
ПМк
+1
V V /
( 2 Л | ПМк — 1
2 2
V у У
-1
X
2
X
J dt exp
Pnu -3b-+« in
zREhah Eh
4sh
Q
VLA
4kT
r
sh
2Q
Y
x(1 - exp (-t)) 2 exp
Л ,-2t Л(xx л
1 - e
1 + e"2t
V1Tt; /V "O
2 Л
VjA^JkT 2
+
n,l
R*
3
(i -2t Л2
1 - e 2
v 1 + e"2t /
X
X
x5
( X«,1 , kT
R)V Eh
4sh
Q
Л ( sh
VLA''
2Q
4kT J V vTAy[kT
+nth- X
(46)
где X = Йю/ Еь .
После интегрирования в (46) получим
Ф(Х,T) = Ф0 X
Phah EhX 2 Xn,1A П
2 \2 ( ~ \ ( ~ \ 2 —*14 а ( -nth ) J3/2 (n,1) J5/2 (n,1) R An
■X P (An )X
X
Г (1+nth (t )) 2 V / nth (T) 2 ( Y V nth (t )+^ 2 / -Y ( nth (T) 1' 2 2 V / Л" -1 /
"nth (T) 2 Г (nth (T)-1J 2 V /
-1
X
X
J dt exp
-t
--Фп-+^TP in
e0eR0Ehah Eh
4sh
Q 1
(
sh
2Q 1
VLA^kT / V VTA^kT , 2
. M
3
+—
2
X
x(1 - exp (-t)) 2 exp
(, -2t Л( X , Л
2 Л
1 - e 1 + e
-2t
V RoA n /
(i -2t Л'2
1 - e 2
1 + e
-2t
(47)
где
Фо = Vee2\Peheo\l 4n2h2c3mo ;
A n =
kT,
Xn,1 +—In
Eh
4sh
Q
VLA'
sh
2Q
-s/kT J V vTA4kT
S-1
xjRW X-nth
На рис. 2 показана зависимость СИРИ от температуры Т и от величины среднего радиуса КТ , построенная с помощью формулы (47).
5
Рис. 2. Зависимость спектральной интенсивности рекомбинационного излучения от энергии перехода, рассчитанная по формуле (47), при Е^ = 7 мэВ
и Щ = 1 для различных значений температуры Т; кривые: 1 - Т = 100 К;
2 - Т = 200 К; 3 - Т = 300 К. На вставке показана зависимость энергии
рекомбинационного перехода от температуры Т для разных
* * * *
значений радиуса КТ Щ ; кривые: 1 - Щ = 1; 2 - Щ = 1,5; 3 - Щ = 2
Видно, что с ростом температуры происходит сдвиг пороговой энергии перехода в коротковолновую область спектра (рис. 2) и имеет место температурное гашение рекомбинационного излучения. Это связано с уменьшением интеграла перекрытия волновых функций начального и конечного состояний электрона из-за роста энергии перехода.
На рис. 3 показана зависимость максимума СИРИ (кривые 1, 2 и 3) от обратной температуры 1000/Т, рассчитанного по формуле (47). Можно видеть, что при низких температурах (1000/Т > 25) кривые максимума СИРИ выходят на «плато», а при больших температурах имеет место «температурное гашение» рекомбинационного излучения. Такую особенность температурной зависимости максимума СИРИ можно объяснить слабым влиянием электрон-фононного взаимодействия на энергию рекомбинационного перехода при низких температурах, вследствие чего интеграл перекрытия волновых функций электрона и дырки практически не меняется. С ростом температуры влияние электрон-фононного взаимодействия проявляется в различной
динамике уровня ^-состояния электрона и примесного уровня А+ -центра, что приводит к уменьшению интенсивности рекомбинационного излучения. На вставке (рис. 3) показан результат эксперимента по измерению темпера-
о
0 г
1
400
турной зависимости максимума ФЛ в КТ на основе аЬ^ при возбуждении излучением эксимерного лазера с длиной волны 511 нм [15] (показано точками). Можно видеть, что характер температурной зависимости максимума ФЛ соответствует ходу кривых максимума СИРИ, т.е. эффект выхода на «плато», по-видимому, является общим для разных механизмов ФЛ.
Рис. 3. Зависимость максимума спектральной интенсивности рекомбинационного излучения от обратной температуры, рассчитанная
по формуле (47), при Ej = 7 мэВ (сплошные линии) для различных — —* —* —*
значений среднего радиуса КТ Rq ; кривые: 1 - Rq = 1; 2 - Rq = 1,5; 3 - Rq = 2. На вставке показаны результаты эксперимента по измерению температурной зависимости максимума фотолюминесценции в КТ на основе ab-Si [15]
Заключение
Методом потенциала нулевого радиуса в адиабатическом приближении рассчитана температурная зависимость энергии связи дырки в комплексе
( A+ + e ) в КТ. Показано, что с ростом температуры энергия связи A+ -состояния монотонно уменьшается, что связано с температурным расплыванием
волновой функции квазистационарного A+ -состояния в условиях интенсивного электрон-фононного и дырочно-фононного взаимодействия. В диполь-
ном приближении проведен расчет зависимости СИРИ от энергии излуча-тельного перехода для квазинульмерной структуры с учетом дисперсии радиуса КТ. Показано, что с ростом температуры происходит сдвиг пороговой энергии перехода в коротковолновую область спектра и имеет место температурное гашение рекомбинационного излучения. Это связано с уменьшением интеграла перекрытия волновых функций начального и конечного состояний электрона из-за роста энергии перехода. Найдено, что при малых значениях радиуса КТ появляется низкотемпературный порог СИРИ, ниже которого рекомбинационный переход не происходит. Установлено, что эффект выхода на «плато» кривых максимума СИРИ, по-видимому, является общим для разных механизмов ФЛ.
Список литературы
1. Шамирзаев Т. С., Сексенбаев М. С., Журавлев К. С., Никифоров А. И. [и др.]. Фотолюминесценция квантовых точек германия, выращенных в кремнии на монослое SiO2 // Физика твердого тела. 2005. Т. 47, № 1. С. 80-82.
2. Резницкий А. Н., Клочихин А. А., Пермогоров С. А. Температурная зависимость интенсивности фотолюминесценции самоорганизованных квантовых точек CdTe в матрице 2пТепри разных условиях возбуждения // Физика твердого тела. 2012. Т. 54, № 1. С. 115-124.
3. Бирюков Д. Ю., Зацепин А. Ф. Уравнение температурной зависимости фотолюминесценции полупроводниковых квантовых точек // Физика твердого тела. 2014. Т. 56, № 3. С. 611-614.
4. Зацепин А. Ф., Бирюков Д. Ю. Температурная зависимость фотолюминесценции полупроводниковых квантовых точек при непрямом возбуждении в диэлектрической матрице SiO2 // Физика твердого тела. 2015. Т. 57, № 8. С. 1570-1575.
5. Вайнштейн И. А., Зацепин А. Ф., Кортов В. С. О применимости эмпирического соотношения Варшни для температурной зависимости ширины запрещенной зоны // Физика твердого тела. 1999. Т. 41, № 6. С. 994-998.
6. Седракян Д. М., Петросян П. Г., Григорян Л. Н., Бадалян В. Д. Исследование температурного коэффициента энергии запрещенной зоны полупроводниковых наноструктур CdSe1-xSx // Известия НАН Армении, Физика. 2007. Т. 42, № 1. С. 9-16.
7. Гулямов Г., Шарибаев Н. Ю. Влияние температуры на ширину запрещенной зоны полупроводника // Физическая инженерия поверхности. 2011. Т. 9, № 1. С. 40-43.
8. Ридли Б. Квантовые процессы в полупроводниках. М. : Мир. 1986. 304 с.
9. Липатова Ж. О., Колобкова E. В., Бабкина A. H., Никоноров H. B. Размерные и температурные зависимости ширины запрещенной зоны квантовых точек селени-да кадмия во фторофосфатных стеклах // Физика и техника полупроводников. 2017. Т. 51, № 3. С. 339-341.
10. Питер Ю., Кардона М. Основы физики полупроводников. М. : Физматлит, 2002. 560 с.
11. Екимов А. И., Онущенко А. А., Эфрос Ал. Л. Квантование энергетического спектра дырок в адиабатическом потенциале электрона // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 1986. Т. 43, № 6. С. 292-294.
12. Эфрос Ал. Л., Эфрос А. Л. Межзонное поглощение света в полупроводниковом шаре // Физика и техника полупроводников. 1982. Т. 16, № 7. С. 1209-1214.
13. Кревчик В. Д., Грунин А. Б., Зайцев Р. В. Анизотропия магнитооптического поглощения комплексов «квантовая точка - примесный центр» // Физика и техника полупроводников. 2002. Т. 36, № 10. С. 1225-1232.
14. Zhou Hai-Yang, Gu Shi-Wei, Shi Yao-Ming. Electronic and Shallow Impurity States in Semiconductor Heterostructures Under an Applied Electric Field // Commun. Theor. Phys. 2005. Vol. 44. P. 375.
15. Лифшиц И. М., Слезов В. В. О кинетике диффузионного распада пересыщенных твердых растворов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1958. Т. 35, № 2 (8). С. 479-492.
References
1. Shamirzaev T.S., Seksenbaev M.S., Zhuravlev K.S., Nikiforov A.I. [et al.]. Photoluminescence of germanium quantum dots grown in silicon on a monolayer SiO2. Fizika tverdogo tela = Solid state physics. 2005;47(1):80-82. (In Russ.)
2. Reznitskiy A.N., Klochikhin A.A., Permogorov S.A. Temperature dependence of the photoluminescence intensity of self-organized CdTe quantum dots in the Zn Tepri matrix under different excitation conditions. Fizika tverdogo tela = Solid state physics. 2012;54(1):115-124. (In Russ.)
3. Biryukov D.Yu., Zatsepin A.F. Equation of temperature dependence of photoluminescence of semiconductor quantum dots. Fizika tverdogo tela = Solid state physics. 2014;56(3):611-614. (In Russ.)
4. Zatsepin A.F., Biryukov D.Yu. Temperature dependence of photoluminescence of semiconductor quantum dots under indirect excitation in a dielectric matrix SiO2. Fizika tverdogo tela = Solid state physics. 2015;57(8):1570-1575. (In Russ.)
5. Vaynshteyn I.A., Zatsepin A.F., Kortov V.S. On the applicability of the empirical Varshni relation for the temperature dependence of the band gap. Fizika tverdogo tela = Solid state physics. 1999;41(6):994-998. (In Russ.)
6. Sedrakyan D.M., Petrosyan P.G., Grigoryan L.N., Badalyan V.D. Researching the temperature coefficient of energy of the forbidden zone of semiconductor nanostructures CdSel-xSx. Izvestiya NAN Armenii, Fizika = Proceedings of the National Academy of Sciences of Armenia, Physics. 2007;42(1):9-16. (In Russ.)
7. Gulyamov G., Sharibaev N.Yu. Effect of temperature on the semiconductor band gap. Physical surface engineering. 2011;9(1):40-43. (In Russ.)
8. Ridli B. Kvantovye protsessy v poluprovodnikakh = Quantum processes in semiconductors. Moscow: Mir. 1986:304. (In Russ.)
9. Lipatova Zh.O., Kolobkova E.B., Babkina A.H., Nikonorov H.B. Dimensional and temperature dependences of the band gap of cadmium selenide quantum dots in fluorophos-phate glasses. Fizika i tekhnika poluprovodnikov = Semiconductor physics and technology. 2017;51(3):339-341. (In Russ.)
10. Piter Yu., Kardona M. Osnovy fiziki poluprovodnikov = Fundamentals of semiconductor physics. Moscow: Fizmatlit, 2002:560. (In Russ.)
11. Ekimov A.I., Onushchenko A.A., Efros Al.L. Quantization of the energy spectrum of holes in the adiabatic potential of an electron. Pis'ma v zhurnal eksperimental'noy i te-oreticheskoy fiziki = Letters to the journal of experimental and theoretical physics. 1986;43(6):292-294. (In Russ.)
12. Efros Al.L., Efros A.L. Interband light absorption in a semiconductor ball. Fizika i tekhnika poluprovodnikov = Semiconductor physics and technology. 1982;16(7):1209-1214. (In Russ.)
13. Krevchik V.D., Grunin A.B., Zaytsev R.V. Anisotropy of magneto-optical absorption of complexes "quantum dot - extrinsic center". Fizika i tekhnika poluprovodnikov = Semiconductor physics and technology. 2002;36(10):1225-1232. (In Russ.)
14. Zhou Hai-Yang, Gu Shi-Wei, Shi Yao-Ming. Electronic and Shallow Impurity States in Semiconductor Heterostructures Under an Applied Electric Field. Commun. Theor. Phys. 2005;44:375.
15. Lifshits I.M., Slezov V.V. On the kinetics of diffusional decomposition of supersaturated solid solutions. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki = Journal of experimental and theoretical physics. 1958;35(2):479-492. (In Russ.)
Информация об авторах / Information about the authors
Владимир Дмитриевич Кревчик
доктор физико-математических наук, профессор, декан факультета информационных технологий и электроники, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Алексей Викторович Разумов кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры общей физики и методики обучения физике, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Михаил Борисович Семенов доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Екатерина Анатольевна Печерская
доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой информационно-измерительной техники и метрологии, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: pea1@list.ru
Ирина Михайловна Мойко ассистент кафедры высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Павел Евгеньевич Голубков инженер кафедры информационно-измерительной техники и метрологии, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: golpavpnz@yandex.ru
Vladimir D. Krevchik Doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean of the faculty of information technology and electronics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Aleksey V. Razumov Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, associate professor of the sub-department of general physics and physics teaching methods, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Mikhail B. Semenov Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the sub-department of physics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Ekaterina A. Pecherskaya Doctor of engineering sciences, associate professor, head of the sub-department of information and measuring technology and metrology, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Irina M. Moyko
Assistant of the sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Pavel E. Golubkov Engineer of the sub-department of information and measuring technology and metrology, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 28.10.2021
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 10.11.2021 Принята к публикации / Accepted 15.11.2021
