CC BY
12
УДК 539.3
В. В. КАРПОВ, докт. техн. наук, профессор,
Д.И. АРИСТОВ,
А.А. ОВЧАРОВ,
СПбГАСУ, Санкт-Петербург
ОСОБЕННОСТИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПАНЕЛЕЙ РЕБРИСТЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ
Приводится математическая модель для исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) и устойчивости ребристых цилиндрических и конических оболочек при динамическом нагружении, когда учитывается геометрическая нелинейность, поперечные сдвиги, сдвиговая и крутильная жесткость ребер, инерция вращения. Представлены результаты исследования НДС панелей таких оболочек.
На основе применения метода Л. В. Канторовича к функционалу полной энергии деформации оболочки при динамическом нагружении [1, 2]
Н
/ =1 (к -п + л)а, (1)
‘о
записанному в безразмерных параметрах, при аппроксимации искомых функций перемещений и(^, п, ‘), V(^, п, ‘), Ж(^, п, ‘) и углов поворота нормали ¥ х (£, п, ‘), ¥ ^ (£, п, ‘) в виде
— N — N
и = Т и (I) X 1(1 )У1(І), V = 2 V (I) X 2(1 )У 2(1),
I =1 I =1
— N — N
Ж = Т Ж(Т)X3(I)¥3(I), ¥х = Т Рї(I)Х4(!)У4(I),
I=1 I=1
— N
¥ , = 2 PN (I) X 5( I )У 5(I) (2)
I=1
получаем обыкновенные дифференциальные уравнения движения
Т [/(I )^1(I, [) + Рї (I) 02^, /)]+ ЛК1(/) = 0;
I=1
Т [( I )03(I, /) + І>іГ (I )04^, /)] + ЛК 2( /) = 0;
I =1
N.. —
Т ж(I)05(I, /) + ЛК3(/) - Р • СР(/) = 0;
I=1
Т [(I)06(I, /) + Р^)07(!, /)] + ЛК4(/) = 0 ;
I =1
Т [(I )08( I, /) + (I) Б9Ц, /)] + ЛК5(/) = 0. (3)
I=1
© В.В. Карпов, Д.И. Аристов, А.А. Овчаров, 2007
В соотношении (1) К - кинетическая энергия системы
К = Р 11[(И + Е)(и2 + V2 + Ж2) + 2Б(Ш>х + УУу) +
2 о о
х1 у1
+
(И3 7^
— + 7 12
(х 2 +^у 2 )] АБёхёу.
(4)
П — А - разность потенциальной энергии системы и работы поперечной нагрузки q (х, у, г)
Е х1 У1 — 2 2 2
Э =П— А =-— ||[(И + Е X8 х + у + 2ц8 х 8 у + Ц1 У ху +
2(1 -ц2) 0 0 5 2 5 2 -
+ 6 Ц1(^х —®1) + 6 Ц:(^у — ® 2 ) ) + 2Я(8 х Х1 +8 уХ 2 + Ц8 хХ 2 +
+ Ц8 у Х1 + 2Ц У ху Х12) +
( иъ >
— + 7 12
(5)
(Х2 +Х 2 + 2ЦХ:Х 2 + 4Ц1Х122) —
— 2——Ц—^ qW ] АБёхёу,
Е
где 8х, 8у, у - деформации; х1, Х2, Х12 - функции изменения кривизны
и кручения; Е, Я, 7 - площадь поперечного или продольного сечения ребер, приходящаяся на единицу длины сечения, статический момент и момент инерции этого сечения; А, В - параметры Ляме поверхности оболочки; точками обозначена производная по переменной г; Е, ц - характеристики материала конструкции 2 = 0,5(1 -ц)); И - толщина обшивки. В соотношении (2) и(I), V(I), ..., РЫ(!) - неизвестные функции переменной
(
=И
V х1 V
(
Е
(1 -ц 2)р
; X 1(1) - X5(I) - известные функции переменной
£ £ =
х
Л
удовлетворяющие заданным краевым условиям при £ = 0, £ = 1;
У 1(1) - У5(1) - известные функции переменной п
( у' п = —
у1
, удовлетворяю-
щие заданным краевым условиям п = 0, п = 1.
В соотношениях (3) В1 - В9, СР - известные коэффициенты; АК1(7) -АК5(7) - нелинейные выражения от искомых функций и (I) - РЫ(I); Р -
безразмерный параметр нагрузки
Р =
д*1 еи 4
4 Л
. В дальнейшем будем прини-
мать Р = Аг, где А - скорость нагружения.
г
Для решения системы (3) применяется метод Рунге-Кутта. Программный модуль составлен в среде Мар1е.
— (— Ж ^
На рис. 1-10 представлены графики прогибов Ж I Ж = — I и интенсив-
ности напряжений —
для конических (рис. 1-6) и цилиндри-
ческих (рис. 7-10) панелей оболочек шарнирно-неподвижно закрепленных по контуру при скорости нагружения А = 10. Основные парметры оболочек: толщина И (м), размеры вдоль образующей а1, а - для конической оболочки и а -для цилиндрической оболочки (м), равномерно распределенная нагрузка д (МПа), модуль упругости Е (МПа), ц - коэффициент Пуассона, у к - угол
разворота в окружном направлении у1, 0 - угол конусности, Я - радиус ок-
ружности для цилиндрической оболочки (м) показаны на рисунках. В разложении (2) удерживался 121 неизвестный параметр.
Так как на рис. 3-4 представлены результаты для слабоконических оболочек, то они мало отличаются от соответствующих результатов для цилиндрической оболочки (рис. 7-8).
1. Коническая оболочка
—2 5 П
д = 3,7 • 10 , Е = 2,1 • 105 , ц = 0,3, И = 0,01, ук = — , 0 = 0,0038 , а1 = 1500 , а = 1510
2
Рис. 2
—2 5
д = 3,7 • 10 2 , Е = 2,1 • 105 , ц = 0,3, И = 0,01, ук = п , 0 = 0,0038 , а1 = 1500 , а = 1510
Рис. 6
д = 3,7 • 10—2, Е = 2,1 • 105 , ц = 0,3, И = 0,01, ук =п ,Я = 5,4,а = 10
Рис. 10
Характерным является смещение наибольших прогибов и напряжений от центра оболочки к угловым зонам. Для конических оболочек максимумы этих величин смещены к более широкому концу оболочки. Таким образом, выявлены зоны, где необходимы подкрепления из ребер. При увеличении скорости нагружения А происходит запаздывание реакции конструкции на воздействия нагрузки. При увеличении угла разворота ук НДС сглаживается. Аналогичная картинка наблюдается при увеличении длины оболочки а.
Библиографический список
1. Карпов, В.В. Математические модели, алгоритмы исследования моделей, вычислительный эксперимент в теории оболочек: учебное пособие / В.В. Карпов. - СПбГАСУ. -СПб., 2006. - 330 с.
2. Вольмир, А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А.С. Вольмир. - М. : Наука, 1972. - 432 с.
V. V. KARPOV, D.I. ARISTOV, А.А. OVCHAROV
THE PECULIARITIES OF STRESS-DEFORMED CONDITION OF PANELS OF RIBBED CASINGS AT DYNAMIC LOADING
The mathematical model for researching of stress-deformed conditions (SDC) and the stability of the cilindric and conic casings under dynamic loading is given in the paper. The geometrical nonlinearity, lateral shears, turning hardness of edges are taken into consideration. The results of the researche of (SDC) panels of such casings are also represented in this work.
