Особенности передачи механических воздействий в механических цепях с ограниченным числом степеней свободы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Упырь Р.Ю., Насников Д.Н., Логунов А.С.

УДК 656.001

ОСОБЕННОСТИ ПЕРЕДАЧИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ В МЕХАНИЧЕСКОЙ ЦЕПИ С ОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Для многих технических приложений важным является описание положения в пространстве каждого элемента системы. Наиболее распространенный прямой метод такого определения заключается в использовании в качестве координат перемещений отдельных элементов. Будем полагать, что элементы механической цепи достаточно плотно заполняют пространство, чтобы при конечном числе элементов было обеспечено непрерывное заполнение при известной геометрии механической цепи.

Когда исследуется вопрос о продольных колебаниях стержня с выделением так называемых элементарных частиц, естественно предполагать непрерывное распределение, которое невозможно представить конечным числом индексов или величин. Но тем самым мы, можем быть, снимаем и саму возможность возникновения и реализации движения [1]. Во всяком случае, математические модели, связанные с элементарными представлениями, должны оставлять место для реализации естественных движений, иначе процедуры обобщения или интеграции могут в физическом смысле привести к устранению возможностей развития каких-либо движений. Хотя можно, по-видимому, ставить вопрос о других формах проявления силовых или динамических взаимодействий [2].

Пусть х, у,г будут декартовыми координатами центра тяжести элемента механической цепи, находящейся в статическом равновесии. Если обозначить р (х, у,г) плотность массы в элементе, то этот элемент будет обладать массой ёт = р(х, у,г^ёУ, т.е. можно полагать, что элемент механической цепи является материальным объектом, имеющим объем ёУ. Пусть

и,у и ш являются тремя компонентами перемещений центра масс элемента относительно положения равновесия. Эти компоненты зависят от положения центра тяжести элемента в пространстве и от времени

и -и(х,у,г,£),

У -У(х,у,гЛ), (1)

ш -х,у,гД).

Эти функции перемещений могут рассматриваться как координаты механической системы. Переменные х, у, г используются для фиксирования положения рассматриваемых элементов механической цепи.

При конечном числе элементов механической цепи мы будем иметь конечное число степеней свободы. Если число элементов механической цепи будет возрастать до бесконечности, то одновременно будем предполагать уменьшение параметров элемента цепи до материальной частицы, что при заданных представлениях о конечных размерах механической цепи можно представить как предельный переход к упругому стержню.

Вопрос об исчислимости, представляет интерес, так как с каждой степенью свободы связано представление о собственной частоте. Если число степеней свободы исчислимо, то собственные частоты дискретны; их можно расположить в определенной бесконечной по-следовательностию1 ,ю2 ...юп .Под «исчислимос-тью» будем подразумевать то, что система элементов цепи может быть поставлена в однозначное соответствие с числами 0,1,2,3...Мож-но показать, к примеру, что рациональные числа исчисляемы, тогда как число точек на отрезке линии неисчислимо.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Координаты ы,у и ж, однако, не являются полностью независимыми и объединяются некоторыми связями. На границах, где механическая цепь находится в соприкосновении с основанием (система отсчета) или иной средой, функции перемещения (так их можно условно назвать) подчинены некоторым зависимостям, которые часто [1] называются граничными или краевыми условиями. Такие понятия, используемые при рассмотрении колебаний упругих тел, предстоит интерпретировать в отношении механической цепи как системы элементов с упругими связями.

На перемещения точек внутри механической цепи можно наложить зависимость иного типа, а именно: требования, чтобы функция перемещений была непрерывной и дифференцируемой несколько раз относительно пространственных координат.

Пока в этом плане имеется трудность, поскольку функцию перемещения предстоит только определить.

Надо учесть также необходимость введения ряда допущений. К примеру, при определении формы упругой линии, деформируемой механической цепи можно предположить, что в системе реализуется однонаправленное движение, а также и то, что точки данного поперечного сечения перемещаются совместно, как некоторая жесткая плоскость (тело двигается прямолинейно в направлении координа-тыи).

Функция перемещения может рассматриваться как сумма бесконечного ряда данных функций. Например, для описания формы упругой линии деформированной балки, свободно опертой по концам, можно использовать тригонометрический ряд

шх

w

= Х gn

виде механических цепей с соответствующими интерпретациями параметров цепи.

ГОпределим частоты и формы главных поперечных колебаний однородной балки длиной./, шарнирно опертой по концам и нагру-

1 2

женной в точках х = — 1 и х - — 1 двумя равными грузами веса С. Момент инерции поперечного сечения балки -I, модуль упругости -Е, массой самой балки можно пренебречь (рис. 1).

Для получения общего решения задачи, предполагающего действие различных грузов С1 и С2, будем полагать также, что точки приложения грузов С1 и С 2 определяются как 11 и 13 (рис.1).

Принимая у 1 и у 2 за обобщенные координаты, определяющие отклонения грузов от положения равновесия, найдем кинематическую энергию как

1 .

(3)

2 (mi у 2 + т2 у 2 ).

Т =-! 2

Потенциальная энергия системы находится как сумма потенциальных энергий упруго-деформированной балки П1 и потенциальной энергии П 2 грузов С1 и С2 в поле силы тяжести:

1 11 1

П = 1Р1 (/1 + у)- ^ /1 + / + У 2 )-1^2° /1, (4)

где

(5)

Р1 = С11 (/1 + У1 )-С12 (/2 + У2 );

Р2 = С22 (/2 + У2 )-С21 (/1 + У1 ); коэффициенты с11,с12,с21,с22 зависят от жесткости балки при изгибе и положения грузов

sin-. (2)

n=i I

Выбирая систему величин для коэффициентов g 1 ,g2 ,...gn...,число которых (для упругой балки) бесконечно, но исчислимо, можно единственным образом определить деформацию балки. Однако в отношении системы с конечным числом степеней свободы необходимо учитывать ряд особенностей. Таким образом, система величин q может рассматриваться как обобщенные координаты системы [1]. Отметим, что при рассмотрении практически всех видов колебаний балок (продольные, поперечные, крутильные) можно построить аналоги в

Рис. 1. Принципиальная схема балки, совершающей поперечные колебания и имеющей два сосредоточенных груза.

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ ПОДХОДЫ В ИССЛЕДОВАНИЯХ

на балке и определяются по известным формулам [3,4].

Прогибы балки в месте расположения грузов при равновесном положении системы обозначаются Л1 и /2, поэтому

Р0 = с / - с / = С •

Р1 с11 Л1 с 12 Л 2 С 1'

Р0 = с Л - с Л = С

Р2 с 22 Л 2 с 21 Л1 С 2.

(6)

Так как потенциальная энергия грузов С1 и С2 в поле силы тяжести

П 2 =-Су 1 - С 2 у 2, (7)

то для вычисления всей потенциальной энергии системы получим

Рис. 2. Структурная схема системы, соответствующая уравнению.

1 После соответствующих преобразований

П=П 1 +П2 = ^[Р1 (Л1 + у 1)+ Р2 (Л2 + у2 )]- уравнение частот (11) получает вид

1

- 2 (С1 Л1 + С 2 Л2 )-С1 У1 - С 2 у 2.

Подставляя в (8) Р1 и Р2 и учитывая условия равновесия системы

1)

к

д

С1 - С 2

(С„С 2 + с 22 С1 )к'

д

'дПЛ

4С1С 2

[4С11С22 (С12 - С21 ) 2 ]= О,

(12)

2)

ду 1

'ш

Чду 2 У О

1 — — = 2 (с12 -с21 )Л2 = 0;

откуда

= 2 (С21 -С12 )Л1 = 0

А?,2 =

д

2СС

С11С2 + Л2С22С1 ±

окончательно получим

П= 1 ' 2

- „2 оС12 +С 21

Си у 2 - 2-

V

2

у 1 у 2 + С 22 у 2

(9)

(13)

Так в нашем случае

с11 = с22, с12 = с21,/1 = /2,С 1 = С2 = С,то

Имея выражения Т и П, определяем значения коэффициентов инерции и жесткости системы

^ п о2

а11 = т1 =—а12 = 0. а22 = т2 =—

к'2 = д(си -сп ); А22 = ^(си + сп ). (14) СС

Зная к1 и к2, определим значения коэффициентов распределения

_ Сд(сп -с12)

д /тт

g = 9.81 м / сек2, с11 = с11 ,

С12 + С 21 — с =-——-— • с = С

12 2 ' 22 с

с11 - Д11 к1 с12 - Д12 к1

дС

' с,., + с, л

= + 1. (15)

22

2

__с11 Д11 к 2 __1 Ц „ 1.

с12 Д12 к2

(16)

Получим систему дифференциальных уравнений и ее структурную схему (рис. 2)

Д11 у 1 +с11 у 1 +с12 у 2 = 0 I (10) Вычислив значения коэффициентов рас-

Д22 у 2 + с21 у 1 + с22 у 2 = 0] пределения ц 1 и ц 2, получим формы главных

Уравнение частот имеет вид поперечных колебаний балки (рис. 3)

(сп - Дп к 2 )(с 22 - Д 22 к 2 )-(с!2 - Д12 к " ) 2 = 0 (И) д (1)

Ц1 = °

\ / \ , x 2

С1

А (2)

или

с„ к2 д

с С 2 > с 22 к2 - Г_ ^ +с л > +С 21

2 У

д у V

А ,(1)

2 = + 1, Ц2 = ^ = "1- (17)

= 0.

В нашем случае

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

_ - 1296 Е1 _ _ 1134 Е1

п — п — 1 • п — п --

5 13

5 13

к1 = 5,69

Е1д

к 2 = 22,°4

Е1

С13 \С13

При вычислении коэффициентов распределения, обращаясь к структурной схеме на рис. 3, и предполагая, что возмущение носит силовой характер (Т.1, рис.3), можно получить передаточные функции, используя правила структурных преобразований:

(18) (19)

У^ = £21_

р А

2

= Щ 2 Р + с 22

Р

А

где А = (т1 р2 + сп)(т2р2 + с22)-с12с21.

Если р приложено в точке (2) (рис.3), то

У^ = щ р2 + сп . р

У1

А

__.дА_

р А ■

Откуда можно найти, что сп + Щ р2

°) (21)

двух элементов (рис.4), для которой к ° + к1 = си, к1 = с12 = с 21, к2 + к1 = с 22,а11 = т1,а22 = т2. Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ представлена на рис. Рис. 5.

Выражения для коэффициентов распределения могут быть аналогичным образом получены также из структурной схемы на рис. 5; по форме они совпадают.

Соединив прямыми линиями неподвижную точку ° с концом амплитуды груза С1, а также концы амплитуд грузов С1 и С2 между собой, получаем график, позволяющий определить амплитуду колебаний любой точки пружины. График, изображающий форму второго главного колебания, показывает, что одна точка верхней пружины имеет амплитуду, равную нулю. Такая точка называется «узловой

Ц 1,2 -(22)

с 22 + т 2 р

Физический смысл коэффициентов распределения заключается в том, что они представляют собой отношение выходных обобщенных координат на структурной схеме в области преобразований Лапласа при задании на входе последовательно в точках (1) и (2) (рис. 3) силового внешнего воздействия (единичного в частности).

Принимая за основу уравнение (11), отметим, что расчетной схеме на рис.1 можно сопоставить эквивалентную в динамическом отношении цепную механическую цепь из

Рис. 4. а)- расчетная схема цепной системы с двумя степенями свободы, б) - формы главных колебаний.

Рис. 3. Формы главных колебаний для балки, Рис. 5. Структурная схема ^и^ентаот

представленной на рис. 1. САУ для расчетной схемы на рис. 4.

точкой или узлом». Таким образом, первое главное колебание системы на рис. 4 не имеет узла, а второе — имеет один узел.

Сравнивая две расчетные схемы на рис. 1 и рис. 4, можно отметить их эквивалентность, однако, интерпретация особенностей требует учета ряда факторов. На рис. 3 наглядно представлены формы колебаний в виде фрагментов тригонометрических функций, что открывает возможности использования интегральных обобщений. Что касается форм колебаний на рис. 4б, то предстоит физически осмыслить, с какой картиной распределения отклонений придется столкнуться при интегральных обобщений, хотя можно поставить вопрос и иначе в плане представления механической цепи соответствующей балкой с конечным числом грузов для нагружения.

Во всяком случае колебания механической цепи должны рассматриваться с учетом линейных параметров (длин пружин, расстояний между колеблющимися массами). В свою очередь длина пружин в суммарном представлении будет определять время и скорость распространения возмущения по механической цепи или параметры волновых процессов [5].

II. Непосредственное использование 2-ого закона Ньютона к элементу механической цепи (механическая система, материальных тел с упругими связями) дает уравнения

Pд^UdV = л; pд^VdV = dfy, dV = dfz,

дt2 * дt2 у сЛ2 z

где СЛХ ,СЛу ,dfz - силы, действующие на элемент механической цепи, имеющий элементарный объем СУ. При свободных колебаниях ими являются упругие силы, обусловленные деформацией механической цепи. Они связаны с и,у и ш законами упругих деформаций, которые связывают силы с напряжениями, напряжения с деформациями, деформации — с перемещениями. Если обратиться к теории упругости, то надо принять во внимание на зависимость сил от перемещения.

В принципе такие уравнения имеют следующую форму:

д2 и т ( \ Ртгг =Ьх (и^);

дt

д2 V

= 1у (^);

дt

д2 ш ' дt2

(23)

где Ь - является линейным дифференциальным оператором, включающим частные производные относительно пространственных переменных различных порядков

( - - л

Ь = Ь

упругие постоянные.

V

ддд дх ду дz

Отметим, что время t не входит в явном виде в правую часть.

Такие дифференциальные уравнения в частных производных являются, по-существу, формулировкой закона движения Ньютона и закона упругих деформаций Гука с соответствующим учетом распределения масс и упругих свойств механической цепи. Однако необходимо принять во внимание и ряд других условий. Первая система условий может быть названа граничной. Они определяют характер взаимосвязи механической системы с основанием, а также характер связи механической системы с другими формами и проявлениями внешней среды.

Такая постановка задачи необходима для определения характера (общих свойств) колебательного процесса или движения, которые может иметь механическая цепь или система. Если возникает задача конкретных параметров движения, то необходимо ввести в рассмотрение начальные условия, которые характеризуют перемещение и скорости в некоторый момент времени t = 10.

При колебаниях механической цепи каждый фрагмент цепи попеременно испытывает растяжение и сжатие. Если поперечные движения цепи (а также кручение) малы, то инерционные силы будут направлены вдоль продольной оси. Отметим, что связь между упругими силами и перемещениями, обусловленными продольными силами, будут определяться законом, имеющим тот же характер, что и закон Гука:

ди

5 х = Бе х = Б —,

дх

(24)

где 5,е и Б являются напряжением, деформацией и модулями Юнга. Можно, в частности, предположить, что общий характер взаимодействий в механической системе сохранится, хотя в первом случае, будет рассматриваться механическая цепь с ограниченным числом степеней свободы, а во втором — упругая балка (рис. 6).

Используя (24), запишем условия равновесия элементарного участка балки между попе-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

речными сечениями, расположенными на расстоянии dx друг от друга:

pA

d2 u

д_ dx

EA

du

(25)

Рис. 6. Принципиальная схема силовых взаимодействий на элементарном участке балки (А -площадь сечения).

■ в случае защемленного конца перемещения равны нулю

дг2 дx ^ дx

Для стержня с постоянным поперечным сечением уравнение (25) примет вид

^ = (26)

дг2 р дх2

На схеме, представленной на рис. 6, 5хА -представляет собой силу, приложенную к выделенному элементарному участку стержня с поперечным сечением А. Если рассматривается механическая цепь, то элементарный участок ассоциируется с фрагментом механической цепи в виде твердого тела (или материальной точки), на который действует упругая сила. При рассмотрении продольного стержня эта упругая сила зависит от координатых, способной изменяться вдоль длины стержня. В случае механической цепи вопрос о том, каковы будут упругие силы, действующие на фрагмент механической цепи, требует дополнительного изучения. Будут ли эти силы зависеть от х (рис. 6), физический смысл которого заключается в том, что упругие силы, действующие на элементарный участок, локализованы, они различны при различных значенияхх, то есть изменяются по длине стержня. Характер перемещений элементарного участка определяется не только временем, но и зависит от того, в каком месте балки он находится. Упомянутая особенность очень важна для изучения совместимости математических моделей, описывающих продольные колебания стержня и механической цепи, состоящей из ограниченного числа элементов.

При рассмотрении математической модели стержня необходимо учитывать граничные условия:

u = 0;

(27)

■ в случае свободного конца равны нулю напряжения

di = о.

dx

(28)

Если на конце стержня сосредоточена масса М, то возникающая сила инерции и упругая сила должны находиться в равновесии

л, d2 u „ .du _ M—-+EA — = 0;

dt2 dx

(29)

если на конце имеется пружина с жесткостью к, то в равновесии должны находиться две упругие силы:

ku + EA — = 0.

dx

(30)

В уравнениях (26), (27) имеются особенности в физической интерпретации и и —. С

дх

одной стороны, и зависит от координаты х и одновременно зависит от времени г; рассматриваемая точка характеризуется координатой х; в этой точке развивается процесс, зависящий от времени. В уравнении (3°) учитывается то обстоятельство, что конечная точка стержня через пружину к соединена с неподвижным основанием; в то же время со стороны всего стержня действует сила, формируемая некоторой, условно ее называемой пружиной

ди ди

с жесткостью —. Параметр — изменяется по

dx

dx

длине стержня. Можно предполагать, что —

dx

будет равен некоторой константе, тогда стержень, с учетом таких обстоятельств, будет соответствовать линейной пружине.

Каждое из граничных условий (29), (30), когда оно справедливо, относится только к одному значению величиных, но при любом значении t [1]. Это очень важно, если переходить к системе с конечным числом степеней свободы. Упомянутые граничные условия являются линейно однородными.

III. Имеет смысл несколько отклониться, чтобы сравнить формулировку этой задачи с подобной же задачей, в которой распределе-

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ ПОДХОДЫ В ИССЛЕДОВАНИЯХ

ние масс не является непрерывным. Рассмотрим систему, состоящую из п масс, а* и* и> ияч а° и"н т1, т2,..., тп, связанных п +1 пружинами

к0,к1,к2,...,кпв непрерывную цепь. Если все связанные массы могут перемещаться только вдоль прямой линии, причем и1,и2,...,ип являются соответствующими перемещениями, то Рис. 7. Механическая цепь с конечным числом уравнение движения г -ой массы запишется: степеней св°б°ды.

и0 и2 и, и ип

I А, I А, I 1 нп

е ^ЛVVЧ>vWvЧ>^WvЧ>----

О т* Щ т3 171 п-1 Мп

т

С2 и.

сг

г =1,2,..., п.

2т=К (и+1-и)-к-1 (и -и-1);

Однако вернемся к уравнению (33), кото-(31) рое можно переписать в виде

с!2 щ

т

г сг

Г = к (иг +1 -Щ )-к-1 (иг -Щ-1 ). (36)

В этом общем выражении и0 и ип+1 являются перемещениями крайних точек двух

крайних пружин. Используя обозначения Предполагая, что силовые взаимоде-

дифференциальных уравнений, получим сис- йствия в цепной системе могут выходить за

тему рамки ближайшего окружения тг , определим

У 11

значения к1 и к1 -1 как суммарные жесткости

Ди = и - и ' цепочки пружин, находящихся в последова-

дЩ =Щ и ; (32) тельном соединении и слева и справа от эле-

щ-1 = Щ Щ-1; ( ) ментат{ [5]. Уравнение (36) можно переписать

Д( к Д щ )= к Д щ - к-1Д щ-1; в виде

отсюда общее уравнение получает вид

т =Д(кг Ди), г =!,2,...,п.

Если все к равны, то можно записать:

т ^=- и г ( а; + к;+1)+ащ+1 + к^ щ-1. (37)

(33)

с2 и,- к

с!г5

т

Д2щ , г =1,2,...,п.

Предполагается, что к( и к{ +1 могут быть найдены с использованием схем замещения, показанных на рис. 8.

Расчет жесткостей замещения можно представить [5] следующими общими форму-(34) лами

к1 'к 2

Эти уравнения соответствуют дифференциальным уравнениям в частных производных (25) и (26).

Описание этой системы, так же как и в случае дифференциальных уравнений, неполно, если нет сведений о двух крайних пружинах, которые образуют цепь. Например, если один из концов пружины кп закреплен, мы можем дополнительно записать, что ип+1 = 0, а если один из концов пружины полностью свободен, то

к=

А + к 2 У

• к

к' --А;+1 =

к1 к 2

к1 + к 2

' кп • кп-, Л

кп + кп-1

-и т.д., включая к1, (38)

+к

•к

г кпкп-1 кп + кП

и т.д., включая к1. (39)

)+кп - 2

ип +1 - ип =Дип +1 =

(35)

Эти условия соответствуют граничным условиям дифференциального уравнения в частных производных.

Рис. 8. Схема замещения пружин в цепи.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Что касается второго и третьего членов уравнения (37), то они отражают в соответствии с (37) упругое взаимодействие с элементами по координатам щ+1 и щ _1, тогда можно было бы определить приведенные параметры в следующем виде:

К+1'к+2 |. ^ к„ к + Vкi + 1 + К + 2

к к

I + 1 \ + 2 | + к

и т.д., включая кп, (40)

Рис. 9. Расчетная схема цепи с двумя степенями свободы.

к 1 — к,- 1 + ■

г к • к л

К - 2 к - 3 V к1 - 2 + к1 - 3 У

1 -1 ' к к Л

к1 - 2 к - 3 V к1 - 2 + к1 - 3 У

(41)

+к

т

d2 и.

— -и.

к1 'к 2

к1 к 2

( Г к к Л

кп кп -1 к + кп -1

и т.д.

кп (кп-! )

кп + кп -1.

и т.д.

к. , к. 0 I +1 I + 2

к

к

к. V 1 + +к 1 1 + 2

к. г 1-1 к1 + 2 ^

К+1 + К о 1 1 + 2 У

( к - 2 к1 - 3

1 к - 2 + к1 - 3

к - 2 к1 - 3

и т.д.

и т. д.

\ к. 0 + к. 0 I

V I - 2 I - 3 у

к

(2 и,

т, —^ + и.

1 (И2

2 У

т

(2 и2

2

к1 + к

к 0 к1

к 0 + к1

- и 2 (к + к 2) — 0.

- и1 (к1 + к 0 )— 0.

Структурная схема эквивалентной в динамическом отношении САУ примет вид, как показано на рис. 10.

Если определить кинетическую энергию системы в виде

С учетом приведенных выше обстоятельств уравнение (37) в окончательном виде может быть переписано в виде

т 1 -2 1 -2 Т — — т1 щ +—т 2 и 2,

(44)

а потенциальную энергию упругих деформаций соответственно в виде

П— 1 2

кп + к1 к 2

к1 + к 2 У

' к к Л к2 +

к1 + к 0 у

(42)

Если в качестве примера взять систему с двумя степенями свободы (рис. 9), то

(43)

11

-^ (к1 + к0 )и2 -2 (к1 + к2 )и

то использование уравнений Лагранжа II рода приведет к уравнениям, схожим с (39).

Предлагаемый подход основан на представлениях о том, что жесткости упругого взаимодействия элемента механической цепи определяются не только упругими элементами непосредственной близости, но и приведенными значениями жесткостей, которые формируются как последовательные соединения упругих элементов. В такой постановке приведенная жесткость будет зависеть от положения элемента в механической цепи и ее можно экспериментально измерить, построить зависимость, характеризующую закон изменения приведенной жесткости. Этот подход может быть распространен на систему с распределенными параметрами, что в принципе дает возможность найти и(х) аналитическим путем, задавшись соответствующими параметрами распределенной системы (балки, стержня).

Прямое использование для вывода уравнений формализма Лагранжа, естественно

к + 1 + к + 2

I - 4

3

2

и2 -

к

3

к

п - 2

к

п - 2

!+ 3

к

I + 3

I - 4

кх+к2

У" 1 к^ + к0 1 -

2 1 клкъ т>р +к°\Л2 2 7 кпкл т2р +£2+tV 10

Рис. 10. Структурная схема эквивалентной САУ для расчетной схемы на рис. 9.

Рис. 11.Структурная схема механической цепи с дополнительной связью L 2 р2 в параллельной связке с к,.

W =

k1 + k 2

и

l.

приводит к другим результатам, так как выражение для потенциальной энергии системы, формируется на основе других предположений, состоятельность которых требует специального рассмотрения. Одним из выводов, проистекающих из сделанных предположений, является асимметрия, которую можно заметить в структуре перекрестных связей на рис. 10. Если ввести дополнительную связь в исходную систему (рис. 9) в виде типового звена двойного дифференцирования Ь2 р2, то 2. структурная схема эквивалентной в динамическом соотношении САУ приобретает (рис. 11) ряд особенностей, в частности, при выполнении условия

проводимость между парциальными подсистемами.

3.

(45)

4.

5.

которое при блокировании перекрестной связи между и2 и и1 при силовом внешнем воздействии может обеспечивать одностороннюю

БИБЛИОГРАФИЯ

Ким Н. Тонг Теория механических колебаний. Государственное научно-техническое издательство машиностроительной литературы. Москва. 1963. 353 с. Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Колебания и волны. Изд-во УРСС научной и учебной литературы. Москва. 2003.224 с. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Издательство «Высшая школа». Москва. 1986. 607 с. Киселев В.А. Строительная механика. Стройиздат. Москва. 1976. 511 с. Елисеев С.В., Упырь Р.Ю. Об одном подходе определения скорости передачи возмущения в линейных цепных структурах // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. ИрГУПС. Вып. 4(12). Иркутск. 2006. С. 45-52.