Об уравнениях типа Буссинеска полностью нелинейных и одного порядка дисперсии: вывод и сравнительный анализ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ОБЧИСЛЮВАЛЬНІ СИСТЕМИ

УДК 004.94: 532.59

Р.И. ДЕМЧЕНКО, П.В. ДИКИЙ

ОБ УРАВНЕНИЯХ ТИПА БУССИНЕСКА ПОЛНОСТЬЮ НЕЛИНЕЙНЫХ И ОДНОГО ПОРЯДКА ДИСПЕРСИИ: ВЫВОД И СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Abstract: Alternative derivation of Boussinesq-type one-layer and two-layer nonlinear model of 0(д2') order (¡1 is dispersion parameter) written with terms of gradient of velocity potential is presented. The last is being determined on the fluid layers surface defined by free parameters. Both linear dispersion and nonlinear characteristics comparisons

for Boussinesq-type models of the order O (д2) written with terms of the velocity vector equal to potential gradient defined on the arbitrary surface of the water layer, and with terms of the average velocity were fulfilled.

Key words: Boussinesq-type model, velocity potential, dispersion, two-layer models, free parameter.

Анотація: У даній роботі наведено альтернативне отримання одношарової та двошарової нелінійної

моделі типу Бусінеска порядку 0(Д2') (Д-параметр дисперсії) у термінах градієнта від заданого

потенціалу швидкості на поверхнях шару рідини, що визначається довільними параметрами. Проведено

порівняння лінійних дисперсійних та нелінійних характеристик з моделями типу Бусінеска порядку 0(Д2'),

записаними у термінах компонент вектора швидкості, що дорівнює градієнту потенціала, який задається на довільних поверхнях шару води, а також у термінах середньої швидкості.

Ключові слова: модель типу Бусінеска, потенціал швидкості, дисперсія, двошарові моделі, вільні параметри.

Аннотация: В настоящей работе дан альтернативный вывод однослойной и двухслойной нелинейной модели типа Буссинеска порядка 0(Д2') (Д -параметр дисперсии) в терминах градиента от задаваемого

потенциала скорости на поверхностях слоя жидкости, определяемых свободными параметрами. Проведено сравнение линейных дисперсионных и нелинейных характеристик с моделями типа Буссинеска порядка 0(1), записанными в терминах компонент вектора скорости, равного градиенту потенциала, заданного на произвольных поверхностях слоя воды, а также в терминах средней скорости.

Ключевые слова: модель типа Буссинеска, потенциал скорости, дисперсия, двухслойные модели, свободные параметры.

1. Введение

Уравнения двуxмерных нелинейно-дисперсионных процессов типа Буссинеска за последнее десятилетие стали основным инструментом моделирования трансформации волн в прибрежной зоне моря. Предположение о соотношении между параметрами нелинейности и дисперсии

a h0 1 .

е = — ,1 = —, где h0,a,10 - соответственно характерные глубина воды, амплитуда и длина

К 1

поверхностной волны, отображено в разных формах уравнений типа Буссинеска с разным порядком точности относительно обоих параметров. Такие уравнения для Д< 1 являются асимптотически эквивалентными, но для более коротких волн характеристики уравнений типа Буссинеска имеют значительные отличия [1-3]. Точность этих характеристик, одной из которых есть фазовая скорость, определяющая основные процессы трансформации волны, зависит от точности линейного дисперсионного соотношения [1]. Как отмечено Мадсеном [4], Перегрином в 1967 г. было получено “условное”, осредненное по глубине, уравнение Буссинеска с ограниченной областью применения W(kh): kh < 0,3 , где к - волновое число, h - глубина воды, что связано со слабым описанием дисперсионных процессов. В последнее десятилетие ограничение точности

© Демченко Р.И., Дикий П.В., 2009

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2

моделей типа Буссинеска было преодолено для более глубокой воды, основываясь на работах [5] и [6] с предположением о слабо-нелинейном соотношении е = O(m2) и соответствующим ограничением для линейных характеристик: кк < 1,5 и kh < 3 . Подход Нвогу [6], где определяется скорость на произвольном сечении слоя воды, использован в работе Вея [7] с сохранением в уравнении типа Буссинеска членов порядка Oр2) и произвольного порядка е. Согласно [4], в 1953 г. Серре получил альтернативное одномерное уравнение Буссинеска для h = const относительно горизонтальной скорости, осредненной по глубине. Уравнение имеет порядок O р2) и является полно-нелинейным, т.е. без ограничений на порядок параметра e . В последующие десятилетия аналогичные уравнения были получены Су и Гарднерем [4] для однородной глубины. В одномерном и двухмерном случае для переменной глубины уравнение такого типа представлено в [8, 9]. При этом область моделирования таких уравнений кк < 1,5.

Уравнения типа Буссинеска с улучшенной линейной дисперсией с помощью повышения порядка производных в уравнении момента движения представлены в работе [4] в терминах средней скорости для e = O(m) , а также скорости, задаваемой на произвольной поверхности слоя жидкости, при сохранении любого порядка параметра е. В работе [10] метод [4] использован для уравнения типа Серре. Дальнейшее увеличение области глубокой воды для моделей типа Буссинеска проводилось с помощью сохранения старших производных, соответствующих более высокому порядку дисперсии. Так, в [11], отбрасывая слабо-нелинейное предположение и оставляя

члены порядка O(р4) , была удвоена точность линейной дисперсии до кк = 6. В работах [12, 13] при использовании численных аппроксимаций высокого порядка для различных уровней свободной поверхности показано расширение области до кк < 40 для линейных и нелинейных характеристик. Линеттом и Лиу [14] была разработана многослойная модель типа Буссинеска порядка O(р), основанная на подходе Нвогу [6] для каждого слоя воды, определяющегося свободными параметрами. Точность этой модели зависит от количества слоев и может быть расширена до значительных величин кк.

В настоящей работе дан альтернативный работам [14] и [15] вывод однослойной и двухслойной полностью нелинейной модели порядка O(р), а также проведено сравнение линейных дисперсионных и нелинейных характеристик с полученными ранее в [10, 14-16]. Кроме того, показано взаимно однозначное соответствие между полученной моделью и моделями [14, 15].

2.1. Однослойная модель порядка O(р) и любого порядка параметра нелинейности е в

терминах градиента от задаваемого потенциала скорости на поверхности сечения z = г,,

ai

слоя жидкости

Пусть плоскость горизонтальных координат xoy совпадает с невозмущенной поверхностью воды, ось z направлена вверх. Запишем уравнения движения и неразрывности Эйлера для идеальной жидкости:

ди ди 1 _

----+ (uV)u + w----1—Vp = 0 , (1)

dt dz p

dw dw 1 dp

— + (nV')w + w — + -^- + g = 0 , (2)

dt dz p dz

Vu + — = 0 . (3)

dz

Здесь и = (и, v), w - соответственно горизонтальные и вертикальная компоненты скорости жидкости, p= const - плотность жидкости, p - давление, g - ускорение свободного падения, V = (d / dx, d / dy).

Условия на дне z = -к(x,y, t), где к - глубина жидкости, и на свободной поверхности

z = Z( x, У, t) запишутся в виде

ht + (иУ)к + w = 0, z = -к , (4)

zt + (uV)Z-w = 0, z = z . (5)

Аппроксимация уравнений (1) - (3) с помощью разложения искомых функций по степеням вертикальной координаты z с учетом параметров нелинейности e и дисперсии р приводит уравнения Эйлера к уравнениям типа Буссинеска.

Предполагая потенциальность движения жидкости

и = j, v = jy, w = j , (6)

дадим альтернативный вывод однослойной и двухслойной модели типа Буссинеска в терминах скоростей, равных градиенту от задаваемого потенциала скорости и = Vj = V[ j(x,y,z, ,t)] на

произвольной поверхности слоя жидкости. Покажем взаимно однозначное соответствие таких

моделей с моделями, записанными в терминах скоростей и = [Vj(x,y,z,t)]z=z на этих

a1

поверхностях слоя жидкости. Дисперсионные соотношения однослойных моделей в терминах компонент скорости и(x,y,t) содержат один свободный параметр a1, соответствующий выбору

сечения с поверхностью z = z, и скорости и(x,y, t) , через которую в дальнейшем определяются

искомые скорости потенциального движения рассматриваемого слоя жидкости. К таким моделям

относятся модели [4, 6, 7, 15, 16]. В работе [11] для определения поля скоростей используются два

свободных параметра, связанные с поверхностями z, , z, .

Так как движение жидкости потенциальное, уравнения (1) - (5), с учетом (6), примут следующий вид:

m2(jxx + jyy) + jzz = ^ - к < z <V, (7)

Г2 ?

—к+г (рА+jyK)+jz =0, z = -к, (8)

е

—д( +—(рхдх +Фуїу) -Р2 _ 0, г _ 1, (9)

—рі+—д+1—\(рх )2+р )2]+1 є(р )2 =0, г = д. (іо)

Здесь

0

Н = 7" ’ ^ з ГГ (р ,

Но ао аоЛо^Ио

где х, _у , г, I, Н ,£ ,ф - размерные переменные, а масштабные коэффициенты показаны на рис. 1.

Рис. 1. Схема для однослойной модели жидкости Интегрируя (7) по области -А < г < єд , с учетом (8), (9), получим уравнение неразрывности в

следующем виде:

1 1

дд + — К + У- I V рйг _ 0 . (11)

є -к

Решение будем искать в виде ряда

р_ Ё(А +г )ПФп(x, y, д). (12)

п_0

Подставляя (12) в условие на дне (8), с точностью до членов порядка 0(—4) , будем иметь

<р1 _—уи -V р0 -—а+о—4). (13)

є

После подстановки (12) в уравнение неразрывности (7) получим рекуррентные соотношения, позволяющие записать потенциал скорости в виде

.2 I гТ7 7- Т7 , 1 и -ЛҐ , , 1 Т72„ / , 7„\2 І , ГЛҐ ,.4\

р_р0-— |\УА-Ур) + ~єК](г + К) + 2V (р)(г + К) | + О— ). (14)

Здесь

(ро _р(х, у, -А, 0 . (15)

Пусть

ф = ф( x, y, а г). (16)

Так как (р0 = ф + 0(т2) , то, инвертируя соотношение (14) относительно функции (р0, с учетом (16),

приведем разложение (14) к виду

р = р + т2 {[АН - (г + Н)]р + [ВН2 - (г + Н)2]Р2} + 0(р) , (17)

г

где АН = Н + га1,га1 = ТГ,га = аН'+ДС,В = А, (18)

Н0

1 - 1 о

Р1 = УН ■Уф + —Н{, Р2 = —Уф. (19)

Здесь функции А, В соответствуют обозначениям, принятым в [8], а1, Д - произвольные

параметры, которые в дальнейшем будут определены из сравнения линейных дисперсионных и нелинейных характеристик с соответствующими характеристиками согласно волновой теории Стокса.

Подставляя выражение для потенциала (17) в уравнение Бернулли (10) на свободной поверхности г = ед и беря горизонтальный оператор градиента от обеих частей (10), придем к следующему уравнению:

Уф + Уд + еУ фУ( V ф) - т2 У[НР1( + И2 Р2 ] - т2 V {Н{ [ Р1 + 2НР2 ]} +

+1 ет2У[ Р1+2 нР2]2 - ет2У{Уф[н ур1 + и 2уР2+Рун+2 нр2ун]}+ (20)

+т2У{[ анр1 + вн 2Р2\ }+ет2У\Уфу анр1 + вн 2Р2]}=0(т4).

Уравнения (11), (20), с учетом (17), представляют собой замкнутую систему относительно функций Vф(х,у,г), £(х,У,г) , определяющих искомый потенциал скорости движения однослойной

жидкости в приближении 0(т2). Линейный анализ Фурье для уравнения (11), с учетом (17), и

уравнения (20) дает дисперсионное соотношение вида

1 1^ о 1 - [-(а2 + 2а) + -](кН)2

=----П--------------------. (21)

£ 1 -—(а2+2а )(кн)2

Значение свободного параметра а =-0,531 соответствует оптимальному приближению соотношения (21) к линейному дисперсионному соотношению Стокса со2 /£Нк2 = Ш(кН)/кН . На рис. 2 это приближение обозначено кривой (—). Случаи а1 =-1 и а1 = 0 соответствуют кривым

(■■■) и (--). Отметим, что дисперсионное соотношение (21) совпадает с полученным ранее в

работах для однослойных моделей, записанных в терминах скорости и(х, у, г) на произвольной поверхности слоя жидкости [6, 7, 11, 15, 16], где параметр а1 равен числу Нвогу.

2.2. Однослойная модель в терминах средней скорости и

Определим среднюю скорость в слое жидкости -Н < г <ед как

и 1 ед

и

= И | Уф^ , (22)

-Н

где н = Н +ед. (23)

Тогда уравнение неразрывности (11) перепишется в виде

дг +— Н, + V(Ни) = 0 . (24)

е

Принимая во внимание (22), инвертируем горизонтальный градиент от обеих частей (17):

Уф = и +т2 уУН + НР2УН + ИУр + И-УР2- т2'V{АНр + ВН2Р2}. (25)

Здесь

Р=УНм +1Н.,Р2 =1 Уи . (26)

1 е 2 2

В случае гщ = -Н, А,В = 0 и соотношение (25) для Уф совпадает с приведенным в [17].

Подставляя в полученное уравнение движения (20) значение Уф, выраженное через среднюю скорость и из (25), мы придем к уравнению следующего вида:

ц+т | Рун+нР,ун+И Ур+И2 ур, I +У(-т2У{н [р, + нРг, ]+н, [р+2нр2]}+

+е^У:Л+е ШрУН+НР2УН + И УР1 + Ит УРг]|+1 е/ТУр + 2НР2]2 - (27)

-ет2у{]и[нур1 + и 2ур2 + РуН+2нР2ун]}=0(т4).

Уравнение (27) может быть переформировано к виду уравнения Серре, представленного в [9]:

+ е(иУ)и + £Уд-т2^ = 0(т4), (28)

и

Б = — V И

где

—я + — о

3 2

Л "л —*

Я = —Уи + е((иУ)Уи - (Уи)2), 0 = —УН + е(иУ)(иУН).

— — ,

Линейное дисперсионное соотношение для системы уравнений (24), (27)

о21

=Т-1----- (29)

1 + 3(кН)2

соответствует кривой ( • • • ) на рис. 2.

Рис. 2. Отношение фазовых скоростей с / с®оке:< для однослойных моделей. Кривая (—) - (21), (■ ■ ■)

- а = -1, (-----) - а = 0, ( • • • ) - (29), (■ ■ ■) - (30)

Таким образом, переход от Уф к искомым функциям в терминах средней скорости и не

приводит к сохранению свободных параметров а, Д (определяющих поверхность г = гщ) в

уравнении неразрывности (24) и уравнении движения (27) и, следовательно, к улучшению с помощью этих параметров дисперсии для модели однослойной жидкости, записанной в терминах

и . Поэтому соотношения (17), (25) могут быть использованы для вычисления скорости и = Уф

только через значение потенциала на заданной поверхности га = -Н .

В работе [10] показано применение метода [4], повышающего порядок производных в уравнениях (24), (28), что приводит к дисперсионному соотношению вида

о

1 + а(кН)2

£к Н

1

1 + (а + 3)(кН)

(30)

При а = 0 дисперсионное соотношение (30) совпадает с (29). В (30) произвольный параметр а не

1 , 1

связан с какой-либо поверхностью, однако для а = — (а + 2а) — дисперсионное

2 1 1 3

соотношение (30) совпадает с (21). При этом а = 0,0567 (кривая (■ ■ ■), рис. 2) для а1 = -0,531 (кривая (—), рис. 2).

2.3. Однослойная модель в терминах скорости и, определенной на произвольной поверхности г = га

Пусть

и = [Уф]

(31)

г= г

Тогда, взяв горизонтальный градиент от обеих частей соотношения (17) и инвертируя его относительно Уф , с учетом (31), получим

Уф = и + рУНр - т {АУН[р + 2(А - 1)НР2] + УАН[Р1 + 2АНР2]] + 0(ц4), (32)

где Р1=У Ни +1Н,, Р2 = — Уи. (33)

1 е 2 2

Подстановка в уравнение (20) функции Уф, выраженной через скорость и, приводит к аналогичным уравнениям движения и сохранения массы для однослойных моделей, полученных в работах [4], [11], [16]. При этом линейные приближения уравнений (11), (20) совпадают с

линейными приближениями этих моделей (при сохранении одинакового порядка 0(т2) ) и,

следовательно, (21) (кривая (—), рис. 2) совпадает с полученным ранее линейным дисперсионным соотношением в [4, 11, 16]. Как отмечено Мадсеном и Шаффером в [4], точность линейных дисперсионных характеристик для больших волновых чисел очень чувствительна к выбору скорости в качестве переменной и порядку пространственных и временных производных уравнений модели. В данном случае переход к средней скорости в уравнении неразрывности и уравнении движения приводит в области 0 < кН < 3 к большей погрешности (рис. 2, кривая ( • • • )), чем для уравнений, искомая скорость которых есть функция, записанная на некоторой поверхности га

(рис. 2, кривая (—)). Однако повышение производных модели Серре с помощью метода [13] позволяет улучшить дисперсионное соотношение, что приводит к совпадению соответствующих кривых (—) и (■ ■ ■) на рис. 2.

2.4. Радиационные напряжения

Согласно [18], радиационные напряжения, полученные в результате интегрирования по глубине горизонтального и вертикального моментов движения Эйлера (1), (2), с учетом уравнения неразрывности (3), условий на дне (4) и свободной поверхности (5), запишутся так:

г 1—1 —;—

^ | [Риги} + Р5Ц ¥г +[- 2 ря (Н + С)2 + 2 ря (С)2, (34)

-Н 22

— С С

где р = ря(С - г) - рн’2 +--1 ргтёг +----1 р\^ёг (35)

—Х г ——У г

- среднее по пространству давление (атмосферное давление на свободной поверхности жидкости предполагается равным нулю). Здесь С = С + С , С - среднее отклонение, вызванное наличием волн и течений, и С - отклонение от среднего уровня, и1 = и, и2 = V, г, j = 1,2 . Черта сверху в (34) означает осреднение по времени.

Принимая во внимание полученные соотношения (17), (25) и (32), радиационные напряжения можем записать соответственно в терминах Уф, и и и. Так, в терминах Уф

(В (36) - (38) черта сверху означает осреднение по времени).

В терминах средней скорости и полученные компоненты радиационного напряжения перепишутся

с учетом (25), (26) для га =-Н. В терминах скорости и - с учетом (32), (33). При этом

а1

параметра нелинейности е

Рассмотрим область идеальной несжимаемой жидкости, разделенной поверхностью г = ^( х, у, Ї)

на два слоя, содержащих соответствующие поверхности = к1, к2 аналогично двухслойной

модели [14] (рис. 3). Переход от размерных переменных к переменным с соответствующими масштабными коэффициентами проведем аналогично [14]:

радиационные напряжения будут иметь вид с точностью до членов порядка 0(ц4) :

(36)

-рЯху - 2 Р«(С )2.

$22 получается перестановкой х, у .

(38)

Фх = и+т2с(х), фу = V+т2с(у), Фх = и+т2о{ х), фу = V+т2о{ у),

(40)

(39)

где G(х),G(у),G(х),G(у) - непрерывные функции, определяемые соответственно из (25),

(26) и (32), (33).

3.1. Вывод двухслойной модели типа Буссинеска порядка 0(р) и любого порядка

,=м. ,■

Н

V

Л

Н

ф

Н

а010у/ ёН0

ф, т

а

2 = ЛпН0

а

а

12 ’

Эф 1 ' Эф 1 '

и = —!— =------------и, V = —!— =---------------V .

Эх £0е0 Эу е

0^0

= Эф= а, Эг еоСоЛ)

™ =^ = —^™ , со =4sНо, £1 =

Оо

а

(42)

Рис. 3. Схема двухслойной модели жидкости Тогда уравнения неразрывности и движения, а также условие на свободной границе первого слоя запишутся следующим образом:

тП <Лг(фХ1+ф+ф22) = 0 л< г <elV, Но V+^^х+фу^у)=т ф^ г1=е,

ф?+2ео[(фХ1))2 + (фУ1))2]+1 е ттЫф^2+V = ° ^1 = е1^.

2 ооо

Для второго слоя уравнения неразрывности и движения, условие на дне запишутся

т2 т2(ф((2>+фУ?)+фф2 =0, - К~ Н < 4 ^ л,

/ Ш Г\ \Лу ^

—Н + ф^К + фф)Ну + Л ф^2) = 0, г2 = - Н .

л

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

К уравнениям (43) - (44), (46) - (47) добавим условия непрерывности на разделяющей поверхности г = л( х, у, I) для горизонтальных и вертикальных компонент скоростей:

[фхфУ'Ч^ = [ф^2),ф^2)] Л1 ■ (48)

22 =УЛ

а 2

[ф()]=1 -= |[ф"’]г, + ' (49)

2 ^2

Проинтегрируем уравнения неразрывности (43), (46) соответственно по области

Н0 , Л „ _

Л< г1 <££ и —-Н < г2 < — Л с учетом граничных условий на дне, свободной поверхности и

Л2 Л2

условия непрерывности (49) для вертикальных компонент на смежной поверхности Л. После сложения проинтегрированных уравнений получим уравнение неразрывности для всей

рассматриваемой области:

а1

уЛ

1 а а ^

—^ + д( + ^ V | Уф(2)Лг2 + ^V | Vф(1)dz1 = 0 . (50)

е0 Н0 -НоН Н0 Л

^2

Будем искать решение для второго слоя в виде

К

ф(2) = £ (г2 + КТ КУф{т( х У, 0 . (51)

т а2

Подставляя (51) в граничное условие на дне (47) и уравнение (46), получим с точностью до членов

порядка 0(т2):

ф2)=ф02) -т21 р;гьг + К- Н)+Я2)(*2 + Кг Н)' ]+0(т4) ■ (52)

Н

где ф02) =ф(2)(х, у, - Кг Н, ,) ,

Л2

^(2) = vн • Vф02)+—к , р(2) =1 ^ v2ф02) . (53)

ео 2 Но

Решение в области л< 21 < e1V будем искать в следующем виде:

ф(1) = £(^1 -л)тф(т)( х у, 0. (54)

т=0

Подставляя выражение (54) в уравнение неразрывности (43) и принимая во внимание условие

непрерывности вертикальных компонент (49), получим искомый потенциал в верхнем слое:

ф(1) = ф01}-т |р(1)( ^1- л)+Р(1)( ^1- л)2 }+0(т4,т2т2), (55)

где ф((1) =ф(1)( х, у, Л, 1), (56)

= Vh■ Vф02) +- к,+£ н 2V2ф0!), я»=14 v2ф01l. (57)

ео Но 2 Но

3.2. Двухслойная модель типа Буссинеска порядка 0(т2) и любого порядка параметра нелинейности е в терминах Vф

Запишем потенциалы ф(1),ф(2) соответственно на поверхностях , г аналогично (17):

р(1) = р(1)+т {\4л- (- - л)]Р(1)+\вл - (- -л)2 р(1)}+оКт4) - (58)

рт = р'Г) +м2|\А.А-(-2 + *)Ж(2) + -(--2 + Й(2)1 + 0(т2), (59)

где р(1) = р(х, y, гаі, Ґ), р(2) = р(х, у, а і) - (60)

*

Ал = -а, -л, А* = -а2 + * В1 = ^ В2 = А22 - (61)

Р(1) = V* -Ур(2) + — * + ^Н2У2р(2), р,(1) = -^У2р(1) - (62)

Є0 *0 2 *0

Р(2) = V* •Vр(2) + — *, р,(2) = - ^ V2р(2). (63)

Є0 2 *0

Из условия непрерывности горизонтальных компонент скорости на разделяющей слои поверхности имеем

vр(1)+т р(1^ л+т^\А1лр(1)+вл р,(1)] =

= vр(2) - т |—н 2 \ ^(2)+н 2 ^(2) ]+vи\F1(2)+2 н 2 р,(2) ]| + (64)

I ¿1 ¿1

+Д! ^ v\A2hP!2'+В*2 /2|2)]+0(д4, д!тХ)-

а1

Подставляя (51) в уравнение Бернулли (45) на свободной поверхности -1 = Є1д, придем к следующему уравнению движения:

Чр\1) + Чд + є<,(ур1)'грр'') + +тМл,К0) + 2Н1Р^1)] - Н1\^1) + НДЦ]}+

+е0т^^р(1) • \Vл(F1(1) + -н1F2(1)) - н1(vF1(1) + н1ур2(1))]}+

(65)

+Є0т2\ р(1) + 2 Н^Мр(1) + 2 Н^] + +тМА1лр(1)+в1л2 р,(1)]+£0т^^р(1) • v\А1лр(1)+в1л2 р,(1)]}= =0(т4,тт1,т)-

Подставляя (58), (59) в уравнение неразрывности (60), перепишем его в виде

V + — ^ ^V • нуфт + ^ V • н^ф(2) -

ео Но Но

-тV - |[-Н1 V Л( /1°’ + Н1#2(11) + 2 н^'1’ + 3 Н^“]} -

-ту - Щ- Н гVН(Р;Г)+Н 2 Д(”)+2 H;VFl<2)+3 Н г^22-)]1 + (66)

+т^ - |н^[ +вЛ /2(1) ]}+т22 V - |н^[ а2н/1(2) + в2н2 /2(2) ]}=

= 0(т4,т2т2,т4)-

Здесь

р(1) = vн - й2+—к+^ н2vй2, /2(1) =1 ^ vй1 , (67)

ео Но 2 Но

р(2) = VН - й2 + — к, /2(2) =1 ^ Vй2 , (68)

ео 2 Но

где й = V ф(1), й2 = V ф(2). (69)

Система уравнений (64) - (66) образует замкнутую систему уравнений для определения

неизвестных функций Vф(1), Vф(2) двухслойной модели с тремя свободными параметрами

V 2аг,Л.

Средние скорости й1, й2, введенные по формулам

_ 1 е

_ = — | Vф0^, Н1 =ехд-Л, (70)

Н1

1 Л

а1

-гЛ

_ 1 Г V? (2) 7 ТТ Л Н0 ,

й2 =— } VФ( ^ Н2 ^-7-Л^-ГН , (71)

Н 2 -Но Н Л 2 Л 2

Л2

могут быть использованы для задания начальных и граничных условий для функций

й1 = Vф(1), й2 = Vф(2) после инвертирования соответствующих функций Vф(1), Vф(2):

Уф<2)=й +т1 ^[/1(2)+н 2 F2(2)]VН+2 Н2ГО1(2-)+3 Н22УД(2)+о(т4), (72)

Уф<Г) = _+т2 | -[/<1)+Н1р^[>^Л+2 HlVF(,> + 3 ну/р+0(Д4,ml2m2г,m4) ■ (73)

3.3. Взаимно однозначное соответствие между скоростями й12, й12

Соотношение между функциями й12, й12, с учетом (58), (59), имеет следующий вид:

U — Ui — m {[(A — 1)Vh + hVA1]i^1(1) + 2A,h[(A, — 1)Vh + hVA1]/*2'1)} + O(m4), (74)

.,2

u — ^2

— m {[(A — 1) Vh + hVA2 ]i^(2) + 2 A2h[( A2 — 1)Vh + hVA2 ]F2(2)} + O(m4), (75)

где р(1) — Vh• й2 + — ht + ^#2V4, F2(1) —1 ^VU , (76)

^0 h0 2 h0

F/2) — Vh • U2 + — ht, F2(2) —1 ^ VU2 , (77)

^0 2 ho

или в обозначениях [14]:

й1 — й1 — mi2 [7i + Siza ]Vza, U2 — U2 — m22 [72 + S2Za3 ]Vz«3 , (78)

где S1 — ^V^, S2 — ^VU2 , (79)

h0 h0

71 — h^S2 — ST,] + T2, :f2=V(hU2)+—ht . (80)

d2 e0

Можно показать, что подстановка (74), (75), с учетом (76), (77), или подстановка (78), с учетом (79) - (80), в уравнения (64) - (66) при сохранении порядка аппроксимации O(m2) приводит к уравнениям двухслойной модели [14].

Запишем поверхности, соответствующие рис. 3, в виде

a — ah+blV, h — ah+Av , z„3 — ah+Дд, (81)

где a, a2, a, A, b2 ,A - произвольные параметры, которые должны быть определены.

Перейдя к размерным переменным, проведем анализ Фурье системы уравнений (64)-(66) в одномерном случае для постоянной глубины. Решение будем искать в виде

z — £ахв1в + £2а2във +...,

щ —e^e ё + £2й(2)е21ё +..., (82)

й2 — eU21)e1'q+e2U22)e2iq +...,

где в — kx — wt, к - волновое число, e - параметр порядка аппроксимации. Такой вид решения (82) будет использован для нахождения линейного дисперсионного соотношения и амплитуды нелинейного приближения для определения соответственно параметров a1,a2,a3 и

b1, Ь 2 , b3 .

В случае h — const из (74), (75) или (78) следует равенство скоростей

й,, й2 — й,, й2+o(m2m2). (83)

Кроме того, в линейном приближении в этом случае уравнения (64) - (66) совпадают с уравнениями модели [14]. Тогда анализ Фурье уравнений (64) - (66) в терминах й,, й2 приводит к

следующим соотношениям, совпадающим с аналогичными соотношениями, полученными ранее в [14] для двухслойной модели:

О)2 = 1 + р1 (кН)2 + р2(кН)4 gk 2Н 1 + д1 (кН)2 + д2 (кН)

4 ’

й(1) = gal [кН -^8(кН)3]

1 Но [1 + д1 (кН)2 + д2 (кН)4 ]

й (1) = gal [кН + 51(кН )3]

2 Но [1 + д1 (кН)2 + д2 (кН)4 ]

Здесь

где

Р1 = 5257 - 5А - 53 - 5 Р2 = 55 - d4d7, д1 = -^8 - 55 - 5 д2 = 5558 - 5657,

¿1 = -о2, 52 = 1 + о2, <53 =1 (-2^3 + 6о1о2 - 3о2о2),

6

54 =1 (203 - 6о1о2 - 60102 + 3aгa2 + 6о3о2 + 3о2 + 6а3 + 2),

6

¿5 = 1о12 - о1о2, 56 = о1о2 + о, 57 = -1(о12 + о22) + о1о2,

¿8 = 1(о22 + о32) - о_о2 + о3 - о1.

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

В случае Л = -Н : о2 = -1, о3 = -1

1 1 2 1 2

Р1 = -(3 + °1 + 2°1), Р2 = 0 д1 = -(о1 + 2°1), д2 = 0

(89)

и двухслойная модель (64) - (66) в переменных й1, й2 приводится к однослойной модели (11), (17),

(20). В переменных й1, й2 модель (64) - (66) сводится к однослойной модели [15], [16]. Таким образом, линейные дисперсионные отношения для однослойных и двухслойных моделей, записанных в терминах й и й, совпадают.

Рис. 4. Сравнение отношения фазовых скоростей с / с®оке:< для однослойных и двухслойных

моделей. Кривая 1 - (21), 2 - (84)

На рис. 4 показано удвоение области W(kh) для двухслойных моделей по сравнению с однослойными моделями такого же порядка дисперсии O(ß2) , записанных в терминах й1, й2 или

U/j, Z/2 .

Собирая члены порядка O(e2) (£- порядок аппроксимации в (82)), после подстановки

рядов (82) в систему одномерных уравнений (64) - (66) для h = const получим нелинейную поправку для амплитуды волны в виде

а2 = ка20(йГ),й(2,&),kh,a1,a2,a3,ß1,ß2,ß3). (90)

Полученное приближение порядка O(e2) можно сравнить с приближением второго порядка волнового решения Стокса [14]:

ßStote = I kai2[3coth3(kh) - coth(kh)]. (91)

В настоящей работе для нахождения параметров ß1,ß2,ß3 используется метод оптимизации

среднеквадратичного отклонения для функции

ANL = I (а - )2. (92)

kh

При этом второе приближение а 2 может быть представлено в виде

а2 = а20 + a21ß1 + a22ß2 + a23ß3 , (93)

где а20,а21,а22,а23 = а20,а21,а22,а23(й1(1),U<2 '),w,kh,a1,a2,a3). (94)

Так как линейные приближения рассматриваемых однослойных и двухслойных моделей совпадают, найдем соответствующие параметры нелинейного приближения ß1 и ß1,ß2,ß3 для

найденных из дисперсионных соотношений линейных параметров a1 и a1,a2,a3, где в случае

однослойных моделей a1 = -0,531, а в случае двухслойных воспользуемся значениями [14]:

Таблица 1. a - параметры линейной оптимизации

W(kh) a a2 a3

0,1 < kh < 5 -0,127 -0,256 -0,618

0,1 < kh < 10 -0,128 -0,262 -0,618

В случае переменных и1, и2 решение системы уравнений (64) - (66) будем искать в виде (82), где обозначение ~ заменено на л. Тогда для а2 придем к уравнению вида

а2 = ка2б!(й1(1),й(2\а),кк,а1,а2,а3,Р1,Р2,Р3), (95)

где м1(1),¿21) = м1(1), и21), а1 = а1, а)=ю. (96)

Среднеквадратичное отклонение запишем аналогично (92):

kh

Тогда, в случае однослойных моделей, находя второе приближение а2 или а2 как функцию, соответствующую переменной и или и , оптимизируя погрешность (92), (97) по областям изменений Й1:0,1 < кИ < 5 , 0.2: 0,1 < кИ < 10 , получим следующие значения параметра Д :

Таблица 2. Д - параметр нелинейной оптимизации

0,1 < kh < 5 0,1 < kh < 10

ß b

u 0,095004 0,206961

и 0,190006 0,413924

На рис. 5 в случае однослойной модели показано распределение отношений вторых приближений а2 и а2 к функции а2оке , которые совпадают при разных значениях параметраД .

Stokes

Рис. 5. Сравнение приближений однослойной модели а2 и а2 к а2 Кривая 1: 0,1 < кИ < 5, кривая 2: 0,1 < кИ < 10 В табл. 3, 4 приведены параметры нелинейной оптимизации Д,Д2, Д3 для двухмерных моделей, записанных в терминах и1, и2 и и1, и2 соответственно (Дж - погрешность нелинейной оптимизации).

Таблица 3. Д - параметры нелинейной оптимизации по области Й1

1 < kh < 5 ß1 ß2 ß3 D NL

Ui, U2 -0,068882 -0,250290 -0,005275 0,003

¿¿1, ¿¿2 -0,137766 -0,250291 -0,010550 0,003

Таблица 4. ß - параметры нелинейной оптимизации по области

1 < kh < 10 ß ß2 Ьз D NL

W1, U2 0,107553 0,076485 0,056785 0,014

¿¿1, ¿¿2 0,215107 0,076486 0,113571 0,014

2

На рис. 6 (двухслойная модель) показаны отношения а2 и а2 к функции а2,‘оке!1, которые совпадают при разных значениях параметров Д,Д2,Д3.

1.3

•7

0.9

kh

10

„Stokes

Рис. 6. Сравнение приближений двухслойной модели а2 , а2 и а2 . Пунктирная кривая -

нелинейная аппроксимация при Д,Д2,Д3 =0, кривая 1: 1 < кк < 5 , кривая 2: 1 < кк < 10 На рис. 6 кривые, соответствующие отношению (а2, а2)/а2оке° при Д1,Д2, Д3 =0, совпадают с приведенной в [14]. Кривые, соответствующие областям изменения 1 < кк < 5 и 1 < кк < 10 , совпадают для двухслойной модели (64) - (66), записанной в переменных й1, й2 и и1, й2 для

различных наборов параметров Д,Д2,Д3. Таким образом, соотношения (74), (75) или (78) дают взаимно однозначное соответствие между функциями й1, й2 и йх, й2, что приводит к взаимно

однозначному соответствию между моделью (как однослойной, так и двухслойной), полученной в настоящей работе, и моделью [14-16].

3.4. Радиационные напряжения

Интегрируя по глубине уравнение вертикального момента (2) в каждом слое, запишем аналогично

случаю одного слоя жидкости [18] среднее по пространству давление жидкости в каждом слое:

Г ^ С

■2)-р(м'')“ +— Г0итм(1)й2 + — [рут, (98)

p(1)

= pg(Z - z) -p(w(1))2 + -ZIpu(1)w(1)dz + Z— Jpvm'w{X)dz ,

p(2)

: pg(h0 + z) + ph - p(w(2))2 + — I pu(2)w(2)dz + — Ipv(2)w(2)dz, /o Zv J Zy ^

(99)

где ^0 =а2к Л ~Ло =ДС .

В каждом слое проинтегрируем по глубине уравнения горизонтальных моментов (1) с учетом уравнения неразрывности (3), а также граничных условий на дне и на свободной поверхности. Складывая полученные уравнения и принимая во внимание условие непрерывности горизонтальных и вертикальных компонент векторов скорости, а также давлений обоих слоев на

1.2

1.1

0

2

4

6

8

z

z

разделяющей поверхности 2 =Л, получим радиационные напряжения в следующем виде

(К = 0):

z ho 1 _____

stj = } [pu^uf + рт^ }dz + I [puf)uf + p(2)Sl] ~\dz + - pg (z')2]d. +

ho -h 2 (100)

+pg(ho - h)(Z - h) -1 pg(h + Z)2.

Полученное выражение для радиационных напряжений может быть записано с учетом (74), (75) или (78) в терминах u1, u2 или u1, u2.

4. Выводы

В настоящей работе дан вывод полностью нелинейной модели типа Буссинеска порядка О(р) в терминах u = V j(x,y, za^) - градиента от задаваемого потенциала скорости на поверхностях

слоя жидкости z = za , определяемых свободными параметрами. Такой вывод является

a1,2

альтернативным работам [14] и [15], где однослойная и двухслойная модели типа Буссинеска с

улучшенной дисперсией записаны в терминах скоростей u = [Vj(x,y,z)\ на поверхностях

a,2

слоя жидкости z = za .

a1,2

Сравнение линейных характеристик на примере однослойной модели типа Буссинеска, записанной в терминах u, u и u , показало равенство дисперсионных соотношений при сохранении порядка O(m2) и повышении порядка производных с помощью метода [4] в уравнении движения, записанном в терминах средней скорости u .

Так как между скоростями u и u существует взаимно однозначное соответствие, то, как следствие, получено равенство линейных и нелинейных характеристик двухслойных моделей, записанных в этих терминах скоростей. Тогда методы оптимизации для отыскания свободных параметров и область их определения W(kh) для одной из моделей могут быть применены к другой модели с последующим заданием найденных свободных параметров и области их определения W(kh) в качестве входных данных для программного кода.

Полученная однослойная модель (11), (17), (20) и двухслойная модель (64) - (66) типа Буссинеска порядка O(m2) в терминах градиента от задаваемого потенциала скорости на поверхностях слоя жидкости, определяемых свободными параметрами, могут быть использованы для решения практических инженерных задач.

Авторы благодарят к.ф.-м.н. Железняка М.И. за консультации при выполнении работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Advances in coastal and ocean engineering / Еd. P. Liu. - World Scientific Publishing. - 1999. - Vol. 5. - 336 p.

2. Dingemans M.W. Water wave propagation over uneven bottoms. Part 2. Non-linear wave propagation. - Danvers, USA, 1997. - P. 473 - 963.

3. Svendsen Ib A. Introduction to nearshore hydrodynamics // Advanced Series on Ocean Engineering. - Univercity of Delaver, USA, 2006. - Vol. 24. - 722 p.

4. Madsen P.A., Schaffer H.A. Higer-order Boussinesq-type equations for surface gravity waves: derivation and analysis // Philosofical Trancations of Royal Society. - 1998. - Vol. 356. - P. 3123 - 3184.

5. Madsen P.A., Sorensen O.R. A new form of the Boussinesq equations with improved linear dispersion characteristics. Part II. A slowly varying bathymetry // Coastal Engineering. - 1992. - Vol. 18. - P. 183 - 204.

6. Nwogu O. Alternative form of Boussinesq equations for nearshore wave propagation // J. Water Ways Port Coastal Ocean Engineering, ASCE. - 1993. - Vol. 119. - P. 618 - 638.

7. A fully non-linear Boussinesq model for surface waves. Part 1. Highly nonlinear unsteady waves / G. Wei, J.T. Kirby, S.T. Grilli et al. // J. Fluid Mech. - 1995. - Vol. 294. - P. 71 - 92.

8. Железняк М.И., Пелиновский Е.Н. Физико-математические модели наката цунами на берег // Сборник научных работ «Накат цунами на берег». - Горький, 1985. - С. 8 - 33.

9. Железняк М.И., Демченко Р.И. Нелинейно-дисперсионные эффекты генерации волн подвижками дна в прибрежной зоне // Тезисы докл. “Всесоюзное совещание по вычислительным методам в проблеме цунами”. -с. Шушенское, Красноярск, ВЦ СО АН СССР, 1987. - С. 52.

10. Демченко Р.И. и др. Нелинейно-дисперсионная модель типа Буссинеска с улучшенной дисперсией / Р.И. Демченко, П.В. Дикий, М.И. Железняк // Тезисы докл. «Математичне та імітаційне моделювання, МОДС-2007».

- Киев, 2007. - С. 23 - 26.

11. Gobbi M. et al. A fully nonlinear Boussinesq model for surface waves. Part 2. Extension to O (kh)4 / М. Gobbi, J.T. Kirby, G. Wei // Journal of Fluid Mechanics. - 2000. - Vol. 405. - P. 181 - 210.

12. Agnon Y. et al. A new approach to high order Boussinesq models / Y. Agnon, P.A. Madsen, Н. Schaffer // Journal

of Fluid Mechanics. - 1999. - Vol. 399. - P. 319 - 333.

13. Madsen P.A. et al. A new Boussinesq method for fully nonlinear waves from shallow to deep water / P.A. Madsen, H. B. Bingham, Н. Liu // Journal of Fluid Mechanics. - 2002. - Vol. 462. - P. 1 - 30.

14. Lynett P, Liu PL-F. A two-layer approach to water wave modelling // Proc. of the Royal Society of London. - 2004.

- Vol. 460. - P. 2637 - 2669.

15.Lynett P., Liu P. A numerical study of submarine-landslide-generated waves and run-up // Proc. of the Royal Society of London. - 2002. - Vol. 458. - P. 2885 - 2910.

16. Kennedy А. et al. Boussinesq-type equations with improved nonlinear behaviour / А. Kennedy, J. Kirby, Q. Chen // Wave Motion. - 2001. - Vol. 33. - P. 225 - 243.

17. Вольцингер Н.Е. и др. Длинноволновая динамика прибрежной зоны / Н.Е. Вольцингер, К.А. Клеванный, Е.Н. Пелиновский. - Ленинград: Гидрометиоиздат, 1989. - 271 с.

18. Phillips O.M. The dynamics of the upper ocean // Cambridge University Press-London. - England, 1966. - 421 p.

Стаття надійшла до редакції 02.10.2008