CC BY
13
УДК 539.194: 544.273
Б01: 10.15587/2313-8416.2018.121426
АНАЛИЗ ФАЗОВЫХ ДИАГРАММ ДВУХЧАСТОТНОГО МАЯТНИКА КАК МОДЕЛИ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ МОЛЕКУЛЫ ВОДЫ
© Н. Т. Малафаев
Проведен анализ вращательных колебаний молекул воды с помощью модели двухчастотного маятника в области изменения типа его колебаний. Обнаружены особенности фазовых диаграмм, траекторий и скоростей маятника при переходе от независимых двухчастотных колебаний к эллипсоподобным колебаниям, аналогичным вращениям молекул воды вокруг осей связей в неоднородном поле сил межмолекулярного взаимодействия
Ключевые слова: молекула воды, двухчастотный маятник, тип колебания, фазовые диаграммы, неоднородное поле сил
Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧН1 НАУКИ
1. Введение
Свойства воды вызывают большой интерес и широко обсуждаются в литературе. Вопросы влияния колебательных спектров атомов и молекул на свойства веществ подробно рассматриваются в рамках теории эффекта Яна-Теллера [1]. В работе [2] данная теория применена автором к колебательным спектрам молекул жидкой воды, и показано, что ее главные особенности обусловлены появлением в ней новых коллективизированных вращательных (либраци-онных) колебаний, приводящих к изгибам водородных связей (Н - связей) в воде и значительному изменению всех ее свойств.
Моделирование вращательных колебаний молекул воды проводилось с помощью модели двухча-стотного сферического маятника [3], однако еще многие вопросы физики колебаний молекул воды требуют своего анализа.
2. Литературный обзор
Главное внимание в литературе уделяется экспериментальным данным о свойствах жидкой воды [4, 5], классическим моделям ее структуры [4-6], модели динамических связей в рамках теории эффекта Яна - Теллера [2], моделированию динамики движения ее отдельных молекул [5, 6], методам моделирования и диффузии молекул [5, 6], потенциалам взаимодействия молекул [4, 5], взаимодействиям с внешними поверхностями [4] и с другими молекулами [5, 6], рассматриваются коллективные перемещения молекул [7, 8], димеризация молекул воды [9], механизмы разрывов Н - связей и их статистика [5, 6].
Проблеме вращательных колебаний и их моделирования для молекул воды, которые в большой степени ответственны за все ее термодинамические свойства, уделяется мало внимания. Обычно информация об вращательных колебаниях рассматривалась
через наличие в жидкой воде спектров поглощения электромагнитных волн [4] и средних углов изгиба Н-связей [6] без анализа их причины, их характеристик и особенностей, что говорит о недооценке влияния этих колебаний на все свойства воды.
При компьютерном моделировании колебаний ансамблей молекул воды методом молекулярной динамики [5, 6] задается большой шаг во времени сравнительно с периодом колебаний, что требует постоянной коррекции температуры системы, а также это не позволяет рассмотреть особенности вращательного движения молекул. Учет теплового движения всех молекул сопровождается его сильной хаотизацией, включая разрывы связей. Не решен вопрос о едином описании потенциалов межмолекулярного взаимодействия.
В работе [3] для моделирования вращательных колебаний молекулы воды была применена модель двухчастотного сферического маятника, поскольку было показано [2], что малые вращательные колебания молекул воды являются двухчастотными. Наличие двух вращательных частот маятника задавалось параметром к=1х /1У, характеризирующим отношение моментов инерции маятника (и молекулы) по осям модели, где к>1 и ось х - низкочастотная. Вследствие различия моментов инерции молекулы по осям возвращающие силы, действующие на маятник, становятся нецентральными, что может способствовать вращению маятника (и молекулы) вокруг его оси.
Моделирование колебаний для маятника проводилось в неоднородном поле сил (НПС), моделирующем направленные межмолекулярные силы. В работе [10] рассмотрены силы и потенциалы взаимодействия в НПС и их влияние на колебания маятника. Наличие НПС приводит к сильной зависимости периода колебаний маятника от амплитуды колебаний [3, 10], что согласуется с зависимостями либрацион-
ных частот воды от температуры [4]. Это также создает условия для перехода двухчастотных колебаний маятника к колебаниям на одной общей частоте.
Результаты моделирования [3, 11] показали, что колебания маятника можно разделить на два типа: двухчастотные независимые колебания (НК) при малых амплитудах колебаний и одночастотные, описывающие сложные траектории эллипсоподобных колебаний (ЭПК) при больших амплитудах колебаний. ЭПК соответствуют вращениям молекул воды и, в частности, их ядер атомов водорода вокруг осей Н - связей с соседними молекулами. Эти вращения ведут к появлению на осях связей постоянного магнитного поля. В работе [12] рассмотрен случай простейших ЭПК - эллиптических колебаний, при которых протоны молекул воды осуществляют в пространстве движение по постоянным эллиптическим орбитам.
При наличии чисто эллиптической орбиты область ЭПК можно разделить на две:
- ЭПК-1 - с траекториями колебаний внутри этой орбиты;
- ЭПК-2 - при больших скоростях и с траекториями колебаний вне этой орбиты [11].
В работе [11] начат анализ траекторий для типов колебаний маятника в широком интервале его начальных скоростей. Однако не были рассмотрены особенности этих колебаний для скоростей, сил и фазовых диаграмм колебаний, особенно, вблизи критической точки изменения типа колебаний.
3. Цель и задачи исследования
Цель работы - поиск и физико-математический анализ особенностей колебаний молекулы воды с помощью модели двухчастотного маятника в области изменения типа ее колебаний и создание методики экспресс - разделения областей существования разных типов колебаний по зависимостям выбранных параметров колебаний от величины его начальной скорости.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
1. Анализ траекторий, скоростей и фазовых диаграмм двухчастотного маятника и определение параметров траекторий и диаграмм, указывающих на изменение типа колебаний маятника.
2. Построение диаграмм, в серии измерений с изменением начальной скорости, для параметров траекторий и скоростей двухчастотного маятника для экспресс-анализа областей существования разных типов колебаний.
4. Модель колебаний двухчастотного маятника в НПС
Модель свободных колебаний двухчастотного сферического маятника в НПС подробно рассмотрена в [3]. Она представляет две массы, закрепленные на двух невесомых стержнях длиной I под углом 0о, что дает разные моменты инерции маятника по его осям. Ось Х маятника (перпендикуляр к плоскости маятника) соответствует оси х молекулы воды [5], а ось У маятника - оси у молекулы воды для отношения мо-
ментов инерции к=3 либо оси г молекулы (биссектриса угла 0о молекулы) - для отношения моментов инерции к=1,5.
Смещения маятника от равновесия (вертикальной оси 2) рассматриваются через угол отклонения маятника 9, либо через относительные смещения от начала ХУ - координат по оси X¡:
5,=х,/I (1=1 м, 1=Х, У),
где смещения по осям х, и д, численно равны. При моделировании колебаний задавались начальное относительное смещение маятника дхо по оси X и его начальная скорость ууо по оси У. Угол максимального отклонения маятника в ограничивался при моделировании нижней полусферой - углом 90°, тогда как для реальной молекулы воды при углах более 30° вероятен разрыв ее Н - связи [6].
Локальное моделирование вращательных колебаний молекулы воды было проведено в пакете ЫаЛаЬ с помощью модели двухчастотного сферического маятника в НПС вида
G=g•cosn9 (§=10 м/с2, п=8).
Это осредненное поле сил остается неизменным для всего процесса моделирования колебаний, в котором маятник совершает свободные колебания. То есть, для случая молекулы воды - мы пренебрегаем тепловым движением ее соседних молекул. Наличие НПС приводит к сильной зависимости периода колебаний маятника от амплитуды колебаний, что является главной причиною синхронизации частот колебаний в "критической" точке (максимальные отклонения по оси У всегда большие, чем по оси X). Это приводит к изменению типа колебаний с ростом начальной скорости маятника [11]. При "эллиптической" начальной скорости траектория представляет эллипс, при "максимальной" скорости - угол отклонения маятника 9 достигает 90°. Определение параметров траекторий маятника проводилось для отношения моментов инерции, характерного для молекулы воды к=1,5 [12].
Колебания (НК и ЭПК) двухчастотного маятника происходят в широкой области пространства [3, 11] и сложны для рассмотрения. Потому при анализе колебаний были выбраны и рассмотрены особые экстремальные точки на огибающих линиях областей колебаний и их значения (параметры). Для траекторий колебаний определены параметры координат, для фазовых диаграммам - параметры скоростей. При большом числе периодов колебаний и времени моделирования (-200 с) можно выделить область, внутри которой происходят данные колебания, а также достаточно надежно усреднить полученные результаты. Шаг моделирования составлял 0,0001 с, поскольку нелинейностями моделирования за данное время можно пренебречь.
5. Результаты исследования и их обсуждение
На рис. 1 показаны траектории в ХУ-коорди-натах и фазовые диаграммы маятника вдоль оси Х в об-
ласти независимых колебаний маятника для заданных начального смещения 5хо и начальной скорости ууо.
Рис. 1. Колебания маятника в области НК (5хо=0,2; ууо=0,7 м/с): а -Х-У- траектории колебаний; б - Ух-Х- фазовая диаграмма; в - ¥у-Х - смешанная фазовая диаграмма маятника
Для малых отклонений (5<0,1) колебания происходят в прямоугольной области ХУ - координат, а фазовые диаграммы: зависимости Ух-Х или Уу-У представляют собой эллипсы. С ростом отклонений маятника боковые стороны прямоугольника изгибаются (рис. 1, а) [11], а фазовые диаграммы уширяются и деформируются. Видим, что расстояние между вершинами «измененного прямоугольника» (ВИП) по оси Х: 2хг соответствует внутреннему размеру на этой оси
для фазовых диаграмм (рис. 1, б, в). Это объясняется тем, что в ВИП происходят максимальные отклонения маятника от начала координат и скорости ух=уу=0, что соответствует точкам на оси Х диаграмм. Вторые точки обнуления компонент скоростей происходят на своих осях, что и ведет к наличию данных диаграмм вне или внутри интервала 2хг на оси Х.
При достижении критической скорости, слияния ВИП и появления ЭПК вращения маятника становятся однонаправленными [11]. И тогда траектории на фазовой диаграмме Ух-Х (рис. 1, б) заполняют все пространство до начала координат (хг=0). Фазовые диаграммы Ух-Х или Уу-У представляют собой эллипсы, переходящие в спирали, для обоих типов колебаний и потому не представляют интереса при анализе типа колебаний.
Смешанная фазовая диаграмма маятника Уу-Х при малых скоростях имеет вид аналогичный рис. 1, а, но повернута на 90°. С ростом скорости она изменяется (рис. 1, в), и особенно, вблизи критической точки. Это обусловлено наличием максимумов траекторий по оси У правее ВИП (1-й октант) вблизи критической точки. Данная фазовая диаграмма маятника значительно меняется при изменении типа колебаний, и поэтому далее она будет анализироваться.
На рис. 2, а видим, что в области ЭПК все траектории маятника находятся между двумя огибающими эллипсами. Также видим качественное изменение вида для смешанных фазовых диаграмм в областях ЭПК (рис. 2, б) и НК (рис. 1, в). Видим, что радиус внутреннего эллипса по оси Х для траекторий соответствует координате максимума скорости уу на смешанной фазовой диаграмме, поскольку в ней доля в общей кинетической энергии от скорости по оси Х минимальна и далее с ростом отклонения по оси Х эта доля растет.
В области НК в точках ВИП все скорости обнуляются и маятник начинает двигаться в обратном направлении и с изменением направления вращения в плоскости ХУ по углу ф (фi=arctg(yi /х,)) на противоположное. С ростом начальной скорости увеличивается отклонение, а частоты и точки ВИП сближаются. В критической точке кинетической энергии маятника достаточно для продолжения движения маятника далее через ось У и его вращения в том же направлении. Вследствие нецентральности сил, а также наличия кинетической энергии маятник не может проходить вблизи начала координат и там образуется пустое эллиптическое пространство (рис. 2, а). Видим, (рис. 2, б) что при достижении критической скорости вид смешанной фазовой диаграммы изменяется, так как исчезает половина траекторий - во 2-м и 4-м октантах, отвечающих вращениям маятника по углу ф в обратном направлении.
На рис. 3 показаны траектории колебаний и вид смешанной фазовой диаграммы маятника в области НК вблизи критической точки. Большая плотность линий диаграммы в 1-м и 3-м октантах получена подбором времени и видим их сходство с диаграммой для ЭПК. Таким образом, смешанная фазовая диаграмма (рис. 3, б) показывает ход трансформации этой диаграммы маятника при изменении типа колебаний от вида (рис. 1, в) к виду (рис. 2, б).
в
тельных частот, фазовых сдвигов, особенно при его больших отклонениях.
б
Рис. 2. Вид колебаний маятника в области ЭПК (Зхо=0,2; vyo=0,9 м/с): а -X-Y- траектории колебаний;
б - смешанная фазовая диаграмма Vy - X
Видим сильное сгущение кривых (рис. 3, а) вблизи оси Y. Это можно связать со сближением периодов колебаний по обеим осям Тх и Ту. В результате этого угол прецессии большой оси "эллипса" за время ДТ= =Тх-Ту будет малым, причем, он будет уменьшаться с приближением к критической точке и общей частоте. Для траекторий колебаний вдоль оси X (с меньшей амплитудой по оси Y и большей по оси X) период колебаний по оси Y уменьшится, а по оси X возрастет, и время ДТ увеличится. Соответственно углы прецессии большой оси эллипса вблизи оси X возрастают (рис. 2, а и 3, а). Таким образом, для двухчастотного маятника прецессия по осям анизотропна.
В области ЭПК прецессия осей маятника остается, хотя периоды его колебаний равны: Тх=Ту. Причиною прецессии является неравномерность вращения маятника в НПС вследствие появления дополни-
б
Рис. 3. Колебания маятника вблизи критической скорости в области НК (5хо=0,2; ууо=0,81 м/с): а - Х-У - траектории колебаний; б - смешанная фазовая диаграмма ¥у-Х
В работе [10] рассмотрены силовые фазовые диаграммы в области ЭПК для эллиптических орбит. Была установлена аномальная силовая зависимость для оси Х - с ростом отклонения силы растут. Поэтому представляет интерес рассмотреть эти диаграммы в области изменения типа колебаний.
На рис. 4 представлено изменение вида для силовых фазовых диаграмм в областях НК и ЭПК. Общее уменьшение ускорений (угла наклона) вдоль оси Х обусловлено большей инерционностью маятника по данной оси. Видим, что изгибы кривых (областей колебаний) в области НК по обеим осям одинаковы -уменьшение ускорений (сил) с ростом отклонения, с изломом области при хг. Отметим, что в критической
а
а
точке область колебаний диаграммы ах-Х (кривая 1) становится симметричной (как "пропеллер", хг=0 -слияние ВИП) и далее с ростом скорости ууо в области ЭПК изгиб диаграммы изменяется на противополож-
ров, которые различны в областях НК (координаты ВИП) и ЭПК (радиусы второго эллипса). Скорости vxr, vxm, vyo (vyo=vyr) рассмотрены в тех же точках. Для смешанной фазовой диаграммы Vy-X для начальной скоро-
ный - нелинейное уменьшение ускорения ах по оси Х сти маятника ууо рассмотрены параметр хуу, равный по-
для малых отклонений (рис. 4, б). Видим, что вблизи эллиптической точки области колебаний для диаграммы сузились.
ах-х, ау-у
-1
-2
2
\\ 1 —^ v\
V\ у
-0.4
-0.2
0.2
0.4
б
Рис. 4. Изменение вида силовых фазовых диаграмм маятника (кривые 1 - ах - Х и 2 - ау - У) при изменении типа колебаний от а - НК к б - ЭПК (5хо=0,2; ууо = 0,7 и 1 м/с, соответственно)
Данное изменение сил в НПС вызвано влиянием больших отклонений маятника по оси У. Это приводит к значительному уменьшению всех сил, в том числе, и для малых отклонений по оси Х. Данный аномальный эффект для сил вдоль оси Х в области ЭПК растет с ростом величины отклонений маятника от равновесия и отношения моментов инерции маятника к [10].
Для получения общей картины, аналогично [11], были построены зависимости для параметров областей колебаний маятника: траекторий и фазовых диаграмм в зависимости от величины начальной скорости ууо при разных величинах начальных смещений 5хо. В качестве таких параметров выбраны: хт, ут - максимальные смещения по осям, х„ уг - точки внутренних парамет-
луширине диаграммы на оси Х и скорость ууу, равная полуширине этой диаграммы на оси У.
Результаты расчетов при начальном смещении 5хо=0,3 для координат траекторий показаны на рис. 5 и для скоростей - на рис. 6. Смещение 5хо=0,3 выбрано, поскольку при нем области ЭПК-1 и ЭПК-2 примерно равны. Вследствие роста эллиптической скорости с ростом отклонения маятника для смещений §хо>0,48 область ЭПК-2 исчезает. Вследствие симметричности траекторий и диаграмм приведены положительные значения для всех параметров. Исходно некоторые гладкие кривые состояли из двух отрезков, отвечающих разным начальным условиям. Например, в точках пересечения кривых уг и ут (аналогично уу0 и уут) на границе областей ЭПК-1 и ЭПК-2 у этих кривых меняются минимумы величин на максимумы и наоборот. Данные о зависимостях для критических, эллиптических и максимальных (0тах=9О°) скоростях маятника от величины начальных смещений 5хо приведены в [11].
Зависимости для параметров траекторий для координаты X на рис. 5 более подробны, чем в [11], поскольку здесь приведены кривые для хг и хуу вместо среднего отклонения траекторий АХ. Видим плавные изменения кривых для всех типов колебаний. В точках изменения типа колебаний наблюдаем пересечения кривых, изломы или обнуление параметров (х„ хуу). В критической точке кривая хг подходит к оси перпендикулярно и сходная в области НК эллипсу, что можно объяснить следствием пропорциональности координат и скоростей в области НК. Кривая хуу в области ЭПК линейно стремится к нулю в эллиптической точке, что позволяет прогнозировать величину эллиптической скорости и размер области ЭПК-1. Предыдущие описания для траекторий маятника согласуются с данными зависимостями.
Зависимости для скоростей маятника на рис. 6 качественно сходны с кривыми на рис. 5 - обозначения точек в сходных парах такие же. Это можно связать с наличием близкой к линейной зависимостями смещений маятника от скорости (кривые ут (область НК) и уг - рис. 5). В областях НК и ЭПК-1 скорость ууо меньше уут, что обусловлено наличием запаса начальной потенциальной энергии в этих областях и невозможностью ее использования в области ЭПК-2. Уменьшение скоростей (рис. 6) сравнительно с координатами (рис. 5) для больших отклонений маятника связано с ослаблением сил в НПС при росте смещений.
Однако есть существенные различия на этих рисунках между кривыми хуу и ууу для смешанной фазовой диаграммы, что связано с различием их определения. В области НК кривые для скоростей ууу и уут совпадают. Обнаружен скачок скорости ууу в критической точке для смешанной фазовой диаграммы. Этот скачок связан с изменением типа колебаний и появлением внутреннего эллипса (рис. 2, а), максимум скорости уут смещается по оси Х и скорость ууу на оси У (рис. 2, б) у смешанных фазовых диаграмм уменьшается.
а
Рис. 5. Зависимости для параметров координат от величины начальной скорости уу,
при начальном смещении 5хо=0,3
Vxi, Vyi, м/с
1,6 1,4 1,2 1
0,8 0,6 0,4 0,2 0
НК -т-1— ¡Э )ПК-1 ЭПК-2
1 1 1 J i 1 1 1чз 1 1 1 ^рг 1
1 т^ 1 JT 1 р 1 J* L Ж 1 L
------ 1 дУ 1 - ?! 1 сЛ IM^L О 1 J* 1 ' 5 1 ßf\ ^^ 1 1 1 ^Пу 1----
° 1V | if 1 ( # 1 1 В 1 т 1 А
1 \ -1 V I 4 1 \ У ( А Л 1 X J 1 ÜL^ if iß ^ L
1 V 1 1 1 s 1 1
0 0,2 0,4 0,6 0,8
Vxr
Vxm
Vvy
1 1,2 1,4 Vy, м/с о Vy0 —в— Vym
Рис. 6. Зависимости для параметров скоростей маятника от величины его начальной скорости ууо
при начальном смещении 5хо=0,3
Сложный вид фазовых диаграмм и областей колебаний (рис. 1-4) обусловлен вкладами в колебания прецессии маятника на дополнительных частотах и их гармониках. Они обусловлены нелинейностью сил от величины смещения маятника (рис. 4), различием и взаимовлиянием колебаний по координатам [10]. При этом, колебания вблизи малых смещений будут иметь как бы более высокие частоту и рост фазы ф, а при больших смещениях - они понижены относительно результирующей частоты колебаний, хотя в области ЭПК для колебаний вдоль оси Х, ситуация является обратной. В области НК наиболее пониженной частотой будет разностная частота колебаний по осям. Совокупность всех фазовых смещений будет приво-
дить к уширению областей траекторий колебаний и их диаграмм, что и наблюдается (рис. 1-4). На смешанной фазовой диаграмме в области ЭПК-1 (рис. 2, б) верхняя кривая области, идущая из точки хт=хо, пересекает ось У при У>0 и ось X при Х<0, что соответствует величинам ууу>0 и ху<0. В области ЭПК-2 кривая хт>хо становится нижней и знаки для ууу и ху изменяются на противоположные. Однако это связано не с изменением общего наклона кривых диаграммы, а с изменением амплитуд и фаз дополнительных частот и гармоник, приводящих к уширению областей колебаний. Особым случаем, для которого скомпенсированы фазовые смещения маятника из-за обнуления амплитуд дополнительных частот, представляет
эллиптическая орбита, когда внутренний и внешний огибающие эллипсы области колебаний совпадают.
Для случая больших смещений маятника в нелинейную область сил дополнительные частоты и их фазы будут понижаться. Хотя это интересно для теории двухчастотного свободного маятника, но не реально для колебаний молекул воды. У них при таких больших смещениях и хаотическом воздействии соседей невозможны свободные колебания, зато становятся возможными массовые разрывы связей с соседними молекулами, что приведет к наличию низкочастотных случайных колебаний молекул. Существование всех данных частот и их гармоник ведет к значительному уширению линий в спектрах либра-ционных (вращательных) частот колебаний молекул воды [4].
Проведенный здесь и в [11] анализ для колебаний двухчастотного маятника показывает, что для молекул воды при температурах 0...100 °С (273..373 К) можно ожидать наличие около половины от максимальной кинетической энергии молекул в критической точке воды (Ткр=647 К), когда все связи разрываются. Это примерно соответствует области ЭПК-1 при частичном захвате соседних областей. Поэтому можно ожидать, что для большинства молекул воды характерны колебания в области ЭПК. Учитывая, малость величин рН (~10-7) и коэффициента диффузии (~10-5) в воде, связанных с разрывами связей между
молекулами, можно считать, что хаотизация колебаний молекул воды, вследствие влияния тепловых колебаний соседних молекул, сравнительно мала и ее молекулы большую часть времени при температурах 0.100 °С совершают эллипсоподобные колебания, которые будут близки к свободным колебаниям.
6. Выводы
1. Определено, что при изменении типа колебаний двухчастотного сферического маятника от двухчастотных НК к одночастотным ЭПК изменяется вид его смешанных и силовых фазовых диаграмм.
2. Определены параметры траекторий и фазовых диаграмм маятника, изменяющиеся для разных типов колебаний двухчастотного маятника. Определены параметры, которые обнуляются в критической и эллиптической точках маятника. Для смешанной фазовой диаграммы обнаружен скачок скорости в критической точке.
3. Построены диаграммы для параметров координат и скоростей двухчастотного маятника, позволяющие провести экспресс-анализ и разделить области существования разных типов колебаний в зависимости от величин его начальных скоростей и начального смещения.
Полученные особенности колебаний двухча-стотного сферического маятника будут характерными и для вращательных колебаний молекул воды.
Литература
1. Берсукер И. Б. Эффект Яна-Теллера и вибронные взаимодействия в современной химии. Москва: Наука, 1987. 344 с.
2. Малафаев Н. Т. О взаимодействиях и динамике молекул в чистой воде // Восточно-европейский журнал передовых технологий. 2011. T. 4, № 8 (52). С. 48-58. URL: http://journals.uran.ua/eejet/article/view/1465/1363
3. Малафаев Н. Т., Погожих Н. И. Моделирование вращательных колебаний молекул воды // Восточно-европейский журнал передовых технологий. 2015. T. 2, № 5 (74). С. 27-35. doi: 10.15587/1729-4061.2015.40569
4. Эйзенберг, Д., Кауцман, В. Структура и свойства воды. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1975. 280 с.
5. Антонченко В. Я., Давыдов А. С., Ильин В. В. Основы физики воды. Киев: Наукова думка, 1991. 672 с.
6. Маленков Г. Г. Структура и динамика жидкой воды // Журнал структурной химии. 2006. Т. 47. C. 5-35.
7. Malenkov G. G., Naberukhin Y. I., Voloshin V. P. Collective effects in molecular motions in liquids // Russian Journal of Physical Chemistry A. 2012. Vol. 86, Issue 9. P. 1378-1384. doi: 10.1134/s003602441209004x
8. Kumar P., Franzese G., Buldyrev S. V., Stanley H. E. Molecular dynamics study of orientational cooperativity in water // Physical Review E. 2006. Vol. 73, Issue 4. doi: 10.1103/physreve.73.041505
9. Makhlaichuk P. V., Malomuzh M. P., Zhyganiuk I. V. Dimerization of water molecules. modeling of the attractive part of the interparticle potential in the multipole approximation // Ukrainian Journal of Physics. 2013. Vol. 58, Issue 3. P. 278-288. doi: 10.15407/ujpe58.03.0278
10. Малафаев Н. Т. Силовые особенности колебаний двухчастотного сферического маятника в неоднородном поле сил // ScienceRise. 2016. T. 10, № 2 (15). С. 68-75. doi: 10.15587/2313-8416.2015.51842
11. Малафаев Н. Т. Анализ типов колебаний двухчастотного сферического маятника как модели колебаний молекулы воды // ScienceRise. 2017. № 4 (33). С. 57-62. doi: 10.15587/2313-8416.2017.98312
12. Малафаев Н. Т. Эллиптические колебания протонов молекул воды // ScienceRise. 2017. T. 1, № 2 (30). С. 46-53. doi: 10.15587/2313-8416.2017.89712
Рекомендовано до публгкацИ д-р техн. наук Погожих М. I.
Дата надходження рукопису 28.12.2017
Малафаев Николай Тимофеевич, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра физико-
математических и инженерно-технических дисциплин, Харьковский государственный университет питания и торговли, ул. Клочковская, 333, г. Харьков, Украина, 61051
E-mail: mnt949@gmail.com
