CC BY
211МЕТОДИЧЕСКАЯ НАУКА - УЧИТЕЛЮ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
УДК 378.147-004.42:514 ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ
ИНТЕРАКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СРЕДЫ GEOGEBRA ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ
Абраменкова Юлия Владимировна,
кандидат педагогических наук, e-mail: abramenkovajulia@mail. ru Карлина Оксана Васильевна,
магистрант, e-mail: oksankakarlina@mail.ru ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет», г. Донецк, ДНР
Abramenkova Julia,
Candidate of Pedagogical Sciences, Karlina Oksana,
Master Student, Donetsk National University, Donetsk
В статье речь идет о возможностях применения интерактивной геометрической среды GeoGebra при изучении геометрии в основной школе. Рассматриваются некоторые приемы применения программы GeoGebra при обучении учащихся построению геометрических чертежей, в том числе динамических и интерактивных, решению геометрических задач и доказательству теорем.
Ключевые слова: информационно-коммуникационные технологии, интерактивная геометрическая среда, геометрия, GeoGebra.
Постановка проблемы. Современный период информатизации образования определяет необходимость обновления и совершенствования методики обучения математике в образовательных организациях общего образования. В современной школе информационно-коммуникационные, дистанционные и облачные технологии все шире используются не только на уроках информатики, но и при изучении других предметов. Внедрение в процесс
обучения средств информационно-коммуникационных технологий (ИКТ) в значительной мере способствует углублению и расширению теоретической базы знаний обучающихся, предоставлению результатам обучения практического значения, активизации учебно-познавательной деятельности, созданию условий для полного раскрытия творческого потенциала обучающихся с учетом их индивидуальных способностей и т.д.
В школьном математическом образовании особое место занимает геометрия, которая необходима для приобретения обучающимися знаний о фигурах и их свойствах, для применения этих знаний при решении геометрических и практических задач, для развития пространственного воображения. Изучение геометрии вносит свой особый вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства, овладение дедуктивным методом и т.п. И если алгебраический материал в изобилии содержит готовые правила и алгоритмы, приемы и методы решения задач, то в геометрии готовых алгоритмов практически нет. Почти все геометрические теоремы и задачи нестандартны, требуют для своего доказательства и решения индивидуального подхода [7].
Эффективность обучения геометрии зависит, в первую очередь, от умения обучающихся проводить подробный разбор конкретных ситуаций, о которых идет речь в задаче или теореме; строить правильный чертеж и необходимые дополнительные построения; анализировать, как изменятся одни элементы чертежа при изменении других; выдвигать гипотезы, подтверждать или опровергать их и т.д. В этом эффективно могут помочь современные информационно-коммуникационные технологии, поскольку компьютерная поддержка изучения геометрии облегчает понимание методов и понятий, обеспечивает наглядность изучаемого материала, развивает образное и логическое мышление, побуждает учащихся к исследовательской деятельности. На наш взгляд, для решения вышеуказанных проблем особое внимание заслуживают такие средства ИКТ как интерактивные геометрические среды (ИГС).
Анализ актуальных исследований. Согласно Т.Ф. Сергеевой [6], интерактивная геометрическая среда - это педагогическое программное средство, позволяющее выполнять на компьютере различные геометрические построения, состоящие из базовых геометрических объ-
ектов и их комбинаций, а также задавать соотношения между этими объектами. При этом, при изменении одних объектов, остальные изменяются в режиме реального времени, сохраняя при этом заданные соотношения неизменными. Например, противоположные стороны параллелограмма при любых перемещениях его вершин останутся равными и параллельными.
Т.С. Ширикова [8] для таких интерактивных программ вводит другое название - системы динамической геометрии, под которыми понимает педагогические программные средства, позволяющие выполнять геометрические построения на компьютере таким образом, что при изменении одного из геометрических объектов остальные также изменяются, сохраняя заданные между собой соотношения неизменными.
Основной преимуществом данных программ является возможность построения интерактивных и динамических геометрических чертежей и моделей.
Динамические геометрические чертежи - это геометрические модели, содержащие в себе не просто изображение, а весь алгоритм, на основе которого данное изображение строится. В результате чертеж может изменяться при изменении положения его элементов, а связи между элементами остаются при этом неизменными. Поэтому учащиеся имеют дело фактически не с одной геометрической фигурой, а с их комбинациями.
Интерактивные геометрические чертежи - это чертежи, которые могут изменяться как учителем, так и обучающимся в процессе и после окончания построения, что позволяет организовать взаимодействие между учителем и учащимися посредством такого чертежа [2].
Практически любая интерактивная геометрическая среда позволяет быстро и точно выполнять построения, строить модели на плоскости и в пространстве, а также проводить исследования с помощью ручного или автоматического изменения положения отдельных объектов
(62)
или изменения численных значений параметров. Особую популярность среди таких программ сегодня имеет ИГС GeoGebra, которая дает возможность создавать динамические рисунки, чертежи, модели для использования в обучении геометрии, алгебры, физики и других предметов. Основная идея данной программы заключается в интерактивном сочетании геометрического, алгебраического и числового представления. ИГС GeoGebra позволяет создавать различные конструкции из точек, лучей, векторов, отрезков и прямых, позволяет строить графики разных видов функций, которые затем можно динамически изменять варьированием одноного или нескольких параметров. Также в ней доступно построение перпендикулярных и параллельных прямых, серединных перпендикуляров и биссектрис углов, окружностей и касательных. В данной программе можно измерять углы, определять длины отрезков, площади многоугольников и замкнутых кривых. Таким образом, благодаря возможностям программы GeoGebra ее полезно использовать для изучения свойств геометрических объектов, наглядного решения задач, «открытия» и доказательства теорем, проведения исследований и т.п.
Анализ работ показал, что в литературе есть лишь некоторые примеры использования программы GeoGebra на уроках геометрии, в основном с упором на выполнение чертежей при доказательстве теорем или решении задач. Например, Е.Н. Дронова и Д.С. Захарова [1] акцентируют внимание на важности построения правильного и аккуратного чертежа к задаче, что способствует формированию графической культуры обучающихся и, как следствие, повышает результативность правильного решения задач по геометрии. Пробелы проявляются в неумении правильно изобразить геометрические фигуры, провести дополнительные построения, исследовать построенную модель или чертеж.
Ю.В. Садовничий и Р.М. Туркменов [5], рассматривают некоторые примеры использования GeoGebra при изучении отдельных тем алгебры. Работа носит описательный характер на одном небольшом примере. О.Л. Безумова, Р.П. Овчинникова и О. Н. Троицкая [3] описывают пошаговые инструкции применения инструментария ИГС GeoGebra. Также авторы представляют общие методические указания к использованию возможностей программы в формировании геометрических понятий, обучении доказательству теорем, выполнении построений, решении различных геометрических задач. К сожалению, данные рекомендации носят лишь описательный характер, в работах отсутствует методическое обоснование приемов использования данной программы в обучении решению задач, доказательству теорем, не рассмотрены примеры выдвижения гипотез, их подтверждения или опровержения, алгоритмы построений представлены на интуитивном уровне. В работах нет четкой методической базы применения программы GeoGebra.
В работе Т.С. Шириковой [7] раскрыта узкая тема применения программы GeoGebra в обучении учащихся доказательству теорем. Научной новизной данной работы является то, что в ней представлена довольно широкая теоретическая и практическая база по обучению доказательству теорем на основе экспериментальной проверки. Однако, в ее работе нет единой методики использования педагогического программного средства GeoGebra на уроках геометрии. Представленные лабораторные работы охватывали лишь отдельные теоремы курса геометрии в основной школе, не было единых алгоритмов построения динамических чертежей, конкретных выводов в решениях задач.
С.В. Панферов и Т.Ф. Сергеева [4] разработали для 7 и 8 классов электронный ресурс «Наглядная планиметрия», который предназначен для знакомства с теоретическими и практическими аспек-
тами работы в ИГС GeoGebra. Ресурс содержит пошаговые инструкции применения инструментария GeoGebra, а также различные задачи по планиметрии. Ресурс «Наглядная планиметрия» содержит очень простые задания и больше направлен на обучение созданию динамических моделей и чертежей.
На сегодняшний день в Донецкой Народной Республике методике использования интерактивной геометрической среды GeoGebra уделено недостаточное внимание, нет серьезного методического обеспечения обучения геометрии с помощью данной программы. Поэтому важно разработать такую методику обучения с использованием возможностей ИГС GeoGebra, чтобы учащиеся без труда могли решать геометрические задачи, правильно и аккуратно выполнять иллюстрирующие их чертежи и модели, выполнять геометрические построения, «открывать» и доказывать теоремы, находить различные способы решения задач, выдвигать гипотезы, подтверждать или опровергать их, проверять результаты вычислений и т.п.
Цель статьи - описание особенностей применения интерактивной геометрической среды GeoGebra при обучении учащихся решению геометрических задач и доказательству теорем.
Изложение основного материала. Программа GeoGebra, как было сказано ранее, имеет довольно высокий функционал и возможности, но при этом имеет довольно простой, удобный и интуитивный интерфейс, что позволяет использовать ее в учебном процессе, как учителем на уроках, так и самостоятельно учащимися дома.
Одной из проблем, возникающих у учащихся при решении задач и доказательстве теорем, является построение чертежей: геометрических фигур, их элементов, комбинации различных геометрических объектов, дополнительных построений и т.д. Довольно часто учащиеся формально подходят к построению геометрических чертежей и рисунков.
Например, при построении вписанной окружности изображают ее «как-то» касающейся каждой стороны фигуры, не учитывая, где именно расположен центр такой окружности, в каких именно точках она касается сторон фигуры и т.п. Для обучения учащихся правильному и осмысленному построению геометрических чертежей может помочь программа GeoGebra, в которой, как в тетради, нельзя формально подойти к построению геометрических объектов. Построение каждого рисунка, чертежа или модели в GeoGebra имеет четкий алгоритм и порядок действий, что способствует формированию у обучающихся понимания построений различных геометрических фигур, их элементов и комбинаций.
Для этого нами разработаны алгоритмы построения чертежей для геометрических фигур и их объектов, для основных теорем и некоторых задач из школьного учебника. Сначала учащиеся строят геометрические чертежи по готовым предложенным алгоритмам, затем им предлагаются алгоритмы построения, в которых или допущены ошибки, или пропущены некоторые этапы построения. А когда у учащихся уже имеется опыт построения, им предлагаются задания, для которых чертежи они должны построить самостоятельно.
Данные задания направлены на обучение учащихся не только правильному построению рисунков, чертежей и моделей к задачам и теоремам, но и, самое важное, пониманию этих построений, пониманию свойств геометрических фигур и объектов, их расположению и т.п.
Также при использовании ИГС GeoGebra обучение доказательству теорем и свойств геометрических объектов может быть более эффективным, материал усваивается глубже, укрепляется желание учащихся к познанию нового, развивается мышление.
Основными целями обучения доказательству, по мнению Т.С. Шириковой [8], являются:
1) формирование у обучающихся представлений об основных функциях доказательств (проверке и объяснения);
2) формирование у учащихся умений выдвигать гипотезы, их подтверждать или опровергать, самостоятельно осуществлять экспериментальную проверку утверждений с использованием ИГС, а также понимать и воспроизводить логические рассуждения, проводимые в качестве объяснительной основы.
Например, рассмотрим методику работы со свойством: «Углы при основании равнобедренной трапеции равны».
Постановка проблемы. В качестве мотивации обнаружения факта равенства углов может быть использована задача на нахождение углов равнобедренной трапеции, если известен только один из них.
Выдвижение гипотезы. Учащиеся могут подойти к открытию этого факта в процессе решения данной задачи методом измерений (величин сторон линейкой и улов транспортиром).
Проверка гипотезы. Для проверки справедливости выдвинутой гипотезы может быть использован динамический чертеж. Методом компьютерного эксперимента учащиеся должны установить, какие из следующих гипотез верны:
1) равенство углов при основании равнобедренной трапеции зависит / не зависит от выбора длин оснований;
2) равенство углов при основании равнобедренной трапеции зависит / не зависит от выбора длины боковой стороны.
Вначале построим динамический чертеж по следующему алгоритму.
1. Зададим ползунок а.
2. Выберем опцию «Отрезок фиксированной длины» и получим отрезок АО (за него отвечает ползунок а).
3. Зададим ползунок Ь.
4. Выберем опцию «Окружность по центру и радиусу». Проведем окружности с центром в точках А и О радиуса Ь.
5. Получены боковые стороны трапеции, такие что АВ = Ь и СО = Ь.
6. Зададим ползунок а.
7. Выберем опцию «Угол заданной величины».
8. Программа задаст углы равнобедренной трапеции (рис. 1).
9. Проведем прямые через точки А и Р, О и Е.
10. Отметим точку пересечения прямой АР и окружности с центром в точке А - точку В.
11. Отметим точку пересечения прямой ОЕ и окружности с центром в точке В - точку С.
12. Соединим точки А, В, С и О через опцию «Многоугольник».
13. Уберем лишние линии (рис. 2).
Проверка утверждения 1.
1. Пользуясь ползунком а, просматриваем все допустимые значения параметра а (основания / и к) в направлении от меньшего к большему.
2. Следим за тем, изменяется ли соотношение величин углов при основании равнобедренной трапеции.
3. По результатам эксперимента программа заполняет таблицу (рис. 3).
Как видим, при изменении длин оснований трапеции величина углов при основании остается постоянной.
Проверка утверждения 2.
1. Пользуясь ползунком Ь, просматриваем все допустимые значения параметра Ь (боковые стороны трапеции т и п) в направлении от меньшего к большему.
2. Следим за тем, изменяется ли соотношение величин углов при основании.
По результатам эксперимента программа заполняет таблицу (рис. 4).
Вывод. В ходе экспериментальной проверки установлена справедливость утверждений: равенство углов при основании равнобедренной трапеции не зависит от выбора длин оснований; равенство углов при основании равнобедренной трапеции не зависит от выбора длины боковой стороны.
Рисунок 1 - Построение равнобедренной трапеции
н я
-Ь- В
г |<
ь л
т* - 1
\
0 -= • =- 5
4 \ [ )
о- f -0|
1
Рисунок 2 - Динамический чертеж равнобедренной трапеции
А В С 0 Е -
1 f к т V Р
2 10 5.19 4 53° 53°
3 11 6.19 4 53° 53°
4 12 7.19 4 53° 53°
5 13 8.19 4 53° 53°
6 14 9.19 4 53° 53°
7 15 10.19 4 53° 53°
8 16 11.19 4 53° 53°
9 16 12.39 3 53° 53°
10 17 12.19 4 53° 53°
11 18 13.19 4 53° 53°
12 19 14.19 4 53° 53°
13 20 15.19 4 53° 53°
14
Рисунок 3 - Проверка утверждения 1
А В С D E F С
1 f к m Y n P -
2 15 В.98 5 53d 5 53d
3 15 7.78 6 53d 6 53d
4 15 6.57 7 53d 7 53d
5 15 5.37 8 53d 8 53d
6 15 4.17 9 53d 9 53d
7 15 2.96 10 53d 10 53d
8 15 1.76 11 53d 11 53d
9 15 D.56 12 53d 12 53d
10 15 D.65 13 53d 13 53d
11 15 1.85 14 53d 14 53d
12
13
Рисунок 4 - Проверка утверждения 2
На уроках геометрии при помощи интерактивной геометрической среды GeoGebra можно формировать у учащихся умения решать задачи, поскольку программа позволяет не только строить произвольные геометрические фигуры, но и фигуры с конкретными данными и параметрами. Например, с конкретными длинами сторон, величинами углов, периметром или площадью фигуры и т.п. При этом реализуются две цели: визуализация решения задачи и применение теорем или их следствий, которых нет в учебнике.
Например, рассмотрим пример применения программы GeoGebra при решении задачи: «Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы».
Постановка проблемы. В качестве мотивации решения задачи может быть «открытие» новой теоремы.
Решение задачи требует проведение тщательного компьютерного эксперимента, направленного на создание виртуальной модели решаемой задачи. Вначале строим динамический чертеж к задаче (рис. 5).
Средством проверки справедливости утверждения на представленной динамической модели являются: точка Б - середина гипотенузы ВС, а также
выведенные на экран текущие значения длин сторон АВ и АС.
Выдвижение и проверка гипотезы. В качестве метода для уточнения исходной гипотезы перед учащимися может выступать численный эксперимент.
Соберем в таблицу данные о текущих значениях отрезков I = ЛБ, г = ВБ, ] = БС, к = ЛВ, / = ЛС. Это позволит исследовать длины этих отрезков, результатом чего является выдвижение гипотезы справедливости утверждения, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (рис. 6).
Перемещаем сначала ползунок а, а потом ползунок Ь. Изменение длин отрезков треугольника автоматически заносится в таблицу. Как видим, при изменении длин сторон прямоугольного треугольника АВ и АС, сохраняется равенство ЛБ = ВБ = БС.
Мы приходим к выводу, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. После проведения доказательства этого утверждения при решении задачи на уроке с помощью динамического чертежа закрепляется данное утверждение и записывается как теорема.
к
р
и —
91
о
р
В
5
и I }
Л
я
-з- 1 ь
V
Рисунок 5 - Динамический чертеж медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника
;кты Окно I в IВI' В -I
Справка
X. я * 1_Р II е 1 ® #
И " Таблица К
--* /; I п к а п=) • ЕВ-
а •II д •II В •II с •и О •II Е
г
а =-1 1 1 к I 1 1 В
2 4 5 3|ТекстС1р 32
Ь = 12 Ч 4 = 2 3 4 6 3.61 3.61 3.61
4 4 7 4.03 4.03 4.03
5 4 8 4 47 4 47 4 47
I- -1-2- р в 4 В 4.52 4.92 4.92
7 4 10 5.39 5.39 5.39
0 8 4 2 0 1 0
8 4 11 5.85 5.85 5.85
9 4 12 6.32 6.32 6.32
у \ = 8 85 ] = 8^
10 4 13 6.8 6.8 68
11 5 13 6.96 6.96 6.96
V с 12 6 13 7.16 7.16 7.16
Г = 13 113 7 13 7.38 7.38 7.38
-0 14 8 13 7.63 7.63 7.63
15 9 13 7.91 7.91 7.91 -
16 10 4 | 13 ггг 8.2 8.2 8.2 г
] ®
Рисунок 6 - Результаты проверки гипотезы, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы
Разработанные с помощью программы GeoGebra динамические модели и чертежи можно использовать на уроках при мотивации, изучении нового материала, закреплении решения задач. При этом учитель может использовать как созданные заранее модели, так и вместе с учащимися пошагово их стро-
ить и исследовать. Также учащиеся могут самостоятельно на уроках (если есть возможность) или в рамках домашнего задания строить динамические чертежи, решать с их помощью задачи, «открывать» и доказывать теоремы, проводить компьютерные эксперименты.
(68)
Выводы. Таким образом, с помощью интерактивной геометрической среды GeoGebra можно не только визуализировать процесс обучения геометрии, делать его более наглядным и интересным, но и доказывать теоремы и решать задачи, выдвигать гипотезы, подтверждать или опровергать их, проводить компьютерные эксперименты и т.п. Использование таких динамических чертежей в учебном процессе формирует у обучающихся алгоритмический стиль мышления, стимулирует их к поисковой исследовательской учебно-познавательной деятельности.
1. Дронова Е.Н. Использование программы GeoGebra для решения геометрических задач основного государственного экзамена по математике / Е.Н. Дронова, Д.С. Захарова // Вестник Алтайского государственного педагогического университета. - 2017. - №31. - С. 25-29.
2. Интерактивные геометрические среды [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https://habr.com/ru/post/189862/. -Заглавие с экрана. - Дата обращения 06.04.2020.
3. Обучение геометрии с использованием возможностей GeoGebra: учебно-
методическое пособие / О.Л. Безумова, Р.П. Овчинникова, О.Н. Троицкая. - Архангельск : КИРА, 2011. - 140 с.
4. Панферов С.В. Наглядная планиметрия. Учебное пособие для 8 класса / С.В. Панферов, Т.Ф. Сергеева. - Москва : ИЛЕКСА, 2016. - 113 с.
5. Садовничий Ю.В. Методические особенности использования интерактивной геометрической среды GeoGebra при изучении темы «Решение нестандартных уравнений» / Ю.В. Садовничий, Р.М. Туркменов // Вестник РУДН, серия Информатизация образования. - 2015. - №2. - С. 78-85.
6. Сергеева Т.Ф. Основы динамической геометрии / Т. Ф. Сергеева, М.В. Шабанова, С.И. Гроздев. - Москва : АСОУ, 2016. -152 с.
7. Скафа Е.И. Способы управления эвристической деятельностью учащихся по геометрии / Е.И. Скафа, В.Н. Очерцова, В.В. Коротких // Дидактика математики: проблемы и исследования : Междунар. сборн. науч. работ. - 2018. - Вып.48. - С. 76-83.
8. Ширикова Т.С. Методика обучения учащихся основной школы доказательству теорем при изучении геометрии с использованием GeoGebra / Т.С. Ширикова. - Архангельск : САФУ им. М.В. Ломоносова, 2014. -250 с.
Abstract. Abramenkova J., Karlina O. FEATURES OF APPLICATION OF THE INTERACTIVE GEOMETRICAL ENVIRONMENT GEOGEBRA WHEN STUDYING GEOMETRY AT THE BASIC SCHOOL. In the article there is a speech about possibilities of application of the interactive geometrical environment GeoGebra when studying geometry at the basic school. Some receptions of application the program GeoGebra when teaching pupils to creation of geometrical drawings, including dynamic and interactive ones, to the solution of geometric tasks and the proof of theorems are considered. Receptions of use of the program GeoGebra at promotion being hypotheses, their confirmation or a denial, carrying out computer experiments are considered.
Keywords: information and communication technologies, interactive geometrical environment, geometry, GeoGebra.
Статья представлена профессором Е.И. Скафой.
Поступила в редакцию 08.05.2020 г.
