CC BY
61
УДК 629.439:4.027.3:621.313.282:538.945
Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 2
B. М. Амосков1, Д. Н. Арсланова1, А. М. Базаров1, А. В. Белов1, В. А. Беляков1'3, Т. Ф. Белякова1, А. А. Фирсов1, Е. И. Гапионок1, М. В. Капаркова1, В. П. Кухтин1, Е. А. Ламзин1, М. С. Ларионов1, Н. А. Максименкова1, В. М. Михайлов1, А. Н. Неженцев1, Д. А. Овсянников3, А. Д. Овсянников3, И. Ю. Родин1,
C. Б. Сычевский1, В. Н. Васильев1, А. А. Зайцев2, Н. А. Шатиль1
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОДВЕСОВ ЛЕВИТАЦИОННЫХ ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ. II. ВЕРИФИКАЦИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ
1 Акционерное общество «НИИ электрофизической аппаратуры им. Д. В. Ефремова», Российская Федерация, 196641, Санкт-Петербург, Дорога на Металлострой, 3
2 Санкт-Петербургский государственный университет путей сообщения, Российская Федерация, 190031, Санкт-Петербург, Московский пр., 9
3 Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9
Проведено сопоставление результатов численного моделирования систем электродинамического подвеса, полученных с использованием различных независимых программных комплексов и соответствующих им вычислительных моделей, а также с данными натурного эксперимента. Получена приемлемая, с точки зрения практического применения, точность их совпадения во всем анализируемом диапазоне скоростей. Подтверждена работоспособность и эффективность вычислительной методики, предложенной авторами для основных типов электродинамических подвесов. Библиогр. 24 назв. Ил. 11. Табл. 3.
Ключевые слова: магнитная левитация, транспортное средство, электродинамический подвес, численное моделирование, конечные элементы, вычислительная технология, электромагнитное поле, вихревые токи, подъемные и тормозящие силы, сверхпроводящие катушки, постоянные магниты.
Амосков Виктор Михайлович — кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник; e-mail: avm@sintez.niiefa.spb.su
Арсланова Дарья Николаевна — математик; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Базаров Александр Михайлович — математик; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Белов Александр Вячеславович — начальник группы; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Беляков Валерий Аркадьевич — доктор физико-математических наук, профессор, заместитель генерального директора — директор НТЦ «Синтез»; e-mail: belyakov@sintez.niiefa.spb.su
Белякова Татьяна Федоровна — ведущий программист; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Фирсов Алексей Анатольевич — начальник лаборатории; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Гапионок Елена Игоревна — ведущий математик; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Капаркова Марина Викторовна — ведущий исследователь; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Кухтин Владимир Петрович — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su
Amoskov Victor Mikhailovich — candidate of physical and mathematical sciences, senior scientists; e-mail: avm@sintez.niiefa.spb.su
Arslanova Daria Nikolaevna — mathematician; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Bazarov Alexandr Mikhailovich — mathematician; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Belov Alexander Vyacheslavovich — leading of group; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Belyakov Valery Arkadievich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, deputy director general — Director of SRC "Sintez"; e-mail: belyakov@sintez.niiefa.spb.su
Belyakova Tatiana Fedorovna — senior programmer; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Firsov Alexey Anatolievich — head of laboratory; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Gapionok Elena Igorevna — senior mathematician; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Kaparkova Marina Viktorovna — senior researcher; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Kukhtin Vladimir Petrovich — candidate of physical and mathematical sciences, senior scientist; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su
V. M. Amoskov1, D. N. Arslanova1, A. M. Bazarov1, A. V. Belov1, V. A. Belyakov1'3, T. F. Belyakova1, A. A. Firsov1, E. I. Gapionok1, M. V. Kaparkova1, V. P. Kukhtin1, E. A. Lamzin1, M. S. Larionov1, N. A. Maximenkova1, V. M. Mikhailov1, A. N. Nezhentzev1, D. A. Ovsyannikov3, A. D. Ovsyannikov3, I. Yu. Rodin1, S. E. Sychevsky1, V. N. Vasiliev1, A. A. Zaitzev2, N. A. Shatil1
SIMULATION OF ELECTRODYNAMIC SUSPENSION SYSTEMS
FOR LEVITATING VEHICLES.
II. VALIDATION OF COMPUTATIONAL MODELS
1 Joint Stock Company "D. V. Efremov Scientific Research Institute of Electrophysical Apparatus", 3, Doroga na Metallostroy, St. Petersburg, 196641, Russian Federation
2 St. Petersburg State Transport University, 9, Moskovskii pr., St. Petersburg, 190031, Russian Federation
3 St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
A study has been carried out to check the validity of original 2D/3D codes and computational models for prediction of electromagnetic parameters of maglev systems employing electrodynamic suspension (EDS). The simulated results were compared with experimental data obtained on the LLNL Test Rig (USA). The ability of the proposed computational technique to support design and optimization of basic EDS types has been confirmed over the entire standard speed range. Bibliogr. 24. Il. 11. Table 3.
Keywords: magnetic levitation, vehicle, electrodynamic suspension, finite-element method, simulation, computational technique, magnetic field, eddy current, lifting and drag forces; superconducting coil, permanent magnet.
Введение. Магнито-левитационный принцип движения является бесконтактным. В случае электродинамического подвеса (ЭДП) [1-4] левитация транспортного средства обеспечивается электромагнитными (ЭМ) силами, обусловленными взаимодействием токонесущих обмоток или постоянных магнитов (ПМ) движущегося бортового источника поля (ИП) с магнитным полем вихревых токов, наведенных в пассивных проводящих путевых структурах (ПППС). Конструктивно путевая структура
Ламзин Евгений Анатольевич — доктор физико-математических наук, начальник лаборатории; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su
Ларионов Михаил Сергеевич — начальник стенда; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Максименкова Нина Александровна — ведущий программист; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Михайлов Валерий Михайлович — ведущий конструктор; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Неженцев Андрей Николаевич — ведущий конструктор; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Овсянников Дмитрий Александрович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой; e-mail: dovs45@mail.ru
Овсянников Александр Дмитриевич — доцент; e-mail: ovc74@mail.ru
Родин Игорь Юрьевич — кандидат технических наук, начальник отдела; e-mail: sytch@sintez. niiefa.spb.su
Lamzin Evgeni Anatolievich — doctor of physical and mathematical sciences, head of laboratory; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su
Larionov Mikhail Sergeevich — head of test stand; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Maximenkova Nina Alexandrovna — senior programmer; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Mikhailov Valery Mikhailovich — senior design engineer; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Nezhentzev Andrey Nikolaevich — senior design engineer; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Ovsyannikov Dmitry Alexandrovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, department chairman; e-mail: dovs45@mail.ru
Ovsyannikov Alexandr Dmitrievich — assistant professor; e-mail: ovc74@mail.ru
Rodin Igor Yurievich — candidate of technical sciences, head of department; e-mail: sytch@sintez. niiefa.spb.su
может быть выполнена в виде проводящих полос или короткозамкнутых катушек, уложенных в направлении движения транспортного средства [1, 2].
Система подвеса - основная система магнито-левитационного транспорта [3]. Величина силы левитации зависит от силы тока (или намагниченности ПМ) бортового источника, его геометрических параметров, скорости движения, воздушного зазора между ИП и ПППС. Распределение вихревых токов в ПППС зависит от геометрических параметров этих структур и сопровождается проявлением скин-эффекта [5, 6].
На начальном этапе расчетного обеспечения проектирования могут использоваться известные аналитические решения [1-3, 7-10]. Однако оценки, базирующиеся на применении только аналитических моделей, не обеспечивают необходимой полноты данных для многопараметрической оптимизации ЭДП, включающей такие параметры как грузоподъемность, потребляемая мощность и устойчивость. Высокая стоимость ПППС [1] также диктует необходимость тщательного анализа проводящих структур с целью снижения расхода их материалов. Вычислительный эксперимент на основе численных подходов [11] позволяет рассчитать детальные пространственные и временные распределения вихревых токов, электромагнитных полей, пондеро-моторных сил и тепловыделений, нужных для решения задачи оптимального проектирования конструкции подвеса.
Авторы применяют разработанные и адаптированные ими для систем ЭДП [11] комплексы вычислительных программ TYPHOON [12] и TORNADO [13], которые используют различные численные модели для описания переходных ЭМ процессов. Программный комплекс TYPHOON основывается на методе многосвязных ветвящихся проводящих оболочек, произвольным образом расположенных в трехмерном пространстве. В комплекс программ TORNADO включены объемные конечные элементы c линейными и билинейными формами Уитни [14-16]. Трехмерный подход необходим, когда модель оболочек неприменима или требуется ее верификация, как в рассматриваемом случае.
Цель данной работы заключалась в сопоставлении двух групп независимых вычислительных моделей, которые адекватно описывают ЭДП во всем диапазоне частот, определяемом скоростями движения транспортного средства. Сравнение проводилось для типичного варианта ПППС в виде проводящей полосы. ИП может служить либо система со сверхпроводниковыми рейстрековыми катушками, либо система, использующая постоянные магниты в виде сборок Халбаха [17]. Применение второго типа
Сыневский Сергей Евгеньевич — доктор физико-математических наук, начальник отдела НИВО; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su
Васильев Вячеслав Николаевич — заместитель начальника отдела НИВО; e-mail: sytch@sintez. niiefa.spb.su
Зайцев Анатолий Александрович — доктор экономических наук, профессор, руководитель Научно-образовательного центра инновационного развития пассажирских железнодорожных перевозок; e-mail: nozpgups@mail.com
Шатиль Николай Александрович — кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su
Sychevsky Sergey Evgenievich — doctor of physical and mathematical sciences, head of department; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su
Vasiliev Vyacheslav Nikolaevich — deputy head of department; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su Zaitzev Anatoly Alexandrovich — doctor of economical sciences, professor, head of Scientific and educational centre for innovations in railway passenger transport; e-mail: nozpgups@mail.com
Shatil Nikolay Alexandrovich — candidate of technical sciences, leading scientist; e-mail: sytch@sintez.niiefa.spb.su
магнитной системы характеризуется более высокими частотами ЭМ процессов, что и обусловило ее выбор (как более сложной) для верификационного анализа.
Сила левитации растет с увеличением скорости транспортного средства и стремится к асимптотическому значению, которое также может быть найдено как решение соответствующей магнитостатической задачи [1] с использованием метода зеркальных изображений. В этом случае применялся комплекс вычислительных программ KLONDIKE [18].
1. Сопоставление результатов численного моделирования на базе комплексов программ TYPHOON и TORNADO. Рассматривалось движение ИП, состоящего из пяти магнитов в сборке Халбаха, с постоянной скоростью V (равной 1, 10 и 150 м/с) вдоль ПППС в виде алюминиевой полосы шириной 600 мм и толщиной 20 мм. Выбранный интервал скоростей (1-150 м/с) соответствует предполагаемому диапазону скоростей движения транспортного средства.
Удельное электрическое сопротивление алюминия принято равным р = 2.7 х 10~8 Ом-м. Объем каждого магнита - 50 х 500 х 50 мм3, величина зазора между магнитами и обращенной к ним поверхности путевой структуры h = 25 мм (рис. 1), намагниченность постоянных магнитов Mr определялась из условия ^oMr = 1.0053 Тл.
1.1. Расчетная модель программного комплекса TYPHOON. Длина проводящей полосы в модели была ограничена величиной L = 2 м, при этом во всем диапазоне скоростей электромагнитные нагрузки, действующие в системе ЭДП, достигали уровней, близких к установившимся значениям.
Для описания процесса проникновения ЭМ поля в проводящую полосу последняя была разбита по толщине на шесть характерных слоев. Толщина первого слоя, обращенного в зазор, равна 0.4 мм, второго - 0.8 мм, третьего - 1.3 мм, четвертого -2.5 мм, пятого и шестого - 5 и 10 мм соответственно. Каждый слой моделируется проводящей оболочкой, расположенной в его средней плоскости (рис. 2). Эффективная толщина оболочки равна толщине слоя. Все оболочки электрически изолированы друг от друга.
Начальное положение сборки Халбаха в момент времени to соответствует расстоянию 375 мм от ее центра до края ПППС. В системе координат, связанной с неподвижными элементами ПППС, этому положению отвечает xo = 0. Каждый постоянный магнит эквивалентируется восемью витками с полным током 40 кА-витков.
В расчетной модели движение сборки Халбаха относительно ПППС моделировалось следующим образом. Принималось, что сборка перемещается с шагом
Рис. 2. Конечно-элементная модель TYPHOON для описания проводящей полосы
Ax = 10 мм вдоль оси X за соответствующий выбранной скорости V интервал времени At = Ax/V. Такому перемещению отвечает набор временных точек ti, i = 0,1,.. .N, таких, что ti — ti-i = At и N = L/Ax = 200. Каждая временная точка ti характеризуется определенным пространственным распределением магнитного поля B = B(ti, г), создаваемым сборкой. Для моментов времени t G [ti-i,ti] принимается, что
B(t, г) = (B(ti, г) • (t — ti-г) + B(t-b г) • (ti — t))/At.
Данное выражение соответствует линейному закону изменения магнитного поля сборки от времени при ее движении на интервале t G [ti-i,ti].
В качестве начального условия принималось распределение вихревых токов в полосе, получаемое из условия идеальной проводимости ее материала. Такое условие обеспечивает полное экранирование магнитного поля сборки B = B(to, г) в объеме проводника ПППС.
1.2. Расчетная модель программного комплекса TORNADO. Модель, показанная на рис. 3, описывает симметричную половину проводящей полосы, в которой путевая структура рассматривается как объемный проводник с однородными изотропными электрическими свойствами.
Каждый из шести характерных слоев разбиения проводящей полосы, описанных в п. 1.1, моделируется двумя слоями конечных элементов (рис. 4).
Объемная модель, в отличие от оболочечной, допускает протекание вихревого тока в вертикальном направлении (по толщине полосы).
Движение сборки Халбаха относительно полосы моделировалось способом, аналогичным рассмотренному в п. 1.1. Единственное отличие заключалось в выборе более мелкого шага перемещения (Ax = 5 мм) сборки вдоль оси X, что привело к увеличению числа временных точек до N = 400.
1.3. Результаты численного моделирования. В результате моделирования были получены зависимости силы электродинамического торможения Fx(x) и подъемной силы Fz (x) (рис. 5), действующих на сборку Халбаха в процессе ее движения.
Рис. 3. Конечно-элементная модель TORNADO, описывающая симметричную половину
проводящей полосы
Рис. 4. Конечно-элементное разбиение проводящей полосы по толщине
Сравнение установившихся значений сил, полученных с помощью кодов TYPHOON и TORNADO, приведено в табл. 1. Наибольшие расхождения результатов имеют место при малых скоростях, достигая 4.8% при скорости движения 1 м/с.
Таблица 1. Установившиеся значения силы электродинамического торможения Fx и подъемной силы Fz, действующих на сборку Халбаха
Код Fx, Н Fz, Н
У=1 м/с У = 10 м/с У =105 м/с У=1 м/с У = 10 м/с У =105 м/с
TYPHOON 1947 2088 737.6 786.9 5753 7964
TORNADO 1977 2050 720.0 751.1 5815 7918
Расхождение, % 1.7 1.9 2.4 4.8 1.1 0.6
В табл. 2 приведены полученные коэффициенты левитационного качества к = \Рг¡~РХ|. Наибольшее расхождение 5.3% наблюдается, как и для сил, при V =1 м/с.
Fx,kH
О 0.25 0.5 0.75
Рис. 5. Зависимости силы электродинамического торможения (а) и подъемной силы (б) в зависимости от скорости и пройденного пути Кривые 1-3 (TYPHOON) и 4-6 (TORNADO) получены для скоростей 1, 10 и 150 м/с.
Таблица 2. Левитационное качество при различных скоростях движения
Код V = 1 м/с V = 10 м/с V = 105 м/с
TYPHOON 0.40 2.76 10.8
TORNADO 0.38 2.84 11.0
Расхождение, % 5.3 2.9 1.9
На рис. 6 приведены распределения установившихся значений линейных плотностей силы электродинамического торможения и подъемной силы по толщине проводящей полосы. Координате z = 0 соответствует плоскость полосы, обращенная к зазору. Следует отметить практическое совпадение результатов для обеих расчетных моделей комплексов программ TYPHOON и TORNADO.
2. Сопоставление результатов численного моделирования на базе комплексов программ TYPHOON и KLONDIKE. Рассматривалась модельная задача нахождения стационарного распределения вихревых токов в проводящей пластине, обеспечивающего полное экранирование внешнего магнитного поля в объеме проводника. В частности, такое распределение вихревых токов, которое отвечает условию резко выраженного скин-эффекта и к которому стремится решение задачи с увеличением скорости движения ИП, использовалось в качестве начального условия во всех задачах в п. 1.
Отметим, что для инженерных расчетов скин-эффект можно считать резко выраженным [6], если минимальный характерный размер проводника или системы проводников много больше эквивалентной глубины проникновения тока (поля) в массивный проводник.
Л,кН/м
fz, кН/м
-16
z, м
Рис. 6. Линейная плотность установившихся значений силы электродинамического торможения (а) и подъемной силы (б) по толщине проводящей полосы Кривые 1-3 (TYPHOON) и 4-6 (TORNADO) получены для скоростей 1, 10 и 150 м/с.
В данном случае внешнее поле создавалось парой катушек. Расположение катушек относительно полосы и их основные размеры, представленные на рис. 7, соответствуют типичному варианту системы ЭДП на основе сверхпроводниковых катушек (СП) [1].
Рис. 7. Расположение катушек и проводящей полосы
В обсуждаемой задаче тонкая идеально проводящая полоса с размерами Lx х Ly располагается в плоскости z = 0. Катушки имеют прямоугольную форму и размещаются в плоскости z = h таким образом, что исследуемая система имеет две плоскости симметрии XZ и YZ (рис. 7). Каждая катушка моделируется одним тонким витком с размерами 1.7 м х 0.5 м, расстояние между витками составляет 0.3 м. Ток витка взят равным I = 800 кА. Направления токов в витках показаны на рис. 7.
Помимо основного варианта (рис. 7), рассматривался также вариант с увеличенной шириной полосы с Ly = 0.6 м до Ly = 2 м. В обоих вариантах Lx = 6 м.
2.1. Расчетная модель комплекса TYPHOON. Проводящая полоса моделировалась одной оболочкой. Высота расположения катушек h над полосой варьировалась от 0.01 до 0.5 м.
2.2. Расчетная модель комплекса KLONDIKE. Эта модель (рис. 8) включает в себя описанную выше пару катушек и их зеркальные изображения относительно плоскости z = 0. Токи в катушках и их изображениях имеют противоположные направления. Токи изображений эквивалентируют в магнитном отношении действие на катушки идеально проводящей среды, занимающей область z ^ 0.
Рис. 8. Расчетная модель для комплекса программ KLONDIKE а — катушки и их зеркальные изображения; б — охватывающий катушки параллелепипед.
Расчет ЭМ сил, действующих на катушки, проводился с использованием макс-велловского тензора натяжений и сводился к численному интегрированию компонент тензора по граням прямоугольного параллелепипеда, охватывающего катушки (рис. 8). В расчетах осуществлялся контроль точности численного интегрирования, принятой равной 10~4.
2.3. Результаты решения модельной задачи комплексами TYPHOON и KLONDIKE. Результаты расчетов вертикальной (отталкивающей) силы Fz, действующей на катушки, представлены в табл. 3. Варьируемыми параметрами являлись высота расположения катушек над полосой и ее конечно-элементное разбиение, определяемое шагами Дж и Ду в направлении осей X и Y.
На рис. 9, а приведены зависимости отталкивающей силы Fz(h), соответствующие основному варианту системы проводников (Ly = 0.6 м), на рис. 9, б - относительная разность результатов этих расчетов. Как на них видно, результаты практически совпадают, когда h ^ Ly. При сопоставимых величинах h и Ly расхождение результатов становится заметным вследствие проявления краевых эффектов из-за конечной ширины полосы по отношению к бесконечной проводящей плоскости.
Таблица 3. Значения вертикальной отталкивающей силы Ег (Н), действующей на пару катушек
Параметр KLONDIKE TYPHOON
Длина, пути Ьх, м оо 6.0 6.0 6.0
Ширина пути Ьу, м оо 0.6 2.0 2.0
Шаг сетки, А.т = Ау, м - 0.01 0.05 0.025
Высота /г, м Отталкивающая сила F,, кН
0.01 55 066 55 170 - -
0.02 27 098 27 753 - -
0.04 12 922 13 678 - -
0.06 8207.7 8773.1 - -
0.08 5818.7 6192.5 - -
0.10 4372.6 4594.9 4387.0 4378.1
0.15 2436.6 2444.9 2444.0 2439.8
0.20 1495.1 1419.4 1450.0 1498.1
0.30 656.3 547.3 659.5 659.0
0.40 330.1 237.2 332.6 332.4
0.50 182.8 112.1 184.5 184.4
h, мм h, мм
Рис. 9. Отталкивающая сила (а) и относительная разность ее определения по двум моделям (б) 1 - KLONDIKE; 2 - TYPHOON.
3. Численное моделирование натурного эксперимента TEST RIG.
3.1. Экспериментальная установка TEST RIG. Экспериментальная установка TEST RIG [19, 20] (LLNL, г. Ливермор, США) была создана с целью сравнительного анализа различных вариантов конструктивного исполнения ЭДП в рамках технологии INDUCTRACK [15, 21-24] и верификации вычислительных программ для расчета основных характеристик подвеса.
В рассматриваемом варианте сборки магнитов были закреплены в неподвижной конструкции, оборудованной датчиками сил, скорости движения и направляющими роликами для перемещения пассивной путевой структуры между магнитами. На
рис. 10 показаны основные размеры электромагнитной системы установки TEST RIG, детально описанной в [20]. Сборки Халбаха с магнитным периодом m = 4 были изготовлены из постоянных магнитов NdFeB с остаточной индукцией Br = рoMr = 1.2 Тл и имели размеры: 25 х 125 х 25 мм (верхняя сборка) и 25 х 75 х 25 мм (нижняя сборка). Величина вертикального зазора между сборками - 35 мм, длина магнитного периода Lm = 100 мм, длина всей сборки в направлении движения - 425 мм.
Рис. 10. Схема и основные размеры установки (в мм) TEST RIG (LLNL, г. Ливермор, США) [20]
Ламинированная путевая структура изготовлена из десяти изолированных медных листов, 200 мм шириной и 0.5 мм толщиной, уложенных друг на друга. В листах выполнены сквозные прорези, шириной 0.5 мм с шагом 3 мм в направлении движения и длиной 150 мм в поперечном направлении. Технические возможности установки TEST RIG ограничивали скорость перемещения путевой структуры величиной 10 м/с.
Приводимые в [20] результаты измерений соответствуют случаю, когда зазоры между сборками и структурой составляли hi = h = 15 мм.
3.2. Результаты моделирования с использованием комплекса TORNADO. Предполагая пропорциональность величины интегральных электромагнитных сил и длины сборки в направлении движения, можно ограничиться рассмотрением вычислительных моделей с одним магнитным периодом из четырех ПМ. Поэтому в модели TORNADO расчетная область представляла собой элемент пути, равный длине магнитного периода Lm = 100 мм сборки в направлении движения.
Сборки располагались на равном расстоянии hi = h = 15 мм от путевой структуры. Удельное электрическое сопротивление меди путевой структуры принималось равным р =1.8 • 10~8 Ом-м.
Данные измерений сил в натурном эксперименте были сопоставлены с результатами расчетов, полученными с использованием трехмерной модели TORNADO, в которой ламинированная путевая структура моделировалась десятью слоями, каждый толщиной 0.45 мм, электрически изолированных друг от друга посредством зазора
0.05 мм. Измеренные и рассчитанные силы левитации и электродинамического торможения в зависимости от скорости приведены на рис. 11.
V, м/с V, м/с
Рис. 11. Зависимость сил левитации (а) и электродинамического торможения (б) от скорости движения 1 - эксперимент LLNL [19]; 2 - расчет LLNL [19]; 3, 4 - расчет LLNL [19] при вертикальном отклонении пути на ±1 мм; 5 — расчет по модели TORNADO.
Точками на графиках выделены результаты измерений. Три пунктирные кривые (2-4) соответствуют результатам расчетов LLNL для трех положений путевой структуры относительно сборок постоянных магнитов: средняя кривая - центральному (симметричному) положению путевой структуры, а две другие - ее смещенному положению в вертикальном направлении на величины ±1 мм относительно центрального положения. Как следует из найденных зависимостей, неточность позиционирования ±1 мм по вертикальной координате относительно центрального положения может приводить к изменениям величины подъемной силы на 20-25%, а тормозящей - на 30%. Такая погрешность позиционирования отвечала условиям проведения эксперимента [20], что, в частности, может объяснять полученный разброс данных измерений.
Как видно из рис. 11, результаты численного моделирования (кривая 5) с использованием комплекса TORNADO совпадают с экспериментальными данными в пределах погрешности измерений с точностью, приемлемой для практических приложений.
Заключение. В рамках работ по адаптации программного обеспечения для анализа электромагнитных процессов, протекающих в магнито-левитационных транспортных системах, проведена верификация вычислительных моделей применительно к системам электродинамического подвеса. Она осуществлена на основе сопоставления результатов, полученных с помощью двух независимых комплексов вычислительных программ: TYPHOON и TORNADO. Для разных математических формулировок задачи о растекании вихревых токов, реализованных в этих комплексах, различные вычислительные модели, описывающие электромагнитные процессы в ЭДП, дают близкие, с практической точки зрения, результаты, что позволяет производить
взаимную верификацию как разрабатываемых вычислительных моделей, так и полученных результатов.
Моделирование охватывало практически весь значимый диапазон изменения скоростей движения транспортных средств.
Анализ результатов показал, что для выбранных типичных конфигураций ЭДП расчетные модели с требуемой точностью описывают сплошную ПППС магнито-левитационных систем. Максимальное различие установившихся значений силы электродинамического торможения и подъемной силы, вычисленных с помощью оболо-чечной и объемной моделей, не превышает 2.4% для рабочего диапазона скоростей.
Дополнительно с помощью комплексов программ TYPHOON и KLONDIKE выполнена верификация вычислительных моделей ПППС путем сопоставления результатов, полученных в приближении идеальной проводимости материала пассивной структуры. Такому приближению отвечает асимптотическое значение подъемной силы, к которому она стремится с увеличением скорости движения. Для малых зазоров между источником поля и проводящей структурой, когда можно пренебречь влиянием краевых эффектов, связанных с конечными размерами структуры, относительная разность результатов не превосходит 0.2%. Эта величина может служить оценкой сверху погрешности конечно-элементной аппроксимации путевой структуры.
Выполнено сравнение результатов натурного эксперимента TEST RIG, осуществленного в Лоуренсовской национальной лаборатории (г. Ливермор, США), и данных численного моделирования этого эксперимента, выполненного в АО «НИИЭФА им. Д. В. Ефремова». Сравнение проводилось во всем диапазоне скоростей, исследуемом в натурном эксперименте. Приемлемая для практических приложений точность совпадения результатов численного моделирования с данными натурного эксперимента позволяет сделать заключение об адекватности предложенной вычислительной технологии моделирования электромагнитных процессов в ЭДП.
Литература
1. Бахвалов Ю. А., Бочаров В. И., Винокуров В. А. и др. Транспорт с магнитным подвесом / под ред. В. И. Бочарова, В. Д. Нагорского. М.: Машиностроение, 1991. 320 с.
2. Дзензерский В. А., Омельяненко В. И., Васильев С. В., Матин В. И., Сергеев С. А. Высокоскоростной магнитный транспорт с электродинамической левитацией. Киев: Наукова думка, 2001. 480 с.
3. Ким К. К. Системы электродвижения с использованием магнитного подвеса и сверхпроводимости. М.: ГОУ «Учебно-методический центр по образованию на железнодорожном транспорте», 2007. 360 с.
4. Зайцев А. А., Талашкин Г. Н., Соколова Я. В. Транспорт на магнитном подвесе. СПб.: Петерб. гос. ун-т путей сообщения, 2010. 160 с.
5. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Гос. изд-во теор. и техн. лит., 1954. 620 с.
6. Шнеерсон Г. А. Поля и переходные процессы в аппаратуре сверхсильных токов. М.: Энерго-атомиздат, 1992. 416 с.
7. Астахов В. И., Вяльцева Т. М., Кирсанова Г. А. и др. Анализ электродинамического подвеса (ЭДП) с путевыми структурами сложного профиля // Высокоскоростной наземный транспорт / под ред. В. И. Бочарова. Новочеркасск: Изд-во Новочеркасск. политех. ин-та, 1979. C. 6—16.
8. Астахов В. И. Движение проводящей полосы в магнитном поле // Изв. вузов. Электромеханика. 1977. № 8. C. 846-857.
9. Астахов В. И. Движение тонких проводников сложного профиля в магнитном поле // Изв. вузов. Электромеханика. 1979. № 11. C. 970-982.
10. Астахов В. И. К расчету силового воздействия магнитного поля на тела, несущие токи // Изв. вузов. Электромеханика. 1984. № 10. С. 5-14.
11. Amoskov V. M., Arslanova D. N., Bazarov A. M., Belov A. V., Belyakov V. A., Belyakova T. F., Firsov A. A., Gapionok E. I., Kaparkova M. V., Kukhtin V. P., Lamzin E. A., Larionov M. S., Maximenkova N. A., Mikhailov V. M., Nezhentzev A. N., Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Rodin I. Yu., Shatil N. A., Sychevsky S. E., Vasiliev V. N., Zaitzev A. A. Simulation of electrodynamic
suspension systems for levitating vehicles. I. Modelling of electromagnetic behaviour of maglev vehicles with electrodynamic suspension // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2014. Вып. 4. C. 5—15.
12. Амосков В. М., Белов А. В., Беляков В. А., Белякова Т. Ф., Гапионок Е. И., Гаркуша Д. Б., Кокотков В. В., Кухтин В. П., Ламзин Е. А., Сычевский С. Е., Филатов О. Г. Программный комплекс для численного моделирования квазистационарных вихревых токов в тонких проводящих пространственных оболочечных конструкциях сложной геометрической формы (TYPHOON 2.0) // Реестр программ для ЭВМ. Свидетельство 2003612496. М.: Роспатент, 12.11.2003.
13. Belov A., Belyakov V., Belyakova T., Gapionok E., Kukhtin V., Lamzin E., Maksimenkova N., Mazul I., Shatil D., Sytchevsky S. Status of RF PT numerical instrumentation for EM analysis of 3D conducting structures of ITER facility // ITER Blanket meeting. Prague, 3—6 June, 2008. 20 p.
14. Bossavit A. A rationale for edge elements in 3D field computations // IEEE Trans. Mag. 1988. Vol. 24. P. 74-79.
15. Albanese R., Rubinacci G. Analysis of three dimensional electromagnetic fields using edge elements //J. Comp. Phys. 1993. Vol. 108. P. 236-245.
16. Gradinary V., Hiptmair R. Whitney elements on pyramids // Electronic Transaction on Numerical Analysis. Kent State University. 1999. Vol. 8. P. 154-168.
17. Halbach K. Applications of permanent magnets in accelerators and electron storage rings // Journal of Applied Physics. 1985. Vol. 57. P. 3605.
18. Амосков В. М., Белов А. В., Беляков В. А., Белякова Т. Ф., Гапионок Е. И., Гаркуша Д. Б., Глухих М. И., Кухтин В. П., Ламзин Е. А., Максименкова Н. А., Мингалев Б. С., Сычевский С. Е., Филатов О. Г. Программный комплекс для расчета магнитных систем, содержащих магнитотвердые, магнитомягкие и токонесущие элементы конструкции сложной геометрической формы (KLONDIKE 1.0) // Реестр программ для ЭВМ. Свидетельство 2003612487. М.: Роспатент, 12.11.2003.
19. Hoburg J. F., Post R. F. A Laminated Track for the Inductrack System: Theory and Experiment. Livermore: Lawrence Livermore National Laboratory. UCRL-C0NF-201819, January 2004. 5 p.
20. Hoburg J. F., Post R. F. A Laminated Track for the Inductrack System: Theory and Experiment. 18th Intern. Conference on Magnetically Levitated Systems and Linear Drives. Shanghai, China, October 25-29, 2004. 17 p.
21. Post R. F., Ryutov D. D. The Inductrack: A Simpler Approach to Magnetic Levitaiton. Livermore: Lawrence Livermore National Laboratory. UCRL-ID-124115. May 1996. 10 p.
22. Post R. F., Ryutov D. D. The Inductrack Approach to Magnetic Levitaiton. Livermore: Lawrence Livermore National Laboratory. UCRL-ID-138593. April 2000. 6 p.
23. Post R. F. Inductrack Magnet Configuration: U.S. Patent N 6,633,217 B2. 13 p.
24. Post R. F. Laminated track design for Inductrack maglev systems: U.S. Patent N 6,758,146. 12 p.
References
1. Bakhvalov Yu., Bocharov V., Vinokurov V., Nagorsky V. Transport s magnitnym podvesom [Vehicles with magnetic suspension]. Ed. by V. Bocharov, V. Nagorsky. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1991, 320 p. (in Russ.)
2. Dzenzersky V., Omelyanenko V., Vasiliev S., Matin V., Sergeev S. Vysokoskorostnoj magnitnyj transport s jelektrodinamicheskoj levitaciej [High-speed levitating transport with electrodynamic suspension]. Kiev, Naukova dumka, 2001, 482 p. (in Russ.)
3. Kim K. Sistemy jelektrodvizhenija s ispol'zovaniem magnitnogo podvesa i sverhprovodimosti [Transportation systems employing magnetic suspension and superconducting magnet technology]. Moscow, Educational and Methodological Centre for Rail Transport Technology, 2007, 360 p. (in Russ.)
4. Zaitzev A., Talashkin G., Sokolova Yu. Transport na magnitnom podvese [Maglev transportation]. St. Petersburg, State Transport University Publ., 2010, 160 p. (in Russ.)
5. Tamm I. Osnovy teorii jelektrichestva [Basis of Electricity Theory]. Moscow, Nauka Publ., 1989, 620 p. (in Russ.)
6. Shneerson G. Polja i perehodnye processy v apparature sverhsil'nyh tokov [Fields and transients in high-power facilities]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1992, 416 p. (in Russ.)
7. Astakhov V. I. Vyaltseva T. M., Kirsanova G. A. e. a. Analiz jelektrodinamicheskogo podvesa (JeDP) s putevymi strukturami slozhnogo profilja [Analysis of the electrodynamic suspension (EAF) route structure with complex profile]. Vysokoskorostnoj nazemnyj transport [High-speed above-ground tranport]. Ed. by V. Bocharov. Novocherkassk, Izd-vo Novocherkassk. politech. un-ta, 1979, pp. 6-16. (in Russ.)
8. Astakhov V. I. Dvizhenie provodjashhej polosy v magnitnom pole [Motion of conducting strip in magnetic field]. Bull. of Universities. Electromechanics, 1977, vol. 8, pp. 846-857. (in Russ.)
9. Astakhov V. I. Dvizhenie tonkih provodnikov slozhnogo profilja v magnitnom pole [Motion of shaped conductors in magnetic field]. Bull. of Universities. Electromechanics, 1979, vol. 11, pp. 970—982. (in Russ.)
10. Astakhov V. I. K raschetu silovogo vozdejstvija magnitnogo polja na tela, nesushhie toki [On calculations of electromagnetic forces acting on current-carrying solids]. Bull. of Universities. Electromechanics, 1984, vol. 10, pp. 5—14. (in Russ.)
11. Amoskov V. M., Arslanova D. N., Bazarov A. M., Belov A. V., Belyakov V. A., Belyakova T. F., Firsov A. A., Gapionok E. I., Kaparkova M. V., Kukhtin V. P., Lamzin E. A., Larionov M. S., Maximenkova N. A., Mikhailov V. M., Nezhentzev A. N., Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Rodin I. Yu., Shatil N. A., Sychevsky S. E., Vasiliev V. N., Zaitzev A. A. Simulation of electrodynamic suspension systems for levitating vehicles. I. Modelling of electromagnetic behaviour of maglev vehicles with electrodynamic suspension. Vestn. of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2014, issue 4, pp. 5—15. (in Russ.)
12. Amoskov V., Belov A., Belyakov V., Belyakova T., Filatov O., Gapionok E., Garkusha D., Kokotkov V., Kukhtin V., Lamzin E., Sychevsky S. Programmnyj kompleks dlja chislennogo modelirovanija kvazistacionarnyh vihrevyh tokov v tonkih provodjashhih prostranstvennyh obolochechnyh konstrukcijah slozhnoj geometricheskoj formy (TYPHOON 2.0) [TYPHOON 2.0: computer code for 3D simulation of electromagnetic transients using the thin shell approach]. Computer Program Register. Registration Certificate 2003612496 of Nov. 12, 2003. Moscow, Rospatent, 2003. (in Russ.)
13. Belov A., Belyakov V., Belyakova T., Gapionok E., Kukhtin V., Lamzin E., Maksimenkova N., Mazul I., Shatil D., Sytchevsky S. Status of RF PT numerical instrumentation for EM analysis of 3D conducting structures of ITER facility. ITER Blanket meeting. Prague, 3—6 June, 2008, 20 p.
14. Bossavit A. A rationale for edge elements in 3D field computations. IEEE Trans. Mag., 1988, vol. 24, pp. 74-79.
15. Albanese R., Rubinacci G. Analysis of three dimensional electromagnetic fields using edge elements. J. Comp. Phys., 1993, vol. 108, pp. 236-245.
16. Gradinary V., Hiptmair R. Whitney elements on pyramids. Electronic Transaction on Numerical Analysis, Kent State University, 1999, vol. 8, pp. 154-168.
17. Halbach K. Applications of permanent magnets in accelerators and electron storage rings. Journal of Applied Physics, 1985, vol. 57, p. 3605.
18. Amoskov V., Belov A., Belyakov V., Belyakova T., Filatov O., Gapionok E., Glukhih M., Kukhtin V., Lamzin E., Maximenkova N., Mingalev B., Sychevsky S. Programmnyj kompleks dlja rascheta magnitnyh sistem, soderzhashhih magnitotverdye, magnitomjagkie i tokonesushhie jelementy konstrukcii slozhnoj geometricheskoj formy (KLONDIKE 1.0) [KLONDIKE 1.0: computer code for 3D simulation of magnet systems of complex geometry with retentive and non-retentive materials and current carrying components]. Computer Program Register. Registration Certificate 2003612487 of Nov. 12, 2003. Moscow, Rospatent, 2003. (in Russ.)
19. Hoburg J. F., Post R. F. A Laminated Track for the Inductrack System: Theory and Experiment. Livermore, Lawrence Livermore National Laboratory, UCRL-CONF-201819, January 2004, 5 p.
20. Hoburg J. F., Post R. F. A Laminated Track for the Inductrack System: Theory and Experiment. 18th Intern. Conference on Magnetically Levitated Systems and Linear Drives. Shanghai, China, October 25-29, 2004, 17 p.
21. Post R. F., Ryutov D. D. The Inductrack: A Simpler Approach to Magnetic Levitaiton. Livermore, Lawrence Livermore National Laboratory, May 1996, 10 p.
22. Post R. F., Ryutov D. D. The Inductrack Approach to Magnetic Levitaiton. Livermore, Lawrence Livermore National Laboratory, April 2000, 6 p.
23. Post R. F. Inductrack Magnet Configuration. U.S. Patent no. 6,633,217 B2, 13 p.
24. Post R. F. Laminated track design for Inductrack maglev systems. U.S. Patent no. 6,758,146,
12 p.
Статья поступила в редакцию 15 февраля 2015 г.
