CC BY
14
УДК 539.194: 544.273
Б01: 10.15587/2313-8416.2018.134334
ОСОБЕННОСТИ ПРЕЦЕССИИ ДВУХЧАСТОТНОГО МАЯТНИКА © Н. Т. Малафаев
Проведен анализ прецессии вращательных колебаний молекул воды с помощью модели двухчастотного маятника во всей области его колебаний. Обнаружено, что прецессия двухчастотного маятника в поле неоднородных сил взаимодействий является анизотропной. Наибольшая анизотропия наблюдается в критической точке изменения типа колебаний с двухчастотного на одночастотный. Рассмотрено проявление особенностей прецессии (изменения фазы) в области двухчастотных колебаний, наблюдаемые для случаев малых начальных скоростей колебаний маятника
Ключевые слова: молекула воды, прецессия, двухчастотный маятник, анизотропия, тип колебания, неоднородное поле сил
1. Введение
Свойства воды вызывают большой интерес и широко обсуждаются в литературе [1, 2]. Вопросы влияния колебательных спектров атомов и молекул на свойства веществ подробно рассматриваются в рамках теории эффекта Яна - Теллера [3]. В работе [4] данная теория применена автором к колебательным спектрам молекул в жидкой воде, сравнительно со льдом. Показано, что ее физико-химические особенности обусловлены появлением в ней новых коллективизированных вращательных колебаний (либ-рационных колебаний, ограниченных вращений [1]), приводящих в воде к изгибам водородных связей (Н-связей) и значительному изменению всех ее свойств.
Особенностью вращательных колебаний молекул воды является их многочастотность. Моделирование вращательных колебаний молекул воды проводилось с помощью модели двухчастотного сферического маятника [5], однако еще многие вопросы физики колебаний молекул воды требуют своего анализа. В частности, не ясно, какие особенности имеет прецессия молекулы в пространстве, исходя из модели двухчастотного маятника.
2. Литературный обзор
В работе [6] были рассмотрены двумерные колебания маятника и его прецессия. Показано, что прецессия (дополнительный поворот по углу) большой оси эллиптической орбиты колебаний маятника направлена в направлении вращения маятника. Согласно формулы Пьюзо угол прецессии (поворота) большой оси эллиптической орбиты маятника пропорционален площади описываемого им эллипса, и он постоянен во времени и изотропен в
пространстве для свободных незатухающих колебаний маятника.
В работе [7] подробно рассмотрен двухча-стотный маятник. Основное внимание уделено его отличию от обычного одночастотного, наличию биения его частот, проведено сравнение особенностей его колебаний с оптическими эффектами. Рассмотрено для сферического маятника выражение для его прецессии. В работе обсуждается резонанс колебаний маятника от внешних источников, однако не рассматривается случай возможного перехода между собственными частотами маятника на общую частоту.
Работы по двухчастотным маятникам редки. В [8] рассмотрены вопросы устойчивости колебаний двухчастотного маятника с двумя разными типами колебаний - трансляционным и вращательным. Однако это совсем другой тип маятника, сравнительно с нашей моделью.
В работе [9] рассмотрена многочастотность колебаний как следствие наличия нескольких локальных минимумов для потенциала взаимодействия, а не одного, как у нас. При компьютерном моделировании колебаний молекул воды [10] применяются одночастичные потенциалы взаимодействия, которые при всех улучшениях [11] дают обычно один минимум потенциала. Для назревшего получения нескольких минимумов потенциала [3, 9] необходимо учитывать направленность межмолекулярных взаимодействий и взаимодействия молекул во второй координационной сфере.
При компьютерном моделировании колебаний ансамблей молекул воды методом молекулярной динамики [10, 12] рассчитываются термодинамические характеристики колебаний молекул. При
этом задается большой шаг во времени сравнительно с периодом колебаний, что не позволяет рассмотреть особенности вращательного движения молекул, а также требует постоянной коррекции температуры системы. В потенциалах взаимодействия молекул с соседями часто не учитывается наличие моментов инерции молекул, которые ведут к их вращательным колебаниям. Учет теплового движения всех молекул сопровождается его сильной хаотизацией и разрывами связей, что также затрудняет рассмотрение особенностей вращательного движения молекул.
В работе [5] для моделирования свободных вращательных колебаний одной молекулы воды была применена модель двухчастотного сферического маятника, поскольку было показано [4], что малые вращательные колебания молекул воды являются двухчастотными. Наличие двух вращательных частот маятника задавалось параметром к = 1Х / 1У, ха-рактеризирующим отношение моментов инерции маятника (и молекулы) по осям модели, где к > 1 и ось х - низкочастотная. Вследствие различия моментов инерции для маятника по осям возвращающие силы для него становятся нецентральными.
Двухчастотный сферический маятник при малых отклонениях имеет два начальных периода Тхо и Туо независимых колебаний (НК) [5]. При этом маятник совершает вращения за период биений в двух направлениях вокруг его оси [7]. С ростом амплитуды колебаний его период увеличивается, что создает возможность колебаний по двум осям на одной общей частоте. В результате маятник начинает совершать сложные эллипсоподобные колебания (ЭПК) -с однонаправленным вращением вокруг своей вертикальной оси. Для возможности появления ЭПК необходимо, чтобы амплитуда колебаний по оси У была больше, чем по оси Х, чтобы периоды смогли стать равными (Тх=Ту). Это сопровождается появлением вращений маятника в одном направлении внутри эллиптической области колебаний, а не в круге, как для сферического одночастотного маятника. Оси огибающей эллиптической области колебаний двухчастотного маятника совпадают с осями связей - координатами X и У.
Особенно быстро частота понижается в неоднородных полях сил (НПС), моделирующих направленные силы межмолекулярного взаимодействия [5]. Это создает условия к появлению ЭПК при малых амплитудах колебаний и согласуется с зависимостями либрационных частот воды от температуры [1]. ЭПК соответствуют вращениям молекул воды и, в частности, их ядер атомов водорода вокруг осей Н - связей с соседними молекулами.
Если для математического сферического маятника прецессия исследована [6, 7], включая анализ в НПС [13], то ее особенности для двухчастотного сферического маятника пока никто не рассматривал. Возможно, что с ее помощью можно объяснить особенности траекторий ЭПК данного сферического маятника.
3. Цель и задачи исследования
Цель работы - физико-математический анализ колебаний двухчастотного маятника, как модели вращательных колебаний молекулы воды и опреде-
ление для него параметров прецессии и их особенностей.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
1. Создание методики анализа и модификация программ расчета.
2. Анализ траекторий колебаний, определение особенностей и анализ параметров прецессии двух-частотного маятника для области ЭПК и сравнение их со сферическим (одночастотным) маятником.
3. Рассмотрение особенностей периодичности колебаний двухчастотного маятника для всего диапазона его возможных скоростей.
4. Анализ особенностей и параметров прецессии (фазы) двухчастотного маятника для области НК и связи их с областью ЭПК.
4. Модель колебаний двухчастотного маятника в НПС
Модель свободных колебаний двухчастотного сферического маятника в НПС рассмотрена в [5]. Она представляет две массы, закрепленные на двух невесомых стержнях длиной I под углом 0о, что дает разные моменты инерции маятника по его осям. Ось Х маятника (перпендикуляр к плоскости маятника) соответствует оси х молекулы воды [4], а ось У маятника -оси г молекулы (биссектриса угла &о молекулы) - для отношения моментов инерции к=1,5. В модели принято, что главные моменты инерции маятника от его смещений не зависят. Смещения маятника от равновесия (от вертикальной оси 2) рассматриваются через угол отклонения маятника в, либо через относительные смещения от начала ХУ - координат по оси X: д=х^ /I (1=1 м, 1=Х, У), где смещения по осям х, и д, численно равны. При моделировании колебаний задавались начальное относительное смещение маятника дхо по оси X и его начальная скорость ууо по оси У. Угол максимального отклонения маятника в ограничивался при моделировании нижней полусферой -углом 90°, тогда как для молекулы воды при углах более 30° вероятен разрыв ее Н - связи [12]. В НПС разрыв связи для свободных колебаний возникает при углах больших 40°.
Локальное моделирование вращательных колебаний молекулы воды было проведено в пакете ЫаЛаЬ с помощью модели двухчастотного сферического маятника в НПС вида G=g•cosnв (§=10 м/с2, п=8).
Это осредненное поле сил остается неизменным для всего процесса моделирования колебаний, в котором маятник совершает свободные колебания, то есть, для молекулы воды мы пренебрегаем тепловым движением ее соседних молекул. Наличие НПС приводит к синхронизации частот колебаний в "критической" точке уже при малых отклонениях маятника д. Это приводит к изменению типа колебаний с ростом начальной скорости маятника [5, 13]. При ЭПК колебания происходят в области колебаний, ограниченной двумя огибающими эллипсами - внутренним и внешним, одним из радиусов которого по оси X является величина начального смещения маятника дхо. При "эллиптической" начальной скорости траектория представляет чистый эллипс (огибающие эллипсы
совпадают), при "максимальной" скорости - угол отклонения маятника в достигает края нижней полусферы (в < 90°). Определение параметров маятника проводилось для отношения моментов инерции, характерного для молекул воды к=1,5 [1, 5].
Колебания (НК и ЭПК) двухчастотного маятника происходят в широкой области эллиптического пространства [5] и сложны для рассмотрения. Потому при анализе колебаний были нормирована область колебаний и рассмотрены ее особые точки и их значения. При большом числе периодов колебаний и времени моделирования (-200 с) можно получить большое число значений величин и достаточно надежно усреднить полученные результаты. Шаг моделирования составлял 0,0001 с, поскольку при этом нелинейностями в расчетах за данное время моделирования можно пренебречь.
5. Результаты исследования и их обсуждение
Для определения углов и периодов прецессии по траекториям ЭПК двухчастотного маятника была проведена нормировка эллиптических областей колебаний в координатах ХУ по обеим осям (хп=х/хтах, уп=у/утах) для получения круговой внешней границы области колебаний. Для расчетов величин углов прецессии фр и их периодов Тр взяты точки максимального отклонения траекторий по радиусу. Расчеты проводились от одного максимума к другому, то есть для полупериода прецессии. Это позволило упростить расчеты, а также получить вдвое больше точек на графиках, что существенно вследствие быстрых изменений этих параметров, особенно вблизи максимальных начальных скоростей маятника ууо. При сравнении периода Тр с полным периодом маятника Т его величина удваивалась.
Для расчета угла прецессии за полпериода из угла между максимумами вычитался угол 180°. Надо отметить, что при углах прецессии больших 1...3° говорить об "эллипсах" с точки зрения геометрии неверно. Однако рассчитать площадь 8р п-го эллипса БРпо=папЬпср [6] не вызывает проблем, где ап Ьп= Гтахп Ьпср=(Ьп+Ьп+1)/2. Для больших углов прецессии фр в данную площадь добавлялся угловой коэффициент, пропорциональный величине угла прецессии и увеличивающий площадь "полуэллипса": Ярп=8рпо (1+ фр /180).
Уточнение площади эллипса интегрированием: Spi=fr2dф дает близкие значения с величиною 8рп для смещений д < 0,5, характерных для колебаний молекул воды, и качественно не меняет результаты. Различия их связаны с НПС, длительным нахождением маятника при больших смещениях.
Данная методика была применена для расчета прецессии маятника в области ЭПК (одночастотных), а также в области двухчастотных НК для их сравнения и анализа. Нормировка по оси У в области НК проводилась для радиуса по формуле: уп = у/(Утах^1Пфт), где угол фт взят для точки Утах.
5.1. Прецессия в области ЭПК
Обычно, в отсутствие кратности средних периодов колебаний и средних периодов прецессии кр=Т/Т, траектории в области ЭПК равномерно за-
полняют эллиптическую область колебаний [5, 13]. Для случаев кратности средних периодов наблюдается многократное наложение траекторий двухчастот-ного маятника в ХУ - координатах самих на себя, и они упрощаются.
На рис. 1, а показаны траектории для отношения периодов кр =16/15, которое позволяет увидеть много лепестков эллипсов. Видим анизотропию прецессии: малые углы прецессии фр "эллипсов" траекторий вблизи оси У и большие углы фр вблизи оси X. Вследствие близости скорости к критической внутренний эллипс области колебаний узкий, а отношение периодов колебаний кр близко к единице. Для больших кр, скоростей ууо и малого числа лепестков анизотропия прецессии может быть малозаметной (рис. 1, б).
б
Рис. 1. Траектории маятника для отношения периодов колебаний в области ЭПК: а-кр=16/15 (дхо=0,45; ууо=0,6 м/с); б-кр=3/2 (дхо=0,2; ууо=1,531 м/с)
При больших отклонениях по оси У ускорения маятника вдоль оси X ослаблены, что ведет к малой скорости ух и узким эллипсам вдоль оси У и малой прецессии, особенно вблизи критической точки (ух.кр - 0) [14]. Вследствие эллиптичности области колебаний скорости уу на границе области колебаний вблизи оси X всегда больше чем скорость ух вблизи оси У
а
и уменьшаются с ростом смещения дхо или скорости ууо [14], что сопровождается уменьшением относительных изменений (анизотропии) угла прецессии.
На рис. 2 представлены зависимости средних периодов колебаний Т, периодов прецессии Тр, отношения этих периодов кр и средние отклонения для периодов прецессии АТр от величины начальной скорости маятника ууо (от критической до максимальной). Видим сравнительно линейный рост отношения периодов колебаний маятника кр со скоростью и быстрый рост всех параметров вблизи максимальной скорости маятника, обусловленные НПС.
На рис. 3 представлены для тех же скоростей зависимости средних углов прецессии фр за полпериода прецессии и средние отклонения для них Афр (в градусах). Видим, что средние отклонения для углов прецессии относительно большие, чем для периодов прецессии АТр (рис. 2), что говорит об большом влиянии скорости на величину угла прецессии. Видим наличие максимумов для этих отклонений для эллиптической траектории (ууое1.=1,082 м/с). Вблизи максимальной скорости маятника средний угол прецессии фр за полпериода колебаний быстро растет и превышает 100°. На рис. 1,а средний угол прецессии фр за полпериода составляет 24°, на рис. 1,б - 90°.
Если для одночастотного маятника угол прецессии фр постоянен при заданных величинах начальных скорости маятника ууо и смещении 8хо, то для двухчастотного маятника прецессия для заданных величин ууо и дхо меняется со временем (рис. 1). Назовем эти характеристики локальными, в отличие от их средних, при данных величинах ууо и дхо. Средние величины для прецессии (рис. 2, 3) не дают информации о локальных характеристиках. Поэтому интересно их рассмотреть во времени и в пространстве для соответствующих ууо и дхо.
Согласно фазовых диаграмм маятника ух - Х, являющихся эллипсами или спиралями [14], скорость ух на оси У пропорциональна максимальной координате Х для этого эллипса. Это ведет к росту величины его угловой скорости по ф, а также угла прецессии фр с ростом величины максимального смещения по Х для последующих эллипсов (рис. 1, а). При росте скорости ууо выше критической диапазоны изменения максимальных координат Х эллипсов и скоростей ух уменьшаются, а соответственно, и анизотропия прецессии.
На рис. 4 представлены зависимости для углов прецессии фр за полпериода для начального смещения маятника дхо=0,3 и ряда начальных скоростей ууо от времени. Видим, что вблизи критической точки (рис. 4, кривая 1, ууо =0,741 м/с) угол прецессии большую часть времени мал и периодически возрастает, а затем снова убывает. С ростом скорости ууо углы прецессии фр возрастают, а периодичность и анизотропия углов прецессии уменьшаются.
Т р
т
к р
AT —^ Р
V . м/с
0.8
1
1.2
1.4
Рис. 2. Зависимости для периодов прецессии Тр и колебаний Т, их отношения кр и отклонения периода АТр от начальной скорости маятника ууо при дхо=0,3
V -ф,Лф
120
100
80
60
40
20
1 / ф , р
/ /
** ** /
т*- Аф
V . м/с
0.8
1
1.2
1.4
Рис. 3. Зависимости для средних углов прецессии фрт и их отклонений Афр от начальной скорости маятника ууо при начальном смещении дхо=0,3
Рис. 4. Зависимости углов прецессии фр от времени для начальных скоростей ууо =0,741; 0,8; 1; 1,3 и 1,4 м/с (кривые 1-5, соответственно) при дхо=0,3
Расчеты показывают, что максимумы на зависимостях для углов прецессии периодически повторяются после каждой суммы для углов прецессии Ефр в среднем равной 180°. Поскольку углы прецессии вблизи критической точки изменения типа колебаний минимальны, периоды повторения для углов прецессии и их анизотропия будут максимальны (рис. 4, кривая 1). При больших начальных скоростях и смещениях анизотропия скоростей по осям уменьшается [14], а потому анизотропия углов прецессии фр по осям минимальна (рис. 4, кривые 4-5).
Интересно рассмотреть, как изменилась связь между углами прецессии и площадями эллипсов для двухчастотного сферического маятника. На рис. 5 для ЭПК представлены локальные зависимости для углов прецессии фрп от площади данного полуэллипса Брп для начального смещения маятника дхо=0,3 и ряда начальных скоростей ууо. Треугольниками на рисунках показаны величины средних значений для углов прецессии и площадей эллипсов, через которые проведена штриховая линия. Средние значения определены с учетом плотности точек, за время моделирования 200 с. Для средних значений углов прецессии и площадей эллипсов получаем их пропорциональность для малых площадей £р< 0,2 м2, что согласуется с поведением прецессии обычного маятника [5, 10], однако локальные зависимости существенно отличны. Учет углового коэффициента для Брп, значительного для больших углов прецессии, существенно линеризирует данную зависимость.
Ф - S
' п п
120
100
80
60
40
20
W* / /
/ / \>С '
/ •у //
/ hi
# г
У 1/
0.1
02
0.3
0.4
0.5
0.6
Рис. 5. Зависимости углов прецессии фр при ЭПК от площади полуэллипсов Бр при дхо =0,3 для ууо= 0,741;
0,8; ... 1,3; 1,4 м/с и их средних значений (▼)
Для каждой отдельной точки моделирования (ууо, Зхо) двухчастотного маятника за время моделирования (рис. 5) имеем целый набор локальных значений углов прецессии фрп и площадей их эллипсов Брп, изменяющихся нелинейно в широких интервалах значений. Видим, что вблизи критической скорости, когда наблюдается узкий внутренний эллипс вдоль оси У, значения 8р изменяются от нуля и до максимума, когда эллипсы разворачиваются от оси У к оси Х и становятся широкими. С ростом скоростей ууо значения величин координат
внутреннего или внешнего эллипсов для расчета Бр возрастают.
Видим, что вначале с ростом скорости угол наклона локальных кривых и диапазон углов фр растет и имеет максимум для эллиптической орбиты, далее угол наклона уменьшается, а вблизи максимальной скорости ууо локальная зависимость между фр и Бр сопровождается перегибом. Уменьшение наклона фр от Бр видимо связано с переносом ограничения области колебаний для эллиптической орбиты по дхо - со внешнего эллипса на внутренний [14].
Набор локальных значений величин фр и Бр за время моделирования для каждой точки ЭПК двухча-стотного маятника изменяется сложно и в большом интервале значений, в отличие от пары значений, как для одночастотного маятника. Большой диапазон изменений угла прецессии вблизи эллиптической орбиты маятника согласуется с отклонениями угла Афр (рис. 3) и показывает особенности локальных изменений этих параметров в пространстве фр - £р. Изменения площадей Бр при этом связано с тем, что точки для расчета больших осей полуэллипса определены в нормализованных координатах, а координаты для расчетов его площади Бр - в реальных.
5. 2. Сдвиг фазы в области НК
Интересно рассмотреть, применив данную методику расчета параметров, имеются ли в области НК особенности, аналогичные прецессии, особенности перехода между типами колебаний, тем более, что их механизмы качественно близки. В [13] показано, что прецессия возникает вследствие различия периодов колебаний маятника по большой и малой осям эллипсоида. В результате за время разности периодов колебаний точка максимума отклонения маятника поворачивается на дополнительный угол - угол прецессии. Если для маятника различие периодов колебаний обусловлено разной амплитудой колебаний по осям эллипса, то для маятника в двухчастотной области НК это задано начальными условиями, а потому эффект от сдвига фазы для этих колебаний может быть большим. Обозначения для рассчитанных в области НК угла фр и площади Бр не изменяются.
Колебания в области НК отличаются от колебаний в области ЭПК не только двухчастотностью, но и формою области колебаний. При малых скоростях и отклонениях маятника (¿<0,1) колебания по осям проходят в прямоугольной области колебаний. С ростом скорости "прямоугольник" искажается, превращается в "бабочку", с округлением боковых сторон и со сжатием по оси У, которое увеличивается с ростом скорости ууо (рис. 6, кривые 1, 2), смещений дхо, показателя НПС п. Далее с ростом скорости диагонали приближаются к оси У, и в критической точке "диагонали" сольются с осью У (рис. 6, кривая 3), а "прямоугольник" превратится в эллипс. В результате получим изменение типа колебаний - переход их в область ЭПК. Видим эффект сгущения траекторий по "диагоналям" и разрежение их вблизи оси Х.
На рис. 7 показано зависимости углов фазы фр от времени для начальных скоростей ууо при смещении ¿хо=0,3. Видим, что при малых колебаниях (кри-
вая 1) зависимость фазы фрф в области НК близка к синусоидальной. То есть, рост фазы фр связан с различием фаз независимых частот и их биением, которое ведет к смещению максимумов амплитуды колебаний со временем. С ростом амплитуды колебаний зависимости для сил в НПС становятся нелинейными, частоты сближаются. Вблизи критической точки имеем острые по модулю, максимумы фазы фр (кривые 3 и 4) с периодом биения частот, аналогичные прецессии (рис. 4, кривая 1), но двухполярные по фазе. Острые максимумы фазы так же, как в области ЭПК, связаны с нелинейностями сил для больших амплитуд, большими скоростями уу на оси Х и соответствующими угловыми скоростями маятника для максимальных отклонений по оси X [14].
На рис. 8 точками показано зависимости фазы фр от площади эллипса Бр в области НК при дхо=0,3 для ряда скоростей ууо. В точках поворота направления вращения задано, что площадь эллипса меняет знак и кривые центрально симметричные. Вследствие этого средние значения их величин находятся в начале координат. Для малых начальных скоростей (кривые 1-2) зависимость параметров линейная, а с ростом скорости и смещений становится нелинейной. Угол наклона в начале координат связан с различием фаз для частот НК по осям, а нелинейность - с НПС. Видим, что положительная часть кривой 5 (рис. 8, ууо=0,74 м/с) практически совпадает с кривой для критической скорости при ЭПК (рис. 5, ууо=0,741 м/с).
Ф ° 'р
Рис. 6. Траектории маятника в области НК: дхо=0,3; ууо=0,1; 0,4 и 0,74 м/с (кривые 1, 2 и 3, соответственно). Время моделирования - по 50 с.
Рис. 7. Зависимости углов фр от времени для начальных скоростей ууо=0,1; 0,2; 0,04 и 0,74 м/с (кривые 14, соответственно) при дхо=0,3
40
20
-20
-40
, / /,
""" 2
# / ■
-0.15 -0.1 -0.05
J S ,M¿
0.05^_0.1 4 '.15 р
Рис. 8. Зависимости углов прецессии фр от площади эллипса Sp в области НК при дхо=0,3 и vyo=0,1; 0,2;
0,4; 0,6 и 0,74 м/с (кривые 1-5, соответственно)
На рис. 9 показано зависимости общей фазы ф (фi=arctg(yi/x)) и фазы фр от времени в области НК. В двухчастотной области НК маятник с частотой биений меняет направление вращения [7], что ведет к росту или уменьшению фазы ф со временем. Видим, что для фазы ф ~ 0 модуль фазы фр экстремальный, а в точках изменения направления вращения (экстремумы фазы ф) фаза фр меняет знак. Таким образом, знак фазы фр, в области НК как и для прецессии обычного маятника [6], связан с направлением вращения маятника - ростом или уменьшением общей фазы ф.
В точках поворота вращения маятник находится значительное время и потому угол ф почти не меняется. После этого маятник проходит наиболее близко к началу координат, а потому угол ф меняется наиболее быстро - видим почти вертикальные отрезки кривых фф, то есть, вблизи диагоналей прямоугольника фаза ф меняется ступенеподобно (рис. 9). Для максимальных отклонений вдоль оси X перпендикулярные к ней скорости велики и наблюдаются более близкие к линейным зависимости фазы от времени (ф~0).
На рисунке штриховой линией показана синусоида для осредненной частоты биений mb=my-mx между частотами колебаний по осям (20 sin фъ, где фъ=юъ t, ю=1/Т). Узлы колебаний для углов ф и фъ часто не совпадают, что обусловлено несовпадением
1
текущих периодов колебаний и биений. Вблизи критической точки частоты сближаются, а периоды биений возрастают.
Можно отметить, что в области НК максимумам угла ф соответствуют максимумы колебаний по осям X и У в фазе, а минимумам - в противофазе, что соответствует сдвигу по фазе между фазами фi их частот НК на ±180°, однако за полный цикл биения частот для ф (а также фр) получим суммарный угол 0°.
Представляет интерес рассмотреть, так ли меняется суммарная фаза £фр, как и угол ф, за полпериода биения частот при одном направлении вращения маятника в зависимости от величины скорости ууо. На рис. 10 показано зависимости для модуля суммы углов фазы Ефр от скорости ууо для разных начальных смещений маятника ¿хо. Видим рост суммы фаз с ростом скорости и выход их значений в области ЭПК на 180° для полуэллипсов при критической скорости (ууо кр уменьшается с ростом начального смещения дхо [5]).
20 10 0 -10 -20
ф (rad) - фр - 20з 'тфь
Л о * A' JfX< \\> /К\ Л / * ' \ 1 1П* 'Л
1 г / 7Л V А X / ч\
\ \ / / \ V / \У ß \Ji \ 1 / If
Л Ii л у * У/ , // л
U/ 11/ \/! V"/
Л ф
ф.
ника" и внутри угла Ефр. На его диагоналях происходит остановка вращения маятника по углу ф и изменение направления его вращения. По достижении критической скорости не происходит остановки вращения маятника на оси У по углу ф, и он продолжает вращение в том же направлении с периодичностью для максимумов фр., равной в среднем 180° (рис. 4).
Фsum ° 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0
Сумма фазных углов
0 0,2 -Xo= 0,05
0,4
i 0,1
0,6 0,8 1 -й-0,2 о 0,3
Vyo, м/с 0,5
о
10
20
30
40
50
60 t. С
Рис. 10. Зависимости модуля суммы углов фазы Ефр от начальной скорости ууо для разных смещений дхо в областях НК и ЭПК
Рис. 9. Зависимости фазы ф (в радианах), углов прецессии фр и кривой биений 20 sin фь (кривая фь) от времени в области НК для дхо=0,3 и vyo=0,1 м/с
Данная сумма углов фазы соответствует углу, под которым видны боковые ("вертикальные", рис. 6) стороны прямоугольной области колебаний маятника в XY - координатах, вдоль которых перемещаются максимумы эллипсов. Быстрое увеличение угла вблизи критической точки (до 180°) связано со сближением диагоналей "прямоугольной" области колебаний к оси Y при превращении ее в эллипс (рис. 6). Выгибы кривых влево для малых смещений дхо связаны с ростом угла, под которым видны боковые стороны области колебаний для этих малых смещений. Суммарная фаза Ефр будет занижаться вследствие наличия граничных полуэллипсов с двумя направлениями вращения и результирующей фазой для них фрп~0.
Качественным отличием изменения угла фр в областях НК и ЭПК является не только знакопере-менность углов ф и фр для НК, но и различие величин для суммарного угла прецессии /фазы Ефр за период биений. Также различны ориентация больших осей эллипсов с минимальной прецессией/ фазой фр: для ЭПК - по оси Y и для НК - по диагоналям "прямоугольника". При этом для НК большие оси полуэллипсов находятся на боковых сторонах "прямоуголь
В области ЭПК наблюдаются эффекты, сходные с биениями, вызванные ростом суммарного угла прецессии £фр до 180°. Эллиптичность области колебаний вследствие различия моментов инерции по осям координат и их частот в НПС ведет в обоих случаях к анизотропии углов прецессии или фазы в области НК. Наибольшая анизотропия прецессии наблюдается вблизи критической точки вследствие близкой к нулю скорости вращения маятника около оси У (ух^0 [14]) и соответствующей малой прецессией по углу. Далее с ростом начальной скорости растет скорость ух пересечения оси У и анизотропия прецессии уменьшается.
Таким образом, данная методика успешно работает во всей области колебаний двухчастотного маятника и эффекты, сходные с прецессией, для нее наблюдаются. Изменение направления вращения маятника и знака фазы фр в области НК связано с изменением фазы частоты биения его частот. При достижении критической точки фаза/ прецессия остается далее постоянной по знаку (рис. 4), поскольку направление вращения маятника не меняется.
Наличие прецессии существенно уширяет спектры частот колебаний маятника, а также результирующих спектров либрационных частот колебаний молекул воды для всего диапазона их начальных скоростей и смещений.
6. Выводы
1. Создана методика анализа прецессии колебаний двухчастотного маятника и проведена соответствующая модификация программ расчета.
2. Сложные эллипсоподобные колебания двухчастотного сферического маятника внутри эллиптической области колебаний обусловлены его анизотропной прецессией и характеризуются набором локальных значений величин параметров. Анизотропия угла прецессии максимальна вблизи критической точки изменения типа колебаний двухчастот-ного маятника, когда скорость пересечения оси У близка к нулю и далее она уменьшается с ростом начальной скорости маятника и скорости пересечения им оси У. Средние углы прецессии растут вместе с величиною начальной скорости маятника.
3. Зависимости для траекторий и углов прецессии периодически повторяются после полного оборота для угла прецессии - для суммы углов прецессии, равной 180°. Периоды повторения для углов
прецессии связаны с суммированием углов прецессии и максимальны вблизи критической точки изменения типа колебаний маятника.
4. В двухчастотной области колебаний наблюдается явление дополнительного роста фазы колебаний с периодом биения частот. При приближении к критической точке максимумы фазы нелинейно растут и сходны с прецессией, но они двухполярные, знак фазы зависит от направления вращения маятника. Суммарная фаза для одного направления вращения растет с ростом начальной скорости и в области ЭПК становится равной 180° и постоянного знака. Однако за период биения частот для обоих направлений вращения маятника сумма фаз равна нулю.
Благодарности
В заключение автор выражает благодарность профессору Погожих Н. И. за интерес и замечания по данной работе.
Литература
1. Эйзенберг Д., Кауцман В. Структура и свойства воды. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1975. 280 с.
2. Антонченко В. Я., Давыдов А. С., Ильин В. В. Основы физики воды. Кшв: Наукова думка, 1991. 672 с.
3. Берсукер И. Б. Эффект Яна-Теллера и вибронные взаимодействия в современной химии. Москва: Наука, 1987.
344 с.
4. Малафаев Н. Т. О взаимодействиях и динамике молекул в чистой воде // Восточно-европейский журнал передовых технологий. 2011. T. 4, № 8 (52). С. 48-58. URL: http://journals.uran.ua/eejet/article/view/1465/1363
5. Малафаев Н. Т., Погожих Н. И. Моделирование вращательных колебаний молекул воды // Восточно-европейский журнал передовых технологий. 2015. T. 2, № 5 (74). С. 27-35. doi: http://doi.org/10.15587/1729-4061.2015.40569
6. Крылов А. Н. Лекции по приближенным вычислениям. Москва: Гостехиздат, 1954. 400 с.
7. Зельдович Б. Я., Суало М. Дж. Двухчастотный маятник на вращающейся платформе: моделирование оптических явлений // Успехи физических наук. 2004. Т. 174, № 12. С. 1337-1354. doi: http://doi.org/10.3367/ufnr.0174.200412e.1337
8. Viet L. D., Nghi N. B. On a nonlinear single-mass two-frequency pendulum tuned mass damper to reduce horizontal vibration // Engineering Structures. 2014. Vol. 81. P. 175-180. doi: http://doi.org/10.1016/j.engstruct.2014.09.038
9. Нейштадт А. И. Захват в резонанс и рассеяние на резонансах в двухчастотных системах // Труды математического института. 2005. T. 250. C. 198-218.
10. Маленков Г. Г. Структура и динамика жидкой воды // Журнал структурной химии. 2006. Т. 47. C. 5-35.
11. Miceli G., de Gironcoli S., Pasquarello A. Isobaric first-principles molecular dynamics of liquid water with nonlocal van der Waals interactions // The Journal of Chemical Physics. 2015. Vol. 142, Issue 3. P. 034501. doi: http://doi.org/10.1063/L4905333
12. Malenkov G. G., Naberukhin Y. I., Voloshin V. P. Collective effects in molecular motions in liquids // Russian Journal of Physical Chemistry A. 2012. Vol. 86, Issue 9. P. 1378-1384. doi: http://doi.org/10.1134/s003602441209004x
13. Малафаев Н. Т. Вращательные колебания молекул как колебания сферического маятника в неоднородном поле сил // ScienceRise. 2016. T. 2, № 2 (19). С. 62-69. doi: http://doi.org/10.15587/2313-8416.2016.60587
14. Малафаев Н. Т. Анализ фазовых диаграмм двухчастотного маятника как модели вращательных колебаний молекулы воды // ScienceRise. 2018. № 1 (42). С. 50-56. doi: http://doi.org/10.15587/2313-8416.2018.121426
Рекомендовано до публгкацИ' д-р техн. наук Погожих М. I.
Дата надходження рукопису 15.05.2018
Малафаев Микола Тимофшович, кандидат фiзико-математичних наук, доцент, кафедра фiзико-
математичних та iнженерно-технiчних дисциплш, Харшвський державний ушверситет харчування та то-
рпвл^ вул. Клочшвська, 333, м. Харшв, Украша, 61051
E-mail: mnt949@gmail.com
