ОСОБЕННОСТИ РАЗРАБОТКИ МУЛЬТИПОЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ОСНОВЕ ПОСТОЯННЫХ МАГНИТОВ ДЛЯ СИСТЕМ ТРАНСПОРТИРОВКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ. II. УТОЧНЕННАЯ МЕТОДИКА ВЫБОРА КОНФИГУРАЦИИ ЛИНЗЫ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Вестник СПбГУ. Прикладная математика. Информатика... 2022. Т. 18. Вып. 4 УДК 621.3.038 (615+617) МвС 78М-50

Особенности разработки мультипольных элементов на основе постоянных магнитов для систем транспортировки заряженных частиц. II. Уточненная методика выбора конфигурации линзы

В. М. Амосков1, В. Н. Васильев\ Е. И. Гапионок1, Г. Г. Гульбекян2, Н. С. Еда-

менко3, И. А. Иваненко2, Н. Ю. Казаринов2, И. В. Калагин2, М. В. Капаркова1, 1 1 1 1

никое3, Д. А. Овсянников (мл.)А, Н. Ф. Осипов2, И. Ю. Родин1, С. Е. Сычевский3, 11

1 НИИ электрофизической аппаратуры им. Д. В. Ефремова, Российская Федерация, 196641, Санкт-Петербург, Дорога на Металлострой, 3

2 Объединенный институт ядерных исследований, Российская Федерация, 141980, Московская область, Дубна, ул. Жолио-Кюри, 6

3 Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 74)

4 Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна, Российская Федерация, 191186, Санкт-Петербург, ул. Большая Морская, 18

Для цитирования: Амосков В. М., Васильев В. Н., Гапионок Е, И., Гульбекян Г. Г., Еда-менко Н. С., Иваненко И. А., Казаринов Н. Ю., Калагин И. В., Капаркова М. В., Кух-тин В. П., Ламзин Е, А., Макаров А. А., Неженцев А. Н., Овсянников Д. А., Овсянников Д. А. (мл.), Осипов Н. Ф., Родин И. Ю., Сычевский С. Е., Фирсов А. А., Шатиль Н. А. Особенности разработки мультипольных элементов на основе постоянных магнитов для систем транспортировки заряженных частиц. II. Уточненная методика выбора конфигурации линзы // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2022. Т. 18. Вып. 4. С. 454-472. https://doi.org/10.21638/11701/spbul0.2022.402

Объектом исследования является магнитная система квадрупольной линзы на основе постоянных магнитов для укороченного пассивного канала МС2 системы вывода пучка из циклотрона ДЦ-140. Цель работы — разработка расчетной модели линзы, проведение оптимизационных расчетов для выбора ее конфигурации, анализ влияния разброса параметров постоянных магнитов на характеристики линзы и оценка допусков на эти параметры для обеспечения требуемого распределения магнитного поля. Предложенные методики выбора и оптимизации конструкции магнитной системы и разработанные на их основе аналитические 20 и ЗО параметрические модели линзы позволяют учесть геометрические параметры и магнитные свойства постоянных магнитов, принимая во внимание их возможную коррекцию по результатам как входного контроля, так и траекторного анализа. На основе данных методик и моделей выбрана оптимальная конфигурация магнитной системы квадруполя и выполнен ее электромагнитный анализ. Показано, что применявшийся ранее критерий оптимизации по относительной ошибке поля недостаточно информативен, поскольку дает заниженную оценку ошибки формирования градиента поля. Вместо него следует использовать один из нескольких предложенных в работе критериев непосредственно по ошибке градиента поля.

Ключевые слова: постоянные магниты, квадрупольная линза, система вывода пучка, прямая и обратная задачи магнитостатики, численное моделирование.

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2022

1. Введение. Объектом исследования [1] является магнитная система квадру-польной линзы, состоящей из закрепленных в немагнитной обечайке постоянных магнитов (ПМ), для укороченного канала МС2 системы вывода пучка из циклотрона ДЦ-140 [2, 3] Лаборатории ядерных реакций им. Г. Н. Флерова Объединенного института ядерных исследований (г. Дубна, РФ).

Основная цель работы состояла в разработке расчетной модели линзы и выборе ее конфигурации, проведении оптимизационных расчетов по формированию требуемого распределения магнитного поля в рабочей области и элементах магнитной структуры, анализе влияния разброса параметров ПМ и оценке требований к точности их сборки, обеспечивающих выполнение основных конструктивных и технических требований.

Предварительные 2Б исследования позволили осуществить выбор конфигурации квадрупольной линзы на ПМ (РМ(^) квадратного сечения [1] (рис. 1 ,а), обеспечивающей требуемые параметры и характеристики поля в канале МС2 системы вывода пучка из циклотрона ДЦ-140 [2, 3]. Также в [1] приведены полученные распределения квадрупольного поля с градиентом 9 Тл/м и его отклонения в поперечном сечении рабочей области 60 х 25 мм2, обусловленные конкретными параметрами выбранной магнитной системы. Максимальное отклонение поля в рабочей области от требуемого значения не превышает 1 %, среднее отклонение — 0.1-0.2 %.

Рис. 1. Предварительное (а) и уточненное (б) сечения РМС^ из 24 (а) и 26 (б) ПМ квадратного сечения 11 х 11 мм2 Стрелки указывают направления намагниченности, пунктиром обозначена рабочая область, сплошными линиями — апертура и внешние габариты РМС^.

Для выбранной конфигурации был выполнен ЗБ расчет распределения поля без учета возможного разброса магнитных и геометрических параметров ПМ, обусловленного изготовлением и сборкой магнитной системы квадрупольной линзы.

С использованием полученной ЗБ карты поля по результатам траекторного анализа были уточнены требования к линзе (рис. 1,6):

• градиент поля в рабочей области О = 8.1 Тл/м (было О = 9.0 Тл/м [1]);

•

стимый вариант, внутри эллипса, вписанного в рабочую область) не больше ±1 %;

• рабочая область РМ(^ 64 х 25 мм2 (было 60 х 25 мм2);

• апертура РМ<2 80 х 32 мм2 (было 86 х 36 мм2);

• внешние габариты РМ(^ 170 х 106 мм2 (было 156 х 102 мм2);

• эффективна длина РМ(^ = 29.93 см.

Под эффективной длиной понимается интеграл вдоль центральной линии:

1 Г дВу(0,0, z)

Ьеяо = 77- / -я-az,

Go J dx

где G0 = G(0, 0,0) — градиент поля в центре (по длине) линзы; zmin и zmax — координаты, на которых поле линзы спадает практически до нуля.

Погрешность линейной аппроксимации поля для горизонтального и вертикального движений определяется соответственно следующим образом:

SLeSx(x, у) _ LeSx(x, у) _ у) _ LeBy(x, у) _

¿effO ¿effO ¿effO ¿effO

Zmax Zmax

LeSx(x,y) =J By(x, y, z)dz, LeSy(x,y) = J Bx(x,y,z)dz.

Zmin Zmin

G

и ¿eff могут варьироваться в известных пределах при выполнении условия G ■ ¿eff = const, определяемого требованиями технического задания на ее разработку.

Таким образом, основная цель работы состояла в выборе конфигурации ИМ. удовлетворяющей уточненным выше требованиям.

2. Особенности задачи формирования поля PMQ. Методы анализа комбинированных магнитных систем, содержащих в общем случае ПМ, токонесущие обмотки и магнитомягкие материалы (электротехнические и конструкционные стали), к настоящему времени достаточно разработаны [4-9]. Актуальность их применения обусловлена созданием гибридных магнитолевитационных транспортных систем, активных магнитных подшипников для газонефтедобывающей промышленности, мощных двигателей и генераторов, магниторезонансных томографов с низким уровнем рабочей индукции [10, 11]. Однако, если практически для всего перечисленного выше оборудования, за исключением томографов, требования к качеству распределений магнитных полей сравнительно невысоки и в значительной степени относятся к интегральным параметрам систем (магнитному потоку и электромагнитным силам), то для томографов, являющихся прецизионными приборами, крайне важно качество распределения поля в рабочей области. Обсуждаемая в данной работе линза также относится к прецизионным устройствам.

Были использованы разработанные авторами методики и комплексы вычислительных программ [12-18], которые ориентированы на моделирование (на основе дифференциальных и интегральных численных алгоритмов, а также аналитических методов) практически любых типов электрофизического оборудования, включая прецизионные системы.

Можно показать, что в предположении отсутствия эффектов размагничивания ПМ (намагниченность M = const) линейный интеграл поля B(x,y,z) вдоль линии (x,y) = const однозначно определяете решением двумерной задачи B2D (x, y):

zmax

У B(x,y,z)dz = B2D(x,y) ■ ¿PM,

Zmin

где ¿PM — фактическая конструктивная длина ПМ вдоль координаты z.

То же верно и в отношении градиента поля:

дВу {x,y,z) dBy (X,y)2D т -HZ — --- • -Ьрм-

дх

дх

Тогда эффективная длина линзы может быть представлена в виде

¿рм дВу{0,0)2Д

L

eff0 —

Go

дх

В частности, если градиент поля в центральной точке равен требуемому значению Go — 8.1 Тл/м, то требуемое значение эффективной длины совпадает с конструктивной: Leffo — Lpm — 29.93 см. Вместе с тем, если конструктивная длина равна, например, LPM — 30 см, то градиент поля должен быть равен дВу(0,0)2D/дх — G0Leff0/LPM — 8.081 Тл/м, где G0Leff0 — G ■ Leff — const по условиям задачи. В случае дВу(0, 0)2d/дх — G0 очевидно, как и ранее, имеем Leff0 — Lpm- Отметим, что в трехмерном случае градиент поля за счет краевых эффектов всегда меньше, чем в двумерной задаче, что, тем не менее, в известных пределах допустимо.

Аналогично можно выразить эффективные длины (отдельно для горизонтального и вертикального движения) в любой точке сечения:

LeSx(x,y) = 77^-By(x,y)2D, LeSy(x,y) = -7P^-Bx(x,y)2D-

Тогда соответствующие погрешности будут равны

G0y

SLeSx By (х,y)2D / дВу (0, 0)2D

1,

SLeSy _ Bx (х, y)2D / дВу (0, 0)2D

Leff0 х / дх Leff0

и их можно переписать следующим образом:

дх

1,

ех(х, y)

еу (х,У) —

Ву(х,у) 2D

G0,2D х

Вх(х,у) 2D

G0,2D У

1,

1,

(1) (2)

где

дВу (0, 0)2D „ Leff0

Ь-0,2 D — -7.- —

дх

L

pm

Эти погрешности можно выразить также так:

£х(х,у)

Ву(х,у)2D

В0у (х, y)2D

1

SBy(x,y)2D В0у (х,y)2D '

£у (х,У)

Вх{х,у) 2D

В0х(х, y)2D

1

6Вх(х,у)2р В0х (х, y)2D '

здесь, по определению, В0х(х,у)2о = &0,2о • У-, В0у(х,у)2о = &0,2о • х — требуемое квадрупольное поле.

Следует отметить, что использование ех и еу в качестве критериев формирования поля может оказаться некорректным при учете влияния ошибок изготовления и сборки ИМ. которые приводят к отсутствию симметрии конструкции и, следовательно, поля. Потому в общем случае поле в центральной точке В2в(0,0) = 0. Принимая во внимание эту возможную особенность, критерии ех и еу следует модифицировать.

2

y

Первый вариант модификации — добиваться однородности локального градиента поля в рабочей области, заменив Ву/х и Вх/у на соответствующие производные. При этом, поскольку в двумерном случае из гоШ = 0 следует дВу/дх = дВх/ду, то получим, что

1 дВу (х,у)2Д 1 дВх(х,у)2В ,„,.

£оМу) = соао дх--1 = -д~у--1 (3)

Второй возможный вариант — принять в качестве цели полный вектор О (для краткости значок «2Б» далее опускается и под Со подразумевается О0,2п):

дВ(х у)

С(х, у) = gracШу{х, у) = ^ ^ Со = (С0, 0) и ошибку вычислять как

_ |G(x, у) — Gq| _ 1 (дВу(х, у) Л2 / дВу{х,у)\2 _ /

(4)

где Gx = dBy (x, y)/dx и Gy = dBy (x, y)/dy являются x- и y-компонентами вектора G(x,y) = gradBy (x,y).

Можно отметить, что если определить градиент в отношении другой компоненты двумерного поля:

G*(x, у) = grad Вх(х, у) = ->■ G*0 = (0, G0),

то (вследствие divB = 0 ^ dBy/dy = -dBx/dx) результат будет тот же:

г*_дВх_ _дВу г*_дВх_дВу_г

дх ~ ду ~ у> у - ду ~ дх

1 -- 1 ,-

ес* = ICSI = V + {G'y - Go)2 = G~0y{~Gy)2 + {Gx ~ Go)2 = £G-

При этом векторы G и G* равны (|G| = |G* |) и взаимно перпендикулярны (G ± G*):

|G*| = y/G*l+G*l = GyY+Gl = |G|,

(G*, G) = G*xGx + G*yGy = —GyGx + GxGy = 0.

Итак, уточнение методики выбора конфигурации линзы включает базовую оптимизацию, выполняемую на основе анализа двумерного распределения поля, с использованием ряда определенных выше критериев для достижения наилучшего результата оптимизации.

Поле ПМ квадратного сечения в рабочей области с достаточной точностью (для последней конфигурации — с точностью в среднем 0.1-0.2 %) равно полю цилиндрических магнитов с той же площадью сечения. Для последних в двумерном случае известно аналитическое выражение [1, 4, 5]

(n, m)n — m/2 Н =---,

nr2

где m = M • nR2 — удельный магнитный момент на единицу длины магнита; M — вектор намагниченности магнита; R — радиус цилиндрического магнита; r = |r| — расстояние от центра цилиндра до точки наблюдения (r > R); r — радиус-вектор из центра цилиндра в точку наблюдения; n = r/r — единичный вектор, направленный из центра цилиндра в точку наблюдения.

Определим градиент поля цилиндрического магнита. Обозначим через e единичный вектор в выбранном направлении. Тогда компонента поля в таком направлении — это проекция (скалярное произведение) вектора поля на такой вектор:

Я = (Н е) = (n'm)(n'e) ~ (m>e)/2

6 ' 7ГГ2

me

1ТТ (n. m)(n. e) — (m. e)/2 (n. e)m + (n. m)e + ((m. e) — 4(n. m)(n. e)) n

gradiie = grad---=---,

nr2 nr3

здесь было использовано (a — постоянный вектор), что

(n. a) a — 2(n. a)n 1 2n grad—-— =-—-, grad— = - — .

Тогда, в частности,

dH nxm + (mx — 4(n. m)nx)n + (n. m)ex

gradHx =

gradHy =

dx nr3

dH nym + (my — 4(n. m)ny)n + (n. m)ey

dy пг3

Как уже отмечалось, в двумерном случае для анализа распределения поля линзы достаточно взять любой из векторов gradHx ил и gradHy, поскольку из условий divB = О и го1И = 0 следует, что второй вектор равен первому, повернутому на угол 90°:

Ы^Ну)х = ^ = ^ = Ы^Нх)у, (^Ну)у = ^ = = " (ё-сШх)у .

Можно убедиться, что выражения для градиента поля цилиндрического магнита удовлетворяют этому условию:

_ пхтх + [тх - 4(п, т)пх)пх + (п, т) _ 2пхтх + (п, т)(1 - 4п2)

П + (" ™)(1 - Апу) _ ,1") - 2пхтх + (и -4 + -±,ох

(gradHy)

2nymy + (n, т)(1 - 4ny) 2(n, m) - 2nxmx + (n, m)(l - 4 + 4n2)

у'у ~ —z ~

= - (gradHx)x •

Аналогично получаем (gradHx)y = (gradHy)х.

В дальнейшем для определенности под градиентом поля О будет подразумеваться вектор

дВ(х,у) ду

С учетом предыдущих замечаний можно проанализировать сформированное ранее поле квадруполя [1]. На рис. 2-5 показаны распределения градиента поля

G(x, у) = gradВу(х, у) =-->• Go = (G0, 0).

Рис. 2. Изолинии компонент ОХ = (gradBy)х и ОУ = (gradBy)у (сплошные и штриховые линии) (а), модуля |С| (б) сформированного градиента поля С = gradBy (Гс/мм) в I квадранте рабочей области 60 х 25 мм2

Рис. 3. Отклонение 16С| = |С - Со| = ((Ох - Со)2 + СУ)1/2 = (6ОХ + 6ОУ)1/2 (Гс/мм)

О = gгadBy и его отклонения от требуемого Со = (С0, 0), где С0 = 9 Тл/м, в поперечном сечении рабочей области 60 х 25 мм2. Максимальное отклонение градиента поля \5С| = |С — С01 в рабочей области достигает 10 % в угловой точке.

7, мм

О 5 10 15 20 25 30

X, мм

Рис. 4• Относительное отклонение = G|/|Gq | (%)

7, мм

0 __i_i_i__l_i_/_t_lj_

0 5 10 15 20 25 30

б

0 5 10 15 20 25 30

X, мм

Рис. 5. Изолинии критериев гУ = SBx/G0y и гХ = SBy/G0x (сплошные и штриховые линии) (а), а также их модуль (гХ + ¿У)1/2 (б) (%)

На рис. 6, а показаны величины критериев sx, sy, sqx и sq вдоль границы эллипса, вписанного в рабочую область (линии x = ax cos p, y = ay sin p, 0 ^ p ^ n/2, ax = 30 мм, ay = 12.5 мм). Наибольшая ошибка поля для всех критериев наблюдается

в окрестности точки р = 90° (х ~ 0 У ~ 12.5 мм), при этом максимальное значение, превышающее 5 %, имеет место для критерия ее, который, следовательно, является наиболее жестким.

Рис. 6. Сравнение критериев формирования поля в конфигурации PMQ

(а, см. рис. 1, а; б, см. рис. 1, б) на границе эллипса, вписанного в соответствующую рабочую область 60 х 25 мм2 (а) и 64 х 25 мм2 (б) Кривые 1~4 вычислены по формулам (1)-(4) для критериев ex, £у, sgx и eG соответственно; Go = 9.0 (а) и 8.1 Тл/м (б)

Таким образом, применявшийся ранее критерий оптимизации ев = \5Б\/\Б0\ = \Б — Б0\/\Б0^ Б0х = G0y, Б0у = G0x для выбора конфигурации PMQ не является достаточным, поскольку дает заниженную оценку ошибки формирования градиента поля. Вместо него следует использовать один из введенных выше критериев еХ1 еу1 eGx или eG. Последний, как наиболее жесткий, представляется наиболее предпочтительным.

Возможности дальнейшей оптимизации обусловлены рядом факторов. Во-первых, требования к градиенту поля (1 %) относятся преимущественно к области локализации пучка частиц, определяемой эллипсом, который вписан в рабочую область. Кроме того, в отличие от предыдущего варианта предполагается менее регулярное расположение ПМ, что дает дополнительную степень свободы при оптимизации конструкции PMQ. Также оптимизация должна учитывать изменения требуемых параметров квадрупольной линзы, таких как градиент поля G0 = 8.1 Тл/м, расширенная рабочая область PMQ 64 х 25 мм2, уточненные требования к апертуре, габаритам и эффективной длине.

В общем случае ошибку формирования поля (градиента поля) PMQ определяют следующие составляющие:

1) отклонение расчетного поля от требуемого, обусловленное конструктивными и техническими ограничениями PMQ и параметрами ПМ; находится расчетным путем в предположении заданных/оптимизированных параметров магнитной системы;

2) отклонение поля от расчетного, обусловленное неточностями изготовления и сборки магнитной системы и ее элементов, а также разбросом параметров ПМ, выпускаемых промышленностью.

Из общих соображений расчетное отклонение поля должно быть минимальным для того, чтобы увеличить диапазон допусков на изготовление элементов PMQ и ее сборку и, как следствие, уменьшить жесткость технологических требований на этапе производства. Исходя из заданной погрешности формирования градиента поля PMQ, не превышающей 1 %, примем в качестве допустимого расчетного отклонения градиента поля величину не выше 0.1 %, а погрешности расчетов — не более 0.01 %.

3. Описание уточненной методики выбора конфигурации PMQ и формирования поля. Методика формирования конфигурации PMQ в основном совпадает с разработанной ранее [1] и использовавшейся на предыдущих этапах.

Решается обратная двумерная задача определения положения и намагниченности ИМ цилиндрической формы, намагниченных перпендикулярно оси цилиндра, которые обеспечивают требуемый градиент поля в заданной области. Аналитическое представление поля (и его градиента) цилиндрического магнита применяет понятие удельного магнитного момента, поэтому решение ищется в терминах магнитных моментов ИМ. Полученному решению могут соответствовать различные варианты конструктивного исполнения, отличающиеся при заданном магнитом моменте намагниченностью, площадью и формой сечения магнита. Оптимальное решение должно учитывать конструктивные, технологические и иные соображения, отвечающие поставленной задаче.

Решение обратной задачи ищется численно с помощью регуляризованного метода наименьших квадратов с адаптивной процедурой выбора параметра регуляризации [6]. Используется программное обеспечение, разработанное в АО «НИИ электрофизической аппаратуры им. Д. В. Ефремова» (код RESOLVE).

ПМ располагаются в плоскости XY вокруг апертуры (80 х 32 мм2) внутри допустимого внешнего габарита PMQ (170 х 106 мм2). Выбор положений магнитов описан ранее [1] и ограничен разнонаправленными факторами: 1) магниты не должны располагаться слишком далеко от рабочей области, чтобы величина их магнитного момента была бы достаточной для формирования требуемого уровня поля; 2) магниты не должны располагаться слишком близко к рабочей области, чтобы их локальные возмущения поля не сказывались на гладкости полного поля в рабочей области; 3) магнитов должно быть достаточно много, а их поперечные сечения должны быть достаточно малыми по той же причине, но 4) магнитов не должно быть слишком много из-за технологических ограничений.

Компоненты векторов магнитных моментов образуют вектор неизвестных X.

Для контроля качества формируемого поля (требуемого градиента поля) внутри рабочей области (64 х 25 мм2) задается набор контрольных точек, входящих в постановку задачи. Поскольку область, на которую распространяются требования к полю, может быть ограничена эллипсом, вписанным в рабочую область, контрольные точки выбраны па границе эллипса x = ax cos р, y = ay sin p, 0 ^ p ^ n/2, ax = 32 мм, ay = 12.5 мм, с шагом Др = 1o.

Зная значения компонент векторов моментов всех ПМ, можно найти величины компонент градиента поля G = gradBy во всех контрольных точках. Они образуют вектор Y, который связан линейной зависимостью с вектором неизвестных X:

Y = A • X,

где А — матрица, коэффициенты которой вычисляют, используя полученные выше выражения для градиента поля от цилиндрического магнита, с учетом положения каждого магнита и координат контрольных точек.

Известные (целевые) компоненты градиента поля Оо = gradBcy = (8.1, 0) Тл/м в этих точках образуют вектор правых частей У0.

Задача заключается в том, чтобы найти такой вектор X (такую комбинацию магнитных моментов), при котором вектор V = А • X (градиентов полей в контрольных точках) был максимально близок к У0 (требуемому градиенту), при дополнительном условии равенства магнитных моментов ИМ. С практической точки зрения это условие означает, что все ИМ должны быть однотипными.

Такое решение задачи ищется путем минимизации функционала [1]

Ф = тах

к

X(к)

2 2к

Е х,2

тах

к

¿=2к-1

при заданном значении другого функционала:

Ф = тах

I

2 21 / \ 2 У(1) — У0(° = та^ ( АзХ - Уад ) = сош^

2 з=21-1 \ г )

что соответствует решению вариационнои задачи на условный экстремум.

Каждый из двумерных векторов X(к) и У(1\ составляющих вектора X и V соответственно, имеют своими компонентами подлежащие поиску магнитные моменты тх и ту каждого постоянного магнита и градиенты поля Ох и Оу в каждой контрольной точке. Чем больше Ф, тем меньше поле удовлетворяет требуемому Уд''1, но Ф

магнитов принимают этот (одинаковый) магнитный момент, поскольку значения X(к) стремятся к одной и той же величине для достижения квадратичным функционалом Ф

значении Ф магнитные моменты всех ИМ становятся равными по величине (оставаясь разными по направлению). На графиках зависимости решения т(к) от ошибки дОтах = \О — О0|тах = Ф1/2 этому предельному значению соответствует точка ветвления (см. в качестве иллюстрации рис. 7). Данной точке соответствует оптимальное решение, если выполняется требуемый критерий расчетного отклонения градиента поля еа = \5Отах\/О0 ^ 0.1%. Две ветви на рис. 7 отражают зависимость макси-

Ф

4. Поиск оптимальной конфигурации РМС^. В табл. 1 представлены варианты конфигурации РМС^ (положения центров ИМ), для которых выполнялась оптимизация по изложенной методике. Первый вариант соответствует конфигурации РМСЗ, найденной на предыдущем этапе [1]. На последующем этапе оптимизация выполнялась по уточненной методике (минимизируются отклонения градиента поля от требуемого, область контроля ограничена эллипсом, см. п. 3). Каждый последующий вариант основывался на результатах анализа предыдущего и представлял собой попытку его улучшения за счет вариации положения магнитов или их добавления/исключения. При этом магниты, оставаясь в пределах разрешенной области (за пределами апертуры 80 х 32 мм2, то внутри габаритов 170 х 106 мм2), должны иметь расстояние между их центрами около 16 мм (области, занимаемые соседними магнитами квадратного сечения, предположительно со стороной 11 мм не должны пересекаться).

На рис. 8 для рассмотренных вариантов конфигурации РМС^ приведены оптимальные решения в виде зависимости моментов т ПМ от ошибки 5Отах = \0 —

2

Цот, Тл см2

0,01 0,1 1 10

SGmax, ГС/ММ

Рис. 1. Зависимость решения от ошибки 5Стах = |С — Со|шах = Ф1/2 для варианта 8 конфигурации РМС^ Точка ветвления соответствует оптимальному решению, в которой £с = \50тах\/Со ^ 0.1 %. Горизонтальными штриховыми линиями показаны моменты ПМ намагниченностью 1.2, 1.3 и 1.4 Тл, а вертикальными — = 0.1, 1 и 10 %; Со = 8.1 Тл/м.

Таблица 1. Положения (ж, у) ПМ (I квадрант) для рассмотренных вариантов PMQ (мм)

№ Магнит 1 Магнит 2 Магнит 3 Магнит 4 Магнит 5 Магнит 6 Магнит 7

1 (8, 32) (24, 32) (40, 32) (54, 24) (68, 16) (54, 8) -

2 (8, 32) (24, 32) (40, 32) (54, 24) (68, 16) (54, 8) (68, 0)

3 (0, 32) (24, 32) (40, 32) (54, 24) (68, 16) (54, 8) (68, 0)

4 (8, 36) (24, 32) (40, 32) (54, 24) (68, 16) (54, 8) (68, 0)

5 (8, 36) (24, 36) (40, 32) (54, 24) (68, 16) (54, 8) (68, 0)

6 (8, 36) (24, 34) (40, 30) (54, 24) (68, 16) (54, 8) (68, 0)

7 (8, 39) (24, 36) (40, 29) (54, 24) (68, 16) (54, 8) (68, 0)

8 (8, 39) (24, 36) (40, 29) (55, 24) (69, 16) (55, 8) (69, 0)

9 (8, 39) (24, 36) (40, 29) (55, 24) (69, 16) (55, 8) -

G0|max = Ф1/2. Решение тем лучше, чем соответствующая ему точка лежит ниже (что отвечает меньшим намагниченности и сечению ПМ и, следовательно, меньшей его стоимости) и левее (т.е. меньшей ошибке формирования градиента поля).

В табл. 2 представлены параметры ПМ, отвечающие оптимальным решениям. Начиная с варианта 5 ошибка формирования градиента поля sq < 1 %, а с варианта 7 — sq < 0.1 %. При этом полученные моменты магнитов таковы, что намагниченности ¡¡oM < 1.2 Тл, если их поперечное сечение 11 х 11 мм2. Следует заметить, что уменьшение поперечного сечения магнитов весьма проблематично. Так, для сечения 10 х 10 2

1.4 Тл и более, а это является близким к предельному значению для коммерческих магнитов. Следует также указать, что коммерчески поставляемые магниты характеризуются не намагниченностью ¡oM, а остаточной индукцией Br. При этом с учетом эффектов размагничивания ПМ требуемое значение Br должно на 5 % превышать величину ¡o M.

ЦоТл см2

1 1 1 1 1 1 ---1--1 - 41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 8* 1 7*1 1 1 1 ......1 5 , ♦ 1 1 1 1 4 | 2* I I I ......I

0,01 0,1 1 10

5G тах, Гс/мм

Рис. 8. Точки оптимумов для рассмотренных вариантов расположения магнитов РМ(^ (см. табл. 1) Цифрами обозначены номера вариантов.

Таблица 2. Оптимальные решения для рассмотренных вариантов РМС£

]\|о SGшах 5 £Gmах ' A¿o т, а, МоМ, Вг (к = 0.1),

Тл/м % Тл-см2 мм Тл Тл

1 0.35 4.3 1.3174 11 1.0888 1.143

2 0.35 4.3 1.2565 11 1.0384 1.090

3 2.90 36 0.9726 11 0.8038 0.844

4 0.30 3.7 1.3089 11 1.0817 1.136

5 0.055 0.68 1.3824 11 1.1425 1.200

6 0.040 0.49 1.3152 11 1.0869 1.141

7 0.0070 0.086 1.3385 11 1.1062 1.162

8 0.0055 0.068 1.3797 11 1.1402 1.197

9 0.0055 0.068 1.4471 11 1.1960 1.256

Как следует из проведенного анализа, оптимальная конфигурация PMQ соответствует варианту 8 с 26 магнитами в поперечном сечении квадруполя (см. рис. 1,6). Параметры магнитов для этого варианта приведены в табл. 3. Для этой конфигурации PMQ получены расчетные (без учета формы магнитов, ошибок изготовления и сборки, эффектов размагничивания и трехмерных эффектов) распределения поля, градиента поля и их отклонений от требуемых распределений в поперечном сечении рабочей области.

На рис. 6, б показаны величины критериев eXj eyj sgx и sg вдоль линии x = ax cos ф, y = ay sin ф, 0 ^ ф ^ n/2, ax = 32 мм, ay = 12.5 мм, являющейся границей эллипса, вписанного в рабочую область. Ошибка поля по любому из критериев не превышает 0.07 %. По сравнению с предыдущим вариантом (см. рис. 1, а) конфигурации PMQ ошибка формирования градиента поля уменьшилась в 70 раз (с 5 %, см. рис. 6, а).

Таблица 3. Параметры магнитов (I квадрант) оптимальной конфигурации РМС} (вариант 8)

Магнит (X, у), мм а, мм /¿0м, Тл

1 8.0, 39.0 159.329 11.0 1.1402

2 24.0, 36.0 114.048 11.0 1.1402

3 40.0, 29.0 56.425 11.0 1.1402

4 55.0, 24.0 6.652 11.0 1.1402

5 69.0, 16.0 -43.969 11.0 1.1402

6 55.0, 8.0 -77.877 11.0 1.1402

7 69.0, 0.0 -90.000 11.0 1.1402

В пределах вписанного в рабочую область эллипса ошибки поля не превышают 0.15 Гс (или 0.01 %), ошибка градиента поля — не более 0.06 Гс/мм (или 0.07 % при |Со| = 8.1 Тл/м) (рис. 9). Максимальная ошибка за пределами эллипса наблюдается в углу рабочей области и достигает 0.4 % для поля и 7 % для градиента поля.

Г, мм

15 |=

10

5

0

0

Рис. 9. Относительное отклонение го (4) (%)

5. Заключение. Разработана уточненная методика формирования магнитной системы квадрупольной линзы на ПМ на основе ряда критериев оптимизации.

Необходимость модификации предложенной методики в [1] обусловлена уточнением требуемых параметров линзы на основе результатов траекторного анализа, а также ужесточением критериев точности формирования поля, основанных на понятии эффективной длины.

Отмечается, что использовавшийся ранее критерий оптимизации по относительной ошибке поля не позволяет контролировать непосредственно градиент сформированного поля. Вместо этого критерия следует применять один из введенных критериев оптимизации по относительной ошибке градиента поля в рабочей области. Показано, что с помощью уточненной методики и выбора на ее основе оптимальной конфигурации квадрупольной линзы ошибка формирования градиента поля не превышает 0.07 %.

Дальнейшие исследования предполагают учет реальных геометрических и магнитных характеристик ПМ и анализа их влияния на формирования поля в линзе.

Литература

1. Амосков В. М., Васильев В. Н., Гапионок Е. И. Гульбекян Г. Г., Едаменко Н. С., Иваненко И. А., Казаринов Н. Ю., Калагин И. В., Капаркова М. В., Кухтин В. П., Ламзин Е. А., Макаров А. А., Неженцев А. Н., Овсянников Д. А., Овсянников Д. А. (мл.), Осипов Н. Ф., Родин И. Ю., Сычевский С. Е., Фирсов А. А. Особенности разработки мультинольных элементов на основе постоянных магнитов для систем транспортировки заряженных частиц. I. Методика предварительного выбора параметров и конфигурации магнитов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2021. Т. 17. Вып. 4. С. 313-329. https://doi.org/10.21638/11701/spbu.10.2021.401"

2. Mitrofanov S., Apel P., Bashevoy V., Bekhterev V., Bogomolov S., Borisov O., Franko J., Gikal В., Gulbekyan G., Ivanenko I., Kalagin I., Kazarinov N., Mironov V., Sew,in V., Skuratov V., Tikhomirov A. The DC130 project: new multipurpose applied science facility for FLNR // Proceedings of 14th Intern. Conference on Heavy Ion Accelerator Technology. Lanzhou, China, 2018. P. 122-124. https://doi.org/10.18429/JACoW-HIAT2018-WEOXA01

3. Kazarinov N., Apel P., Bekhterev V., Bogomolov S., Bashevoy V., Borisov O., Gulbekian G., Franko J., Ivanenko I, Kalagin I, Mironov V., Mitrofanov S., Tikhomirov A., Semin V., Skuratov V. Conceptual design of FLNR JINR radiation facility based on DC130 cyclotron // Proceedings of 61th Advanced Beam Dynamics Workshop on High-Intensity and High-Brightness Hadron Beams. Daejeon, Korea, 2018. P. 324-328. https://doi.org/10.18429/JACoW-HB2018-WEP2P0028

4. Ватыгин В. В., Топтыгин И. Н. Сборник задач по электродинамике / пер. с англ. М.: Наука, 1970. 503 с.

5. Том, Р., Тарр Дж,. Магнитные системы МГД-генераторов и термоядерных установок. Основы расчета полей и сил / пер. с англ. Ю. А. Горшкова, А. В. Крымасова. М.: Энергоатомиздат, 1985. 272 с.

6. Тихонов А. А., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач / пер. с англ. М.: Наука, 1979. 288 с.

7. Красников Г. Е., Нагорное О. В., Старостин Н. В. Моделирование физических процессов с использованием пакета Comsol Multiphysics. М.: НИЯУ МИФИ, 2012. 184 с.

8. Прахт В. А., Дмитриевский В. А., Сарапулов Ф. Н. Моделирование тепловых и электромагнитных процессов в электротехнических установках. Программа COMSOL. М.: Спутник+, 2011. 158 с.

9. Затонов И. А. Применение программного пакета Elcut для подбора параметров магнитного поля бетатрона // Инженерия для освоения космоса: сб. науч. трудов IV Всерос. молодежного форума с международным участием. Томск: Изд-во Томск, политехи, ун-та, 2016. С. 130-135.

10. Yilong Liu, Alex Т. L. Leong, Yujiao Zhao, Linfang Xiao, Henry K. F. Mak, Anderson Chun On Tsang, Gary К. K. Lau, Gilberto К. K. Leung, Ed X. Wu. A low-cost and shielding-free ultra-low-field brain MRI scanner // Nature Communications. 2021. Vol. 12. N 1. Art. no. 7238. https://doi.org/10.1038/s41467-021-27317-l

11. O'Reilly Т., Teeuwisse W. M., Webb A. G. Three-dimensional MRI in a homogenous 27 cm diameter bore Halbach array magnet // Journal of Magnetic Resonance. 2019. Vol. 307. Art. no. 106578. https://doi.Org/10.1016/j.jmr.2019.106578

12. Amoskov V. M., Arslanova D. N., Bazarov A. M., Belov A. V., Belyakov V. A., Belyakova T. F., Firsov A. A., Gapionok E. I., Kaparkova M. V., Kukhtin V. P., Lamzin E. A., Larionov M. S., Maxim,enkova N. A., Mikhailov V. M., Nezhentzev A. N., Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Rodin I. Y., Shatil N. A., Syehevsky S. E., Vasiliev V. N., Zaitzev A. A. Simulation of electrodynamic suspension systems for levitating vehicles. I. Modelling of electromagnetic behaviour of maglev vehicles with electrodynamic suspension // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2014. Вып. 4. С. 5-15.

13. Амосков В. М., Арсланова Д. Н., Базаров А. М., Белов А. В., Беляков В. А., Белякова Т. Ф., Васильев В. Н., Гапионок Е. И., .Зайцев А. А., Капаркова М. В., Кухтин В. П., Ламзин Е. А., Ларионов М. С., Максименкова Н. А., Михайлов В. М., Неженцев А. Н., Овсянников Д. А., Овсянников А. Д., Родин И. Ю., Сычевский С. Е., Фирсов А. А., Шатиль Н. А. Численное моделирование электродинамических подвесов левитационных транспортных систем. II. Верификация вычислительных моделей // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2015. Вып. 2. С. 18-32.

14. Амосков В. М., Арсланова Д. Н., Базаров А. М., Белов А. В., Беляков В. А., Белякова Т. Ф., Васильев В. Н., Гапионок Е. И., .Зайцев А. А., Капаркова М. В., Кухтин В. П., Ламзин Е. А., Ларионов М. С., Максим,енкова Н. А., Михайлов В. М., Неженцев А. Н., Овсянников Д. А., Овсянников А. Д., Родин И. Ю., Сычевский С. Е., Фирсов А. А., Шатиль Н. А. Численное моделирование электродинамических подвесов левитационных транспортных систем. III. эдд

с непрерывной путевой структурой // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2015. Вып. 3. С. 4-21.

15. Амосков В. М., Арсланова Д. Н., Базаров А. М., Бедов А. В., Беляков В. АБелякова Т. Ф., Васильев В. Н., Гапионок Е. И., .Зайцев А. А.Зенкевич М. Ю., Капаркова М. В., Кух-тин В. П., Ламзин Е. АЛарионов М. С., Максименкова H. АМихайлов В. М., Неженцев А. Н., Овсянников Д. А., Овсянников А. Д., Родин И. Ю., Сычевский С. Е., Фирсов А. АШатиль Н. А. Численное моделирование электродинамических подвесов левитационных транспортных систем. IV. ЭДП с дискретной путевой структурой // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2016. Вып. 3. С. 4-17.

16. Amoskov V., Arslanova D., Baranov G., Bazarov ABelyakov V., Firsov A., Kaparkova M., Kavin A., Khokhlov M., Kukhtin V., Kuzmenkov V., Labusov A., Lamzin E., Lantzetov A., Larionov M., Nezhentzev A., Ovsyannikov D., Ovsyannikov A., Rodin /., Shatil N., Sytchevsky S., Vasiliev V., Zapretílína E., Zenkevich M. Modelling EMS maglev systems to develop control algorithms // Cybernenics and Physics. 2018. Vol. 7. N 1. P. 11-17.

17. Amoskov V. M., Belov A. V., Belyakov V. A., Gapíonok E. /., Gribov Y. V., Kukhtin V. P., Lamzin E. A., Mita Y., Ovsyannikov A. D., Ovsyannikov D. A., Pâtisson L., Sytchevsky S. E., Zavad-skiy S. V. Magnetic model MMTC-2.2 of ITER tokamak complex // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2019. Т. 15. Вып. 3. С. 5-21. https://doi.org/10.21638/11702/spbul0.2019.301

18. Arslanova D., Firsov АKukhtin V., Lamzin E., Larionov M., Nezhentzev A., Ovsyannikov D., Rodin /., Shatil N., Sytchevsky S., Vasiliev V., Zaitsev A. Power-efficient low-stray field hybrid magnets for MAGLEV technology // Cybernenics and Physics, 2021. Vol. 10. N 3. P. 117-121. https://doi.org/10.35470/2226-4116-2021-10-3-117-121

Статья поступила в редакцию 1 августа 2022 г. Статья принята к печати 1 сентября 2022 г.

Контактная информация:

Амосков Виктор Михайлович — канд. физ.-мат. наук; sytch@sintez.niiefa.spb.su Васильев Вячеслав Николаевич — sytch@sintez.niiefa.spb.su Гапионок Елена Игоревна — sytch@sintez.niiefa.spb.su Гульбекян Георгий Герасимович — georgy@jinr.ru

Едаменко Николай Семенович — канд. физ.-мат. наук, доц.; n.edamenko@spbu.ru Иваненко Иван Анатольевич — канд. физ.-мат. наук; ivan@jinr.ru Казаринов Николай Юрьевич — канд. физ.-мат. наук; nyk@jinr.ru Калагин Игорь Владимирович — канд. физ.-мат. наук; kalagin@jinr.ru Капаркова Марина Викторовна — sytch@sintez.niiefa.spb.su

Кухтин Владимир Петрович — канд. физ.-мат. наук; sytch@sintez.niiefa.spb.su Ламзин Евгений Анатольевич — д-р физ.-мат. наук; sytch@sintez.niiefa.spb.su Макаров Анатолий Александрович — sytch@sintez.niiefa.spb.su Неженцев Андрей Николаевич — sytch@sintez.niiefa.spb.su

Овсянников Дмитрий Александрович — д-р физ.-мат. наук, проф.; d.a.ovsyannikov@spbu.ru Овсянников Дмитрий Александрович (мл.) — d-ovs@yandex.ru Осипов Николай Федорович — onik@jinr.ru

Родин Игорь Юрьевич — канд. техн. наук; rodin@sintez.niiefa.spb.su Сычевский Сергей Евгеньевич — д-р физ.-мат. наук; sytch@sintez.niiefa.spb.su Фирсов Алексей Анатольевич — sytch@sintez.niiefa.spb.su

Шатиль Николай Александрович — канд. техн. наук; sytch@sintez.niiefa.spb.su

Modelling and design of permanent magnet multipoles for beam transport and focusing. II. Configuring the quad

V. M. Amoskov , V. N. Vasiliev1, E. I. Gapionok1, G. G. Gulbekyan2, N. S. Edamenko3, I. A. Iva-nenko2, N. Y. Kazarinov2, I. V. Kalagin2, M. V. Kaparkova1, V. P. Kukhtin1, E. A. Lamzin1, A. A. Makarov1, A. N. Nezhentzev1, D. A. Ovsyannikov3, D. A. Ovsyannikov (jr)4, N. F. Osipov2,

I. Yu. Rodin1, S. E. Sytchevsky3, A. A. Firsov1, N. A. Shatil1 1

St Petersburg, 196641, Russian Federation

2

141980, Russian Federation

3 St Petersburg State University, 7-9, Universitetskaya nab., St Petersburg, 199034, Russian Federation

4 St Petersburg State University of Industrial Technologies and Design, 18, Bolshaya Morskaya ul., St Petersburg, 191186, Russian Federation

For citation: Amoskov V. M., Vasiliev V. N., Gapionok E. I., Gulbekyan G. G., Edamenko N. S., Ivanenko I. A., Kazarinov N. Y., Kalagin I. V., Kaparkova M. V., Kukhtin V. P., Lamzin E. A., Makarov A. A., Nezhentzev A. N., Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov D. A. (jr), Osipov N. F., Rodin I. Yu., Sytchevsky S. E., Firsov A. A., Shatil N. A. Modelling and design of permanent magnet multipoles for beam transport and focusing. II. Configuring the quad. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2022, vol. 18, iss. 4, pp. 454-472. https://doi.org/10.21638/11701/spbul0.2022.402 (In Russian)

An optimized magnetic specification has been searched for a PM quadrupole constructed for the DC-140 cyclotron in JINR, Dubna. The field inhomogeneity should be reduced to come closer to an ideal distribution. The quad parameters should be determined with very high mechanical and magnetic precision in order to reach the specified gradient. Results of the analytic study based on a 2D model gave initial values for the PM blocks dimensions and orientations. To ensure stringent performance criteria, parametrized 2D and 3D models of the quad were built. These models were used to optimize the magnet configuration, analyze its sensitivity to various errors and derive parameter tolerances. Additional adjustment to suitable field quality is foreseen using results of a trajectory analysis and acceptance inspection. The design parameters for the best suited magnet configuration are presented and the performance criteria are defined. However, an electromagnetic analysis of the selected configuration has revealed that the relative field error adopted previously as the optimization criterion gives low accuracy estimate. Alternative estimations are proposed utilizing the field gradient error as the basic criterion to satisfy the constraint on the field inhomogeneity. Keywords: permanent magnet, quadrupole, beam transport, direct and inverse problems, simulation.

References

1. Amoskov V. M., Vasiliev V. N., Gapionok E. I., Gulbekyan G. G., Edamenko N. S., Ivanenko I. A., Kazarinov N. Y., Kalagin I. V., Kaparkova M. V., Kukhtin V. P., Lamzin E. A., Makarov A. A., Nezhentzev A. N., Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov D. A. (jr), Osipov N. F., Rodin I. Yu., Sytchevsky S. E., Firsov A. A. Osobennosti razrabotki multipolnyh elementov na osnove postoyannyh magnitov diva sistem transportirovki zaryazhennyh chastits. I. Metodika predvaritelnogo vybora parametrov i konfiguratsii magnitov [Modelling and design of permanent magnet multipoles for beam transport and focusing. I. Selection of optimal design and parameters]. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2021, vol. 17, iss. 4, pp. 313-329. https://doi.org/10.21638/11701/spbu.10.2021.401 (In Russian)

2. Mitrofanov S., Apel P., Bashevoy V., Bekhterev V., Bogomolov S., Borisov O., Franko J., Gikal B., Gulbekyan G., Ivanenko I., Kalagin I., Kazarinov N., Mironov V., Semin V., Skuratov V., Tikhomirov A.

The DC 130 project: new multipurpose applied science facility for FLNR. Proceedings of 14th Intern. Conference on Heavy Ion Accelerator Technology. Lanzhou, China, 2018, pp. 122-124. https://doi.org/10.18429/JACoW-HIAT2018-WEOXA01

3. Kazarinov N., Apel P., Bekhterev V., Bogomolov S., Bashevoy V., Borisov O., Culbekian G.,

Franko J., Ivanenko I., Kalagin I., Mironov V., Mitrofanov S., Tikhomirov A., Semin V., Skuratov V.

th

vanced Beam Dynamics Workshop on High-Intensity and High-Brightness Hadron Beams. Daejeon, Korea, 2018, pp. 324-328. https://doi.org/10.18429/JACoW-HB2018-WEP2P0028

4. Batygin V. V., Toptygin I. N. Problems in electrodynamics. London, New York, Academic Press, 1964, 587 p. (Rus. ed.: Batygin V. V., Toptygin I. N. Sbornik zadach po elektrodinamike. Moscow, Nauka Publ., 1970, 503 p.)

5. Thome R. J., Tarrh J. M. MHD and fusion magnets: field and force design concepts. New York, Wiley Publ., 1982, 249 p. (Rus. ed.: Thome R. J., Tarrh J. M. Magnitnye sistem,y MGD-generatorov i termoyadernyh ustanovok. Osnovy rascheta polej i, sil. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1985, 282 p.)

6. Tikhonov A. N., Arsenin V. Ya. Solutions of ill-posed problems. New York, Halsted Press, 1977, 288 p. (Rus. ed.: Tikhonov A. N., Arsenin V. Ya. Melody resheniya nekorrektnyh zadach. Moscow, Nauka Publ., 1979, 288 p.)

7. Krasnikov G. E., Nagornov O. V., Starostin N. V. Modelirovanie fizicheskih processov s ispol'zovaniem paketa Com,sol Multiphysics [Simulation of physical processes with Com,sol Multiphysics software}. Moscow, NRNU MEPhI Publ., 2012, 184 p. (In Russian)

8. Prakht V. A., Dmitrievskiy V. A., Sarapulov F. N. Modelirovanie teplovyh i, elektromagnitnyh processov v elektrotehnicheskih ustanovkah. Program,m,a COMSOL [Simulation of thermal and electromagnetic processes in electrical devices. COMSOL software]. Moscow, Sputnik+ Publ., 2011, 158 p. (In Russian)

9. Zatonov I. A. Primenenie programmnogo paketa Elcut diva podbora parametrov magnitnogo polya betatrona [Using the computer code Elcut to select field parameters in a betatron-type particle accelerator]. Proceedings of IV Russian forum on Space Engineering for young scientists. Tomsk, Tomsk Polytechnic University Press, 2016, pp. 130-135. (In Russian)

10. Yilong Liu, Alex T. L. Leong, Yujiao Zhao, Linfang Xiao, Henry K. F. Mak, Anderson Chun On Tfeang, Gary K. K. Lau, Gilberto K. K. Leung, Ed X. Wu. A low-cost and shielding-free ultra-low-field brain MRI scanner. Nature Communications, 2021, vol. 12, no. 1, Art. no. 7238. https://doi.org/10.1038/s41467-021-27317-l

11. O'Reilly T., Teeuwisse W. M., Webb A. G. Three-dimensional MRI in a homogenous 27 cm diameter bore Halbach array magnet. Journal of Magnetic Resonance, 2019, vol. 307, Art. no. 106578. https://doi.Org/10.1016/j.jmr.2019.106578

12. Amoskov V. M., Arslanova D. N., Bazarov A. M., Belov A. V., Belyakov V. A., Belyakova T. F., Firsov A. A., Gapionok E. I., Kaparkova M. V., Kukhtin V. P., Lamzin E. A., Larionov M. S., Maximenkova N. A., Mikhailov V. M., Nezhentzev A. N., Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Rodin I. Y., Shatil N. A., Sychevsky S. E., Vasiliev V. N., Zaitzev A. A. Simulation of electrodynamic suspension systems for levitating vehicles. I. Modelling of electromagnetic behaviour of maglev vehicles with electrodynamic suspension. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2014, iss. 4, pp. 5-15.

13. Amoskov V. M., Arslanova D. N., Bazarov A. M., Belov A. V., Belyakov V. A., Belyakova T. F., Vasiliev V. N., Gapionok E. I., Zaitzev A. A., Kaparkova M. V., Kukhtin V. P., Lamzin E. A., Larionov M. S., Maximenkova N. A., Mikhailov V. M., Nezhentzev A. N., Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Rodin I. Yu., Sychevsky S. E., Firsov A. A., Shatil N. A. Chislennoe modelirovanie elektrodinamicheskih podvesov levitatsionnyh transportnyh sistem. II. Verifikatsiya vychislitelnyh modelej [Simulation of electrodynamic suspension systems for levitating vehicles. II. Validation of computational models]. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2015, iss. 2, pp. 18-32. (In Russian)

14. Amoskov V. M., Arslanova D. N., Bazarov A. M., Belov A. V., Belyakov V. A., Belyakova T. F., Vasiliev V. N., Gapionok E. I., Zaitzev A. A., Kaparkova M. V., Kukhtin V. P., Lamzin E. A., Larionov M. S., Maximenkova N. A., Mikhailov V. M., Nezhentzev A. N., Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Rodin I. Y., Sychevsky S. E., Firsov A. A., Shatil N. A. Chislennoe modelirovanie elektrodinamicheskih podvesov levitatsionnyh transportnyh sistem. III. EDP s nepreryvnoj putevoj strukturoj [Simulation of electrodynamic suspension systems for levitating vehicles. III. Continuous track systems]. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2015, iss. 3, pp. 4-21. (In Russian)

15. Amoskov V. M., Arslanova D. N., Bazarov A. M., Belov A. V., Belyakov V. A., Belyakova T. F., Vasiliev V. N., Gapionok E. I., Zaitzev A. A., Zenkevich M. Y., Kaparkova M. V., Kukhtin V. P., Lamzin E. A., Larionov M. S., Maximenkova N. A., Mikhailov V. M., Nezhentzev A. N., Ovsyannikov D. A.,

Ovsyannikov A. D., Rodin I. Y., Sychevsky S. E., Firsov A. A., Shatil N. A. Chislennoe modelirovanie elektrodinamicheskih podvesov levitatsionnyh transportnyh sistem. IV. EDP s diskretnoj putevoj strukturoj [Simulation of electrodynamic suspension systems for levitating vehicles. IV. Discrete track systems]. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2016, iss. 3, pp. 4-17. (In Russian)

16. Amoskov V., Arslanova D., Baranov G., Bazarov A., Belyakov V., Firsov A., Kaparkova M., Kavin A., Khokhlov M., Kukhtin V., Kuzmenkov V., Labusov A., Lamzin E., Lantzetov A., Larionov M., Nezhentzev A., Ovsyannikov D., Ovsyannikov A., Rodin I., Shatil N., Sytchevsky S., Vasiliev V., Zapretilina E., Zenkevich M. Modelling EMS maglev systems to develop control algorithms. Cybernenics and Physics, 2018, vol. 7, no. 1, pp. 11-17.

17. Amoskov V. M., Belov A. V., Belyakov V. A., Gapionok E. I., Gribov Y. V., Kukhtin V. P., Lamzin E. A., Mita Y., Ovsyannikov A. D., Ovsyannikov D. A., Patisson L., Sytchevsky S. E., Zavad-skiy S. V. Magnetic model MMTC-2.2 of ITER tokamak complex. Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes, 2019, vol. 15, iss. 3, pp. 5-21. https://doi.org/10.21638/11702/spbul0.2019.301

18. Arslanova D., Firsov A., Kukhtin V., Lamzin E., Larionov M., Nezhentzev A., Ovsyannikov D., Rodin I., Shatil N., Sytchevsky S., Vasiliev V., Zaitsev A. Power-efficient low-stray field hybrid magnets for MAGLEV technology. Cybernenics and Physics, 2021, vol. 10, no. 3, pp. 117-121. https://doi.org/10.35470/2226-4116-2021-10-3-117-121

Received: August 1, 2022. Accepted: September 1, 2022.

Authors' information:

Victor M. Amoskov — PhD in Physics and Mathematics; sytch@sintez.niiefa.spb.su Vyacheslav N. Vasiliev — sytch@sintez.niiefa.spb.su Elena I. Gapionok — sytch@sintez.niiefa.spb.su Georgy G. Gulbekian — georgy@jinr.ru

Nikolai S. Edamenko — PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor; n.edamenko@spbu.ru

Ivan A. Ivanenko — PhD in Physics and Mathematics; ivan@jinr.ru

Nikolay Y. Kazarinov — PhD in Physics and Mathematics; nyk@jinr.ru

Igor V. Kalagin — PhD in Physics and Mathematics; kalagin@jinr.ru

Marina V. Kaparkova — sytch@sintez.niiefa.spb.su

Vladimir P. Kukhtin — PhD in Physics and Mathematics; sytch@sintez.niiefa.spb.su Evgeny A. Lamzin — Dr. Sci. in Physics and Mathematics; sytch@sintez.niiefa.spb.su Anatoly A. Makarov — sytch@sintez.niiefa.spb.su Andrey N. Nezhentzev — sytch@sintez.niiefa.spb.su

Dmitrij A. Ovsyannikov — Dr. Sci. in Physics and Mathematics, Professor; d.a.ovsyannikov@spbu.ru Dmitry A. Ovsyannikov (jr) — d-ovs@yandex.ru Nikolai F. Osipov — onik@jinr.ru

Igor Y. Rodin — PhD in Engineering Sciences; rodin@sintez.niiefa.spb.su

Sergey E. Sytchevsky — Dr. Sci. in Physics and Mathematics; sytch@sintez.niiefa.spb.su

Alexey A. Firsov — sytch@sintez.niiefa.spb.su

Nikolay A. Shatil — PhD in Engineering Sciences; sytch@sintez.niiefa.spb.su