CC BY
200
L + x - 2кц , h = r cos у = yj r2 - (p-x)2 >
G = (0,0,1,1), Q = (-x, 0,2p-rsiny, 0, D = (0,0,0,0 .
Рис. 7. Вариант построения покрытия методом 5
Например, для значений L = 2.5 , H = 3 , r = 1, Г0 = 0.3 метод 5 оптимален.
Из всех m , полученных методами 1—5, выбираем минимальное m *.
Выводы
Научная новизна. Предложены методы построения покрытий прямоугольника кругами, решётчатых, за исключением, возможно, границы области покрытия. Каждый из предложенных методов может давать оптимум при определённом наборе соотношений L , H , r , r0 . Оценка покрытия близка к теоретически оптимальной при L >> r, H >> r.
Практическая ценность. Предложен точный метод построения покрытий в классе предложенных вариантов модифицированных решёток, при этом учтены одновременно условия покрытия и размещения, что важно для практических приложений, например, при построении систем автоматической противопожарной защиты.
Сравнительный анализ. В работе [3] предложен альтернативный подход к решению аналогичной задачи, однако при этом не учитываются дополнительные условия на размещение покрывающих кругов.
УДК 519.859
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УПАКОВКИ КРУГОВ В ВЫПУКЛЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК С ПОМОЩЬЮ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА СУЖАЮЩИХСЯ ОКРЕСТНОСТЕЙ
ЧУГАЙА.М._____________________________
Рассматривается задача оптимизации упаковки кругов одинакового радиуса в выпуклый многоугольник. Строится математическая модель и исследуются особенности задачи. Разрабатывается метод поиска оптимального решения задачи, который использует комбинацию модифицированного метода сужающихся окрестностей и метода возможных направлений. Описывается стратегия решения задачи. Детально рассматривается реализация модифицированного метода сужающихся окрестностей. Приводится численный пример.
Введение
Актуальность проводимого исследования связана, с одной стороны, с чрезвычайно широким спектром
Литература: 1. Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. К.: Наук. думка, 1986. 267 с. 2. Антошкин А.А., Панкратов А.В., Пацук В.Н., Романова Т.Е, Шеховцов С.Б. Задача покрытия прямоугольной области кругами заданного радиуса // Радиоэлектроника и информатика. 2001. № 3. С. 38 - 41. 3. Панкратов А.В., Пацук В.Н., Романова Т.Е, Антошкин А.А. Метод регулярного покрытия прямоугольной области кругами заданного радиуса // Радиоэлектроника и информатика. 2002. № 1. С. 50 - 52. 4. Стоян Ю.Г., Яковлев С.В. Оптимизация покрытий трансляциями ограниченных множеств// Докл. АН УССР. Сер.А, 1988. № 7.- С.20-23. 5. RogersC.X. Packings and Coverings. Cambridge: University Press, 1964. 6. СтоянЮ.Г. Об одном обобщении функции плотного размещения//Докл. АНУССР. Сер. A. 1980. №8. С. 70-74. 7. KuperbergG. Double-lattice packing of convex bodies in the plane/G.Kuperberg and W.Kuperberg/ /Discrete and Comp. Geometry. 1990. № 5. P. 389-397.
Поступила в редколлегию 27.08.2004
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. С.В. Яковлев
Панкратов Александр Владимирович, канд. техн. наук, научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАН Украины им. А.Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, тел. (0572) 95-95-36.
Пацук Владимир Николаевич, канд. техн. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАН Украины им. А.Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, тел. (0572) 95-95-36.
Романова Татьяна Евгеньевна, д-р техн. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАН Украины им. А.Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, тел. (0572) 95-95-36.
Шеховцов Сергей Борисович, канд. техн. наук, доцент кафедры прикладной математики Национального университета внутренних дел. Адрес: Украина, 61180, Харьков, пр. 50-летия СССР, 27, тел. (0572) 50-30-67.
применения задач оптимизационного геометрического проектирования, а с другой — с необходимостью разработки новых моделей и методов решения данного класса оптимизационных задач.
Задача упаковки кругов относится к классу задач оптимизационного геометрического проектирования. Математические модели и методы размещения кругов в прямоугольной полосе рассматривались в работах [1,2]. В [3] рассмотрен подход к поиску глобального экстремума задачи упаковки кругов равного радиуса в квадрате. Малоисследованными остаются задачи упаковки кругов одинакового радиуса в произвольные односвязные и многосвязные области. Данные задачи являются многоэкстремальными, что вызывает трудности при их математическом и компьютерном моделировании. Эти трудности, в частности, связаны с отсутствием приемлемых способов перебора многочисленных локальных экстремумов. В статье предлагается новый альтернативный подход к решению задачи упаковки кругов, основанный на направленном переборе локальных экстремумов, что позволяет находить лучшие приближения к глобальным экстремумам.
58
РИ, 2005, № 1
Целью данного исследования является построение математической модели и разработка метода решения задачи упаковки кругов в выпуклый многоугольник.
1. Постановка задачи
Пусть имеются одинаковые круги C; радиуса r с координатами центра v; = (х;,у;), i = 1,2,...,N, и выпуклый многоугольник р . Необходимо разместить в р максимальное количество кругов Ci.
2. Математическая модель
Решение задачи сводится к решению последовательности задач
Fn(u*) = max Fn (u) (1)
ueD ’ v ’
n
где Fn(u) = £ ri , u = (v1,v2,...,vn,r1,r2,...,rn) , q -i=1
радиус круга Ci; d описывается системой неравенств [4-6]:
Фi (ui) > 0,i = 1,2,...,n ,
_ Фij (ui, uj) > 0,i < j = 1,2,..., n, r - ri > 0,i = 1,2,...,n, (2)
ri > 0,i = 1,2,...,n,
Фi(ui) = min (9ik(ui)> k=1,2,...m ’
9ik(ui) = Akxi + Bkyi + Cik , Ak = (yk+1 _ yk)/dk , Bk _ _(xk+1 _ xk)/dk , Cik = Ck _ ri ,
Ck = (xk+1yk - xkyk+1)/dk,
dk = V(xk+1 -xk)2 + (yk+1 -yk)2 , (xk,yk)
и (xk+1,yk+1) — координаты вершин Vk и Vk+1 многоугольника P (причем Vm+1 = V1);
фij (ui, uj ) = (xi - xj)2 + (yi - yj)2 - (ri + rj)2.
Таким образом, если Fn(u*) < nr , а
Fn_1 (u*) = (n - 1)r, то решение задачи (1) достигается в u* = (v*, v2,..., vn—1, r*, r*,...,r^*—1) .
3. Особенности задачи
1. D c R3n , n < N. D ограничена и в общем случае многосвязная.
*
2. Для каждого локального максимума u всегда найдется крайняя точка u є D [7], определяемая системой из 3n уравнений (активных неравенств), входящих в систему (2), такая что Fn (u*) = Fn (u ).
3. Локальные максимумы u* могут быть нестрогими.
Вследствие перечисленных выше особенностей можно сделать следующие выводы:
— задача является многоэкстремальной; число ло-
*
кальных экстремумов u значительно больше n!, т.е. задача (1) NP— трудная [8];
— для того чтобы найти глобальный максимум Fn (u), достаточно перебрать все крайние точки u є D;
— в настоящее время не существует метода, позволяющего получить глобальный максимум поставленной задачи, если n > 10 [7].
4. Стратегия решения задачи
На первом этапе решения задачи производится оценка величины n = ц, так что ц кругов гарантированно размещаются в P . Далее решается задача (1) для n = ц +1 кругов.
Общая стратегия решения задачи (1) может быть представлена в виде следующих этапов:
1) построение крайних точек;
2) поиск крайних точек с наибольшими значениями целевой функции с помощью модифицированного метода сужающихся окрестностей (МСО);
3) переход из полученных крайних точек с наибольшими значениями функции цели в каждой из сформированных окрестностей к локальным максимумам с помощью метода локальной оптимизации, который основывается на одной из модификаций метода возможных направлений;
4) выбор лучшего полученного локального максимума в качестве приближения к глобальному максимуму задачи .
Для построения крайних точек ui є D в работе используется дерево т возможных размещений кругов в области P. Конечные вершины этого дерева определяют системы уравнений, формирующие некоторое подмножество крайних точек из d [9]. Однако весьма значительное множество вершин дерева т символизирует несовместные системы.
Дерево решений имеет n уровней (по количеству рассматриваемых кругов). Корню дерева ставится в соответствие пространство R3n . Вершинам каждого s-го уровня дерева соответствуют системы уравнений, решение которых (в случае совместности системы) определяет параметры размещения кругов Q, i=1,2,...,s.
Размещение кругов в P по дереву Т в общем случае не соответствует локальному максимуму целевой функции, но оно является некоторым приближением к ближайшему максимуму.
5. Поиск крайних точек модифицированным методом сужающихся окрестностей
Так как число крайних точек, которые описываются деревом Т, значительно больше n!, то даже для решения примеров средней сложности подход, основанный на полном переборе конечных вершин
РИ, 2005, № 1
59
дерева, не пригоден из-за своей вычислительной сложности. Поэтому для решения задачи предлагается применить способ поиска приближения к глобальному максимуму u , состоящий из направленного перебора методом сужающихся окрестностей крайних точек области D.
МСО направлен на оптимизацию функции, заданной на множестве перестановок из большого числа символов. При этом метод основывается на том, что вид закона распределений значений этой функции априорно предполагается известным. Как следует из названия метода, поиск лучших перестановок ведется в некоторых окрестностях. Выбор центров и радиусов окрестностей, в которых ведется поиск, осуществляется исходя из накопленной в процессе работы метода информации.
В связи с тем, что метод работает с некоторыми окрестностями, для его реализации возникает необходимость в метризации пространства перестановок, лежащих в заданных шарах.
Рассмотрим детально реализацию МСО. На каждом его этапе случайным образом генерируются последовательности чисел
лі = ^in}, i = 1,2,...,X , s = 1,2,...,n .
Значение элемента однозначно определяется числами, которые соответствуют номерам вершин на s—м уровне дерева т . Технология формирования данных чисел основывается на следующей идее. Размещение кругов, выбранное в соответствии с вершинами на верхних уровнях дерева, определяет дальнейшее размещение оставшихся кругов и, соответственно, окончательный результат. Исходя из этого, каждому уровню дерева T ставится в соответствие весовой коэффициент 1/s, который позволяет придать наибольший вес вершинам первых уровней. Тогда номерам вершин каждого уровня ставятся в соответствие числа, полученные умножением номера вершины на весовой коэффициент * 2
1
s(Ps -1)
где s — номер уровня дерева, ps — коли-
чество вершин, которые порождены на уровне s одной из родительских вершин уровня S—1. Тогда
1
2
Ps
S(Ps -1) S(Ps -1) S(Ps -1)
а разница между числами, соответствующими номерам последней и первой вершин на s — м уровне, будет равна весовому коэффициенту этого уровня.
Последовательности л і формируют некоторое комбинаторное множество п . Введем на множестве п евклидову метрику p(x, y) = ||x - у||. Тогда диаметр множества п будет равен
б(П) =
1
Ps
l=11 s(Ps -1) s(Ps -1)
n 11 El1
s=1V s
2
2
60
а минимальное расстояние между точками этого
1 _
множества будет равно n^ _ 1) . Таким образом,
благодаря введенным весовым коэффициентам влияние на величину расстояния между двумя точками множества П уменьшается от первых элементов последовательностей к последним. Данный факт позволяет в некоторой окрестности с малым радиусом формировать последовательности, которые отличаются от последовательности, являющейся центром этой окрестности, только определенным количеством последних элементов.
Последовательно решая системы уравнений, выбранные на каждом уровне дерева Т в соответствии с элементами последовательности ^i = {л^} є П, мы получим крайнюю точку щ . В случае, если на s -м уровне в вершине, соответствующей числу Лц , система является несовместной либо ее решение дает точку вне D при rs = r, то на этом уровне производится поиск ближайшей допустимой вершины, в которой решение соответствующей ей системы дает точку области D при rs = r. Если такую вершину найти не удается, то на данном s-м уровне выбирается вершина, в которой решение соответствующей ей системы дает точку области D c максимальным значением переменной rs. При этом соответствующий данному уровню дерева элемент л^ последовательности Лі принимает значение, определяемое вершиной, выбранной на s -м уровне. Таким образом, каждой последовательности лі є П ставится во взаимно-однозначное соответствие крайняя точка щ є D .
Оптимизация в соответствии с модифицированным методом сужающихся окрестностей сводится к поиску наибольшего значения функции цели на комбинаторном множестве П и проводится в несколько этапов [7,10]. Первый этап представляет собой “слепой” случайный поиск. Для этого формируется множество П1 с П, содержащее X случайно выбранных равновероятно распределённых элементов множества П. На этом этапе случайным образом генерируются последовательности л і = {л^ , лі2 ,..., ліп } є П, i = 1,2,..., X. В соответствии со сгенерированными последовательностями определяются крайние точки D, среди которых выбираются три точки с наибольшими значениями функции цели. Последовательности л і, соответствующие этим крайним точкам, выбираются в качестве центров л С = {л С, л 2,..., л n }, c = 1,2,3 трех окрестностей. Радиус окрестностей принимается равным б(П).
Все этапы, начиная со второго, аналогичны и отличаются друг от друга только величиной радиуса окрестностей и заключаются в следующем. На каждом і-м этапе формируются последовательности п ij _ {л iji, п ij2 ,. ^ п ijn }, лежащие в окрестности центра лС , в соответствии с которыми вычисляются крайние точки uj є D, c = 1,2,3, і = 1,2,..., у, j = 1,2,..., X .
РИ, 2005, № 1
Выбор перспективных последовательностей (центров новых окрестностей) в исследовании основывается на вероятности получения больших значений функции цели. На практике точно посчитать её не представляется возможным, так как пока не найдено строгого закона распределения значений функции цели.
Очевидно, что критерий качества последовательности зависит как от выборочного математического ожидания, так и от выборочной дисперсии значений функции цели в рассматриваемой окрестности. Для случая нормального либо логнормального закона распределения при одинаковом математическом ожидании для различных центров окрестностей вероятность получения большего значения целевой функции будет для центра с большей дисперсией [10]. В данном исследовании критерий выбора центров основывается на предположении о нормальном законе распределения значений целевой функции и зависит от величины наибольшего полученного значения целевой функции (1), а также от величины тС (Fn (uj)) + кстС (Fn (uj)), где mc (Fn (и;с)) и о С (Fn (и;с)) —соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение значений целевой функции, соответствующих случайно выбранным последовательностям л С в окрестности c центром тсс на i-м этапе (параметр о < к < 3 определяется эмпирически в процессе вычислений). Поэтому при переходе к i = у +1 этапу в качестве центров новых окрестностей принимаются: 1) последовательность, которая соответствует крайней точке с наибольшим значением целевой функции:
~ = argmax{Fn (u^) : c = 1,2,3;i = 1,2,...,у; j = 1,2,...,X};
2) центр тсС , в окрестности которого была получена последовательность, соответствующая точке ~;
3) центр тс С, в окрестности которого была получена наибольшая величина mc (Fn (uj)) + кстc (Fn (uj)), c = 1,2,3 .
Если Fn (ui_1) < Fn (ui), то при переходе к i+1 этапу
1
радиус окрестности увеличивается в _ раз, иначе
Р
— уменьшается в р раз (0 < р < 1). Значение параметра р влияет на скорость сходимости процесса и, следовательно, на время решения задачи. Однако слишком малое значение р приводит к плохому решению. Вычислительный опыт показывает, что наиболее приемлемым является рє [0.9,0.95].
Таким образом, оптимизация модифицированным МСО осуществляется на множестве п с начальным
радиусом, равным R = фП) до тех пор, пока либо радиус окрестностей не достигнет установленного минимального значения РфП) (параметр р опре-
деляется экспериментально), либо число одинаковых крайних точек в окрестности не превысит 80% от числа всех крайних точек.
В процессе работы модифицированного МСО в окрестностях центра, который изменяется, среди всех полученных крайних точек выбирается точка u t с наибольшим значением целевой функции (1). В итоге, в результате работы МСО будет получено 5 таких крайних точек, причем величина 5 будет зависеть от количества переходов к новым центрам окрестностей. Каждая из выбранных таким образом крайних точек ut, t = 1,2,..., 5 затем берется в качестве начальной точки для поиска локального максимума u*.
Поиск локальных максимумов производится в соответствии с одной из модификаций метода возможных направлений [11, 12].
* *
В итоге точка u = argmax{Fn(ut): t = 1,2,...,5} выбирается в качестве приближения к глобальному максимуму задачи.
6. Формирование последовательностей, находящихся в окрестности центра
Число l формируемых последовательностей в каждой из окрестностей должно обеспечивать отсутствие значимых отклонений получаемых результатов от применяемой гипотезы о нормальном законе распределения значений целевой функции [10]. Поэтому в работе количество элементов случайной выборки определяется эмпирически и принимается 1=100. В случаях, когда невозможно обеспечить отсутствие значимых отклонений, количество бросков выбирается в зависимости от имеющихся возможностей компьютера.
Для того чтобы при случайной выборке обеспечить равновероятность выбора элементов некоторой окрестности Ni (7тС) радиуса R относительно расстояния до центра тсС этой окрестности, выбирается случайно величина радиуса Ro в интервале [Rmm,R] для каждого элемента выборки (Rmm — величина минимального радиуса, который обеспечивает отличие формируемых последовательностей). Тогда точка окрестности N і (ті С) ищется в окрестности Ni0 (7ІС) с N і (ті С) радиуса R0. Последовательность п С множества П, которая принадлежит окрестности Ni0 (тіС ) с центром ^С , можно выбрать в соответствии со следующим алгоритмом:
1) j *С;
2) формируем множество S = {st} ,
t = 1,2,...,(n- sj +1), где значение элемента sj выбирается из условия: — ---— ^(R0 -р(лС;я^));
s1(Psi -1) j
3) вычитаем из множества S множество G ранее выбранных элементов множества S ;
РИ, 2005, № 1
61
4) если множество S не пусто, то переходим к п.5, иначе формирование последовательности л Я заканчивается;
5) с помощью генератора равновероятно распределённых целых чисел выбираем элемент st = k из множества S;
ґ\ _С С
6) на место элемента я- последовательности л - с индексом k ставим случайно выбранный элемент из множества
Gi =
Р ~ ti k(Pk -1)
P ~ 1 . P +1 . . P +12 I
k(Pk -1) ’ k(Pk -1) k(Pk -1) J ’
P
где
- значение элемента последователь-
k(Pk -1)
ности n С с индексом k; числа t1 и t2 выбираются из условий: p-11 > 1 , t1 <(R0-р(лc;лС));
P-12 ^Pk, t2 <(Ro-pfrС;тсС));
7) включаем элемент st = k в множество G ;
8) если р(лС;тсС) < Ro , то переходим к п.4, иначе формирование новой последовательности заканчивается.
7. Пример решения задачи
Даны круги радиуса r = 28 и многоугольник Р, представленный координатами его вершин:
V01 = (30,400), V02 = (190,470), V03 = (300,470), V04 = (450,400), V05 = (520,310), V06 = (540,150), V07 = (340,30), V08 = (120,85) , V09 = (10,250).
Результат решения задачи (1) при n = 56 показан на рис. 1.
Рис.1. Решение задачи упаковки кругов, n=56
Координаты центров кругов
i 1 2 3 4 5
1- xi 509,80 495,96 445,26 366,20 447,40
5 Уі 165,77 276,52 360,47 78,38 304,46
6- xi 203,83 414,22 148,43 151,30 448,42
10 Уі 441,99 107,20 106,76 422,50 246,83
11- xi 99,99 399,34 311,53 111,23 53,98
15 Уі 400,05 392,67 65,99 148,65 368,02
16- xi 497,92 257,17 70,16 348,57 125,72
20 Уі 220,53 79,57 210,23 416,43 202,78
21- xi 450,43 166,12 397,85 462,29 350,68
25 Уі 190,81 159,94 330,65 136,04 132,23
26- xi 39,17 199,86 193,63 98,36 402,38
30 Уі 256,90 386,07 208,79 333,86 161,94
31- xi 250,24 400,38 399,28 350,43 296,03
35 Уі 410,55 217,95 274,61 360,458 119,91
36- xi 46,58 155,75 352,87 94,71 220,50
40 Уі 312,46 250,09 188,20 264,42 146,34
41- xi 271,21 350,07 149,56 247,01 210,38
45 Уі 170,17 301,41 361,34 354,59 262,56
46- xi 351,50 300,82 304,00 253,04 297,80
50 Уі 245,37 328,10 215,63 298,85 440,13
51- xi 248,26 299,64 198,52 146,66 302,01
55 Уі 221,28 384,12 326,54 305,39 271,65
56 xi 202,78 - - - -
Уі 93,18 - - - -
Результат решения задачи (1) при n = 57 показан на рис.2.
Рис. 2. Решение задачи упаковки кругов, n = 57
При этом r51=26,52426<r, r52=27,38162<r, r54=26,71872<r, r56=25,7446<r, r57=23,80136<r, т.е. F57 (u*) < 57 • 28 = 1568 .
Таким образом, в рассматриваемом примере решение задачи упаковки кругов радиуса r = 28 в заданной области p достигается при n = 56 . Время работы программы — 3 ч 42 мин.
При этом r = r = 28, i = 1,2,...,n , т.е. Выводы
F56 (u ) = 56 • 28 = 1568. Координагыценгров упако- Новизна. Впервые построена математическая мо-
ванных кругов представлены в таблице. дель задачи упаковки равных кругов в выпуклый
многоугольник на основании Ф—функций. Впер-
62
РИ, 2005, № 1
вые предложен подход к решению задачи, основанный на комбинации метода сужающихся окрестно -стей и метода возможных направлений. Данный подход позволяет получить приближение к глобальному экстремуму задачи.
Научные и практические результаты. Построенная математическая модель задачи упаковки кругов и разработанный метод ее решения существенно развивают известные методы. Предложенный в статье подход к решению задачи может быть использован при решении многих многоэкстремальных задач, связанных с размещением геометрических объектов, в том числе задач, которые требуют организации перебора многочисленных локальных экстремумов.
Программный продукт, разработанный на основе предложенного метода решения задачи, может быть использован в качестве функциональной части систем автоматизированного проектирования карт раскроя промышленных материалов, при создании малоотходных технологий, при размещении объектов цилиндрической формы в определенной области (например, при захоронении цилиндрических контейнеров с токсическими и радиоактивными отходами, при транспортировке грузов, при хранении запасов), а также во многих других прикладных задачах.
Сравнение с аналогами. Результаты исследований литературы и ресурсов Internet показали, что различными авторами решались задачи упаковки кругов только в квадратной и прямоугольной областях. Как правило, для решения этих задач использовались эвристические подходы. Задача упаковки кругов в выпуклый многоугольник имеет более сложную математическую модель и ранее не рассматривалась.
УДК 658.562.3
МЕТОДИКА ВИЗНАЧЕННЯ КЛЮЧОВИХ ПОКАЗНИКІВ ПРОЦЕСІВ СИСТЕМИ УПРАВЛІННЯ ЯКІСТЮ
BITKIH Л.М. , XIMI4EBA T.I.______________
Розглядається питання визначення ключових показників, що описують взаємодійні процеси, з яких складається діяльність організації. Пропонуються підходи з застосуванням матричного аналізу та теорії графів для формалізації виділення вхідних, проміжних і вихідних показників процесів. Це дає змогу здійснювати ефективний контроль і управління процесами організації відповідно до вимог міжнародного стандарту ISO 90012000.
Згідно з процесним підходом, визначеним у [1], моніторинг за належним функціонуванням ключових процесів, з яких складається діяльність організації та на яких базується модель системи управління якістю (СУЯ), передбачає спостереження за системою показників, що характеризують кожен із зазначених процесів. При цьому слід
РИ, 2005, № 1
Литература: 1. Stoyan Yu. G., Yaskov G. A mathematical model and a solution method for the problem of placing various-sized circles into a strip //European journal of operational research. 156, 2004. Р. 590—600. І.Рвачев В.Л., Стоян Ю.Г. Задача оптимального размещения круговых заготовок //Кибернетика. 1965. №3. С. 77-83. 3.LocatelliM, Baber U. Packing equal circles in a square: a deterministic global optimization approach // Discrete Applied Mathematics 122, 2002. P. 139166. 4.StoyanYu. G. Ф-function and its basic properties // Доп. HAH України. 2001. №8. C.112-117. 5.StoyanY, TemoJ, Scheithauer G, Gil N., Romanova T. Ф-functions for primary 2D-objects. // Preprint MATH-NM-15-2001, Technical University of Dresden, 2001. 6. Stoyan Y., Scheithauer G, Gil N, Romanova T. Ф-functions for complex 2D-objects. // Preprint MATH-NM-2-2002. Technical University ofDresden, 2002. 7. Stoyan Yu., Yaskov G, Scheithauer G. Packing of various radii solid spheres into a parallelepiped. //Preprint MATH-NM-17-2001, Technical University of Dresden, 2001. 8. Пападимитриу X., Стайглиц K Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 512 с. 9. Стоян Ю.Г, Аристова ИВ., Яськов Т.Н. Адаптация метода ветвей и границ для решения задачи размещения прямоугольников с учетом минимально и максимально допустимых расстояний. Харьков: Препр. НАН Украины. Ин-т пробл. машиностроения; № 384, 1995. 35 с. 10. Стоян Ю.Г., Соколовский В.З. Решение некоторых многоэкстремальных задач методом сужающихся окрестностей. Киев: Наук. думка, 1980. 208 с. 11. PolakE. Computation methods in optimization. New York and London: Academic Press, 1971. 329 p. 12. Зонтендейк Г. Методы возможных направлений. М.: Изд-во иносгр. лит., 1963. 176 с.
Поступила в редколегию 27.01.2005
Рецензент: д-р техн. наук Гиль Н.И.
Чугай Андрей Михайлович, аспирант отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАНУ им. А.Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Дм. Пожарского, 2/10, тел. раб. (0572) 95-95-36, дом. тел.: 711-98-76.
враховувати, що процеси є взаємопов’язаними і взаємодіючими між собою. Відповідно до методології процесного підходу виходи одного процесу є входами іншого. Стандарт [1] вимагає також опису взаємодії між процесами.
Можна зробити припущення про те, що показники, які описують взаємопов’язані процеси, також пов’язані між собою. Можливі два варіанти зв’язку між показниками процесів. Перший — прямий, якщо при визначенні значення показника одного процесу використовується значення показника іншого процесу. Другий — опосередкований, якщо на значення показника одного процесу впливає значення показника іншого процесу.
Мета дослідження — оптимізувати контроль і управління ключовими процесами діяльності організації на основі контролю за відносно невеликою кількістю так званих проміжних показників.
Постановка задачі
Надамо роз’яснення на прикладі трьох процесів, кожен з яких характеризується двома параметрами: температуроюt та тиском D(t1D1,t2D2,t3D3). Виходи першого процесу є входами другого, а виходи першого і другого — входами третього. Розглянемо
63
