Научная статья на тему 'Математическая модель деформирования ортотропных конических оболочек'

Математическая модель деформирования ортотропных конических оболочек Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

CC BY
363
113
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КОНИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ / КОНИЧЕСКИЕ ПАНЕЛИ / МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ / ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ / ОРТОТРОПИЯ / ПОПЕРЕЧНЫЕ СДВИГИ / CONICAL SHELL / TAPERED PANEL / MATHEMATICAL MODEL / GEOMETRIC NONLINEARITY / ORTHOTROPIC / LATERAL SHIFTS

Аннотация научной статьи по механике и машиностроению, автор научной работы — Семенов Алексей Александрович, Овчаров Алексей Александрович

В статье приводится математическая модель деформирования тонкостенных конических оболочек, с учетом ортотропии материала, геометрической нелинейности и поперечных сдвигов. Показаны геометрические соотношения, физические соотношения, функционал полной энергии деформации и краевые условия.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по механике и машиностроению , автор научной работы — Семенов Алексей Александрович, Овчаров Алексей Александрович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Mathematical model of straining of orthotropic conical shells

The article presents a mathematical model of deformation of thin-walled conical shells, considering orthotropic material, geometric nonlinearity and transverse shear. Showing geometric relationships, physical relationships, the functional of total energy of deformation and boundary conditions.

Текст научной работы на тему «Математическая модель деформирования ортотропных конических оболочек»

А. А. Семенов, А. А. Овчаров

Математическая модель деформирования ортотропных конических оболочек

Введение

Наиболее широкое применение конические оболочки находят в авиационной технике и машиностроении. Одной из первых работ по исследованию устойчивости конических оболочек была работа Х.М. Муштари [1]. Также здесь необходимо отметить вклад Н. А. Алумяэ, Э. И. Григолюка, А. В. Саченкова [2] и др. В работе Н. В. Валишвили [3] исследуется устойчивость конических оболочек на основе осесимметричной теории. В работе [4] задача устойчивости конических оболочек была сведена к отысканию собственных значений системы дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, и было показано, что решение необходимо искать приближенно.

Одним из применяемых ранее подходов к решению данной проблемы было сведение конической оболочки к цилиндрической. Радиус цилиндрической оболочки принимался как среднее между большим и малым радиусами конической оболочки. Данная методика хорошо себя показала при расчете оболочек с малым углом конусности [5], но при его увеличении специфичность строения конической оболочки начинает сильнее сказываться на ее устойчивости, и такой подход становится неприемлемым.

По сравнению с расчетом цилиндрических оболочек, исследовать такие конструкции труднее. Это проявляется, прежде всего, в усложнении геометрических соотношений, связывающих перемещения и деформации. К недавним работам в области исследования конических панелей и оболочек следует отнести статью F. Shadmehri, S.V. Hoa и M. Hojjati [6], в которой рассматриваются замкнутые конические оболочки из композиционных

материалов, но математическая модель строится на теории первого порядка, а также не учитывается геометрическая нелинейность.

В работах [7, 8] были получены уравнения движения для подкрепленных ребрами жесткости конических оболочек при линейно-упругом деформировании с учетом поперечных сдвигов.

В исследовании [9] показана математическая модель деформирования оболочки, но не учитываются поперечные сдвиги и ортотропия материала.

В работе [10] приводится математическая модель деформирования оболочки на основе функционала полной энергии деформации, которая учитывает геометрическую и физическую нелинейности, поперечные сдвиги, возможность развития деформации ползучести, введение ребер жесткости с помощью метода конструктивной анизотропии с учетом сдвиговой и крутильной жесткости, но без учета ортотропии материала.

Математическая модель деформирования подкрепленных ортотропных оболочек общего вида на основе функционала полной энергии деформации была представлена в работе [11].

Цель исследования

Целью данной работы является построение математической модели деформирования конических оболочечных конструкций на основе функционала полной энергии деформации с учетом ортотропии материала, геометрической нелинейности и поперечных сдвигов.

Материал и методы исследования

Схематичное изображение панели конической оболочки показано на Рисунке 1.

Математическая модель деформирования оболочки строится на основе функционала полной энергии деформации (или уравнений равновесия), а также включает в себя геометрические соотношения, физические соотношения и граничные условия.

Рис. 1. - Схематичное изображение и принятая локальная система координат панели конической оболочки

Модель Кирхгофа-Лява, когда неизвестными являются только три функции перемещений и = и(х,у),К = V(х,у),Ж = Ж(х,у) и в уравнениях равновесия функции и и V имеют вторые производные, а функция Ж -четвертые, дает существенную погрешность. Необходимо учитывать еще и поперечные сдвиги, т.е. рассматривать модель Тимошенко-Рейснера. Тогда неизвестными будут пять функций - три функции перемещений точек координатной поверхности иV,Ж и две функции, характеризующие углы поворота нормали в плоскостях Х02, Т02: = (х, у), х¥у = х¥у (х, у). При

этом получаемая модель будет геометрически нелинейной, т.е. зависимость деформаций от перемещений - нелинейная, что позволяет исследовать не только напряженно-деформированное состояние оболочки, но и ее устойчивость. В дальнейшем будем рассматривать только модель Тимошенко-Рейснера.

В рассматриваемой модели геометрические соотношения для срединной поверхности оболочки принимают вид [11]

1 ди 1 тл дА , 12

ех =--+-V--кхЖ + —01,

х А дх АВ ду х 2 1

1 дV 1 т г дВ 7 тт 12 е у =--+-и--к Ж + -0 2

у О Л, Л О Я-* у 2

В ду АВ дх

1 д¥ 1 ди 1 т тдЛ 1 т,дВ л л

у „ =--+----и---V— + 010 2,

^ Л дх В ду ЛВ ду ЛВ дх 12

/ 1 ^ ттт \

01

О дЖ . ттл + кП

V

Л дх

0

2

У

V

1 дЖ , т.

--+ куУ

В ду у

у

где е х, е у - деформации удлинения вдоль координат х, у срединной поверхности; уху - деформации сдвига в плоскости ХОУ; Л, В, кх, ку -

параметры Ляме, характеризующие геометрию оболочки и главные кривизны оболочки вдоль осей х и у. Для конической оболочки они принимают вид

Л = 1 В = х • БШ 0 и к = 0 к, =

х

. Из-за наличия в формулах зависимости

от координаты х, сложность системы соотношений (1) существенно возрастает.

Функции изменения кривизн Хь Х 2 и кручения %12 принимают вид:

Х1 =

1 дЧх

+

1 дЛ

Л дх ЛВ ду

Чу ; х2 =

I дЧ.+_!_ дВ Ч

В ду ЛВ дх х

1 дЧ у 1 дЧх 1

12

■ + ■

— Чх+дВ Ч ду х дх у

Л дх В ду ЛВ Для связи деформаций и напряжений используются физические соотношения, которые строятся на основе обобщенного закона Гука. Выразив напряжения через деформации, получим физические соотношения для тонкостенной ортотропной оболочки при линейно-упругом деформировании:

ст„ =

Е1

х 1 _ 1 ^12^ 21

Е 2

ст.

1 М-12 Н-21

ех 21еу + г(11 21Х2 )

е у +^12 е х + 2 +^12 Х1 )

(2)

Т ху = ^12

У ху + 2 2Х

12

Т х2 = О1Ъкг(2)( -01);

Ту. = ^23к[(2)( -02 ),

здесь Е1, Е2 - модули упругости в направлениях х, у; С12,О13,О23 - модули сдвига в плоскостях ХОУ, Х02, У02 соответственно; ц12, ц 21 -коэффициенты Пуассона; /(2) - функция, характеризующая распределение напряжений тх2, ту2 по толщине оболочки, к - числовой коэффициент, соответствующий выбранной функции / (2). Для гладких оболочек принимается

/ (2 )= 6

' 1 - 2! Л 4 И2

к =

5

6

Функция /(2) при 2 = - И и 2 = 2 (верхняя и нижняя поверхности

оболочки) обращается в нуль, а также удовлетворяет условиям [12]:

и И

12 1 2 2 1

И |/(2^2 = 1; - | /2(2)<к = -

И

к

На основе физических соотношений можно сформировать выражения для усилий и моментов. Интегрируя напряжения (2) по 2 в пределах от - И /2 до И / 2, получим усилия и моменты, приведенные к срединной поверхности оболочки и приходящиеся на единицу длины сечения. Для гладких оболочек они будут иметь вид

Nx

Е

1 ц12ц21

N =■ Е2

У

1 ц12ц21

И

И

е х +Ц 21е 1

\

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

е у +^12е х

N ху = Nyx = Оъ

И у

ху

ы.

Ел

1 ц12 Ц 21

' И!Л

Ч12У

(Х1 21Х 2 )

(3)

е2

М =-2-

У 1

I — Ц12 Ц 21

МУ = Мух = О12

Ч12У

(Х 2 +^12 Х1 )

2

' к^ ^ Ч12У

Х12

бх = Оикк((!х -01), бу = О23Цуу - 02 }

где Ых, Ыу, N, ^ух - нормальные усилия вдоль осей х, у и сдвиговые усилия в плоскости ХОУ соответственно; Мх,Му,Мху,,М- изгибающие моменты

л ^ I/ ' л.у ' у А.

в направлении осей х,у и крутящие моменты; бх, бу - поперечные силы в

плоскостях ХО2 и УО2.

Функционал Лагранжа полной энергии деформации оболочки является суммой работ внутренних и внешних сил, и принимает следующий вид [11]:

1 агуТ I 1/ \

Э = 2 3 ] 8 х +Ыу 8 у + 2 ( + Мух Д ху + Мх Х1 + Му Х 2 +

(х)

а1 у(х)

+ (( + Мух ) + бх (( -01)+ бу ((у -0 2 )- 2qw\ABdxdy.

(4)

Подставив выражения для усилий и моментов (3) в функционал (4), получим

1 а у2(х) ( е к

э=2 з з

2 а у (х) I1 -Ц12 Ц 21

(8 х +Ц 218 х 8 у )+ 1 - Е 2 (8 ( +Ц12 8 х 8у )+ О12 кУ

Ц12Ц 21

ху

+

+ •

Е

1 Ц12Ц 21 + О

г к!л Ч12У

Х1 + Ц 21Х 2 Х1

)+Г

Е,

Ц12 Ц 21

(к!л Ч12У

Х 2 +^12 Х 2 Х1 / +

к3 ^

'12

V 3 У

х22 + О13кк((х - 01 )2 + О23кк((у - 02 )2 - 2qW [ABdxdy

Приведя подобные члены, получим

Э

+

1 аУ2 (х) I Е

=211

«1 у(х)'

Ех

Иг 2 +

Е,

Ц12Ц 21

1 2 + 1 21

1 21

Ц 21И +

Е,

+ у -0 2 )2

1 "Ц12Ц 21

Е

Ц 21И

гхгу + 1 ^122ИГ^ + ^13кИ(х -01 )2 +

' И3 >

1 Ц12Ц 21

12 ,

х2 +

2

'12 I ху

Е

' И3 >

1 Ц12Ц 21

+

Е

Ц 21 +

Е

Ц12

И! л

УЧ12У

Х1Х 2 + 2в}

12

Ч12 У

' и3 л

Ч6У

X 2 +

1 - Ц12Ц21 1 - Ц12Ц21 Учитывая, что Е1ц 21 = Е2ц12, введем обозначения:

Х22 - 2дЖ \ ABdxdy

^2 = Е2, °12 =

^12 ( "Ц12 Ц 21 ) ^13 (1 "Ц12 Ц 21 ) а23 ( " Ц12 Ц 21 )

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Е1 Е1

и приведем функционал к виду

а У2

^ ^13 =

Е1

^23 =

Е1

Э

Е1

2(1

Ц12Ц 21

| | Г*82 + ^2Иг2 +2ИЦ21гхгу + ИУ^ +

«1 У1(х)

____р. 3 7 3 _

+овЦч/ х -01 )2 + о2зкк( у -0 2) + — X2 + — о2 X2 +

+ И3 Ц21Х1Х2 + ^ё17хг2 - 2 ^ -Ц12Ц21 ] Ж\ABdxdy.

6 3 Е1 ]

Способ закрепления контура конструкции учитывается через граничные условия (Таблица 1), которые влияют в дальнейшем на выбор аппроксимирующих функций [13], а область, занимаемая оболочкой, задается в пределах интегрирования [14]: а1 < х < а, у1 (х)< у < у2 (х). Использование функций у1 (х), у2 (х) позволяет учитывать нестандартную форму контура оболочки.

Таблица № 1

Краевые условия при различном закреплении контура конструкции

(5)

Закрепление При х = «1, х = а При у = у (х), у = у 2 (х)

Шарнирно-неподвижное закрепление и = V = Ж = Мх = = 0 л у и = V = Ж = Чх = Му = 0 л у

Жесткое закрепление и = V = Ж = ^х =^у = 0 х у и = V = Ж = ^х =^у = 0 х у

Жесткое при х = а1, х = а и шарнирно-неподвижное при у = у (хХ у = у 2(х) и = V = Ж = ^х =^у = 0 л у и = V = Ж = Чх = Му = 0 л у

Жесткое при х = а1, х = а и свободный край при у = У1(х), у = У2(х) и = V = Ж = ^х =^у = 0 х у Ку = Ку = б = Му = Му = 0

Заключение

Таким образом, полученные соотношения (1), (2), (5) вместе с краевыми условиями представляют собой математическую модель деформирования конической оболочечной конструкции с комплексным учетом таких факторов, как ортотропия материала, геометрическая нелинейность и поперечные сдвиги.

Для дальнейшего исследования прочности и устойчивости рассматриваемых конструкций к представленной модели могут применяться методы, подходы и алгоритмы, представленные в работах [14 - 17].

Литература:

1. Муштари, Х. М. Об устойчивости тонкостенных конических оболочек круглого сечения при кручении парами [Текст] / Х. М. Муштари. - В кн. Сборник научных трудов КАИ. - Казань: Издательство Казанского авиационного института, 1935. - С. 39-40.

2. Муштари, Х. М. Об устойчивости цилиндрических и конических оболочек круглого сечения при совместном действии осевого сжатия и внешнего нормального давления [Текст] / Х. М. Муштари, А. В. Саченков // Прикладная математика и механика, 1954. т. XVIII, № 6. - С. 667-674.

3. Валишвили, Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ [Текст] / Н. В. Валишвили. - М.: Машиностроение, 1976. - 278 с.

4. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем [Текст] / А. С. Вольмир. - М.: Наука, 1967. - 984 с.

5. Преображенский, И. Н. Устойчивость и колебания конических оболочек [Текст] / И. Н. Преображенский, В. З. Грищак. - М.: Машиностроение, 1986. - 240 с.

6. Shadmehri F., Hoa S.V., Hojjati M. Buckling of conical composite shells // Composite Structures. - Vol. 94. - 2012. Pp.787-792. D01:10.1016/j.compstruct.2011.09.016

7. Овчаров, А. А. Математическая модель конической оболочки ступенчато-переменной толщины при динамическом нагружении [Текст] / А. А. Овчаров // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Межвуз. темат. сб. тр. СПбГАСУ. -СПб., 2004. - С. 127-132.

8. Овчаров, А. А. Компьютерные технологии исследования устойчивости панелей ребристых конических оболочек [Текст] / А. А. Овчаров // Вестник гражданских инженеров. - № 2(11). - 2007. - С. 104-111.

9. Бурцева, С. В. К расчету оболочек вариационно-энергетическим методом [Электронный ресурс] / С. В. Бурцева, Г. П. Стрельников, В. И. Авилкин // Инженерный вестник Дона. - 2012. - Т. 23, № 4, Ч. 2. - С. 13. Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1291 (доступ свободный)

10. Баранова, Д. А. Математическая модель деформирования подкрепленных оболочек вращения при учете различных свойств материала [Электронный ресурс] // Инженерный вестник Дона. - 2012. -Т.20, № 2. - С. 45-50. Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n2y2012/745 (доступ свободный)

11. Карпов, В. В. Математическая модель деформирования подкрепленных ортотропных оболочек вращения [Текст] / В. В. Карпов, А. А. Семенов // Инженерно-строительный журнал. - № 5. - 2013. С. 100-106.

12. Вольмир, А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек [Текст] / А. С. Вольмир. - М.: Наука, 1972. - 432 с.

13. Карпов, В. В. Математическое моделирование, алгоритмы исследования модели, вычислительный эксперимент в теории оболочек [Текст] / В. В. Карпов. - СПб.: СПбГАСУ, 2006. - 330 с.

14. Семенов, А. А. Алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных ортотропных оболочек [Текст] / А. А. Семенов // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - № 1.

- 2014.- С. 49-63.

15. Карпов, В. В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения: в 2 ч. Ч.2: Вычислительный эксперимент при статическом механическом воздействии [Текст] / В. В. Карпов. - М: Физматлит, 2011.

- 248 с.

16. Атисков, А. Ю. Компьютерные технологии расчета оболочек [Текст] / А. Ю. Атисков, Д. А. Баранова, В. В. Карпов, Л. П. Москаленко, А. А. Семенов. - СПб.: СПбГАСУ, 2012. - 184 с.

17. Qu Y., Wu S., Chen Y., Hua H. Vibration analysis of ring-stiffened conical-cylindrical-spherical shells based on a modified variational approach // International Journal of Mechanical Sciences. - Vol.69. - 2013. Pp. 72-84. http://dx.doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2013.01.026

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.