Особенности прохождения ультразвуковым импульсом гидроволновода с неоднородными граничными условиями Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org

2008, 5

С. В. Реука

Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет, кафедра электроакустики и ультразвуковой техники, ул. Проф. Попова, д. 5 e-mail: ayo@list.ru

Рассмотрена задача прохождения ультразвуковым импульсом комбинированного струйного волновода. Волновод представлен в виде последовательности «камера - струеобразующее устройство - струя». Решена задача возбуждения и преобразования мод в тех сечениях системы, где изменяются граничные условия. Рассмотрены дисперсионные искажения звукового импульса и предложен способ их уменьшения.

Ключевые слова: ультразвук, струйный волновод, жидкостный волновод, неоднородный волновод.

ВВЕДЕНИЕ

Для автоматизированного контроля толстолистового проката часто применяется иммерсионный способ ввода, реализуемый путем прозвучивания листов в ванне с жидкостью. Недостатком установок с такими устройствами являются их крупные габариты, сложность размещения в действующих цехах, длительность процесса проектирования и изготовления. Существенного уменьшения габаритов и стоимости установок можно достигнуть путем замены иммерсионной ванны на струйные акустические контакты с малогабаритным водосборником. Несмотря на использование в некоторых системах локальных иммерсионных ванн в виде направленного потока жидкости, разработка оптимальных параметров данного метода ранее не проводилась.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим неоднородный волновод в следующем виде. В камере больших размеров

1 находится пьезопреобразователь 2 поршневого типа. Камера 1 заполнена жидкостью и открывается в струеобразующее устройство (сопло) цилиндрической формы 3, которое формирует струю жидкости 4. Струя падает перпендикулярно на поверхность объекта контроля 5. Акустическая ось преобразователя совпадает с осью сопла и струи. Схема акустического тракта представлена на рис. 1.

Особенности прохождения ультразвуковым импульсом гидроволновода с неоднородными граничными условиями

Получена 03.03.2008, опубликована 26.03.2008

Рис. 1. Схема акустического тракта

Задача состоит в том, чтобы найти акустическое поле на поверхности объекта контроля при условии, что известны: а) значения частоты и размера преобразователя; б) форма зондирующего сигнала; в) геометрические параметры акустического тракта.

Данная задача может быть решена путем разделения акустического тракта на несколько участков, в каждом их которых условия распространения ультразвука остаются неизменными. На границах участков выделяются характерные сечения, в которых скачком меняются граничные условия. Зная распределение колебательной скорости в начале первого участка (то есть на поверхности преобразователя), найдем распределение колебательной скорости в конце первого участка. Это распределение используем как начальное для второго участка, и так далее до нахождения колебательной скорости на поверхности объекта контроля.

Выделим характерные сечения данной задачи:

С.1. Поверхность преобразователя. В данном сечении колебательная скорость полагается известной. Преобразователь условимся считать поршневым. Временная форма излученного им импульса может быть измерена или рассчитана.

С.2. Сечение ^ = L0. Условно назовем его «вход сопла». Система координат в сопле: г, z', где 2 = 2 - L0.

С.3. Сечение 2 = L0 + L1. Условно назовем его «вход струи». Система координат в струе: г,2', где 2' = z'-L1.

С.4. Сечение 2 = L0 + L1 + L2. Это пятно контакта струи с объектом контроля.

Будем считать длины сопла и струи достаточно большими по сравнению с протяженностью ультразвуковых импульсов (во избежание образования стоячей волны). Стенки камеры 1 и сопла 3 изготовлены из материала с большим затуханием ультразвука и имеют большую толщину, поэтому считается, что часть звуковой энергии, поглощенная стенками сопла не возвращается в жидкость и не создает таким образом помех.

2. АКУСТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДЕМФЕРНОИ КАМЕРЕ

Для нахождения акустического поля поршневого преобразователя в области 0 < 2 < L0 воспользуемся известным представлением его в виде суперпозиции плоских

волн, распространяющихся по всем возможным направлениям. Потенциал колебательной скорости ф(х, у, 2) в некоторой точке М(х, у, 2) можно записать как [1, с. 24]

П

—+ /ад . 2п 2

ср( х, у, 2) _ ^°^ик \ Г 2^1(ка е -‘к [(х С0’а+у ’1па)’1пб+2 .¿тШШа. (1)

(2п)2 0 0 кайпв

Переходя к сферической системе координат х _ Я ’1п#со’а, у _ Я ’1п#’1па, 2 = Я со’& (2)

и вводя новую переменную

£_ ’1п0, йС, _ со’в_л^\~С^йв, (3)

получим

р(х,у,2) _ ГI°(кЯСАпа) 2}'к,а‘С)е-¡Я-=£=йС . (4)

2П 0 каС дД-С

Сделаем подстановку кЯ ’1п а • £ _ к2£ • Ща: р(х,у,2) _ Г10(кхС¡ша) 2,'(,‘а/)е-7==^й£. (5)

2п 0 ^ д/1 — С

Тогда распределение нормальной компоненты колебательной скорости:

4- _ —^ЪГ{}0(к20ша) е■ (6)

Приводя выражение к виду, пригодному для расчета на ЭВМ, получим £ (Г) _ (ка)2 } 21х{каС)

г

Введем обобщенные параметры: ка — волновой размер преобразователя, р _-

а

2 2 •к

приведенное расстояние от акустической оси, ^ _ — _ —- — расстояние вдоль

2 бл а • 2п

акустической оси, выраженное в количестве ближних зон. Тогда

г, (р) _ (кау- Г {карС)е(8)

3. АКУСТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В СТРУЕОБРАЗУЮЩЕМ УСТРОЙСТВЕ

Известно [2, 3], что колебательный процесс в трубе круглого сечения происходит в виде волновых мод. Акустическое поле в трубе является суперпозицией всех мод:

п

(P(r, 21 _Т;Рр (Г, 2

р_0 _______ (9)

(рР(г,2>) _ Ар 10(Ург)• ехр(—‘^к2 — У2Р •2О.

Будем считать, что сопло изготовлено из акустически жесткого материала. Тогда на стенках (при г = Ь) радиальная компонента колебательной скорости равна нулю:

г (г>2 _~д(р{г^ 2) _ар ^ (УРЬ) ■ехР(—‘^кГ-^12') _0. (10)

дГ г_Ь

Это условие приводит к уравнению

10(^Ь) _ o, (11)

УР ~ т' ( \

где УР = —, у — корни производной Т0(г )

ь

Амплитуды мод можно вычислить через распределение нормальной компоненты колебательной скорости в начальном сечении трубы. Ее можно разложить в ряд:

дг'

= Е То(ург ) аР (12)

г'=0 Р

Из математической физики известно, что функции Бесселя ортогональны с весом х на интервале [0; 1]. Тогда коэффициенты ряда ар можно найти следующим образом:

Ь П

!(1(г) ^0(-Ъ-г)гёг

ьг)

0 ь Можно показать, что

1 = Т [ [р ) + Т2(гр )]. (14)

0 Ь

Тогда коэффициенты разложения будут равны

а = Ь ■ [)+1?(Тр)] 0 ( )гф. (15)

Поскольку Т0(х) = - Тх(х), а Т'0(ур) = 0, значит и Т1(у ) = 0 . Тогда

2 Ь

“Р = Ь 2Т2( ) (г)]0(УрГ>Ж . (16)

Ь Т0\У Р) 0

На выходе сопла симметричная мода с номером р создает следующее распределение амплитуды нормальной компоненты колебательной скорости:

дф(г, г')

г'=Ы1

дг

аРТ0 (^РГ) ехр(-Цк 2 -ур Ы)

г '=Ы

Тогда на выходе сопла — входе струи (сечении г = Ы0 + Ы1)

(2 г (г ^ г,=Ы1 =^“р Т0(^0 рГ )ЄХР(-Іт!к 2 -УР Ы1) .

(17)

(18)

4. АКУСТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В СТРУЕ

Акустическое поле является суперпозицией полей волновых мод:

п

(p(г, 2") _Е^(г,2"),

д_0

(г^г'1 = Вч ТоО/)• ехр(-/ф2 -и] г").

(19)

Стенки струи будем считать акустически податливыми. Тогда давление на поверхности струи равно нулю:

дф

р = р0 Ц

= 7®Ровч То(и/)ехрО*- ,Цк 2 - и] 2м)

г=Ь

= 0.

Это условие приводит к уравнению То(идЬ) = То(^] ) = 0^

(20)

(21)

где ц _П-, п — корни функции Мп).

Ь

Амплитуды мод найдем из распределения нормальной компоненты колебательной скорости на входе струи:

дф(г, г")

дг'

= ЕТ0(и/)в0] .

г"=0 ]

Аналогично случаю сопла, можно показать, что

2

Р] = і2т2, ч|Ь 2 г V' / •'О

и

1(2 г (г )Т0(и дГ .

Распределение скорости, создаваемое ]-й модой на выходе струи:

(, (г. г ")|

дф(г, г")

г "=Ь2

дг'

в Т0 и) ехР(-.Цк 2 - и] Ы2 ) ^

г "=Ь 2

(3г (г) = Е в Т0 О/) ехР(-//к 2 - и] Ы2 ) .

(22)

(23)

(24)

(25)

Р

Ь

г

5. ОСОБЕННОСТИ ПЕРЕХОДА МОД СОПЛА В МОДЫ СТРУИ

Акустические моды сопла различаются амплитудой, распределением амплитуды по фронту, величиной волновых чисел по акустической оси и поперек нее. Значит, каждая мода проходит протяженность сопла со своей скоростью и в свое время. Достигая сечения входа струи, каждая мода сопла возбуждает в струе полный набор мод. Каждая из них проходит струю со своей скоростью.

Ясно, что поле в струе представляет собой сложную картину, состоящую из очень большого числа волновых мод, возбужденных в разные моменты времени и распространяющихся с различными скоростями.

Выражение для в полностью зависит только от формы входного распределения колебательной скорости ^2г(г). Найдем отношение амплитуды ц-й моды струи к р-й моде сопла:

Ь

{к[ [0(уРг )]оО/)гйГ=

(26)

=

Ра

" ар Ь 212(п )о

и

{^о^рГРоО/)гйГ •

(27)

Выполним замену переменной: г = рЬ. Помня о том, что урЪ = ур и /ицЬ = щ,

окончательно запишем

2

і

{ Jо(rp РРо(П p)pdp•

(28)

Назовем кцр коэффициентами перехода р-й моды сопла в ц-ю моду струи. Видно, что они не зависят от параметров акустического тракта, а являются фиксированными значениями и для нескольких начальных мод приведены в таблице 1.

Таблица 1. Коэффициенты перехода мод сопла в моды струи

д

р о 1 2 3 4

о 1,бо 1,о7 о,85 о,73 о,65

1 о,42 о,83 о,43 о,33 о,28

2 о,об о,52 о,74 о,4о о,25

3 о,о2 о,11 о,56 о,71 о,3о

Из таблицы видно, что моды сопла наилучшим образом преобразуются в моды струи того же порядка. Это значит, что возможность получения коротких импульсов в комбинированном волноводе ограничена. Даже если в сопле возможно создать только плоскую волну, то в струе все равно возникнет набор мод с различными амплитудами.

2

6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМЫ ИМПУЛЬСА В СЕЧЕНИИ С.3

Для различения мод в струе обозначим их двумя индексами (ц; р): (5чр — амплитуда ц-й моды в струе, которая возбуждена р-й модой сопла. Из введенного выше определения кцр ясно, что

Рцр =кцрар. (29)

Импульсы (ц; р) в струе приходят на поверхность объекта контроля в различное время. Каждый из них имеет собственное распределение амплитуды колебательной скорости по фронту соответсвующее функции ]0(МдГ). Складываясь в сечении С.3, импульсы создают сложный пространственно-временной колебательный процесс.

Возможно построить диаграмму колебательного процесса в сечении С.3, характеризующую колебательную скорость одновременно и во времени и по сечению струи. Это возможно сделать на трехмерном графике, по осям которого отложены расстояние от оси г, время * и колебательная скорость в точке г в момент времени *. Пространственно-временная форма импульса (ц, р)-й моды имеет следующий вид:

^р (г,* )| г=^ = £р (г ) • 8 (* -Тцр ^ (30)

где £зцр(г) — распределение амплитуд скорости по сечению С.3 для (ц, р)-й моды; 8(*) — временная форма импульса. Время задержки моды тцр, связано с различием групповых скоростей для разных мод и вычисляется следующим образом:

^1 ^2

Tq, р сгР СгР . (31)

Колебательный процесс в сечении С.3 является суперпозицией импульсов всех возможных мод, складывающихся с учетом временных задержек:

£(г, *) = ЕЕ£чр(г) •8 (*- ^ (32)

р ц

где ^ (г) = Рр ). (33)

Форму импульса будем считать колоколообразной:

8 (*) = ехр(-02*2) • эт^*), (34)

где о =-------, а ти — длительность импульса по уровню минус 6 дБ.

Ти

Таким образом, импульс в сечении С.3 имеет вид

£(^ *) = ЕЕ кл то (ог) 8 (* -тцр), (35)

р ц

где кцр вычисляется по выражению (28), ар — по выражению (16) с учетом (8), 8(* - тцр) вычисляется по выражению (34) с учетом (31).

Данная сумма вычислена для ка = 50, ^ = 1, Ь/а = 1. Результат расчета приведен на рис.2а в виде трехмерной диаграммы для определенного диапазона переменных г и Ї. На рис.2б приведено сечение процесса при г = 0. Обе диаграммы приведены по модулю.

а) б)

Рис. 2. Форма импульса в сечении акустического тракта С.3

Из графиков видно, что звуковое поле при распространении в струе концентрируется вблизи акустической оси. Существование плоской моды в струе невозможно.

7. ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ АКУСТИЧЕСКОГО ТРАКТА

Независимо от метода контроля желательно получение зондирующих импульсов наименьшей возможной длительности. Найдем условия, при которых длительность импульса в сечении С.3 минимальна, а амплитуда максимальна.

Повышения амплитуды и снижения длительности конечного импульса можно достичь путем уменьшения количества мод в сопле, за счет оптимального возбуждения одной из них, например нулевой или первой.

Амплитуда моды сопла, как было получено ранее, равна

2 г У

ар (^ Ь) = г 2 т2/ ) Г )1о(~ГГ)ГаГ (36)

г то\7р)о г

или, переходя к относительной величине р = г/а —

V

2 Ч* , . ,7*

а{(' Ь/а) = Іь/V г2/ , 1^1'(*•Р■’Л~Ь7р)р1р. (37)

\УаИ>(Г„)0 /

а оУ/ р' /а

В данное выражение входит распределение нормальной компоненты колебательной скорости в сечении С.1:

(р) = (Ы)2 {Х>1(Ь.О {карС)е^^. (38)

Задавая волновой размер преобразователя, можно построить графические зависимости амплитуды р-й моды сопла от параметров ^ и Ь/а. Данные зависимости для амплитуд 0-й, 1-й и 2-й мод приведены на рис. 3.

а) б) в)

Рис. 3. Диаграммы амплитуд 0-й, 1-й и 2-й мод сопла

Светлые участки диаграмм соответствуют тем парам значений (5, Ь/а), при которых амплитуда соответствующей моды максимальна.

Видно, что нулевую (плоскую) моду можно возбуждать преобразователем, превосходящим по размеру сопло, располагая его на расстоянии одной ближней зоны от входа сопла. Мода номер 1 имеет две области оптимального возбуждения. Например, если диаметры преобразователя и сопла равны, то мода возбуждается с максимальной амплитудой при размещении преобразователя на расстоянии полутора ближних зон от входа сопла. Мода номер 2 и моды более высоких порядков не имеют ярко выраженных областей оптимального возбуждения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Из полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Поле в цилиндрическом волноводе сконцентровано вблизи акустической оси.

2. При прохождении цилиндрического волновода с переменными граничными условиями ультразвуковой импульс неизбежно увеличивает длительность вследствие разделения на моды при смене граничных условий.

3. Для получения импульса минимальной длительности и максимальной амплитуды, преобразователь необходимо выбирать размером больше диаметра сопла, а размещать его на расстоянии одной ближней зоны от входного сечения сопла.

ЛИТЕРАТУРА

1. Голубев А. С., Паврос С. К. Акустическое поле искателей ультразвуковых дефектоскопов // ЛЭТИ. Л., 1975. 94 с.

2. Ржевкин С. Н. Курс лекций по теории звука. М.: Изд-во моск. ун-та, 1960. 336 с.

3. Лепендин Л. Ф. Акустика. М.: Высш. шк., 1978. 448 с.