Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии Текст научной статьи по специальности «Физика»

Термогидродинамика океана

УДК 551.466.8

А.А. Слепышев, И.С. Мартынова

Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии

В приближении Буссинеска, следуя методу асимптотических многомасштабных разложений, исследуются нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом турбулентной вязкости и диффузии. В работе определяются декремент затухания волны и по-гранслойные решения у дна и свободной поверхности. Среднее течение, индуцированное волной, находится во втором порядке малости по крутизне волны. Получены коэффициенты нелинейного уравнения Шредингера для огибающей волнового пакета. Показано, что в длинноволновом пределе слабонелинейная плоская волна устойчива к продольной модуляции; если длина волны меньше некоторого критического значения, то волна модуляционно неустойчива.

Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн проявляются в генерации средних на масштабе волны течений [1, 2]. Физической причиной этого является отличие от нуля волновых напряжений вследствие зависимости огибающей волнового пакета от пространственно-временных координат [3, 4]. Огибающая узкоспектрального пакета внутренних волн удовлетворяет нелинейному уравнению Шредингера [2]. Внутренние волны распространяются преимущественно цугами - локализованными в пространстве волновыми пакетами. Физической причиной перемежаемости волнового поля является, с одной стороны, разнесенность источников и стоков энергии, с другой - модуляционная неустойчивость внутренних волн, которая приводит к сложной эволюции огибающей волнового пакета [5].

Теория нестационарных слабонелинейных пакетов внутренних волн при отсутствии турбулентной вязкости и диффузии создана в работах [1, 2]. Средние течения и неосциллирующие поправки к средней плотности, индуцированные волной, находились во втором порядке малости по крутизне волны. Погранслойные решения для поверхностных волн, как и средние течения, генерируемые волной за счет нелинейности, описаны в [6]. В настоящей работе определяются средние течения, индуцированные внутренней волной, при учете турбулентной вязкости и диффузии и коэффициенты нелинейного уравнения Шредингера для огибающей, а также декремент затухания волны, погранслойные решения у дна и свободной поверхности. Делается вывод о модуляционной неустойчивости внутренних волн.

Постановка задачи

Рассматриваются свободные внутренние волны с учетом турбулентной вязкости и диффузии. Применяется асимптотический метод многомасштабных

© А.А. Слепышев, И.С. Мартынова, 2009 ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

3

разложений для исследования нелинейных эффектов при наличии стока энергии внутренних волн в турбулентность. В первом порядке малости по амплитуде волны получено решение линейного приближения и дисперсионное соотношение для внутренних волн. Неосциллирующие поправки к средней плотности и скорости течения находятся во втором порядке малости по амплитуде волны. Из условия разрешимости краевой задачи, определяющей вертикальную структуру основной гармоники в третьем порядке малости по амплитуде волны, получено нелинейное эволюционное уравнение для огибающей.

Примем в качестве исходных уравнений для волновых возмущений уравнения Навье - Стокса для неоднородной жидкости и введем безразмерные переменные по следующим формулам (волнистой чертой сверху обозначены размерные физические величины):

~ = Их, (I = 1,3), ~ = , £ = щ3,

и, = и1У[^И, р (хз) = ро (°)Ро (хз),

~ = к / И, со = сОу^/И, Р = р0 (0) gИP, К1 = Кф, К3 = Кф,

М = М ф,

~ ъ г 2 ф \И

М3 = Мзф £2 =-"77-— ,

и 2\ g

где и (I = 1, 3) - горизонтальная и вертикальная компоненты волновой скорости течения соответственно; И - глубина моря; р0 (х3) - средняя плотность; ^з - возвышение свободной поверхности; Кг,-М - коэффициенты турбулентной вязкости и диффузии; ф = тахК (X) , к - горизонтальное волновое число; с - частота волны. Далее получим систему уравнений гидродинамики для волновых возмущений в приближении Буссинеска с учетом коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии при реальной стратификации:

du дил —1 + и —1 dt

дР

д

K

ди1

dxi dxx dXj V dxy

. и dp+S2 K дизл dt dxt dx3 dxy i dxy

+ £

2

д

du? du, - + и 3

+ £

dx-2 d

K

dUj

dx

2

dx,

dp dp 2 d f' ж dp

— + Щ — = £- M1~

dt dxt dxy i dxy

dUj dx:

Л

+ £

= 0.

_d_

dx,

дщ

v dx3 у Л

P

M%

dP I „ dPo

dx-

- и

3 у

dx-.

(1а)

(1б)

(1в) (1г)

На свободной поверхности используем кинематическое и динамическое граничные условия [7]

4 ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

2

2

3

- P + £3+ 2s2 2K3 8из = 0 , (2а)

8x3

8ил „ 8u

K3~± + = 0 , (26)

8x3 8x1

= и3, (2в)

8t

здесь (2а), (26) определяют отсутствие нормальных и тангенциальных напряжений. На дне примем условия прилипания

щ (-1) = 0, (3а)

U (-1) = 0 . (36)

Граничные условия по плотности следующие: при x3 = g3

p = ps (xl51) = const, (4а)

при x3 = -1

p = pb (xl51) = const. (46)

Указанные граничные условия сводятся к виду: при x3 = 0

p(0) + £, p + С, 8p = 0 , (5а)

8x3 8xt

при x3 = -1

p(-1) = 0 . (56)

Решение исходной системы уравнений (1) 6удем искать в виде асимптотического ряда

V = ^enWn(4,т,^,в), p = ^snpn(4,г,^в), (6)

n=1 n=1

где iy(x, x3, t) - функция тока, которая определяет поле волновых скоростей ,8у 8у

(- - горизонтальная скорость,--- вертикальная скорость); s - кру-

8x3 8xj

тизна волны; r = s2t; 4 = s(x — Cgt), Cg - групповая скорость в линейном при6лижении. Здесь 4 и т - медленные переменные, в - 6ыстрая переменная и фаза волны, к = ex , со = -в(. Введем дифференциальные операторы

г 82 82 w 82 ,8

L = к2—- + —- M = 2к-+ Ь—.

8в2 8z2 8в84 4 8в

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

5

Подставляя разложение (6) в исходную систему уравнений движения и при-

3

равнивая члены при одинаковых степенях £ , с точностью до £ получим:

^ = к р+ 89 89 89

кА

89

(

Кк2

88 (

89

+

8х^

Кк

8

898х

з у

£22 +

+

_8_

8х,

к2 К + —

89 8^3 8х3

2

К

8 ¥

V 3 8хз2 у

(7а)

-а^ - к-^\Ы1к 89 89{ 1 89

р V 2 АГыъ р £2 - р к ¥=о,

8х,

8х

з у

йх 89

(7б)

+ к/^ )-а-8-(Ь¥2 + ) = к Р +% +

89 8%

84 8 + к 4 9 ^ )£22 +£22 8Х"

2

К

2

к 8 ¥2 + 8 ¥1

898х3 8%8х3 у

+

+

8х,

^ дз

К

8 ¥2 + М ¥

V 8928х3

8х,

+

3у

8х,

2

К

8 ¥2

V 3 8хз2 у

(8а)

£22 +

9 82 2

+ к2—- (К1М¥1)£2\ 89

8р 8р

- С Р + к/в^ (р1,¥1)-М к2 ^ £22 - М 1Мр£22 -

8%

89

8 Г., 8Р2 \ 2 8Ро Г8¥2 , 8¥1

М,^2 £2 -

8х-1

+

89 8%

89

= 0.

(8б)

8

8

8 ¥2

8¥ 8Мщ 8 ¥

—Ьш, -а— Ь¥ - С„Ь - СМ—^-а-— -а--

8т 1 89 3 я 8% г 8% 89 898%2

+ к/9,х3 (Ь¥1,¥2 ) + к/9,х3 (ь ¥2' ¥1) + к/9,х3 (М¥,¥ ) =

- +

9,х3

8Р3 8Р2

= ^^АЦ + + £—

8 8^Г д2

89 8%

+

А 8%

Г ^ *1

V V

к 2 8¥

2 89 89

2

2 + М¥1

К

2

к2 8 ¥з ¥1

89

+ М¥ +

2 ' 8%2

+

уу

89

+

уу

V V

22 8 (~Г к 8_¥^_ +8¥ II] +

8 XI 8 + — [к —

8% 89

( (

К1

V V

8 2 ¥2

892

к2

+ М¥

3

уу

К3

V V

898х3 8%8х3

уу

+

8%

2

Кк2 ^

1 89 2

+

(9а)

+ -

_8_

8х,

Г Г

Кз

V V

к 8 ¥2 , 8¥1

898х3 8%

уу

]£- + —[к-

2 8х 89

2

*1

V V

2

к 8 ¥з , 8 ¥2

899х3 8%8х3

+

уу

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн, 2009, № 5

2

£

2

8

8

2

8

6

( ( Я2

+ ■

дЕ

К

V V

2

, д ш д ш д к—— + —— + — дх.

двдх3 д^дх-

3

К д Шз

Кз~Т~2

V дхз у

]£2 ,

- ^ Р-С-Р + др1 + к/,,хз (Р1,ш)" ^

д

_8_ дЕ

дЕ

( (

М1

V

дв дт

к Р+дР дв дЕ

\\

2

£ -

-х

в

л

( (

М1

V V

к др +др дв дЕ

\Л

у у

- (9б)

д дРз )£ 2_дРодШ2Л

М

-х.

3 у

дх

дв дЕ

+

+ к/в,х3 (Р2,Ш1) = 0-

Первый порядок малости по крутизне волны. В первом порядке малости по крутизне волны волновые возмущения давления р, плотности р и

функции тока щ представим в виде

Ш = Л( е'в + к.с., р = Лщ е'в + к.с., р = Лро е'в + к.с.,

(10)

здесь к.с. - комплексно-сопряженные слагаемые. Приведем граничные условия с точностью до £ : при х = 0

к а ., 2 ^ 1 2 й — (---L - Ш£^ К -L + ,к £

а

к йх^

2

г й (

К 3

V их3 у

-2£22Кък( = 0 , (11а)

й 2(

К3 + Кк2( = 0,

(11б)

при х = -1

(= -т=0•

(11в)

Уравнения для ( (х3) и щ (х3) имеют вид

(

7 2 я * 2 2 —

С - к Мх£г +£2 ——

(

\\

М,

йх

? К

3 у у

2

Г й (

К3 ^ ,,

V —х3 у у

к2К( -±-

(

\\

К 3

V —х3 у у

(

к2Щ - —

М

йх

х (12а)

3 уу

- к2 +

2 2 (£2 =С

3у

- к 2 + й

йх

2

2

3у

(1 - к Их ^1

5

£

2

й

2

к

+

й

й

2

+

£ -а/

X

2

7Ж¥ 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

7

^ 72,^ 2 2 й Г., й 11 , йр0

/а-к М1 £2 +£ - М3- п =-1к-( .

йх^ йх^ ,

3 V 3 У у

(12б)

Граничные условия для функции щ следующие: при х3 = 0

при х = -1

п (0)+-(1(0) ^ = 0.,

а ах„

П1 (-1) = 0.

(13а) (13б)

Уравнение (12а) будем решать методом Люстерника - Вишика, разлагая (, п, а в асимптотические ряды [7, 8]:

, (14а)

(1(Х3) =Х(1" (х3)£ 2 +£2ХУ"1£2 +£22Е£2У/0 '

1=0 1=0

п1 =ХП1" (Х3)£2 +£2 Е+£220,

(14б)

са = а01 +£2 -ю02+£22 -а03+..., (14в)

где у/((1 + х)/£), ^4(1 + х3)/£) - погранслойные решения в окрестности

дна; у,0(х3 /£), 0(х / £) - погранслойные решения в окрестности свободной поверхности.

В нулевом порядке малости по параметру £2 получим уравнение и гра-

ничные условия для (10 :

(

с

- к2 +

й

2 ^

3 у

при х3 = 0

при х = -1

(1С

с

(10

(10

,2 йР0 г,.

(10 - к (10 = 0 ;

= 0,

-1 = 0.

(15а)

(15б)

(15в)

Краевая задача (15) имеет счетный набор собственных значений к , соответствующих различным номерам мод при фиксированном а01.

Подставляя разложение (14а) в уравнение (12а), получим с точностью до

0 1 / \ / 1 + Х3 \

£2 уравнение для у0 (ц) (ц =-):

£

1=0

1=0

=0

1=0

2

2

к

8

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн, 2009, № 5

О 6— 1 0 4- 1 02 v 1

K3M3 -6- +-4- 3 + M з)ю01 = —f ^. (16)

ОЦ ОЦ 0Ц

Решение уравнения (16):

-о1 = D ехр(-Яц) + G° ехр(-12ц),

где

1 = ^01 (1 -i) , d= -i), (17)

4 )2M3 (-1) 2 pK3 (-1)

, Зф10/öx3 |r =, D0 = ° 3 3=-1 , G0 =-D6. 1 -12

Найдем погранслойные решения v00 в разложении (14а), чтобы удовлетворить граничным условиям (11а), (11 б) в окрестности свободной поверхности. Подставляя разложение (14а) в уравнение (12а), получим с точностью до

0 0 / \ / Х3 \

~ s2 уравнение для v0 (ç), (ç = —) :

K3M3 06-0 + 04-0i^01(K3 + M3) = «012 02-0. (18)

dç 0ç 0ç

Решение уравнения (18):

где

-0 (ç) = C0 exp(10ç) + F0 exp(1Ç) :

C00 = (1Ч1 - ^(d?)3 )-1 (-Ö01I2 + iK3(12)3 )f0, (19а) P0 K1k ф0(0) + K3d Wdx32|x3=0

F0 =--7П-^—3—, (19б)

0 K3(i0)2 +ßd0)2) ( )

ß = {$®01 - iK 3d1)3 )-1 (-Ö01I2 + iK 3 (12 )3 ), (19в)

110 определяются по формулам (17), только функцииK3, Ы3 берутся в

точке x3 = 0 .

Уравнение следующего приближения в (12а) для рп получается после подстановки разложений (14а), (14в) в (12а) и приравнивания членов ~ £2 :

2

®01

( ,2\

"^0 1.2 2Ш002 г2 "р0

Ф11 —— k Фи =--k Фи,—;—, (20)

- k2 +

2"2

Ф0 , 2 2а02 1 2 "Р0

d%3 d%3

граничные условия для фп :

£2

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

9

при х = 0

к Сл п -(11 --г-(1* = 0

С

к

(21а)

при х3 = -1

(11 =0.

(21б)

Условием разрешимости полуоднородной краевой задачи (20), (21) является ортогональность правой части собственной функции однородной краевой задачи для (10. Ввиду того что правая часть уравнения (20) при с02 ф 0 не ортогональна (10, краевая задача (20), (21) не разрешима и функция (и не определена, так же как и не определена поправка к частоте а02. Рассмотрим уравнение для (12, полученное из уравнения (12а) после подстановки разложений (14а), (14в) и приравнивания членов ~ £22:

С

й ■

- к +

йх.

- к2 +

2 й

'3

2

(

"т 0 7 2 (12 --Г"к (12 =

- 2с - /м- 2 +1М3 -й-у

йх.

3

йх,

2

3 у

(10а01 +а01

+ 1к

2

й (10

К1к3(10 -кК3—-2

йх.

3у

=

(К й3(10 к к2 й(10

(22а)

Граничные условия для (12 следуют из (11а), (11в) после подстановки разложений (14а), (14в) во втором порядке малости по параметру £:

_к2_ _ |

(2х3 2 (2 = У12х3=0

С01

( х3 =-1

= 0,

где

¡к

Ун =-

®П1

- к

д( 0 К +1 —

-х.

к -х-.

( Я2_ А

К

- (10

V 3 -х32 у

- 2К,

д(

10

-X,

(22б)

Условие разрешимости краевой задачи (22) имеет вид [9]

0

| р1(10йх3 =-У12(1М .

(23)

Из условия (23) следует выражение для а03:

X

2

й

+

X

-1

10

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

2йх3 йры (0) р10 (0)

Г"р0 1,2 2 2йх3 , ~"Р10

к Р10-+ 2

*01

йх^ а 1

0

I [®011 [-(к2 М1

й

(М ^))("к +

2 , А4'" ■ '-4

10 + к4К1(хз)рю (Кз(2

- к2 — К(х)А°) + — (Кз

й 2Рю

;2 й пг /„ \ йР10

йх3 йх7 2 йх

)] Рюйхз +

+ А[-кРК(0) + (Кз(хз)-2кКз(0)х =0 Р10(0)].

к (йх-.

Второй порядок малости по крутизне волны. Решения уравнений второго порядка малости по параметру £ - крутизне волны будем искать в виде

¥2 = Р (А, х3 )е2г9 + р4 (А, х )ег9 + С(%, т, х) + е. с.,

р2 = п2 (А, х )е2г9 + щ (А, х )ег9 + Ш%%,т, х) + е.с.

(25а) (25б)

Из граничных условий (2), (3) с точностью до членов ~ £ 2 получим краевые условия для р2, п2:

4к 2р2 - 21 а0

/ \ 2 - 2штдР + к №

дх3 ^ у

А2 -¡кр,^А2 +£224к2К 8Р2

8х,

-8

А^ 82РгЛ

8хз \ 3 8хз2 у

+ 16К3£22к Р|хз=0 = 0,

дxэ

(26а)

К

8 2Р2 8^3 2

+ 4к2 Кхр2\х

= 0,

(26б)

8р2, | п

"РI хз=-! = Р хз=-1 = 0 •

(26в)

Граничные условия для щ:

к А Гк р р А2 + кр21 + р р р А2

П2 +

а йхъ \а йхъ

2

а йх, йхъ

А

а2 йхъ

ии0

V у

А2Р 1хз=0 = 0

П2 х3 =-1 = 0 •

Уравнение второго приближения для р2 имеет вид

0

а03 =

а

01

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

11

- 21а + 4к 2М1 £22

-х.

М3 —

V -х3 у

- 21а

- 4к2 +

- 2 ^

(

дх-.

^

2Ш3 (

Й^З у

-X,

, д(2 -- 4к2 К-^-2 +-

дх3 йх3

-X.

- 2 (2

(2 - 16к4К1(2£22 -

3у 2

К 2

V - х3 у

+ 2к'

т -Р0 т

(2 -

дх3

л

А

йп

V "(11ХХ~3у

д

- 2а I + 4к2Мх£ - -

дх,

М3-

V -х3 у

(27а)

- к!-

- к2 +

-2 1 „ { ,, -2 ^

-х.

( Л2 + Л2 к1(г

3у

- к2 +-

-х.

3у

Функция п2 удовлетворяет уравнению

д

- 21а + 4к 2Мг £1 — дх3

( д М3 —

V -х3 у

щ = 21к —0 (2 - к

й( йп

п1-п- -( —1

Л2. (27б)

Решение уравнений (27а), (27б), следуя асимптотическому методу Люстер-ника - Вишика, будем искать в виде

(2 =(20 +£2 (21 + ...,

П2 = П20 +£2 П21 + ... .

(28а) (28б)

Из (27а) найдем уравнение для (20:

(

- 4а2

- 4к2 +

2 -

2 А

-Х-

2

= 2а

01

-к

3 у - к2 +

(20 + 4к2 -р° (20 - 2к: йх3

10

' 2 —^

^^оЛ2 + Л2к(

(1

'2 ^

10 10

ОХь

Л2=

- к2+-

йх3

(29)

Представляя (20 в виде (20 = (201(Хз)Л, из (27а) получим обыкновенное дифференциальное уравнение для (201( х3) (30), а из граничных условий (26) с точностью до ~ £0 - краевые условия для этой функции:

(

- 4а

01

- 4к2 +

2 а

2 А

= 2с

йх3

(

(201 + 4к2 -р° (2Ш - 2к: йх

йх йх

-к

- к2 +. 0

(10 + к(

- к2 +

й2

йх

3 у

(30)

при х = 0

3

а

д

+

2

X

X

2

2

2

2

2

12

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

4к Р201 - 4а01

2 "Г201

+ 2а01 к

V "хз у

- 2а01Р10к

й 2Р10

= 0,

(31а)

при х = -1

йР201

= Р201 =

(31б)

Из (27б) получим

П20 = , р20 +

к

ат йх, 2а \ йх, йхъ

1ю йп10

(32)

к йрп

где п10 =--~г- Р10 •

®01 йх3

Подставляя (25а), (25б) в (8а), (8б) и собирая слагаемые, пропорциональные в'9 , получим уравнения для р4, щ:

(

-а'

- к2 +

2 8'

,2 А

8х-

3 у

Р4 - к4К1Р4£22 - £2

(

\

1кКъ Р

V 8хз у

- к2 К 8Р +

8х3

2

К

8 Р4

V 3 &з2 у

£2 = С

£2 = Cg

8'

- к +

2

8х.

рА% - 2краА% + кт4 + щА% - (33а)

- 2'к3Крр А%£2 + —

К

йхъ

з у

\ 2 й (

А%£22 + —

у

21кК1-!-1

йх йх

А» £

%а2'

- ¡а + к2Мр£ -

8х,

М3 — V 8хз у

щ = СщА% + 21кп1М\А%£1 +

Граничные условия для р: при х = 0

(33б)

к2р - а I

-а р + £22к2К р-£22 —

8х

К

V 3 ^з2 у

+ 2'822к 2аКъ р = 0,

8р4

8х,

(34а)

, Г 82р4. = 0 ,

к2 Кр р + К

3 2

(34б)

2

п

д

2

д

2

2

д

+

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

13

при х = -1

-(4 п

(4 = = 0 '

дх,.

(34в)

Граничные условия для п4: при х = 0

к йР0

п4 + — (А—— = 0

а

йх^

(34г)

при х = -1

П4(-1) = 0.

(34д)

Решение уравнений (33а), (33б) будем искать в виде

(4 = Л(40(Х3), Щ = Л^^),

где функции (40 (х3), п40 (х3) удовлетворяют следующим уравнениям:

-а1

- к2 +

2 . -2

дх.

(40 - к 4К1(40£22 -£22 -

(

3 у

х

кк3 (

Л

х

-[- к2 К1

1

3у

х

-(4П -

X +

х х

2

К

2(40

V 3 &32 у

з 2 д

- 21к К (£2 +--

1 1 2 х

(

£2 = С £2 = Cg

- к 2 +

2

х

( - 2к(а + кт40 + щ - (35)

3у

1

К3 ^ у

£22 +

х

ИкК^

йх.

3у

- 1а+ к2Мх£22 -£22

дх.

М,

дх.

3 у

2 \лА-'а

п40 = Сщ + 21кпхМ\£2 +—— (к(о + (). (36)

Граничные условия для (40: при х = 0

к2(40 -а\

-а1

-(40 + £к2К -(40

ЙХо

-(40 ? -- £

дх,.

дх,.

Г Я2_ А К

-2(1

V 3 &32 у

+ 21 £2 к а К,

(

(37а)

40

х

= 0,

при х = -1

к2 К1(40 + К.

-2(40

дх3 2

= 0,

(37б)

X

2

2

5

5

а

+

14

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

Граничные условия для п40: при х = 0

при х = -1

™ 8Р40 п р40 = ^Т" = 0 .

8х„

к йР0

П 400 + р40 = 0

а ах,.

П40(-1) = 0 •

(37в)

(38а) (38б)

Уравнения для неосциллирующих поправок к функции тока Й(%,т, х) и к возмущениям плотности Я(%,т, х3) получаются после подстановки (25а), (25б) в (8а), (8б) и осреднения по периоду волны:

д

2 ( я2л~г А

2 8х3 2

К

V 3 ^з2 у

8х-,

к'

д_

х

((

- к2 +

2

х

А А

р1р!

з у

+ е.п

А4*,

(39а)

М,

сШ х

з у

д

кг-8- щ р*)+ е.с.

8х3

М*,

(39б)

где АА*= АА* ехр(-2|а03|т) • Из (39) следует, что функции Й(%,т, х)

Я(%,т, х) необходимо искать в

виде

Й(%, т, х) = с(х) А1А1

Я(%,т, х) = Кх) А1А1 *, причем с( х3) и г( х) удовлетворяют уравнениям

2 ( Я2Л

К

82с

V 3 &з2 у

= к'

й

М,

йг

((

- к2 +-

йх й^х) у йх^

VV

= к'

8х-

\ \

рр

3у

+ к.с^,

й

(пр?)

+ к.с.

(40а)

(40б)

Эти уравнения следует дополнить граничными условиями, вытекающими из (2), (3): при х = 0

К

82с | ,. * й2р

V 3 &з2 у

= к'р

+ к.с.,

й2 с

= 0,

(41а) (41б)

при х = -1

2

2

д

2

£

2

*

2

й

д

2

2

2

£

2

2

£

2

2

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

15

йс

= с = 0 .

(41в)

Граничные условия для функции г(х3): при х = 0

г + ■

1

при х = -1

2(1

й(1 к йх3 а

+ с

- 2(1

т к2

йх2 а2 0х-

„к2 а [

а йх

(1

йх

=0,

3 у

г(-1) = 0.

(42а)

(42б)

Подставляя разложение (14) для функций ((х3), щ (х3) в уравнения (40а), (40б) и граничные условия (41), получим уравнения и граничные условия для решений с , г в основной толще жидкости:

л2 ( ~а \ й - с0

V &3 у

а

= (120^—

(( 2 ^

- к 2 +-

V^

дх-

(10

3 у у

й

(0

2

- к2+—

V^

х

(1

20

3 у у

(

аг А

М3-Г

= 2к~<—~ (nlС(120 (1 Сnl2С) ,

(43а) (43б)

( щ 9 „

здесь (ио = —, ^20 = — - действительные функции. Граничные условия 1 1

для п0( х3): при х = 0

2к(

а 2(к

20 —Х 2

- 2(0 ^ = —

дх2

' -2с ^

К 3^"

V &3 у

= 0,

при х = -1

-с, дх.

0 = с0 = 0 .

(44а) (44б)

(44в)

Горизонтальная компонента средней скорости индуцированного течения определяется по формуле

\2 —с

и*. =

Граничные условия для функции г0(х3): при х = 0

(45)

0

0

2

й

16

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

r0 +

1

dX Cg при X3 = -1

2p

10

dx3 ^^q |

■ + С

- 2p(

Л 2

dx3 ю(Л dx3

ro(-1) = 0.

к2 d ( dp0

-p0—fT" Vio~T a dx3 1 dx3

= 0, (46а)

(46б)

Третий порядок малости по крутизне волны. Решение уравнений (9а), (9б) в третьем порядке малости по параметру г будем искать в виде

= p31e' + p32e ' + p33e ' + e.c. + C(£,t, x3) , p = щ le'e + щ 2e2'e + n33 e3'e + e.c. + R(%,t, x ),

(47а) (47б)

где Сх), X) - неосциллирующие поправки к функции тока и

средней плотности. Подставляя (47) в (9а), (9б) и собирая слагаемые, пропорциональные е'в, получим уравнение для . Решая последнее методом Люстерника - Вишика и используя разложение = ( +г2 2(31 +..., получим уравнение для (:

(

a

01

- к 2

2 А

дх-

3 У

^ РР к ^31 = S1 + S2 + S3 A1 A1 .

(48)

Из граничных условий (2), (3) в третьем порядке малости по г , собирая слагаемые, пропорциональные е1в, найдем краевые условия для ( с точностью

до : при х = 0

=

дР301 дх3 0 к2 -Р31— = О) 1

к3 РС к3

-Р0 a01 РХ •--1 a01

d2 )ip20 , Р0 ,.2 + a0 к

Р20

d 2Фю Рх2

/13 = A1 ,

- +1

^20

Рк

3 У

Cg dx

1

2

a01 x3 =0

(49а)

(49б)

при х = _ 1

(З0 |х3 =- 1 = 0 .

Условие разрешимости краевой задачи (48), (49а), (49в) имеет вид

0 Г

1 [*

+ s2 + s3A1 A1 |P10dx3 =-/13Р10(0) ,

где s1, s2, s3 определяются по формулам ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

(49в)

(50)

17

к

0

0

2

2

2

^ = ¡-Щъ - ¡с

- к2 +-

йх-

3 у

52 = -1кС&п40 - 1к(40 + 1атС),

- ¡kао2l(4c - а021(10 + ¡аcln4С,

- к 2 +

2 а

(10 =

2

йх

2

3 у

(40 - 2ка01СЯ(10 -

(51а)

(51б)

s3 = к % 0(20 - к2

й(10.т аП ' с1х + 0

йх3

а

+ к1(10-Г~

ах3

( (

2 а -

- 4к +■

VV

л л

(20 у у

-а

- 2 к(2

- к2 + '

2

йх

(1

з у

а

/V

- к2 + ■ ' ^

Vv

—(20 , л л

(10 уу

- к 2 + 0

2

йх3

а Зс

—с

(0^--к(10—3

йх йх

(51в)

+ 21к

2й - 4к2 +

2

(20

йх3

Из (50) следует эволюционное уравнение для огибающей

Л1т +а1 Л1Е + а4 Л1 Л1* = 0,

(52)

где

0

| ^ 2(10йх3

0

| sз(l0dx3

а =

10

а =

| sl(lоаxз

2~ 0

| sl(l0аx3

(53)

а =

^13(10(0)

3 " 0

| 81(10йх3

- 2а

Коэффициенты а, а - чисто мнимые. С помощью замены q = —-

а

Т = —4 уравнение (52) сводится к нелинейному уравнению Шредингера 1

-Л . q -2Л

■-1-

+ ЩЛ2\Л = 0 .

(54)

дт 2 -Е2

Это уравнение имеет частное решение - огибающую слабонелинейной плоской волны Л ехР(_ 1Т Л2 т), которая при Tq < 0 неустойчива к продольной модуляции в силу критерия Лайтхилла [10].

2

й

2

к

2

ас ^ — ¿а + ас^.

-1

18

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

Результаты расчетов

Сделаем расчет индуцированных течений в северо-западной части Черного моря при стратификации, показанной на рис. 1. Краевые задачи (15), (22) решались численно по неявной схеме Адамса третьего порядка точности. У внутренних волн низшей моды с периодом 1 ч при глубине 78 м

к = 6,88-10-3 м 1

5а = а 03/ г равен

декремент затухания волны -5,55-10-1 рад/с; если глубина составляет 300 м, то к = 2,35-10-3 м 1, 5а =-1,01-10 1 рад/с. При решении краевой задачи (22) находилось единственное решение, ортогональное р10 при следующих коэффициентах турбу-

лентного обмена: К = 10 2 м2/с, К3 = 8 -10

ч-6 , .2

м2/с, М = 0,006 м2/с,

М3 = 5 -10 м/с. Решение краевой задачи (43а), (44) по определению вертикальной структуры индуцированного течения находилось путем интегрирования уравнения (43а), интегралы вычислялись численно. Горизонтальная компонента средней скорости индуцированного течения определялась по формуле (45). Величина еА находилась по известной величине максимальной амплитуды вертикальных смещений. Действительно, если функция тока щ линейного приближения определяется по формуле (10), то можно найти

вертикальное смещение , используя соотношение

Ж

■ = и,

к

=-р10е А ехр(гкх - га ¿) + е.с.

а

Отсюда следует, что

е А =■

шах<^3

2шаХРк

к '

а

01

Рис. 2. Вертикальное распределение средней скорости индуцированного течения при Н = 18 м (штриховая) и Н = 300м (сплошная)

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

19

6

На рис. 2 показаны вертикальные профили среднего течения, индуци -рованного внутренней волной низшей моды периодом 1 ч при максимальной амплитуде вертикальных смещений 0,5 м. С возрастанием глубины скорость индуцированного течения при неизменных коэффициентах турбулентного обмена и амплитуде волны уменьшается.

Сделаем аналогичный расчет для 40- и 20-минутных внутренних волн низшей моды при тех же коэффициентах турбулентной вязкости и диффузии при стратификации, соответствующей глубине 300 м (рис. 1).

У 40-минутных внутренних волн к = 3,59• 1 0-3 м- 1, SSa=-1,64-1 0-7 рад/с, у 20-минутных k = 7,95 • 10-3 м - 1, Sa = -5,88-1 0-7 рад/с. Получим картину индуцированных течений при той же максимальной амплитуде волны (рис. 3). С уменьшением периода волны скорость индуцированного за счет нелинейности среднего течения возрастает. Для исследования модуляционной неустойчивости внутренних волн делался расчет коэффициентов нелинейного уравнения Шредингера при стратификации, соответствующей глубине 78 м (рис. 1).

о

z/H -0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 Нищ, м/с

Р и с. 3. Вертикальное распределение средней скорости индуцированного течения для 20-минутных (штриховая) и 40-минутных (сплошная) внутренних волн низшей моды

20 ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

Р и с. 4. Зависимость коэффициента д от Р и с. 5. Зависимость коэффициента не-

волнового числа линейного самовоздействия Т от волново-

го числа

Зависимость коэффициентов q, Т от волнового числа к показана на рис. 4, 5. Величина произведения Т ■ q положительна в длинноволновом пределе, при к = 0,018 м 1 происходит смена знака Т ■ q , при к > 0,018 м 1 имеет место модуляционная неустойчивость.

Выводы

1. Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн проявляются в генерации средних на временном масштабе волны течений, пропорциональных квадрату текущей амплитуды волны.

2. С увеличением частоты волны скорость индуцированного течения при фиксированной максимальной амплитуде вертикальных смещений увеличивается.

3. С уменьшением глубины скорость индуцированного течения при фиксированной максимальной амплитуде вертикальных смещений и частоте волны возрастает.

4. Огибающая волнового пакета удовлетворяет нелинейному уравнению Шредингера. Показано, что слабонелинейная плоская волна в длинноволновом пределе устойчива к продольной модуляции. Если длина волны меньше некоторого критического значения, то волна модуляционно неустойчива.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Борисенко Ю.Д. , Воронович А.Г. , Леонов А.И. , Миропольский Ю.З. К теории нестационарных слабонелинейных внутренних волн в стратифицированной жидкости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1976. - 12, № 3. - C. 293 - 301.

2. Grimshow R. The modulation of an internal gravity wave packet and the resonance with the mean motion // Stud. Appl. Math. - 1977. - 56. - P. 241 - 266.

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5

21

3. Езерский А.Б., Островский Л.А., Степанянц Ю.А. Индуцированные течения и их вклад в энергию волновых движений жидкости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1982. - 17, №11. - С. 1201 - 1208.

4. Езерский А.Б., Папко В.В. Лабораторное исследование потенциальных течений, индуцированных пакетом поверхностных волн // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 22, № 9 - 1986. - С.979 - 986.

5. Юэн Г., Лэйк Б. Теория нелинейных волн в приложении к волнам на глубокой воде // Солитоны в действии. - М.: Мир, 1981. - С. 108 - 131.

6. Дворянинов Г.С. Эффекты волн в пограничных слоях атмосферы и океана. - Киев: Наук. думка, 1982. - 176 с.

7. Черкесов Л.В. Гидродинамика волн. - Киев: Наук. думка, 1980. - 259 с.

8. Задорожный А.И. Затухание длинных волн в экспоненциально стратифицированном море // Морские гидрофизические исследования. -1975. - №3. - С 96 - 110.

9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1971. - 576 с.

10. МиропольскийЮ.З. Динамика внутренних волн в океане. - Л.: Гидрометеоиздат,1981. -216 с.

Морской гидрофизический институт НАН Украины, Материал поступил

Севастополь в редакцию 13.03.08

Филиал МГУ им. М.В. Ломоносова После доработки 14.04.08 в Севастополе

ABSTRACT In the Boussinesque approximation and following the method of asymptotic multi-scale expansion, non-linear effects in propagation of internal waves are studied with allowance for turbulent viscosity and diffusion. The wave attenuation decrement and boundary-layer solutions near the bottom and the free surface are defined. The wave-induced mean current is of the second order infinitesimal in the wave steepness expansion. The coefficients of the Schrodinger non-linear equation for the wavepacket envelope are obtained. It is shown that within the long-wave limit a weak-nonlinear flat wave is stable to the longitudinal modulation. If the wavelenth is smaller than a certain critical value, the wave is unstable to modulation.

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5