CC BY
80
УДК 62-50:512
СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ДЛЯ НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРОВ СМИТА
В.Я. Карташов, Д.Ю. Сахнин
Кемеровский государственный университет E-mail: kartash@ic.kemsu.ru
Предложено построение цифрового регулятора Смита на основе принципа эквивалентности моделей динамических объектов с запаздыванием.
Синтез систем управления, как правило, начинается с определения модели объекта. На практике информацию об объекте получают в виде доступных непосредственному измерению входов и выходов. Фактически всегда в объектах наблюдается временная задержка т реакции на воздействие, характерная для теплоэнергетических, химических, металлургических процессов. Известно, что запаздывание отрицательно сказывается на устойчивости, точности и качестве замкнутой системы [1]. Для решения этой проблемы существует множество способов. Наиболее распространенным способом является использование методов компенсации запаздывания (например, регуляторы Смита, Ресвика и др.) [2]. Эти регуляторы имели существенный недостаток с точки зрения практической реализации элемента запаздывания на аналоговой технике [3]. Реализация такого элемента, у которого время запаздывания могло бы изменяться в широких пределах, весьма затруднительна. Появление цифровой техники позволило решить указанную проблему. Однако, в обоих случаях необходимо достаточно точно знать математическую модель инерционной части объекта, которая не содержит запаздывания, а также необходимо точно знать величину запаздывания [3].
Наибольшее распространение получили методы параметрической идентификации, основанные на том, что принятая модель должна хорошо аппроксимировать экспериментальные данные. Точность восстановленной величины запаздывания во многом определяется соответствием математической модели объекту, а именно ее инерционной части, которая не содержит запаздывания. При наличии структурных отклонений модели время запаздывания значительно отличается от действительного. Использование таких моделей для регуляторов типа Смита не приводит к желаемым результатам.
Математические модели, у которых равенство входных воздействий влечет за собой равенство ответных реакций, в работе [4] называют эквивалентными. В работе [5] утверждают, что о строгой эквивалентности можно говорить при совпадении динамических свойств объекта и модели. Предложенный в [6] модифицированный метод В. Висковато-ва структурно-параметрической идентификации, основанный на теории непрерывных дробей, по-
зволяет построить дискретную модель, строго эквивалентную непрерывному объекту.
Суть метода заключается в том, что на основе дискретных вход-выходных данных формируется расчетная идентифицирующая матрица. Первые две строки этой матрицы образуют последовательные измерения входной и выходной переменных, а остальные элементы рассчитываются рекуррентным соотношением до тех пор, пока не появляется строка с нулевыми элементами. Первый столбец до нулевой строки определяет структуру и значения параметров дискретной передаточной функции (ДПФ). Причем, если во второй строке в измерениях реакции объекта (в отклонениях) первые к элементов нулевые, то осуществляется сдвиг строки на к элементов влево, который определяет запаздывание в дискретном представлении с точностью до величины шага дискретизации. В результате получают ДПФ объекта в виде:
^ ч bn+b.z 1+...+b z n d Р (z) d G(z) = ------Ч---------Z~á = -S±-L z~d
Qn(z)
(i)
где n - порядок модели, определенный размерностью матрицы, a d определяет запаздывание на время dAt. Полученная модель (1) обладает такими же динамическими свойствами, как и непрерывный объект, т. к. между нулями и полюсами, непрерывного объекта G(s) и дискретной модели с помощью согласованного Z- преобразования z=esA‘ устанавливается взаимно-однозначное соответствие. Прове -деные многочисленные модельные исследования для объектов: апериодических, устойчивых и неустойчивых, неминимально-фазовых и т. п. полностью подтвердили достоверность восстановленных непрерывных передаточных функций инерционной части линейных динамических объектов. Исследования показали, что эквивалентность между непрерывными объектами и дискретными моделями осуществляется при выборе шага дискретизации Дt из множества значений периодов дискретизации (Д/^, ДО [6].
Строгая эквивалентность приводит к следующей структурной схеме компенсатора Смита (рис. 1). Здесь Go(s) - передаточная функция объекта без запаздывания, - передаточная функция звена запаздывания, G0M(z) - дискретная передаточная функция объекта без запаздывания, тгй -дискретная передаточная функция звена запазды-
вания, Щг) - цифровой регулятор, у - выходной сигнал объекта, х - желаемое поведение объекта, и - управляющее воздействие.
Такую систему можно реализовать только в случае, когда время запаздывания т объекта управления кратно шагу дискретизации Д/.
Рис. 1. Компенсатор Смита в цифровой системе
На первом этапе по известным вход-выходным переменным с помощью модифицированного алгоритма В. Висковатова восстанавливается ДПФ 0(г) объекта с некоторым шагом дискретизации Д/. Поскольку интервал (ДО ДО заранее неизвестен, необходимо выработать критерий, позволяющий утверждать, что восстановленная ДПФ 0(г) является эквивалентной объекту.
В работе [6] показано, что при выборе Д/из интервала (ДО ДО образы нулей и полюсов в 5-плоскости, полученные с помощью обратного
I-преобразования 5 = ^-^-, остаются неподвиж-М
ными. Учитывая это, можно предложить следующий алгоритм определения ДПФ 0(г), эквивалентной непрерывному объекту:
1) алгоритм идентификации включает вход-вы-ходную информацию с некоторым шагом дискретизации Д/;
2) с помощью модифицированного алгоритма В. Висковатова восстанавливают ДПФ №(г) для шага кМ (для начала к=1);
3) с использованием того же алгоритма восстанавливают ДПФ О1*1 (г) для шага (к+1)Д/;
4) если порядки ДПФ №(г) и &+1{г), а также образы нулей и полюсов в в-плоскости совпадут, то можно утверждать, что (?(г) и (?+1(г) являются эквивалентными непрерывному объекту и Ше(ДО ДО, (к+ 1)ДМДО ДО- В противном случае необходимо увеличить к на единицу и вернуться к пункту 3.
Таким образом, вариация шага дискретизации Д/ позволяет извлечь дополнительную информацию об объекте, с помощью которой устанавливается факт эквивалентности полученной модели.
Для объектов с запаздыванием существует своя специфика, связанная с тем, что время запаздывания т восстанавливается только в случае, когда оно кратно шагу дискретизации Д/. В случае, если время запаздывания т не кратно шагу дискретизации Д/, его можно представить в виде т=dAt+dAт, где
d=[T/At]. Дискретная передаточная функция объекта G(z) точно идентифицирует только часть запаздывания, равную dAt, т. е. передаточная функция будет содержать множитель z^. Оставшаяся часть Дт окажет влияние на свойства цифровой системы управления, так как информация о Дт потеряна.
Принцип вариации шага дискретизации позволяет выбрать Дt из интервала (ДО ДО так> чтобы оно было кратным т (при условии что т>ДО- Таким образом, возникают две задачи: 1) оценить время запаздывания т при условии, что известна ДПФ объекта; 2) определить интервал (ДО ДО-Для определения времени запаздывания с заданной точностью теоретически обоснован подход, основанный на следующей последовательности действий:
1) по ДПФ G{z) однозначно восстанавливается непрерывная передаточная функция (НПФ) G{s), по которой с известным входным воздействием определяется непрерывная реакция объекта в виде аналитической зависимости;
2) начиная с первого ненулевого значения реакции объекта, осуществляется обратное табулирование полученной зависимости, при котором определяется значение аргумента, соответствующего нулевому значению реакции; зная момент начала действия входного воздействия и полученное значение времени, определяется время запаздывания с точностью, определяемой точностью табулирования.
Для определения ДО ПРИ решении задачи структурно-параметрической идентификации в работе [6] было сформулировано условие SP-иденти-фицируемости: если предположить, что кроме действительных нулей и полюсов существуют пары комплексно-сопряженных нулей и полюсов непрерывной передаточной функции ^"а",.--А"> ^"AV.-A" соответственно, то мнимые части указанных особых точек должны удовлетворять условию SP-идентифицируемости в следующей форме:
A/1-max|lm[51H,5",...,5^, s", s",..., s"]| < n,
где At - величина шага дискретизации. Однако, если все особые точки вещественны, не удается воспользоваться условием SP-идентифицируемо-сти. В этом случае для определения Atи Д^ приходится использовать поисковый метод: принимая некоторый шаг дискретизации за начальный, постепенно уменьшать (увеличивать) его значение до тех пор, пока все особые точки сохраняют свое местоположение (с заданной точностью).
Перебор шага дискретизации неэффективен в автоматических системах управления, поскольку приводит к излишней загрузке вычислительной техники. Поэтому для оценки этого интервала доказано утверждение: если объект имеет действительные нули ^"а",.--А" и полюса ^"а",—А”> то для выбора шага дискретизации Д/е(ДО ДО> по_ зволяющего построить с помощью модифицированного алгоритма В. Висковатова его дискретную модель, справедливы следующие соотношения:
А/ = -
пип
А/ = -
шах
_______________1п(е)_______________
(2)
(3)
1 1 1 1 1 1 1
0,018533 0,079027 0,161838 0,253488 0,345613 0,433282 0,513834
-3,2641 -7,73243 -12,6776 -17,6485 -22,3789 -26,7225 -
1,89516 4,84848 8,27077 11,7924 15,19126 - -
-0,189417 -0,480204 -0,815527 -1,159731 - - -
0,0231802 0,0586956 0,099367 - - - -
0 0 - - - - -
Так как в седьмой строчке появились нули, расчет матрицы прекращается, а из элементов первого столбца формируется непрерывная дробь
0(1) = -
0,0185332“
1 + -
1 + -
-3,26412“'
1.895162
-0.1894172
где е - некоторая заданная величина сколь угодно малая (причем е>0).
Значения нулей ^"А"*---А" и полюсов ^"А"*---А" определяют на этапе построения эквивалентной ДПФ. Величину е задают в зависимости от точности проводимых расчетов.
Таким образом, разработанный подход восстанавливает ДПФ, эквивалентную объекту управления, определяет с заданной точностью время запаздывания и позволяет выбрать шаг дискретизации, кратным времени запаздывания. Следовательно, предлагаемый алгоритм позволяет воспользоваться регуляторами Смита (а также регуляторами Вата-набе, Солодовникова и др.) для синтеза цифровых систем регулирования объектами с запаздыванием.
Пример.
Рассмотрим апериодический объект второго порядка с НПФ вида:
О(э) =-------1-----е“5’2*. (4)
(35 + 1)(55+1)
Переходная характеристика объекта описывается временной функцией
Го, /<т, у( 0 = | ^ ^
[1 + 1,5е 3 -2,5е 5 , />т.
Проведем дискретизацию функции у(() с шагом Д/=1 с. Предположим, что измерены значения выходной переменной в моменты {иД/}о, которые являются исходной информацией для синтеза системы регулирования: у(0)=0; у(1)=0; у( 2)=0; у(3)=0; у(4)=0 у(5)=0; у(6)=0,018533; у(7)=0,079027; у(8)=0,161838 у(9)=0,253488; у(10)=0,345613; у(11)=0,433282
у(12)=0,513834; у(13)=0,58607; у( 14)=0,649717;...
Согласно модифицированному алгоритму В. Висковатова [6] элементы второй строчки идентифицирующей матрицы сдвигаются до первого ненулевого элемента, и она принимает вид, соответствующий табл. 1.
Таблица 1. Идентифицирующая матрица для п£Л=1 с
1 + .
1 + 0,2318022 1
свернув которую, получим ДПФ следующего вида: 0,018533г“‘ +0,03204г“2 +0,00081 Ь“3
0(2)=-
1-1,535262 г“‘+0,586646г“
(5)
Заметим, что в числителе (5) сомножитель тгх обеспечивает условие физической реализуемости процесса. Данная модель имеет два полюса: х1п=0,716532; х2п=0,81873 и два нуля: г"=-1,703154; г2ш=-0,02568. Согласно взаимно-однозначному отображению в ^-плоскости будем иметь полюса ^"—0,333332, 52"=-0,2; а так как ^"СО, г2"<0, то согласно исследованиям, проведенным в работе [6], в НПФ эти нули отсутствуют. Время запаздывания в этом случае примет значение
т=й?-Д/=5-1=5 с.
Для проверки эквивалентности полученной ДПФ объекту проведем дискретизацию функции уЦ) с шагом Д/=2 с. Значения выходной переменной в моменты времени {иД/}0” имеют вид: у(0)=0; у(2)=0; у(4)=0; у(6)=0,018533; у(8)=0,161838; у(10)=0,345613; у( 12)=0,513834; у(14)=0,649717; у(16)=0,752673; у(18)=0,827781;...
Согласно модифицированному алгоритму В. Висковатова [6] элементы второй строчки идентифицирующей матрицы сдвигаются до первого ненулевого элемента, и она принимает вид табл. 2.
Таблица 2. Идентифицирующая матрица для nAt=2 с
1 1 1 1 1 1 1
0,018533 0,161838 0,345613 0,513834 0,649717 0,752673 0,827781
-7,732429 -17,64846 -26,725289 -34,05723 -39,6125 -43,6652 -
6,450034 15,192199 23,320822 29,93433 34,96548 - -
-0,072972 -0,159352 -0,236489 -0,298072 - - -
0,17163 0,374795 0,556222 - - - -
0 0 - - - - -
Так как в седьмой строчке появились нули, расчет матрицы прекращается, а из элементов первого столбца формируется непрерывная дробь
0,0185332“3
0(г)=-
1 + -
-7,7324292“
1 + -
6,4500342“
1 +
-0,0729722“ 1 + 0,171632“
свернув которую, получим ДПФ следующего вида:
0(2) =
0,018533г +0,121367г +0,020516г“ 1-1,183737 г“1 + 0,344154г“2
■ (6)
Данный объект имеет два полюса г1"=0,7513417; г2П=0,67032 и два нуля: г^—б,37503; х2н=—173649. Согласно взаимно-однозначному отображению в ^-плоскости будем иметь полюса ^"—0,333332,
52"=-0,2; а так как г*<0, г2в<0, то в НПФ эти нули отсутствуют. Время запаздывания в этом случае примет значение т=й-М=2-2=А с.
Как видим, для Д/=1 с и Д/=2 с получили ДПФ (5), (6), образы нулей и полюсов которых совпали в ^-плоскости. Следовательно, можно сделать вывод, что полученные ДПФ (5), (6) являются эквивалентными непрерывному объекту. Действительно, если посмотреть на НПФ (4), то она имеет два полюса ^"=-0,333332, 52"=-0,2, что полностью соответствует полученному результату. Однако время запаздывания отличается: для Д/=1 с получили т=5 с, а для Д/=2 с значение т=4 с.
Перейдем ко второму этапу - определим время запаздывания. Для этого ДПФ (5) преобразуем к НПФ. В результате получим непрерывную передаточную функцию
----------5+1 ---5 + 1
0,333332 До,2
Восстановим непрерывную реакцию линейного объекта при единичном ступенчатом входном воздействии [7]: у(0=1+1,500015е-0дазз2'-2,500015е-0'2'.
Для нахождения времени запаздывания т зафиксируем первое ненулевое измерение переходной характеристики у(/)=0,018533 и момент времени 1=6 с. Составим уравнение относительно неизвестной величины транспортного запаздывания т, которое принимает вид:
0,018533 =1+1,500015бГ0’333332(6~т) -
-2,500015е
-0,2(б-г)
Полагая т=6 с, итерационно уменьшаем значение т=т-а до тех пор, пока не получим численное решение уравнения с заданной точностью е. При е=0,01 с время запаздывания т=5,2 с. Сравнивая полученные результаты с исходной функцией (4), видим, что полностью восстановили НПФ объекта:
0(5) = - 1
_____I
0,333332
-5 + 1
0,2
5 + 1
значений несколько (например, 1,3 с; 2,6 с; 5,2 с). Возьмем шаг дискретизации Д/=5,2 с и построим цифровой регулятор с компенсатором Смита.
Структурная схема компенсатора Смита представлена на рис. 1. Пусть желаемое входное воздействие х является единичной ступенчатой функцией. Построим оптимальный по быстродействию регулятор Я(г).
Тогда: Сп($) =----------------------, е~и=е~5'2’.
0 (5 + 0,333332)(5 + 0,2)
ДПФ объекта для шага дискретизации Д/=5,2 с, полученная с помощью модифицированного алгоритма В. Висковатова, примет вид:
0,38140571+0,1508997“2 !
&(г)=----------------;------------•
1-0,530149 г +0,0624537
Откуда С™(2)=-
0,3814057 +0,1508997“
1 - 0,530149 7“1 + 0,0624537“2 ’ й=\. ДПФ регулятора, определенная с помощью теории полиномиальных уравнений [8] по ДПФ О*, имеет вид:
_ 1,878625 -0,995951 г“1 +0,117327 г“2 1-0,7165177“1 -0,283483 г“2
Результаты моделирования представлены в виде графиков переходного процесса уЦ) (рис. 2) и изменения управляющего воздействия и(/) (рис. 3).
Рис. 2. Переходный процесс на выходе объекта
2.0 г
И
Данный объект имеет два полюса ^"—0,333333 и 52"=-0,2. Возьмем е=0,05 с и определим Д^, Д^. Подставляя ^"—0,333333, 52"=-0,2 и е=0,05 в формулы (2) и (3), соответственно получим
V.... ----г ^.0,260,
|тах(-0,333332;-0,2)| -0,2
^----------Г^^*8,99,
|тт(-0,333332;-0,2)| -0,333332
Таким образом, для восстановления ДПФ с помощью модифицированного алгоритма В. Висковатова шаг дискретизации Д/необходимо выбирать из интервала (0,26; 8,99).
Для синтеза системы регулирования теперь можно выбрать шаг дискретизации кратный времени запаздывания т=5,2 с. В интервале (0,26; 8,99) таких
1.5
1.0
0.5
0
О 5 10 15 20 25 30 35 40
Рис. 3. Управляющее воздействие
Результаты моделирования показали, что полученная цифровая модель объекта с запаздыванием позволяет провести настройку цифрового регулятора с компенсатором Смита.
В работе предложен алгоритм для получения дискретной модели, эквивалентной непрерывному объекту, по исходным данным вход-выходных переменных. Алгоритм включает в себя следующие шаги: 1) идентификация объекта с помощью критерия, позволяющего восстановить ДПФ, эквивалентную объекту; 2) определение времени запаздывания с помощью полученной ДПФ
объекта; 3) определение интервала (Д^, ДО для выбора шага дискретизации, позволяющего идентифицировать эквивалентную ДПФ объекта с помощью модифицированного алгоритма В. Висковатова. Разработанный алгоритм можно использовать при автоматизации технологических процессов, обладающих значительным запаздыванием.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рей У. Методы управления технологическими процессами. -М.: Мир, 1983. - 368 с.
2. Мышляев Л.П., Авдеев В.П., Карташов В.Я., Купчик М.Б. Алгоритмизация управления объектами с запаздыванием. - Кемерово: КемГУ, 1989. - 83 с.
3. Гурецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. - М.: Машиностроение, 1974. - 328 с.
4. Кочубиевский И.Д. Системы нагружения для исследования и испытаний машин и механизмов. - М.: Машиностроение, 1985.-224 с.
5. СтрейцВ. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. - М.: Наука, 1985. - 296 с.
6. Карташов В.Я. Эквивалентность дискретных моделей - реальность? // Промышленные АСУ и контроллеры. - 2006. - № 8. - С. 40-44.
7. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. - М.: Машиностроение, 1982. - 504 с.
8. Волгин Л.Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами. - М.: Наука, 1986 - 240 с.
Поступила 06.10.2007г.
УДК 681.51
АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ
B.C. Лещёв, A.A. Шилин, A.A. Светлаков
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники E-mail: npowest@tomsk.ru
Рассматривается программный комплекс, предназначенный для реализации на недорогих промышленных контроллерах различных алгоритмов управления, построенных на базе функциональных блоков. Приводится пример программирования на языке функциональных блоковых диаграмм алгоритма автоматизации реального технологического процесса.
Введение
В последние годы для создания автоматизированных систем управления технологическими процессами (АСУ ТП) широкое применение получили различные технологические языки программирования, доступные для понимания не только программистам, но и инженерам-технологам. В результате в настоящее время мы имеем программные пакеты для создания интерфейса человек-машина и программного обеспечения операторских станций АСУ ТП (SCADA) [ 1]. В связи с тем, что технологические языки легко поддаются унификации, таких программных пакетов разработано превеликое множество, и, более того, под них разрабатываются собственные языки программирования. Для того, чтобы как-то упорядочить этот процесс, в 1993 г. был принят стандарт Международной Электротехнической Комиссии IEC-1131-3 [2]. Стандарт описывает пять языков программирования программируемых логических контроллеров (ПЛК): Sequential Function Chart (SFC), Function Block Diagram (FBD), Ladder Diagrams (LD), Structured Text (ST), Instruction
List (IL) [3]. Наиболее популярными среди программистов являются языки ST и IL, так как они вобрали в себя наиболее общие операторы языков программирования типа Pascal и Assembler.
Практика показала, что для инженеров-техно-логов наиболее понятен язык функциональных блоковых диаграмм (FBD). Язык FBD служит для построения и детального описания алгоритмов управления технологическими процессами. Он позволяет пользователю для систем любой сложности построить блок-схему алгоритма управления, состоящую из библиотечных блоков. Программный комплекс «АКИАР», разработанный программистами ООО «НПО ВЭСТ» (г. Томск) в сотрудничестве с кафедрой информационно-измерительной техники Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники, позволяет работать именно с этим языком программирования и имеет ряд особенностей, отличающих его от аналогичных программных продуктов. На этих особенностях остановимся чуть позже, а пока обратим внимание на то, что стандарт МЭКIEC-1131 носит
