Особенности проектирования регуляторов в структурах высокоточных приводов зенитного комплекса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-83.004

ОСОБЕННОСТИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РЕГУЛЯТОРОВ В СТРУКТУРАХ ВЫСОКОТОЧНЫХ ПРИВОДОВ ЗЕНИТНОГО КОМПЛЕКСА

Е.В. Александров, А.И. Кочановская, А. А. Голинский, Е.А. Тимонин

Рассмотрено построение регуляторов высокоточного цифрового привода на основе 1-преобразований непрерывных функций. Выполнено сравнение различных способов цифрового интегрирования. Приведены структуры смешанных непрерывно-дискретных замкнутых систем и примеры синтеза ПИД-регуляторов методом параллельного и прямого программирования.

Ключевые слова: цифровая система, регулятор, 2-преобразование, структура,

метод.

1. Предварительные замечания

Основными этапами проектирования высокоточных приводов оружия являются выбор типа и расчет параметров регулятора, придающего системе привода заданные значения динамических свойств.

Требования высокой точности регулирования и высокого быстродействия, которые предъявляются к современным системам вооружения, обуславливают применение замкнутых систем управления, которые обеспечивают реализацию двух основных принципов:

1) регулируемая величина на выходе должна по возможности точно повторять заданный входной сигнал;

2) регулируемая величина на выходе не должна зависеть от возмущающих воздействий (напряжения питания, моментов нагрузки, временных изменений параметров элементов и др.).

Основным принципом управления является принцип обратной связи, осуществляющий контроль качества регулирования по отклонению управляющего сигнала от задающего [1].

В связи с широким использованием вычислительной техники регуляторы мехатронных систем комплексов вооружения, содержащих микроконтроллер, являются цифровыми. Поэтому в системах управления высокоточного привода оружия объект управления описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений или передаточной функцией в области комплексной переменной «р», а алгоритм работы микроконтроллера - разностным уравнением или передаточной функцией в области аргумента «7» дискретного преобразования [2].

При проектировании цифрового регулятора могут использоваться два подхода

Первый подход основан на синтезе непрерывного регулятора с последующим пересчетом его к цифровому аналогу.

Второй - дискретной аппроксимацией заменяется описание непрерывного объекта, в результате чего система оказывается описанной в области комплексной переменной «7» с алгоритмом работы цифровой части, определенной в результате синтеза дискретной системы.

В статье разработана методика проектирования цифрового регулятора с использованием первого подхода. Методы синтеза непрерывных регуляторов изложены в [3]. Суть замены непрерывного регулятора цифровым поясняется на рис. 1.

Рис. 1. Функциональная схема непрерывной (а) и дискретной (б) системы: (р) - ПФ непрерывного ОУ; ^р (р) - непрерывный

регулятор; Wз (р) - фиксатор (экстраполятор) вычисленных значений переменных; Wр (г) - цифровой регулятор

Здесь замкнутая система с непрерывным объектом управления Wн (р) и синтезированным непрерывным регулятором с передаточной функцией Wр (р) (рис. 1, а) преобразуется к системе с цифровым регулятором

Wp (г) и фиксатором вычисленных значений (ЦАП) с передаточной функцией

1 -е-рТ

Wэ (р ) =1 --. (1)

р

Замена непрерывного регулятора эквивалентным цифровым базируется на представлении интеграла суммой. Эта сумма может быть вычислена различными способами.

Рассмотрим способы численного интегрирования, которые можно использовать при синтезе цифрового регулятора. Рассматриваемые методы нашли применение в среде Ма1ЬаЬ-81шуНпк, которая широко используется при проектировании следящих приводов.

2. Способы численного интегрирования в цифровых системах 2.1. Обратный метод Эйлера

В обратном методе Эйлера аппроксимирующая функция определяется «перебором» значений выходного сигнала, как зто показано на рис. 2.

Значение выходного сигнала в момент 1 = пТ находится из выражения

у[пТ] = у[(п - 1)Т] + Тх[пТ]. (2)

При введении оператора запаздывания получим

у[пТ ] = у[(п - 1)Т ]г-1 + Тх [пТ]. (3)

Рис. 2. Интегрирование по обратному методу Эйлера

Сигнал на выходе может быть представлен в виде

ГТ1

У[пТ ] = —^Х [пТ ]. (4)

г -1

Таким образом, при использовании обратного метода Эйлера осуществляется замена переменной

1 Тг г -1

-г или р =——. (5)

р г -1 12

2.2. Метод трапеций

Более точные результаты при синтезе регулятора дает трапецеидальная аппроксимирующая функция (метод Тастина), показанная на рис.3.

Значение выходного сигнала в момент t = пТ при этом методе находится из выражения

Т

Г [пТ ] = У [(п - 1)Т ] + - (х[пТ] + X [(п - 1)Т ]). (6)

Сигнал на выходе может быть представлен так:

У [пТ ] = X [пТ ] = Т—, X [пТ ]. (7)

2 1 - г-1 2 г -1

В этом случае аналогом оператора интегрирования 1/ р является оператор

1 T(z +1) 2(z -1)

- = —)-f или p = —,-{

p 2(z -1) T(z +1)

(8)

Таким образом, роль, которую в непрерывных системах играет опе-

1 7Т

ратор интегрирования —, в дискретных системах играет оператор -

р 7-1

либо

ния.

T (z +1) 2(z -1)

в зависимости от выбора способа численного интегрирова-

ние. 3. Интегрирование по методу трапеций

Если известна операторная передаточная функция непрерывного регулятора то, используя различные методы численного интегрирования, можно определить передаточную функцию цифрового регулятора. При этом передаточная функция цифрового регулятора зависит не только от способа численного интегрирования, но и от значения периода дискретизации Т.

3. Методика определения дискретной передаточной функции

Выходную величину непрерывной части (НЧ) системы можно определить как реакцию приведенной НЧ на d- функции с выхода импульсного элемента, которая представляет весовую функцию Wn (t) [4]. При этом реакция на n импульсов представляется суммой выходных переменных от каждого импульса:

n = 0 J0 (t) = 5[0j-Wn (t); n = 1 yx(t) = 5[1j-Wn (t - T); ...

n = m ym (t) = 5[mj- Wn (t- mT), (9)

откуда следует

n

y(t )= X d[m]w (t - mT) для t > T.

m=0

Для дискретных моментов времени

n

y(n)= X5[m]-W(n - m).

m=0

Из условия свертки решетчатых функций [5] с учетом того, что Z(5[n ]} = E(z) и Z {Wn И) = Жнч (z), имеем

E(z)- Wm (z) = Z

п

X8[т]ЖП [ п -т]

м=0

с учетом (10) и равенства 2 {х(п)} = х(г) получим

У (г ) = Е (г )• Жнч (г), (11)

У (г)

где Жнч (г) = 2{^п [п]} = —^ - дискретная передаточная функция (ДПР)

Е(г)

НЧ. С учетом рекомендаций [6] ДПР можно также найти из соотношения

= (12)

Учитывая, что ^нч (р) = Ь{Инч ^)} - прямое преобразование по

Р

Лапласу переходной функции НЧ (р) = Мнч ,(р), формулу (12) можно

Онч(р)

записать в виде

г -1

Wнч (г) =-2{Ннч [п]}. (13)

г

Наиболее распространенный способ получения ДПФ разомкнутых

Wнч (р) Г_п

дискретных систем основан на разложении —на простые дроби [7].

р

Поскольку непрерывная часть системы имеет дробно-рациональную передаточную функцию, в которой степень числителя меньше степени знаменателя, то в общем случае

W (р) У А Ч В г С, + Б.р

Wн^р) = X А + Т~В]— + Х^Г-—-. (14)

р 1^Р1 г=1Т1р +1 ,=1Т, р2 + 2^Т,р +1 Постоянные А1, Вг-, С,, О, определяются с помощью метода неопределенных коэффициентов. В случае отсутствия комплексных корней, приводящих к множителям второго порядка, и отсутствия кратных нулевых корней Dнч (р) разложение на простые дроби можно выполнить, пользуясь формулой

Wнч (р) = Xм нч (р ) • (15)

Р 1=1 Онч (р) г - ^

где ё = еТ / п.

Формула (15) применима и при комплексных корнях. На практике удобнее пользоваться методом неопределенных коэффициентов [4,5]. Для этого правую часть уравнения (14) приводят к общему знаменателю, после чего необходимо составить систему уравнений на ос-

нове сопоставления коэффициентов при одинаковых степенях «р» числителей левой и правой частей уравнения (14). Для того, чтобы пользоваться таблицами /-преобразований, слагаемые второго и третьего типа приводятся к данному в таблицах виду

В В 1

Тр +1 Т р + а

(16)

где а

Т

С 7 + 7

С} - Ла 7

Р.

Т}р2 + 2£Т/р +1 Т7р7 (р + а7 } + р2 '

(17)

где а

7

I7, Р 7 =

7

1 -12

т,-" ■ ■>

Т7

Воспользовавшись таблицей /-изображений дискретных функций и формулой (12), находят ДПФ заданной системы.

Для иллюстрации метода нахождения ФПФ рассмотрим примеры.

1. Передаточная функция непрерывной части Wнч (р) = • 1

W(z =) — 2

г

1

где С = 1; С2

р(Тр +1) Т,

; w (р )=

1

сл

с2

(Тр +1)

1 Т

р(Тр +1) р Тр +1 р Тр +1'

w(z)

г -1

г

2

1 р

г

Т

Тр +1

г-1

г

г

г-1

Т

г

Т(г - б)

1 - б

г - б

2. Передаточная функция непрерывной части

w (р)= К (Т3 р +') (р) р(Т р + 1)(Т2 р +1).

Разложим Wнч (р )/р на сумму простых дробей

Wнч (р) = к р

А А~

В

В

Чр 2 р Т1 р + 1 Т2 р + ^ где на основании метода неопределенных коэффициентов

А1 = К; А2 = К Тз - Т1 - Т2);

Т12 (Т - Тз).

В = к-

В = к

Т2 - Т1 Тз2 (Тз - Т2) Т2 - Т "

408

1

В соответствии с формулой (12) и таблицей /-преобразований

ДПФ

W(z )= К

г

г

2

А

1

= К

Р г -1

2

г

+ 2

Тг

А2

Р

+ 2

А

Р

+ 2

В1

Т Р +1

+ 2

В

Т2 Р +1

(г -1)2

+ А2£ , (В]/Т1 )г + (В2/Т2)г

г ■

1

г ■

а

г ■

а

Приведя к общему знаменателю, получим ДПФ:

2

W(z) = К Ь0'' +Ь2Г- +^ .

«0 г + + «2 г + «3

При синтезе дискретного регулятора используется несколько методов представления операторной функции - преобразования непрерывных регуляторов к цифровым аналогам.

1. Метод параллельного программирования

При использовании метода параллельного программирования каждое слагаемое в операторной функции заменяется ее дискретным аналогом с их последующим параллельным суммированием. Наиболее часто встречающиеся преобразования Лапласа и их дискретные аналоги приведены в таблице.

Изображения решетчатых функций

N п/п Преобразование Лапласа непрерывной функции /-преобразование (простое)

1 К К

2 1 2

р 2 - 1

3 1 Тг

р 2 г -1

4 1 1 - а

Тр +1 г - а

5 1 р + а г ; а = е -аТ г - а

6 а (1 - а )г

р(р + а) (г - а )(г -1)

7 кР г -1

р(тр +1) г - а

1

На рис. 4, 5 представлены функциональные схемы интегрального регулятора и реального дифференцирующего звена.

Рис. 4. Функциональная схема цифрового интегрального

И-регулятора

Рис. 5. Функциональная схема реального цифрового Б-регулятора

Рассмотрим пример преобразования непрерывного ПИД-регулятора в дискретный.

Непрерывный ПИД-регулятор с реальным дифференцирующим звеном описывается передаточной функцией [8]

. . кр (т2р2 + 2^Тр +1)

"(р)=р \(т0р+в • (18)

Представим ПФ непрерывного ПИД-регулятора в виде

"р (р ) = кП + кИ + . (19)

р +1

Параметры в выражениях (18), (19) удовлетворяют условиям

кПТБ + кБ = т 2. кИТ Б + к П = 2^Т (20)

кИ ' кИ

Откуда к И = кр, кП = кИ (2СТ - Т Б), кБ = кИТ 2 - кП ТБ . Структурная схема непрерывного регулятора приведена на рис.6.

Рис. 6. Структурная схема непрерывного регулятора

410

Структурная схема дискретного ПИД-регулятора при использовании метода параллельного программирования получается заменой элементов ПИД-регулятора в соответствии с таблицей. Структурная схема дискретного ПИД-регулятора после преобразований представлена на рис. 7.

Рис. 7. Структурная схема дискретного ПИД-регулятора при использовании метода параллельного программирования

Структурная схема смешанной непрерывно-дискретной системы после преобразования представлена на рис.8.

2. Метод прямого программирования

Для использования метода прямого программирования представим передаточную функцию ПИД-регулятора с реальным дифференцирующим звеном (19) в виде

2

Wp(p)_ кП + к-И + _ b2 + VР + b°>Р , (21)

Р Т D р +1 1 + ai / p

где «1

1

Td

; br

kH . h _ kП + TDkH . h _ kD + TDkП b1 _---; b2 _-

Td

Td

Td

Рис. 8. Структурная схема смешанной непрерывно-дискретной

системы

Из уравнения (21) получим

х = (ь2 + Ь1/ р + Ь0/ р2 )• е, (22)

У

где е =

1 + #1 / р

С использованием уравнения (22) на рис. 9 построена структурная схема ПИД- регулятора с реальным дифференцирующим звеном при использовании для синтеза непрерывно-дискретной системы метода прямого программирования.

Рис. 9. Непрерывный ПИД-регулятор, реализованный методом

прямого программирования

Для получения дискретного регулятора следует заменить интеграторы их дискретным аналогом в соответствии с таблицей.

Структурная схема дискретного ПИД-регулятора приведена на рис. 10. Интеграторы преобразованы в дискретную форму в соответствии с обратным методом Эйлера.

Рис. 10. Структурная схема дискретного ПИД-регулятора

Структурная схема замкнутой системы с дискретным регулятором при преобразовании интеграторов с использованием обратного метода Эйлера показана на рис.11.

Рис. 11. Структурная схема смешанной непрерывно-дискретной

системы

Проведенное моделирование непрерывно-дискретных систем с регуляторами, полученными с использованием метода параллельного программирования и метода прямого программирования, показало отсутствие различий при отработке скачкообразных управляющих воздействий как в непрерывной, так и в преобразованных непрерывно-дискретных системах при построении регуляторов методами прямого и параллельного программирования.

Выводы:

1. Разработана методика синтеза регулятора высокоточного цифрового привода оружия зенитного комплекса.

2. Приведены структуры смешанных непрерывно-цифровых систем управления, аналоговых и цифровых ПИД-регуляторов.

3. Выполнен синтез цифровых ПИД-регуляторов методами прямого и параллельного программирования.

Список литературы

1. Александров Е.В., Игнатов А.В. Проектирование приводов комплексов вооружения: анализ методов управления автоматизированными асинхронными электроприводами переменного тока: учеб. пособие / под общ. ред. акад. АЭН РФ С.Е. Рывкина. Тула: Изд-во ТулГУ, 2017. 278 с.

2. Александров Е.В. Особенности синтеза цифровых электроприводов переменного тока на базе асинхронного двигателя // Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. 12. Ч. 3. С. 147 - 158.

3. Шрейнер Р.Т. Системы подчиненного регулирования электроприводов: учеб. пособие для втузов. Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. проф. пед. ун-та, 2008. 279 с.

4. Бессекерский В. А. Цифровые автоматические системы. М.: Изд-во Наука, 1976. 575 с.

5. Шипилло В.П. Операторно-рекуррентный анализ электрических цепей и систем. М.: Энергоатомиздат, 1991. 311 с.

6. Куб Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. М.: Машиностроение, 1986. 304 с.

7. Петров Б.И., Полковников В.А., Рабинович Л.В. Динамика следящих приводов: учеб. пособие / под ред. Л.В. Рабиновича. М.: Машиностроение, 1982. 496 с.

8. Цифровые системы управления электроприводами / А. А. Батов-рин [и др.]. Л.: Энергия, 1977. 255 с.

Александров Евгений Васильевич, д-р техн. наук, проф., aleksandrov-e@yandex.ru, Россия, Тула, АО «КБП»,

Кочановская Александра Игоревна, инженер, khkedratula. net, Россия, Тула, АО «КБП»,

Голинский Александр Андреевич, ведущий инженер, khkedr a tula.net, Россия, Тула, АО «КБП»,

Тимонин Егор Андреевич, инженер, kbkedr@tula.net, Россия, Тула, АО «КБП»

FEATURES OF CONTROLLERS DESIGNING IN AIR DEFENCE SYSTEM HIGH-

PRECISION DRIVES STRUCTURES

E. V. Alexandrov, A.I. Kochanovskaya, A.A. Golinskiy, E.A. Timonin

The paper considers designing of controllers for high-precision digital drive on the base of continuous functions Z-transform. Comparison of various ways for digital integration is made in the article. The structures of mixed discrete-continuous closed systems and examples of PID controllers synthesis using parallel and direct programming.

Key words: digital system, controller, Z-transform, structure, method.

Aleksandrov Evgeniy Vasilevich, doctor of technical sciences, professor, aleksan-drov-e@yandex. ru, Russia, Tula, JSC «KBP»,

Kochanovskaya Aleksandra Igorevna, engineer, khkedra tula. net, Russia, Tula, JSC «KBP»,

Golinskiy Aleksandr Andreeivich, senior engineer, khkedra tula.net, Russia, Tula, JSC «KBP»,

Timonin Egor Andreevich, engineer, khkedra tula. net. Russia, Tula, JSC «KBP»