CC BY
11
УДК 539.194: 544.273
Б01: 10.15587/2313-8416.2017.89712
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПРОТОНОВ МОЛЕКУЛ ВОДЫ © Н. Т. Малафаев
Проведен анализ эллиптических колебаний протонов молекул воды с помощью модели двухчастотного маятника. Определена колебательная мода, для которой средние углы отклонения маятника согласуются с углами изгибов водородных связей в воде. Доказана возможность появления в жидкой воде эллиптических и эллипсоподобных вращений протонов молекул вокруг осей связей в неоднородном по углу поле сил межмолекулярного взаимодействия
Ключевые слова: молекула воды, неоднородное поле сил, эллиптические колебания, двухчастотный маятник
1. Введение
Физические свойства вещества зависят как от взаимодействий между его атомами и молекулами, так и от спектров колебаний этих атомов и молекул, от числа колебательных мод в них. Свойства жидкой воды, подвижность ее молекул широко изучаются экспериментально, а также с помощью компьютерного моделирования методом молекулярной динамики [1-6]. Хотя результаты компьютерного моделирования статистически хорошо согласуются со свойствами воды, многие вопросы физики воды еще требуют изучения. В частности, типам колебательных мод молекул воды и их роли не уделено должного внимания.
Вопросы влияния колебательных спектров атомов и молекул на свойства веществ подробно рассматриваются в рамках теории эффекта Яна - Телле-ра (ЭЯТ) [7]. В работе [8] предложено применить теорию ЭЯТ к колебательным спектрам в воде. В ней показано основополагающее влияние на свойства воды появление в жидкой фазе новых коллективизированных вращательных колебаний молекул воды. Моделирование вращательных колебаний молекул воды проводилось с помощью модели двухчастотно-го маятника [9, 10], однако еще многие вопросы этих колебаний молекул воды требуют своего решения.
2. Литературный обзор
Хотя колебательные спектры в воде изучаются достаточно давно [2-4], однако вследствие отсутствия информации об их модах и сложности ее получения, эта проблема остается острой как для молекул воды, так и для описания траекторий колебаний ядер их атомов водорода (далее - протонов). В работе [8] в рамках теории ЭЯТ рассматривались возможные моды колебаний молекул воды в жидкой фазе и результаты их влияния на свойства воды. Было показано, что данные новые коллективизированные моды ко-
лебаний молекул в жидкой фазе относятся к классу либрационных мод и являются вращательными колебаниями молекул воды («заторможенными вращениями» [2]).
Вследствие несимметричности молекулы воды имеют 3 главных момента инерции вдоль осей х, у, 2 молекулы [2] и, соответственно, 3 частоты собственных вращательных колебаний. Данные частоты вращательных колебаний молекул в жидкой воде являются связанными при вращательных колебаниях законом сохранения момента импульса [8]. Траектории движения протонов молекулы, имеющих наибольшие скорости вращения, могут быть как независимыми двухчастотными, так и вращательными на общей частоте [9].
В работе [8] рассмотрено малые вращательные колебания молекул воды как многомерные колебания. Анализ показал, что вращательные колебания молекул воды не могут быть одновременно для всех трех осей вращения, а только для двух осей вращения на двух частотах, при этом, всегда присутствует самая низшая частота вращения - вокруг оси х молекулы. Для анализа двухчастотных колебаний маятника вводился параметр к, равный отношению моментов инерции молекулы для данных вращательных колебаний к=1х /I. Для воды характерны величины этого параметра, равные к= 1,5 и к=3 [9].
При двумерных вращательных колебаниях молекул воды ее протоны совершают вращения вокруг осей водородных связей (Н - связей) с соседними молекулами в плоскостях, перпендикулярных к этим осям или колебания около оси. Вращения протонов около осей Н - связей сопровождается изгибами связей в воде на некоторый средний угол в, который является динамическим. Он обусловлен действием на протоны молекул воды импульсов и моментов импульсов, обусловленных тепловым движением моле-
кул, сил инерции при их вращении вокруг осей связей и законом сохранения момента импульса.
Для моделирования направленных валентных сил между молекулами предложено их описание с помощью неоднородного поля сил (НПС) [9] вида G=g■cosnв, где угол отклонения маятника от положения равновесия в равен углу изгиба Н - связей между молекулами. Важной особенностью колебаний в НПС является быстрый рост периода колебаний с ростом угла в (угла изгиба Н - связи между молекулами в) [9-11] и показателя (степени) НПС п (по оценкам для воды [9] п~8), что хорошо согласуется с изменениями либрационных частот и углов изгиба Н - связей в воде с нагревом [2-4, 12].
В работах [9, 10] проведено моделирование вращательных колебаний молекул воды с помощью модели двухчастотного сферического маятника в НПС. При малых начальных скоростях протоны совершают двух-частотные независимые колебания по двум взаимно перпендикулярным осям. С ростом скоростей и углов отклонения маятника по оси У частоты колебаний в НПС сближаются и начинаются вращения маятника вокруг его оси (и, аналогично, протонов молекул воды вокруг осей Н - связей), что приводит к сильной эллиптичности (вытянутости) орбит. При полном совпадении периодов колебаний по осям Тх и Ту будут наблюдаться чисто эллиптические траектории. При небольшом различии периодов колебаний по осям появляется прецессия больших осей эллипсов. Причем, в отличие от од-ночастотного сферического маятника (=1), вращения происходят не в пределах круга [11], а в некоторой эллиптической области с длинной осью вдоль оси У модели, с наименьшими моментом инерции маятника и начальным периодом колебаний Туо [9]. Эти общие пре-цессирующие эллипсоподобные колебания продолжаются с ростом начальной скорости маятника вплоть до выхода маятника из его потенциальной ямы - из нижней полусферы.
В работах [9, 10] есть неточности, в частности, частоты вращательных двухчастотных колебаний соотносятся между собой как к0'25, а не как к0,5. Это сближает эти частоты и уменьшает средние величины углов отклонения маятника в [9], которые были завышенными сравнительно с экспериментом для величин углов изгибов Н - связей в воде [12]. Поэтому уточнение расчетов может дать более реальную картину о колебаниях молекул воды в жидкой фазе и о возможности вращений протонов молекул вокруг осей их Н - связей.
3. Цель и задачи исследования
Цель работы - рассмотрение особенностей вращательных колебаний молекул воды путем моделирования их эллиптических колебаний с помощью модели двухчастотного сферического маятника.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
1. Определение и уточнение параметров эллиптических орбит маятника в зависимости от неоднородности поля сил и различия частот маятника.
2. Определение возможности эллиптических колебаний молекул воды и вращений протонов ее молекул вокруг собственных осей Н - связей.
4. Моделирование колебаний двухчастотного маятника
Модель колебаний двухчастотного сферического маятника в НПС подробно рассмотрена в [9]. Она представляет две массы, закрепленные на двух стержнях длиной I под углом &о. Ось X маятника соответствует оси х молекулы воды [2], а ось У маятника - оси у молекулы для отношения моментов инерции к=3 либо оси г молекулы для к= 1,5. Отклонения маятника рассматриваются через угол в отклонения маятника от вертикальной оси 2 либо относительные начальные смещения по оси х: дХ0=х0/1 и оси у: ду=у/1 (где 1=1 м, 2ш=1 кг). При некоторых заданных начальных скоростях ууо при начальных смещениях дХ0 маятник совершает чисто эллиптические колебания. При этом траектория движения маятника относительно его оси 2 согласуется с траекторией вращательных колебаний протонов молекулы воды относительно оси Н - связи.
Локальное моделирование вращательных колебаний молекулы воды было проведено в пакете ЫаЛаЬ с помощью модели двухчастотного сферического маятника в неоднородном поле сил вида G=g■cosnв (£=10 м/с2). Это поле сил остается неизменным для всего процесса моделирования колебаний.
Определение параметров траекторий маятника проводилось для отношений моментов инерции, характерных для молекулы воды к=1,5 и 3, а также промежуточных к=1; 1,2 и 2, и для показателей НПС п=0 (однородное поле сил) и п=8. При анализе результатов использовались и другие значения показателей НПС в интервале п=0...8. Эллипсоподобные колебания маятника [9, 10] достаточно сложны для рассмотрения, а потому для анализа были выбраны эллиптические траектории, как повторяющиеся, наиболее наглядные и простые траектории движения двухчастотного сферического маятника и пересекающие всю область существования его эллипсоподоб-ных колебаний [9].
На рис. 1 показаны эллиптические орбиты двухчастотного маятника в НПС с п=8 и к=3 для начальных смещений по оси X с шагом 0,05. На рис. 1,а показаны ХУ - проекции эллиптических орбит, а на рис. 1,б - их объемный вид. Проекции орбит симметричны, для компактности показана их половина (У>0).
На рис. 2 показаны ХУ - проекции эллиптических орбит для отношения моментов инерции к=1,5 и показателей п=0 и 8 для различных начальных смещений дХ0. Видим пересечение орбит при малых начальных смещениях дХ0 по оси У для п=0 и уменьшение величины больших полуосей эллипсов и эллиптичности траекторий с ростом величины показателя НПС п. Для больших величин смещений дХ0 эллиптические колебания становятся невозможными.
а б
Рис. 1. Вид эллиптических орбит двухчастотного сферического маятника для к=3 и п=8: а - в проекциях координат ХУ; б - объемный вид - ХУ2
а б
Рис. 2. ХУ - проекции эллиптических орбит двухчастотного маятника для отношений к=1,5 и начальных смещений 8хо: а - для п=0; б - п=8
Эллиптические колебания можно также рассматривать как переход конических колебаний од-ночастотного маятника с к=1 при его превращении в двухчастотный маятник при росте отношения моментов инерции к. На рис. 3 показаны рассчитанные зависимости относительных величин больших полуосей эллипса ду для отношений моментов к=1,2; 1,5; 2 и 3 и показателей НПС п=0 и 8 от величины начальных смещений дхо по оси X (минимум дхо при моделировании: ¿хо=0,001). Видим наличие минимумов для величин больших полуосей эллипсов вблизи малых начальных смещений дхо. Снизу все эти, упорядоченные по параметру к, кривые ограничены прямой для конического маятника (к=1) и стремятся к ней с ростом величины смещений дхо.
На рис.4 показаны зависимости средних углов отклонения маятника при эллиптических колебаниях для этих же отношений моментов к и показателей НПС п от величины начальных смещений дхо. Видим, что на их величину оказывает основное влияние величины больших полуосей эллипса ду (рис. 3), поскольку время пребывания маятника при наибольших отклонениях максимально [8, 9]. При этом данные углы для однородного поля сил (п=0) примерно вдвое большие, чем для поля сил с показателем НПС п=8.
На рис. 5 показаны зависимости скоростей в точках пересечения эллипса осями для отношений к=1; 1,2; 1,5; 2 и 3 и показателей НПС п=0 и 8 от величины начальных смещений по оси X. Кривая к=1 соответствует одночастотному коническому маятнику, для которого скорости на осях равны: ус=ух=уу. Видим, что для двухчастотного маятника скорости уу>ус и быстро растут с ростом отношения к, а скорости ух близки к ус, но для однородного поля сил Ух>Ус (п=0) (рис. 5, а) и ух<ус для НПС с п=8 (рис. 5, б). Рост отношения к для НПС с п=8 ведет к смещению минимумов скорости для углов отклонения в сторону роста смещений дх,, а максимумов - наоборот.
Для анализа влияния параметров к и п на величину средних углов отклонения эллипса рассмотрим их зависимости вблизи минимумов этих углов (рис. 4). Такие величины смещений дхо можно считать характерными для вращательных колебаний молекул воды (для смещений дхо>0,2 углы отклонений в>15°, что больше, чем у воды [12], для п=8 и к=1,5 - рис. 4, б).
На рис. 6 показаны зависимости величин средних углов отклонения эллипса от величины отношений моментов инерции маятника к для начальных смещений с>хо=0,15. Аналогичный вид от данных параметров имеют также зависимости для скоростей ууо и больших полуосей маятника. Это говорит об их связанности и приблизительной пропорциональности.
8y
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
Размер полуоси по оси У
0 0,2 0,4 0,6 0,8 Sx
Sy 0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Размер полуоси по оси У
0 0,2
0,4 б
0,6 ¿>xc
Рис. 3. Зависимости величин больших полуосей эллипсов ду от начальных смещений дХ0 для отношений моментов к=1; 1,2; 1,5; 2 и 3 и для показателей НПС: а - для п=0; б - для п=8
Средний угол отклонения, градусы
70 60 50 40 30 20 10 0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 8х.
Средний угол отклонения, градусы
40 35 30 25 20 15 10 5 0
k= 3 — k= 2
— k= 1,5
— k= 1,2 -k= 1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 8х„
а б
Рис. 4. Зависимости средних углов отклонения маятника от смещений дХ0 для отношений к=1; 1,2; 1,5; 2 и 3 и
показателей НПС: а - для п=0; б - для п=8
v, м/с 6
5 -
Скорости в точках на осях
4 -
3
0 0,2 0,4 0,(
Voy k= 3 Voy k= 2 Voy k= 1,5 Voy k= 1,2 k=1
Vx k= 1,2 Vx k= 1,5 Vx k= 2 Vx k= 3
—I-
0,8 Sx,
v, м/с
1,8
1,6 1,4 1,2 1
0,8 0,6 0,4 0,2 0
Скорости в точках на осях
Voy k= 3 Voy k= 2 Voy k= 1,5 —•—Voy k= 1,2
----k=1
—о—Vx k= 1,2 —♦—Vx k= 1,5 —4—Vx k= 2 о Vx k= 3
0 0,2 0,4 0,6
а б
Рис. 5. Зависимости скоростей в точках на осях эллипсов для отношений к=1...3 от начальных смещений дХ0 и
показателей НПС: а - для п=0, б - для п=8
а
2
0
Средний угол отклонения, градусы
40 35 30 25 20 15 10 5
1,5
2,5
Рис. 6. Зависимости средних углов отклонения для эллипсов при начальных смещениях 3хо=0,15 от отношений к для показателей НПС п=0; 1.. .8
5. Результаты исследования и их обсуждения
Плоские ХУ - проекции эллиптических орбит, безусловно, являются упрощением реальных объемных траекторий маятника (рис. 1, б). Однако это позволяет сделать более простыми и наглядными траектории движения, тем более что для малых отклонений, смещения вдоль оси 2 пренебрежимо малы. С ростом отношения моментов инерции к растут величины больших полуосей эллипса 3У (рис. 2, 3). Проекции траекторий для отношения моментов инерции к=3 имеют почти вдвое большие величины полуосей эллипса 3У, чем для отношения к=1,5. Это приводит и к вдвое большим средним углам отклонения маятника (рис. 4). В однородном поле сил (п=0) углы отклонения маятника также примерно вдвое большие, чем в НПС с п=8. Однако если в НПС с п=8 углы отклонения маятника близки к углам изгибов Н - связей в воде [12], то в однородном поле сил они велики для молекул воды даже для к=1,5.
Уменьшение величин больших полуосей эллиптических орбит, величин средних углов отклонений и скоростей в НПС обусловлены сужением потенциальной ямы маятника по углу и уменьшением ее глубины с ростом величины показателя НПС п [11]. Уменьшение максимальных скоростей по осям с ростом показателя НПС с п=0 до п=8 для начальных скоростей ууо видно на рис. 5. Максимумы для скоростей вблизи отклонений ¿=0,5 для п=8 (рис. 5, б) обусловлены наличием максимальной скорости с ростом отклонений 3 в НПС для больших величин показателя НПС п [11]. Для больших величин отклонений 3 колебания становятся неустойчивыми к малейшим возмущениям.
Для скоростей на осях эллипса ух и ууо видим, что они группируются относительно скорости конического маятника ус по разные стороны. Скорости уу всегда больше чем коническая, а скорости ух близки к ней. Близость скорости ух к конической можно объяснить тем, что при движении вдоль оси У имеется реальный потенциальный барьер по высоте (по оси 2 - рис. 1, б), а вдоль оси X он отсутствует, если скорость по оси У будет достаточной для преодоления этого барьера. Видимо поэтому скорость ух мало отличается от конической ус. Уменьшение скоростей ух относительно ус в НПС п=8 связано с уменьшением сил при больших отклонениях 3У (из-за роста к). При начальных скоро-
стях ууо меньших, чем для эллипсов, частоты колебаний по осям станут различными и будут наблюдаться независимые колебания по осям на двух частотах [9]. Это подчеркивает важность равенства частот по осям для появления эллиптических и эллипсоподобных колебаний.
Увеличение начальной скорости ууо относительно скорости конического маятника ус (рис. 5) ведет к более быстрым колебаниям и уменьшению их периодов с ростом отношений моментов к и смещений 3хо. Видимо это ведет за счет большой кинетической энергии по оси X вначале, с ростом величины смещений 3хо, к уменьшению величины больших полуосей эллипсов.
Полученные средние углы отклонения маятника в меньшие, чем было в [9] и согласуются с экспериментальными углами изгиба Н - связей в воде [12]. Поскольку в воде средние углы изгиба Н - связей при комнатной температуре составляют около 15° [12], то согласно рис. 4, можно говорить о возбуждении эллиптических колебаний в жидкой воде для отношения моментов инерции молекулы к=1,5 (углы отклонения 11.13° для 3х<0,1) и такой возможности для отношения к=3 (угол отклонения около 18° для 3х<0,1). Поскольку эллиптические колебания для малых смещений появляются на нижней границе появления эллип-соподобных колебаний [9], то можно считать доказанным, что для отношения моментов инерции молекулы к=1,5 протоны молекулы начинают совершать вращения вокруг своих осей Н - связей.
Хотя при одинаковой вероятности возбуждения обоих колебаний получим средний угол изгиба Н - связей (12+18)/2=15°, который хорошо согласуется с [12], нам надо учесть вероятность этого, исходя из величины средней тепловой энергии молекулы, большую часть которой составляет кинетическая энергия вращения [8]. На рисунке 7 приведены величины кинетической энергии в точках пересечения эллипса с осями, рассчитанные для оптимального для воды показателя НПС п=8 [9] по скоростям на рис. 5, б.
Вдоль оси У, с меньшим моментом инерции, кинетическая энергия маятника уменьшается в к раз (скорости рассчитывается для местоположения массы маятника (протона) без учета эффективной длины нашего физического маятника). Видим, что хотя скорости быстро растут, происходит сближение кривых для кинетической энергии вдоль оси У с ростом отношений к. Это сближение можно объяснить тем, что величина кинетической энергии маятника приближается к ее максимально возможному значению в потенциальной яме.
Видим (рис. 7), что для отношения к=3 кинетическая энергия примерно в 1,4 раза больше, чем для отношения к= 1,5 при малых отклонениях 3х, что соответствует, с учетом вклада трансляционных колебаний в полную энергию колебаний, более высокой температуре (273К1,25=340 К). Поэтому возбуждение эллиптических колебаний для отношения моментов инерции к=3 в воде при комнатной температуре, скорее всего, возможно лишь частично и для малых величин смещений 3хо (3хо<0,1, рис. 4). При более высоких температурах вследствие хаотического влияния
0
k
1
2
3
импульсов от соседних молекул, близости углов изгиба Н - связей к максимально возможным, а кинетической энергии - к максимальной в потенциальной яме, для отношения моментов инерции молекулы к=3 существование устойчивых эллиптических орбит становится маловероятным.
Е Дж Кинетическая энергия на осях эллипса 0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
k = 1 k = 1,2 k = 1,5 k = 2 k = 3 Ex
0,2
0,4
0,6
Рис. 7. Величины кинетической энергии в точках на осях эллипсов для показателя НПС п=8 и отношений моментов инерции к=1; 1,2; 1,5; 2 и 3
Главной причиною наличия вращений протонов является необходимость совпадения частот по обеим осям колебания, что достигается лишь в НПС с большой величиною показателя НПС п. В однородном поле сил это возможно лишь при больших величинах углов изгиба Н - связей, что приведет к ослаблению и разрыву Н - связей молекул в воде. Таким образом, результаты расчетов говорят о реальной возможности возбуждения в жидкой воде с показателем НПС п=8 эллиптических и эллипсоподобных вращений протонов молекул воды вокруг собственных осей Н - связей.
Условие для углов изгиба Н - связей при комнатной температуре (до 15°) для отклонений ¿хо=0,15 (вхо=8,6°) выполняется для показателей НПС п=6 и 8 (рис. 6). Поэтому интересно обсудить вопрос о возможности существования для молекул воды НПС с показателем п=6. В работе [9] обсуждалось, что показатель НПС п в воде для изгибов связей близок к степени при радиусе в потенциале взаимодействия (1/гп) для сил притяжения. Степень п=6 широко применяется в физических расчетах для потенциалов взаимодействия Ленарда - Джонса и Ван-дер-Ваальса. Возможно, что такая степень реальна и для молекул воды, потому что за счет колебаний соседних молекул суммарные средние углы изгибов Н - связей будут возрастать, сравнительно с нашей моделью. Это будет уменьшать силы межмолекулярного взаимодействия и этим как бы соответствовать росту эффективной величины показателя НПС п.
Вращательные колебания молекул воды по углу в можно считать малыми, что позволяет считать результаты моделирования для углов отклонения в до 15° достаточно точными. Для относительных отклонений маятника ¿>0,2 точность расчетов для него будет понижаться. Это обусловлено предположениями о постоянстве моментов инерции маятника при больших углах отклонения от равновесия, что по разным причинам не выполняется, а также простой моделью направленных сил, пренебрежением случайными внешними силами (влиянием соседних молекул). А потому можно говорить лишь о качественном согласии расчетов для маятника при больших углах отклонения с колебаниями молекул воды. Также надо помнить, что в воде при отклонениях ¿>0,5 могут наблюдаться разрывы Н - связей [3].
Представление НПС в виде G=g■cosnв безусловно есть упрощением взаимодействия электронных орбиталей молекул воды. Такая симметрия может соответствовать одной электронной р - орбитали, тогда как у молекулы воды имеется 3 независимые р - орбитали и множество их комбинаций, создающих, в частности, тетраэдрическую симметрию электронной оболочки молекулы воды и ее связей. Создание более сложной модели НПС - задача будущего.
Необходимо отметить, что в данной локальной модели расчета рассматриваются колебания при постоянстве всех параметров модели. Те же эллиптические орбиты получаются для скоростей заданных с точностью до третьего - четвертого знака. В реальном окружении молекулы будут испытывать постоянное, часто хаотическое, влияние соседних молекул. Вследствие этого будут меняться все силовые и геометрические параметры модели, а потому траектории движения молекул, их протонов будут заметно изменяться. Можно ожидать появления независимых двухчастотных и хаотических колебаний, а также возникновения разрывов связей. Однако можно считать, что данная модель будет являться основою, на которою накладываются случайные или коллективизированные внешние возмущения.
6. Выводы
1. Моделированием двухчастотного сферического маятника в неоднородном поле сил получены зависимости для ряда его параметров, в частности, величин больших полуосей эллипсов, обусловливающих эллиптичность траекторий его колебаний.
2. Показано, что средние углы отклонения двухчастотного маятника хорошо согласуются с углами изгиба Н - связей в воде для отношения моментов инерции молекулы к=1,5. Для отношения к=3 углы отклонения велики и данные колебания могут возбуждаться лишь частично.
3. Полученные результаты свидетельствуют о возможности возбуждения эллипсоподобных колебаний у молекул воды в жидкой фазе, а также о возможности вращений их протонов вокруг своих осей Н - связей.
Литература
1. Антонченко, В. Я. Основы физики воды [Текст] / В. Я. Антонченко, А. С. Давыдов, В. В. Ильин. - К.: Наук. Думка, 1991. - 672 с.
2. Эйзенберг, Д. Структура и свойства воды [Текст] / Д. Эйзенберг, В. Кауцман. - Л.: Гидрометеоиздат, 1975. - 280 с.
0
0
3. Маленков, Г. Г. Структура и динамика жидкой воды [Текст] / Г. Г. Маленков // Журнал структурной химии. -2006. - Т. 47. - C. 5-35.
4. Kumar, P. Molecular dynamics study of orientational cooperativity in water [Text] / Pradeep Kumar, Giancarlo Franzese, Sergey V. Buldyrev, H. Eugene Stanley // Physical Review E. - 2006. - Vol. 73, Issue 4. doi: 10.1103/physreve.73.041505
5. Voloshin, V. P. Collective motions in computer models of water. Large-scale and long-time correlations [Text] / V. P. Vo-loshin, G. G. Malenkov, Yu. I. Naberukhin // Journal of Structural Chemistry. - 2013. - Vol. 54, Issue S2. - P. 233-251. doi: 10.1134/s0022476613080052
6. Malenkov, G. G. Collective effects in molecular motions in liquids [Text] / G. G. Malenkov, Yu. I. Naberukhin, V. P. Voloshin // Russian Journal of Physical Chemistry A. - 2012. - Vol. 86, Issue 9. - P. 1378-1384. doi: 10.1134/s003602441209004x
7. Берсукер, И. Б. Эффект Яна - Теллера и вибронные взаимодействия в современной химии [Текст] / И. Б. Берсу-кер. - М.: Наука, 1987. - 344 с.
8. Малафаев, Н. Т. О взаимодействиях и динамике молекул в чистой воде [Текст] / Н. Т. Малафаев // ВосточноЕвропейский журнал передовых технологий. - 2011. - T. 4, № 8 (52). - С. 48-58. - Режим доступа: http://journals.uran.ua/eejet/article/view/1465/1363
9. Малафаев, Н. Т. Моделирование вращательных колебаний молекул воды [Текст] / Н. Т. Малафаев, Н. И. Погожих // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. - 2015. - Т. 2, № 5 (74). - С. 27-35. doi: 10.15587/17294061.2015.40569
10. Малафаев, Н. Т. Силовые особенности колебаний двухчастотного сферического маятника в неоднородном поле сил [Текст] / Н. Т. Малафаев // ScienceRise. - 2016. - Т. 10, № 2 (15). - С. 68-75. doi: 10.15587/2313-8416.2015.51842
11. Малафаев, Н. Т. Вращательные колебания молекул воды как колебания сферического маятника в неоднородном поле сил [Текст] / Н. Т. Малафаев // ScienceRise. - 2016. - Т. 2, № 2 (19). - С. 62-69. doi: 10.15587/2313-8416.2016.60587
12. Sceats, M. G. The water-water pair potential near the hydrogen bonded equilibrium configuration [Text] / M. G. Sceats, S. A. Rice // The Journal of Chemical Physics. - 1980. - Vol. 72, Issue 5. - P. 3236-3247. doi: 10.1063/1.439560
Рекомендовано до публгкаци д-р техн. наук Погожих М. I.
Дата надходження рукопису 28.12.2016
Малафаев Николай Тимофеевич, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра физико-
математических и инженерно-технических дисциплин, Харьковский государственный университет питания и торговли, ул. Клочковская, 333, г. Харьков, Украина, 61051
E-mail: [email protected]
