CC BY
46
Вычисления во всех случаях были проведены для различных начальных распределений, заданных в точке s0 = 0 . Заметим, что выбор начального распределения в точке sq не влияет на значения предельных вероятностей исследуемого процесса [3].
В таблице приведены значения вектора 5 для различных видов возмущений.
Характер возмущения сті ст2 ст3
Линейные 0,013439 0,001344 0,012095
Степенные 0,005689 0,000652 0,005036
Сгущающиеся к точке to 0,004135 0,000133 0,004001
Возникающие в случайные моменты времени 0,030110 0,009125 0,020985
Анализируя результаты, полученные в пунктах 1-3, можно сделать следующие выводы. Наименьшие значения вектора отклонений ст были получены при сгущающихся к концу исследуемого интервала возмущениях. Этому же случаю соответствует самая узкая полоса локализации вероятностей состояний, при этом они изменяются наиболее плавно, однако позже, чем для регулярных возмущений, попадают в ст -окрестность предельного распределения. Хорошие результаты также дает стабилизация процесса регулярными степенными возмущениями. Возмущениям, возникающим в случайные моменты времени, соответствует наихудший вектор ст .
Как видно, каждый из рассмотренных видов возмущений имеет и достоинства, и недостатки. Выбирая на практике способ стабилизации процесса,
УДК 514.753
ОСОБЕННОСТИ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАДАЧИ ПОКРЫТИЯ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПРОТИВОПОЖАРНОЙ ЗАЩИТЫ
АНТОШКИН А.А., КОМЯКВ.М.,
РОМАНОВА Т.Е., ШЕХОВЦОВ С.Б.______
Исследуются особенности размещения пожарных извещателей в защищаемом помещении. Рассматриваемая прикладная задача сводится к задаче покрытия произвольной двухмерной области кругами заданного радиуса. На основании анализа технологических ограничений задачи строится ее математическая модель.
нужно исходить из того, какую цель желает достичь исследователь: получить в точке ф минимальное отклонение вероятностей состояний от теоретических значений или же быстрее “загнать” вероятности состояний процесса в ст -окрестность предельного распределения.
Все вычисления были проведены с помощью пакета программ, разработанного авторами в системе символьной математики Mathematica 4©.
Литература: 1. Дикарев В.А. Фокусирующие факторы. Базисы фокусировки и стабилизации // Радиоэлектроника и информатика. 1998. №2(3). С.50-53. 2. Басманов А.Е., Дикарев В.А. Стабилизация марковского процесса в окрестности распределения, заданного на конечном временном промежутке // Доп. НАН України, 1999. №8. С.69-73. 3. Герасин С.Н. Проблемы стабилизации распределений неоднородных марковских систем. Харьков. Изд-во ХТУРЭ, 1999. 212 с.
Поступила в редколлегию 15.12.2000
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Дикарев В.А.
Герасин Сергей Николаевич, канд. техн. наук, доцент кафедры высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей и ее приложения, теория процессов Маркова. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, e-mail: [email protected], тел: (0572)40-93-72 (раб.), (0572)72-12-38 (дом.).
Гибкина Надежда Валентиновна, инженер-стажер кафедры высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей и ее приложения, программирование. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина 14.
Лизгин Валерий Анатольевич, начальник отдела АСУ АО “Меркурий”. Научные интересы: теория вероятностей и ее приложения, теория неоднородных структур, программирование. Адрес: Россия, 357100, Карачаево-Черкесская республика, г. Черкесск, ул. Кавказ-кая, 126, тел.: (87822)511-51.
Эффективность решения задач оптимального управления в технических системах непосредственно связана с разработкой математических методов, позволяющих осуществить выбор рациональной, с точки зрения используемого критерия оптимальности, структуры технической системы. Задачи синтеза оптимальных структур возникают при разработке систем обнаружения и оповещения, одним из классов которых являются системы автоматической противопожарной защиты.
При решении таких задач необходимо учитывать реальные геометрические особенности элементов систем, их тип, количество, параметры размещения и т.п. Поэтому целесообразно преобразование информации о различных по своей физической природе составных элементах технических систем в единый вид геометрической информации. Это позволяет осуществить формализацию и решение
РИ, 2001, № 1
75
задач синтеза оптимальных структур технических систем различного функционального назначения с использованием моделей и методов геометрического проектирования [ 1].
Задача покрытия защищаемого помещения областями, контролируемыми пожарными извещателями, является задачей синтеза оптимальной структуры системы автоматической противопожарной защиты. Она относится к классу задач геометрического покрытия некоторой области множеством заданных объектов [1].
ные извещатели, минимальное количество приборов, установленных в одном защищаемом помещении, должно быть не менее двух.
Проектирование схем размещения пожарных извещателей предусматривает соблюдение ряда нормативных размеров. В зависимости от типа выбранного извещателя и высоты защищаемого помещения в нормативной литературе [2] приводятся максимальные расстояния между пожарными извещателями и от пожарного извещателя до стен защищаемого помещения.
Рассмотрим задачу размещения пожарных извещателей в следующей постановке. В качестве математических моделей области Г0 , подлежащей защите, и области Т, контролируемой пожарным извещателем, выбираются точечные множества арифметического евклидового пространства E2, которые являются Ф —объектами [1]. Пусть множество То обладает произвольной пространственной формой, а множество Т — круг радиуса R. Необходимо область То покрыть кругами Ті, і є In = {1,2,...,n} радиуса R таким образом, чтобы количество кругов было минимальным и выполнялся ряд специальных ограничений. Заметим, что мощность индексного множества In определяется путем оценивания, причем число n заведомо превышает число объектов, необходимое для покрытия заданной области.
Теоретико-множественная модель поставленной задачи имеет вид:
То П
n
U Ті
і=і
= То .
(1)
Выражение (1) описывает условие покрытия, при выполнении которого каждая точка области То принадлежит хотя бы одному из объектов Ті,
Т2 ,..., Тп .
Математическую модель поставленной задачи можно представить в следующем виде:
определить
extr e(zb Z 2,..., Zn)
ZsD^E2n ’
(2)
где Zt = (xi, yi) — координаты центра круга Ті, і є In в фиксированной системе координат, совпадающей с собственной системой координат области То ; Z = (Zi,Z2,...,Zn); D с E2n — область допустимых решений. Область D формируется, исходя из условия (1), а также с учетом ряда дополнительных специальных ограничений.
Рассмотрим более подробно каждое из ограничений.
Проекция пожарного извещателя на плоскость, которой принадлежит множество То , представляет собой круг C~ радиуса r ~ , определяемого габаритными размерами пожарного извещателя. Область Т^ возможного расположения центров покрывающих объектов Ті, Т2 ,..., Тп c учетом r~ можно описать следующим образом:
То" = cl(E2 \(cl(E2 \То)©C-)) , (3)
где © — операция суммы Минковского; cl(-) — операция топологического замыкания.
Назовем крайними объекты, для которых выполняется условие Ті П /гТо ^0 , і є In .
Максимально допустимое расстояние между центрами крайних покрывающих объектов и границей области покрытия Т0 должно быть не более чем го", где величина го" определяется нормативной литературой [2] и r ~ < го" <R.
Тогда область То"1" с E 2 допустимого расположения центров покрывающих объектов Ті, Т2 ,..., Тп с учетом r^ можно определить следующим образом:
То+ = (cl(E2 \То)©C+)пТо , (4)
где C+ - круг радиуса го+ .
Пусть
Т * = cl (E 2\ То). (5)
Обозначим через Т' с E область, которой могут принадлежать центры крайних объектов, а через Т'' с E 2 — область, которой могут принадлежать центры остальных объектов, принадлежащих области То". Тогда, учитывая (3), (4), имеем
Т' = (То+п То"), (6)
Т" = cl(R2\(Т* ©CR)), (7)
где CR — круг радиуса R.
При размещении пожарных извещателей каждая точка защищаемого помещения должна контролироваться хотя бы одним прибором. Далее будем полагать, что в случае возникновения пожара в пределах области Ті, контролируемой пожарным извещателем, вероятность его обнаружения равна единице, т.е. обнаружение — событие достоверное.
В случае, если в проектируемой системе пожарной сигнализации используются безадресные пожар-
Очевидно, что То * Т ' и Т" .
Как известно [3], ф -функция, описывающая взаимное расположение объектов Ті, Tj , определяется следующим образом:
Q(Zi, Zj) > о , если c^i п cffj = 0 ,
<&(Zi, Zj) = о ,если МТі n m^j =0 и f^i n frTj Ф 0,
Q(Zi, Z j) < о , если ШТі n in^j Ф 0 .
76
РИ, 2001, № 1
Назовем соседними покрывающие объекты Tt, T. , i ф j є In , для которых значения ф -функции не положительны, т.е.
<£(Zi,Zj) < 0 . (8)
Согласно нормативной литературе [2], максимально допустимое расстояние между центрами соседних покрывающих объектов Tt, Tj должно быть не более чем r+ . Это условие можно задать в виде неравенства
(Xi - X. )2 + (Уі - yj)2 - (r+)2 < 0 .
Минимально допустимое расстояние между центрами соседних покрывающих объектов Ti, Tj должно быть не менее чем 2r_ , т.е.
(2r- )2 - (Xi - Xj )2 - (Уі -y} )2 < 0 .
При этом следует заметить, что 2r_ << r+ < 2R .
D =(( D' u D" ) n ( D+ u D**)) u D*. (10)
Для аналитического описания области допустимых решений d с E 2п будем использовать понятие структуры неравенств [1,4].
Пусть имеются неравенства f (Z) < 0, Z = (x,, у,), і є Im = {1,2,..., m} и предикат 8. :
g _[1, если fi (Z) < 0 л fj (Z) < 0,
5 j "{0, если fi (Z) < 0 v fj (Z) < 0.
Упорядоченный набор F(Z) неравенств f (Z) < 0, i є Im с предикатом 8. = (fi (Z) < ф fj(Z) < 0) , i, j є Im , заданным в виде симметрической матрицы A =lKj|lmxm, называется структурой неравенств и обозначается через G(F(Z), Д, m).
Таким образом, ограничения на максимальные и минимальные допустимые расстояния между центрами соседних покрывающих объектов Ti, Tj задаются системой неравенств:
j (Xi - Xj )2 + (Уі - yj )2 - (r+ )2 < 0, j(2r- )2 - (Xi - Xj )2 - (yi - yj )2 < 0.
Обозначим матрицу Д = sJ c 8. =1, у i, j є Im
II -'llmxm
через Д1, а матрицу Д = II5JI с 8. =0, у i ф j є Im,
II ^llmxm
Sj =1, i = j є Im — через д0 . Ясно, что структура
G (F (Z), A1, m) является системой неравенств, взятых из данного набора.
Для всех остальных объектов это условие выполняться не должно.
В пространстве E2п условия принадлежности центров кругов Ti, T2 ,..., Tn областям вида (5)-(7) описываются множествами D , D', D'', соответственно.
Пусть имеется некоторое множество D С E вида:
Определим операции пересечения и объединения структур неравенств. Пусть даны структуры
Gi(Fi(Z), Ai, *i), Ді =
ki xki
и G2(F2(Z),A2,k2) ,
Д 2 -
k2 xk 2
. Эти структуры описывают множе-
ства Di, D2 є E2п соответственно.
D *** = {Z є D" ’|V(ik, jk) є Kn, p(Zik , Zjk ) є [2r “, r + ] u
и [2R, diamT) ]} ,
где Kn — множество пар индексов (ik, jk), ik є In , jk Є In , ik * jk, D "' = D D U D'. Очевидно, что мощность множества Kn равна с2 . При этом полагаем,
что Kn = An u Bn , где An n Bn =0 .
Пересечением структур G\ и G2 является структура Gn (F(Z), Дп, k), которая описывает множество ’ ’ " ' ' F(Z)={F1(Z), F2(Z)},
A n D2, где
k=&1+&2,
Д =
k xk
s?n
5 ,j =
S-, если i < ki, j < ki;
2
8 . , . , , если i > ki, j > ki,i, j = ki + i, i ki,j ki
k;
Система (9) в пространстве E 2n задает некоторое множество
D± ={Z є D"'1 |V(ik, jk) є An, p(Zik , Zjk ) є [2r“,r + ]}. Пусть
i, в противном случае.
Объединением структур является структура G u (F (Z), Ди, k), которая описывает множество ’ ’ " ' , F(Z) = {Fx(Z), F2(Z)},
A u D2, где Д = k=ki+k2,
5У
kxk
D** = {Z є D'' ' |V(i'k, jk) є Bn,p(Zik,Zjk) є [2R,diamT0 ]},
т.е. D = D u D± .
Таким образом, область допустимых решений можно представить в виде:
5 ,j =
S- , если i < ki, j < ki;
если i > ki, j > ki,i, j = ki +1, вном случ Таким образом, структура
i-ki,j-k i 0, в противном случае.
k;
РИ, 2001, № 1
77
((G'(F (Z), Дi,kx) uG"(F2(Z), Д2,k2))n n (G± (F, (Z), Д3, k3) u G ** (F4 (Z), Д 4, k4))) u (11) u G * (F5 (Z), Д 5, k5)
описывает область допустимых решений (10), где
* + **
структуры G', G'G , G_, G задают множества D', D '', D , D* , D**, соответственно. При этом
ТО1 '
G'(Fj (Z), Д1,р) = n Gi(F1i(ZX A1i, k1i);
1=1
ТО" м
G”(F2(Z), Д2,k2) = nG1 (F2i(ZX А2i,k21);
1=1
G± (F3 (Z), Д3, k3) = (1 G1j (F3iJ (Z), A3iJ , k3ij ) ;
G**(F4(Z),Д4,k4) = (. Gv (F4J(Z),A4J,k4iJ);
(i»j)eBn
Формализацию условий покрытия области позволяет осуществить введение специального класса функций, названных ю - функциями [1] вида:
Ю (&)= ю (М0, Mh M2, •••, Mn, Р0, P1, P2, •••, ри), (13) g = ((A0 П (S1 U S2 u ••• U sn)), M0, Ml, M2, •••, Mn,
P0, Ph P2, •••, pn) =
=^ (g0, g 1, g2 ,•••, gn ) = g0 *g 1* g2 * ••• * gn , (14) где * — знак композиции отображений, g0 = (So,M0,F0), gi = (Sj,Mt,p) — геометрическая информация [1] об объектах To, Tt, i є In; So, M0, Po,
Si, Mi, p , i є In — пространственная форма, метрические характеристики и параметры размещения объектов To, T , i є In, соответственно •
Используя аппарат ю -функций, математическую модель поставленной задачи можно представить как
,п *
G* (F5 (Z), Д5,k5) =21Gi (F5i(Z),A5i,k5i); m'+m"+m* = n , m'+m” > 2 •
Для определения функции цели поставленной задачи введем некоторое множество вида
min 9(Z)
ZeDс E 2n
min
ZeDc E 2n
n
.2> ij (Zi, Zj) • (15)
Таким образом, необходимо минимизировать суммарную площадь взаимного перекрытия покрывающих объектов Tt, i є In на области D, описываемой структурой (!!)•
Tj = Ti n Tj • (12)
Множество (12) описывает область взаимного пересечения соседних объектов Р и Tj при покрытии области Т0 (рисунок) •
Пусть ^у — площадь множества Tj • Тогда при
n
определении min £Qj количество покрываю-
i* J=1
щих объектов в общем случае будет стремиться к минимуму^
Это утверждение верно, поскольку в данной поста-
n
новке 2^j есть функция, зависящая прямо про-
іф j=1
порционально от количества m кругов, покрывающих область To, Q 0 ^ toQ., где Q. = 2 — площадь
круга Tt, i=1v„, n; Q.0 — площадь области To •
Литература: L Стоян Ю.Г, Яковлев С.В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. Кз Наук думка, 1986^ 268 с 2^ ДБН B•2•5—l3—98 Пожарная автоматика зданий и сооружений / Госстрой Украиньг Кз 1999^ С 19—20, 7l—72. 3^ Стоян Ю.Г. Об одном обобщении функции плотного размещения // Докж АН УССР^ Сер^ А-1980. № 8^ С 70— 74^ 4^ Магас С.Л. Определение и свойства структур линейных неравенств // Автоматизация и проектирование в машиностроении. 1983^ Bып.3. С 5—1L
Поступила в редколлегию 28^ l2•2000
Рецензент: д-р техш наук Гиль Н^И
Антошкин Алексей Анатольевич, адъюнкт кафедры пожарной автоматики и связи Академии пожарной безопасности Украины. Адрес: Украина, 61023, Харьков, уё Чернышевского, 94, тел^ (0572) 40-20-35.
Комяк Валентина Михайловна, д-р техт наук, профессор кафедры фундаментальных дисциплин Академии пожарной безопасности Украины. Адрес: Украина, 61023, Харьков, ул. Чернышевского, 94, тел^ (0572)
Романова Татьяна Евгеньевна, канд^ физ^ман наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАН Украины им^ Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул^ Пожарского, 2/10, тел^ (0572) 95 95 36^
Шеховцов Сергей Борисович, канд^ техн^ наук, доцент кафедры прикладной математики Университета внутренних дел^ Адрес: Украина, 61180, Харьков, пр^ 50-летия СССР, 27, тел^ (0572) 50 30 67^
78
РИ, 2001, № 1
