CC BY
15Динамические системы, том 1(29), №1 (2011), 53-68 УДК 532.59
Особенности распространения слабонелинейных волн в двухслойной жидкости со свободной поверхностью
И. Т. Селезов*, О. В. Авраменко**, В. В. Нарадовый**
*Ин-т гидромеханики HAH Украины, Киев "Государственный педагогический университет, Кировоград
Аннотация. Рассмотрена новая нелинейная задача распространения волновых пакетов в системе «жидкий слой с твердым дном - жидкий слой со свободной поверхностью». Методом многомасштабных разложений получены первые три линейных приближения нелинейной задачи. Получены решения первых двух линейных приближений, а также условия разрешимости второго и третьего линейных приближений. Выведены эволюционные уравнения для огибающих волновых пакетов на поверхности контакта и на свободной поверхности. Представлен анализ форм волновых пакетов на поверхности контакта и на свободной поверхности. Ключевые слова: нелинейные волны, двухслойная жидкость, свободная поверхность
Введение
Большинство теоретических исследований внутренних волн конечной амплитуды связано с анализом волновых дви^кении в системах^ гдб внутренние вол~ ны слабо нелинейны и являются длинными по отношению к глубине жидкости [14, 15, 16, 19, 21, 25, 29, 33, 34]. Уравнение Кортевега-де Вриза, описывающее эволюцию волнового движения при балансе между нелинейностью и дисперсией, достаточно хорошо изучено, а также развиты методы, позволяющие находить точные решения для произвольно заданных начальных условий [37]. Впервые распространение и устойчивость волновых пакетов на поверхности раздела полубесконечных жидкостей исследовал Найфе [27]. Эта проблема получила развитие и в более поздних работах [12, 17, 30, 37, 38]. В (Zhou et al., 1992) [39] анализируется устойчивость внутренних волн Стокса в двухслойной жидкости методом многомасштабных асимптотических разложений. Распространение нелинейных волн в двух- и трехслойных жидкостях исследовалось в [31, 32], а возбуждение нелинейных волн при наличии препятствия на поверхности раздела в [33].
В статьях [1, 2, 4, 5, 7, 8, 10] исследованы двухслойные системы вида «полупространство - полупространство», «слой - полупространство», «слой - слой», а также представлено обоснование методологических нюансов метода многомасштабных разложении.
Особый интерес представляют исследования не только распространения отдельных волновых пакетов^ но и взаимодеиствия внутренних и поверхностных
© И. Т. СЕЛЕЗОВ, О. В. АВРАМЕНКО, В. В. НАРАДОВЫЙ
волн. В работе (Watson, 1990) [35] проведено исследование генерации внутренних волн поверхностными. В работе (Matsuno, 1993) [26] исследуется распространение нелинейных волн в двухслойной жидкости с верхней свободной границей. Выведено нелинейное эволюционное уравнение асимптотическим разложением по малому параметру отклонения без введения таких понятий как длина волны и мелкая вода. В (Jamali et al., 2003) [24] проводится асимптотический анализ интерфейсных волн в двухслойной жидкости с выбором в качестве малого параметра разности плотностей нижней и верхней жидкостей. В работе (Wen Feng, 1995) [36] при распространении волн на свободной поверхности исследуется резонансное возбуждение слабонелинейных волн на границе раздела слоев методом многомасштабных разложений. В случае двухслойной жидкости с верхней свободной границей исследуется распространение солитонных интерфейсных волн и резонанс между короткими волнами и медленными волнами (Dias IPichev, 2001) [20]. В работе (Choi, 1996) [18] исследуются капиллярно-гравитационные волны при течении в двухслойной жидкости со свободной поверхностью над донным препятствием и определяется критическая скорость.
Распространение гравитационно-капиллярных поверхностных волн при ПЯЛ И-чии генерации внутренних волн большой амплитуды рассмотрено в коротковолновом приближении в [13]. Исследованы также нелинейные внутренние волны и СОЛ ИТОН ы в шельфовой зоне Японского моря [9]. В работе [22] взаимодействие между короткими поверхностными и длинными внутренними волнами в двухслойной жидкости исследовано методом многомасштабных разложений. При равенстве групповой скорости поверхностных волн и фазовой скорости внутренних волн получено стационарное решение для огибающей. В работе [3] исследованы закономерности гравитационного нелинейного волнового движения в двухслойной стратифицированной по плотности жидкости для конечной толщины верхнего более легкого слоя, а также рассмотрены особенности нелинейного внутреннего резонансного взаимодействия гравитационных волн, порождаемых свободной поверхностью верхнего слоя и поверхностью раздела сред. В [6] рассмотрена новая нелинейная модель распространения волновых пакетов в системе «жидкий слой с твердым дном - жидкий слой со свободной поверхностью». Методом многомасштабных разложений получены первые три линейных приближения нелинейной задачи и анализируются решения задачи первого приближения.
В данной статье представлены основные особенности распространения волновых пакетов в системе «жидкий слой с твердым дном - жидкий слой со свободной поверхностью» во втором и третьем приближениях. Отметим, что в работах [10, 37] при исследовании движения легкой частицы в волнлвом потоке теоретически и экспериментально была показана незамкнутость траектории частицы, откуда следует перенос массы, обусловленный нелинейными эффектами. В данной работе появляются неосциллирующие члены во втором приближении, что находится в соответствии с работами [4, 23].
1. Постановка задачи и метод решения
Рассматривается распространение волновых пакетов в гидродинамической системе «слой с твердым дном слой со свободной поверхностью». Верхняя и нижняя жидкости являются идеальными и несжимаемыми. Учитывается сила поверхностного натяжения на поверхности контакта и на свободной поверхности. Волновые движения являются потенциальными и характеризируются малой, но конечной амплитудой (рис. 1).
Рис. 1. Постановка задачи
Математическая модель задачи о распространении волновых пакетов вдоль поверхности контакта двух жидких слоев ^ = {(х,г) : |х| < ж,-к < г < 0} и = {(х,г) : |х| < ж, 0 < г < к2} с плотностями р1 и р2 определяется системой, состоящей из уравнений Лапласа для потенциалов скоростей ^ и в каждом из слоев, кинематических и динамических условий на поверхности контакта и на свободной поверхности, а также граничного условия на дне.
Здесь введены безразмерные величины при помощи характерной длины Ь, максимального отклонения свободной поверхности а, характерного времени (Ь/д)1/2, плотности нижней жидкости р1; оде д — ускорение свободного падения. Безразмерные коэффициенты поверхностного натяжения на свободной поверхности Т0 и на поверхности контакта Т при этом имеют вид (Т*,Т£) = (Т,Т0)/(Ь2рд).
Представим математическую постановку задачи (звездочки опущены)
= 0 в Qj, (1)
Пг - = -афзхПх на г = ац(х,Ь), (2)
П0г - = -а^2хПох на г = ащ(х,Ь), (3) Vlt - Р^г + (1 - р)п + 0.5а[^)2 - рф^)2] - Т(1 + а2г,1 )-3/\х = 0
на г = ап(х, Ь), (4)
V2г + По + 0.5а(У^2)2 - То(1 + а2п1х)-г/2П0хх = 0 на г = ащ(х, Ь), (5)
= 0 при г = -к],, (6)
где ] = 1, 2,р = р2/р1 — отношение плотностей верхнего и нижнего слоев, а = а/Ь — коэффициент нелинейности, п(х,Ь) — отклонение поверхности контакта, П0(х,Ь) — отклонение свободной поверхности.
Для определения приближенного решения задачи для малых, но конечных амплитуд, применяется метод многомасштабных разложений
3
n(x,t) = ®n-1Vn(xo,Xi,X2,to,ti,t2) + O(a3), (7)
n=l 3
no(x,t) = ^2 an-lnon(xo,xi,X2,to,ti,t2) + O(a3), (8)
n=l
3
Vj(x,z,t) = J2 an-l^jn(x0,xi,x2,t0,ti,t2) + O(a3), j = 1, 2, (9)
= > an lVjn(xo,x-\,x2,to,t-\,ti) + O(a3)
n=i
где хп а x, апЬ — масштабные переменные.
2. Решение линейных приближений
Подстановка разложений (7)-(9) в (1)-(6) приводит к трем линейным задачам относительно неизвестных функций п1, П01, Vи, V21, П2, П02, ф12, V22, Пз, п03, у32, которые представляют собой слагаемые в многомасштабных разложениях потенциалов v1, V2 и в разложениях отклонения поверхности контакта п и свободной поверхности щ-
Постановка первого линейного приближения задачи (1)-(6) имеет вид
Vj1x0x0 + Vj1zz = 0 В ,
П1го - Vjl,z = 0 на г = 0,
П01го - V2lz = 0 на г = к2,
Vшo - РV2lto + (1 - Р)П1 - Тп1хохо = 0 на г = 0,
V2lгo + П01 - Т0П01хохо = 0 на г = к2,
V11z = 0 на г = -к1.
Решение первого приближения (10) найдено в виде
П1 = Легв + Ле-гв,
= _ шш _ Ле-гв) + 2)) ,
к вк(кк1)
гш (ш28к(к(к2 _ 2)) _ (к + Ток3)вк(к(к2 _ 2)) N.. ш "Г -Шч (П)
'21 к^ Ш20к(кк2) _ (к + Т0к3)8к(кк2) )(Ле Л&% )'
П01 = (ш2ск(кк2) _ (к + Ток3)вк(кк2)) _ Л гв)'
кш кета, Л — величина, комплексно сопряженная огибающей внутреннего волнового пакета Л; О = кх0 _ шЬ0. Дисперсионное уравнение
2 , , 2 (ш2 _ (к + Т0к3)сгк(кк2) N ., ~
ш ак(кк1) + Рш\щРЫЦкк^ _ (к + ТЛ) = (1 _ Р)к + Тк ■
Из формул (11) несложно увидеть связь между огибающей внутреннего вол~ Л Л0
ш2
Л0 = ш^Л, (12)
где Л = ш2ск(кк2) _ (к + Ток3)вк(кк2).
Итак, как и в случае распространения волн вдоль поверхности контакта двух полупространств, а также в системах «слой - полупространство» и «слой - слой», в рассматриваемой системе «слой с твердым дном - слой со свободной поверхностью» поверхность контакта линейно устойчива или неустойчива в зависимо-
к
кс = [(1 _ р)/Т]1/2. Более детально анализ решения первого приближения приведен в .
Постановка второго линейного приближения задачи (1)-(6) имеет вид
П210 _ ']2х = _Пи1 _ П1хо']1х0 + Ц1']1хх ЪЪ, 2 = 0, П02Ь0 _ '22г = _П01Ь1 _ П01хо '21хо + П01'21гг На 2 = к2,
'1210 _ Р'22Ь0 + (1 _ Р)П2 _ ТП2хохо = _'1«1 _ П1 +
+Р('2111 + П1'211ох) _ 0-5('2Цхо + 'иг)+ (13)
+ 0-5Р('21хо + '21г) + 2ТП1хох1 На 2 = 0, '22Ь0 + П02 _ Т0П02хохо = _'21Ь _ Щ1'21Ь0г _ 0-5('21хо + '21г) +
+ 2Т0П01хох1 на 2 = к2, '12г = 0 на 2 = _к1.
Решение задачи второго приближения (13) имеет вид
V12 = Бп(г + Ь,1)зЬ,(к(г + Н1))егв + Б21еН(к(г + Н1))егв + +Б22ск(2к(г + к1))в2г& + сс, V22 = (Сю + Спг)ег@+к(Н2-г) + С2ое2г&+2к(к—) + + (Ею + Епг)ег@-к(к2-г) + Е2ое2гв-Щ1г2-х) + сс, П2 = О + ег@ + Б2е2г@ + сс, П02 = ^о + Р1еге + Е2е2г& + сс,
(14)
где Bij, Cij, Ej, Di, Fi — неопределенные коэффпцпенты, cc обозначает комплексно сопряженную к предыдущим членам.
Подстановка выражении для неизвестных функций (14), а также наиденные ранее решения (11) первого линейного приближения в первые два уравнения (13) дают следующие коэффициенты:
Bl1 = - ьыЩA" •
и fи2 - (k + Tok3) J ,
C"=- ш f—4—¿ JA- ■ <1б>
= - и fи + (k + ) J Axi.
11 2k \ X ) xi
Подставляя далее (11), а также (14) в (13) и приравнивая выражения при одинаковых функциях, приходим к двум независимым системам уравнений относительно остальных неизвестных коэффициентов.
Система относительно коэффициентов B10, C10, E10, D1, F1, полученная после приравнивания выражений при функции ei@, несовместна, причем ее условие разрешимости имеет вид
(k + T0k3)ch(kh2) - u2sh(kh2) 2(k + T0k3)u J
Af, —
ku kX 1 fl
ucth(kh1) + (k + kp + Tk3) (1 + T0k)ch2 (kh2)
- X kU Afi + k Axi -
, , . f cth(kh1)(1 - kh1cth(kh1)) + 2k3T - u2kh1 J ,
- ch(kh2^-j2p-) +
, f, , rn ,2\ (cth(khi)sh(kh2)(1 - khicth(khi))\
+ (1 + Tok 4 kUp ) Axi-
U2sh(kh2) , 2Toku2 2 U + kh2(k + Tok3) J
+ Г--г (1 + T0k )-ГТ- I Ax1 +
k2 X o kX
+ (1+ Tk)sh(k»2>(2k2T - u2hi) Axi =0. (16)
pu
Если условие (16) выполняется, а также константа П1 = 0, то система относительно неизвестных коэффициентов примет вид
,7/,7 чп ш(1 _ ккСЫккА) . квк(кк1)Б10 = А1 + ^-к—- Ах1,
кекк2 Сю _ ке-кк2 Ею = _ ШЛх1,
к
кСю _ кЕю _ гшГ1 = _^Л^ _ Ш(ш2 + кк2(к + Т0к3))Лх1 _
Л кЛ
1 — Р + Тк2 ( I 2 к \
_шск(кк1)Бю + ршекН2 С10 + рше-кН2 Ею =-—-+ 2кТ---1 ) Лх1.
ш \ к /
Система относительно коэффициентов Б20, С20, Е20, 02, Г2, полученная после
2гв
приравнивания выражении при е2 , совместна и имеет вид
-2iuD2 — 2ksk(2kki)B20 = —2ikuctk{kki)A2
n-7(1 — P)k + T k
У20 — 2ke "E20
— 2iD + 2ke2kh2 C20 — 2ke-2hE20 = 2ik(1 — p)k + ^ — ^^ A2
рш
о- г М01-П оит? 2гш3(к + Пк3) л2
_2гш^2 + 2кС20 _ 2кЕ20 =--г^-Л2,
Л2
ЛГТ1,2^ п. „ о- г, _ 0.5ш2(к + Т0к3)2 л2
(1 + 4Пк2)Г2 _ 2гшС20 _ 2гшЕ20 =---1-Л2,
Л2
(1 _ р + 2Тк2)Б2 _ 2гшск(2кк\)Б'20 + 2грше2к1г2С20 + 2грше-2к1г2Е20 = 1.5ш2Л2+
мг 2 ±12т^л2 Л г (ш2вк(кк2) _ (к + Т0к3)ск(кк2))2\ л2
+ (1.5рш _ О.ЪшсЬк (кк1))Л + ( 0.5рш------^-—- ) Л2-
Решение указанных систем получено с помощью математических пакетов символ ь н ых преобразований и имеет громоздкий вид, поэтому здесь не приводится.
Подставляя решения первой и второй задачи в линейное приближение третьего порядка [6] задачи (1)-(6), получаем условие разрешимости для последней. Как и во втором приближении, поскольку однородная часть задачи третьего порядка имеет нетривиальное решение, постольку неоднородная задача имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется условие
WlAt2 + W2Ax2 + Шз Лхх + ШЛЧ = 0, (17)
где Шг(г = 1, 4) коэффициенты, зависящие от (к, р,ш,к1,к2,Т,Т0).
Для упрощения условий разрешимости задач второго и третьего порядка (16) и (17) найдем выражения ш' = йш/йк и перепишем их в виде
Л1 + ш'Лх1 = 0, (18)
At2 + ш'АХ2 — 0.5ш"АХ1Х1 = IA2A. (19)
Частные производные АА,х, А,хх можно записать в виде сумм
At = £ anAtn + O(a3),
n=1
2 (20) n А i /О v '
Ax = anAXn + O(a3),
n=1
Axx = a2Axx + O(a3).
Умножим (18) на а2 и прибавим к нему (19), умноженное на а, а также учитывая (20), получим искомое эволюционное уравнение огибающей волнового пакета на поверхности контакта
А1 + ш'Ах - 0.5ш"Ахх = а21А2А (21)
в виде нелинейного уравнения Шредингера, что аналогично ранее полученным результатам для других гидродинамических систем [4, 7, 9].
Из соотношения (12) и уравнения (21) легко получить уравнение для огибающей волнового пакета на свободной поверхности
А0 + и'А°х - О.Ьш"А°хх = а210(А°)2А°, (22)
\2
где 1о = 1.
Как и в предыдущих работах [4, 7, 26], уравнение (21) имеет решение, которое зависит только от времени
А = аехр(га2а2ш-1И). (23)
Аналогично, для уравнения (22) имеем
А = аех'р(1а2а2ш-1101). (24)
Таким образом, рассматривая нелинейную задачу (1)-(6), при применении метода многих масштабов до третьего порядка (7)-(9), мы получили три линейных приближения исходной задачи. Найдены частные решения для первых двух^ а также получены дисперсионное уравнение и условия разрешимости для второй и третьей задач. Условия разрешимости (18) и (19) приводят к эволюционным уравнениям огибающих на поверхности контакта (21) и на свободной поверхности (22).
3. Форма волновых пакетов
3.1. Форма волнового пакета на поверхности контакта
Форма волнового пакета во втором приближении на поверхности контакта определяется формулой (7), откуда
n(x,t) = A cos(kx - ut) + aA2Л cos(2kx - 2ut) + O(a2), (25)
где A — решение, которое задается формулой (23).
Для нахождения формы поверхности контакта n(x,t) важно определить знак Л(^, h2,T,T0, р, k) = L1/L2, который меняется при переходе через кривую Lx = 0, вдоль которой Л(^, h2,T,T0, р, k) = 0, а также при переходе через кривую L2 = 0, в окрестности которой p,k) ^ 0.
Графики кривых L 1 = 0 и L2 = 0 изображены ниже для фиксированного значения толщины верхнего слоя h2 = 1 и значения толщины нижнего слоя hx = 10 (рис. 2).
(р, k) на четыре области S1} S2, S3, S4. В областях S2, S3, S4 — Л(^, h2,T, T0, p,k) > 0, а в области Sx — Л(^, h2,T, T0,p, k) < 0. Ha
S2 h2 = 1 и разных
значений hx E {10, 2.23,1.73}.
Рис. 2. Области знакопостоянства Л Рис. 3. Области при различных ^ и = 1
Первые две гармоники щ(х,Ь) и щ(х,Ь), а также отклонение поверхности контакта п(х, ¿) при значениях параметров а = 0.1, Н\ = 10, к2 = 1,Т0 = 0.001, Т = 0, Ь = 0, а = 1 представлены на рис. 4 для р = 0.96, к = 1.96 (Л = 0.4103) и на рис. 5 для р = 0.1, к = 1 (Л = -0.1954).
Если рассматривать решение (23) при условии модуляционной устойчивости в момент, когда уже состоялся баланс линейности и дисперсии, тогда отклонение поверхности контакта п(х^) является сумой двух косинусоид (25), одна из которых сжата в два раза относительно другой, при этом амплитуда первой гармоники значительно больше амплитуды второй. Если Л > 0, тогда максимум п1(х,Ь) совпадает со максимумом п2(х, Ь), а минимум п1(х,Ь) совпадает со следующим максимумом п2(х, ¿) (рис. 4 а). Таким образом в областях Б2, Б3, поверхность контакта п(х,Ь) имеет и-образную форму (рис. 4 б).
Если Л < 0, минимумы п1(х,Ь) и ц2(х,Ь) совпадают, а максимум щ(х,Ь) совпадает со следующим минимумом ц2(х, Ь), (рис. 5 а). Таким образом, в области Б1, поверхность контакта ц(х, Ь) имеет П-образную форму, как на рис. 5 б.
Рис. 4. Отклонение поверхности контакта при Л > 0: а) первые две гармоники ni(x,t) и n2(x,t); б) п(х, t) = П1 (x, t) + an2 (x, t)
-1 J
Рис. 5. Отклонение поверхности контакта при Л < 0: а) первые две гармоники ni(x,t) и п2(x,t); б) n(x,t) = ni(x,t) + a^2(x,t)
3.2. Форма волнового пакета на свободной поверхности
Форма волнового пакета во втором приближении на свободной поверхности определяется формулой
По(х, Ь) = А0 сов(кх — шЬ) + аА^Л0 соа(2кх — 2шЬ) + 0(а2),
где А0 ЗАД^бТСЯ формулой (24).
Как и в случае поверхности контакта, для определения формы щ(х,Ь) важен знак Л0(к1,к2,Т,Т0, р,к) = М1/М2, который меняется при переходе через кривую М1 = 0, вдоль кото рой Л0(к1, к2 ,Т, Т0, р, к) = 0, а также при переходе через кривую М2 = 0, в окрестности которой Л0(к1,к2,Т,Т0, р,к) ^ ж. Ниже представлены графики указанных кривых (рис. 6).
Кривые разбивают плоскость (р, к) на шесть областей: 51, Б2, Б3, Б4, Б5, Б6. В областях Б1, Б3, Б5 величина Л0(к1,к2,Т,Т0, р,к) > 0, а в областях Б2, Б4, Б6 — Л0(к1,к2,Т,Т0,р,к) < 0.
Первые две гармоники п01(х,Ь) и п02(х,Ь), а также отклонение свободной поверхности п0(х,Ь) при значениях параметров а = 0.1, к2 = 1, Т0 = 0.001, Т = 0, Ь = 0, к1 = 10, а = 1 представлены на рис. 7 для р = 0.2, к = 2.1 (Л0 = 0.3862), а на рис. 8 для р = 0.96, к = 1.1 (Л0 = —0.665).
Рис. 6. Области знакопостоянства Л0(Н1, Т, Т0, р, к)
Если рассматривать решение (24) при условии модуляционной устойчивости в момент когда уже состоялся баланс нелинейности и дисперсии, то отклонение поверхности контакта п0(х, Ь) является сумой двух косинусоид. Если Ло < 0, то минимумы п0\(х,Ь) и П02(х, Ь) совпадают, а максимум п01(х,Ь) совпадает со следующим минимумом п02(х, Ь) (рис. 6 а). Таким образом в области Бх, поверхность контакта щ(х, Ь), имеет П-образную форму, как на рис. 7 б.
Если Л0 > 0, то максимум п01(х,Ь) совпадает с максимумом п02(х,Ь), а минимум п01 (х, Ь) совпадает со следующим максимумом щ2(х,Ь) (рис. 7 а). Таким образом, в областях Б2, Б3, Б4 поверхность контакта п0(х, Ь), имеет и-образную форму (рис. 8 б).
Итак, при учете второго приближения мы получаем асимметрию гребней и подотттв волнового пакета.
Выводы
Рассмотрена новая нелинейная задача о распространении волновых пакетов в гидродинамической системе «слой с твердым дном слой со свободной поверхностью». Методом многих масштабов получены три линейных приближения. Найдены решения первого и второго приближений, дисперсионное уравнение, а также условия разрешимости второго и третьего приближений.
Получены эволюционные уравнения огибающих волновых пакетов на свободной поверхности и на поверхности контакта. Учет второго приближения для от-
Рис. 7. Отклонение поверхности контакта при Л0 < 0: а) первые две гармоники п01 (х, ^ и п02 (х, б) щ(х^) = П01(х,Ь) + ащ2(х,Ь)
Рис. 8. Отклонение поверхности контакта при Л0 > 0: а) первые две гарм оники п01 (х, ¿) и п02 (х, ¿); б) щ(х,Ь) = Щ1(х,Ь) + ащ2(х,Ь)
клонения свободной поверхности и поверхности контакта приводит к возникновению асимметрии гребней и подошв волнового пакета.
Приведенное аналитическое построение включает влияние нелинейных эффектов на появление неосциллирующих составляющих (14) и сил поверхностного натяжения, и может быть исследована расчетами.
Авторы благодарят рецензента за полезные замечания.
Список цитируемых источников
1. Авраменко О. В. Резонанс и форма волнового пакета на поверхности контакта жидких сред // Вюиик ХНУ, сер. «Математика,ирикл. математика i мехашка». — 2001. — Вии.50. - С. 122-128.
2. Авраменко О. В., Гуртовъш Ю. В., СелезовИ. Т. Характерные свойства распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости // Прикладная гидромеханика. — 2009. - И, № 4. - С. 3-8.
3. Григорьев А. И., Федоров М. С., Ширяева С. О. Волновое движение в поле силы тяжести на свободной поверхности и на границе стратификации слоисто-неоднородной жидкости. Нелинейный сШс1ЛИЗ // Изв. РАН. МЖГ. - 2010. - № 5. - С. 130-140.
4. ЕзерскийА. Б., ПапкоВ. В. Лабораторное исследование крупномасштабных течений, индуцированных пакетом поверхностных волн // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1986. - Т. 22, № 9. - С. 979-986.
5. СелезовИ. Т., Авраменко О. В., Гуртовъш К). В. Особенности распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости конечной глубины // Прикладная гидромеханика. - 2005. - 7(79), № 1. - С. 80-89.
6. СелезовИ. Т., Авраменко О. В., ГуртовъшЮ. В. Нелинейная устойчивость распространения волновых пакетов в двухслойной жидкости // Прикладная гидромеханика. - 2006, - 8(80), № 4. - С. 60-65
7. СелезовИ. Т., Авраменко О. В., ГуртовъшЮ. В., НарадовыйВ. В. Нелинейное взаимодействие внутренних и поверхностных гравитационных волн в двухслойной жидкости со свободной поверхностью // Мат. методы и физико-мех. поля. — 2009. — 52, № 1. - С. 72-83.
8. СелезовИ. Т., Авраменко О. В. Эволюция нелинейных волновых пакетов с учетом поверхностного натяжения на поверхности контакта // Мат. методы и физико-мех. поля. - 2000. - 44, № 2. - С. 113-122.
9. СелезовИ. Т., Авраменко О. В. Эволюционное уравнение третьего порядка для нелинейных волновых пакетов при околокритических волновых числах // Динамические системы. — 2001. — Вып. 17. — С. 58-67.
10. СелезовИ. Т., Волынский Г. И., Суздальцев А. И. Численное моделирование динамики твердой частицы в поверхностных гравитационных волнах // Гидромеханика. — 1993. - Вып. 67. - С. 67-71.
11. Серебряный А. И., ФурдуевА. В., Аредов А. А., Охрименко И. И. Шум внутренней волны большой амплитуды в океане // Докл. РАН. — 2005. — 402, № 4. — С. 543-547.
12. Avramenko О., Naradovy V., Selezovl. Multiscale modelling of the wave interaction in two-layer fluid with free surface // Proc. Int. Conf. «Analytic Methods of Mechanics and Complex Analysis». 36. праць 1н-ту математики HAH Украши. 2010. — С. 9-16.
13. Avramenko О., Selezovl. Nonlinear wave propagation in a fluid layer based on a semiinfinite fluid // Доп. HAH Украши. - 1997. - № 10. - С. 61-66.
14. AblowitzM.J., SegurH. Long internal waves in fluids of great depth // Stud. Appl. Maths. - 1980. - № 62. - P. 249-262.
15. Bakhanov V. V, KropfliR. A., Ostrovsky L. A. On the effect of strong internal waves on surface waves // Geoscience and Remote Sensing Symposium, 1999. IGARSS apos; 99 Proceedings. IEEE 1999 International Volume 1, Issue , 1999, vol. 1. — pp. 170-172.
16. Benjamin Т. B. Internal waves of finite amplitude and permanent form // J. Fluid Mech. —
1966. - № 25. - P. 241-270.
17. Benjamin Т. B. Internal waves of permanent form of great dept // J. Fluid Mech. —
1967. - 29. - P. 559-592.
18. Benney C. J. Long nonlinear waves in fluid flows // J.Maths. Phys. — 1966. — 45. — P. 52.
19. Bhatnagar P. L. Nonlinear waves in one-dimensional dispersive systems. — Oxford: Clarendon Press, 1979.
20. ChoiJ. I I".. SunS. M., Shen M. C. Internal capillary-gravity waves of a two-layer fluid with free surface over on obstruction - Forced extended KdV equation // Phys. Fluids [Phys. Fluids. AJ. - 1996. - 8, N 2. - P. 397-404.
21. DavisR. E., AcrivosA. Solitary internal waves in deep water // J. Fluid Mech. — 1967. — 29. - P. 593-607.
22. DiasF., Il'ichevA. Interfacial waves with free-surface boundary conditions: an approach via model equation // Physica D. - 2001. - 150. - P. 278-300.
23. GrimshawR. H. J. The modulation of an internal gravity-wave packet, and the resonance with the mean motion // Studies in Applied Mathematics. — 1977. — Vol. 56. — P. 241266.
24. GrimshawR., PelinovskyE., Poloukhina O. Highen-order Korteweg - de Vries models for internal solitary wave in a stratified shear flow with a free surface // Nonlinear Processes Geophys. - 2002. - 9. - P. 221-235.
25. Hashizume Y. Interaction between Short Surface Waves and Long Internal Waves // Journal of the Physical Society of Japan.- Vol.48, No.2(19800215) - pp. 631-638.
26. JamaliM., Seymour В., Lawrence G. A. Asymptotic analysis of a surface-interfacial wave interaction // Phys. Fluids. - 2003. - 15, № 1. - P. 47-55.
27. Kubota Т., Ко D. R. S., DobbsL. D. Propagation of weakly nonlinear internal waves in a stratified fluid of finite depth // AIAA. J. Hydrodyn. — 1978. - 12. - P. 157-165.
28. Matsuno Y. A. Unified theory of nonlinear wave propagation in two-layer fluid system // J. Phys. Soc. Japan. - 1993. - 62, № 6. - P. 1902-1916.
29. NayfehA. H. Nonlinear propagation of wave-packets on fluid interface // Trans. ASME., Ser. E. - 1976. - 43, № 4. - P. 584-588.
30. NayfehA. H. Second-harmonic resonance in the interaction of an air stream with capillary-gravity waves // J.Fluid Mech. - 1973. - 59. - P. 803-816.
31. OnoH. Algebraic solitary waves in stratified fluids //J. Phys. Soc. Japan. — 1975. — 39. - P. 1082
32. SegurH. The Korteweg-de Vries equation and water waves. Solutions of the equations. Part 1 // J. Fluid Mech. - 1973. - 59. - P. 721.
33. SelezovL, Avramenko О., Nayfeh A., HuqP., ZeegersN. Propagation of water wave-packets at the interface of layer and half-space fluid // Proc. 2nd Int. Conference «Asymptotics in Mechanics». St-Petersburg State Marine Technical University, St-Petersburg, Russia, 13-16 October 1996. Ed. by A.Nayfeh and K.Rozhdestvensky. St-Petersburg. 1997. - P. 245-252.
34. SelezovL, HuqP. Asymptotic-heuristic analysis of nonlinear water wave propagation in two- and three-layer fluids // Proc. 2nd Int. Conf. «Asymptotics in Mechanics» (St-Petersburg, Russia, 13-16 October 1996) / Ed. by A. Nayfeh and K. Rozhdestvensky. — St-Petersburg: St-Petersburg State Marine Techn. Univ., 1997. — P. 237-244.
35. SelezovL Т., KorsunskyS. V. Wave propagation along the interface between the liquid metal and electrolyte // Proc. Int. Conference «MHD Processes to Protection of Environment». Part 1. - 1992. - P. 111-117.
36. SelezovL Т., MironchukM. V., HuqP. Evolution equation for waves forced by a slender obstacle in a two-layer fluid // Доп. HAH Украши. — 1999. — № 4. — С. 77-82.
37. VolynskiR., AzmonE., SelezovL, SuzdaltsevA. Computer simulation of small particles transport in waves // Proc. 26th Israel Conf. on Mechanical Eng., Technion City, Haifa, May 21-22 1996. - P. 234-236.
38. Watson К. M. The coupling of surface and internal gravity waves revised // Phis. Oceanography. - 1990, Vol. 20. - Pp.1233-1248.
39. Wen Feng. Resonent generation of internal waves on the soft sea bed by a surface water wave // Phys. Fluids. - 1995. - 7, N 8. - P. 1915-1922.
40. Whitham G. B. Linear and nonlinear waves, New York. — 1980.
41. YuenH.C., LakeB.M. Nonlinear dynamics of deep-water waves // Advances in Appl. Mech. - New York, London. - 1982. - 22. - P. 33-45.
42. Zhou C. P., LeeJ.H. W., Cheung Y. K. Instabilities and bifurcations of interfacial water waves // Phys. Fluids. A. - 1992. - 4, N 7. - P. 1428-1438.
Получена 18.11.2010 Переработана 18.03.2011
