Особенности моделирования случайно-неоднородного волновода Земля - ионосфера Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.86 + 533.93

А. В. Денисов, М. А. Белянский

ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНОЙ ИОНОСФЕРЫ В ЗАДАЧЕ О РАСПРОСТРАНЕНИИ РАДИОВОЛН В ОКОЛОЗЕМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

На основе канонического разложения Пугачева рассмотрена задача моделирования случайно-неоднородной составляющей одномерного ионосферного профиля электронной концентрации. В предположении, что случайное поле флук-туаций электронной концентрации нормально и стационарно, выбраны автокорреляционные функции для разных областей экваториальной ионосферы и получены характеристики случайных коэффициентов разложения.

Ключевые слова: случайные поля, моделирование неоднородностей ионосферы.

Введение. Для решения задач навигации и обеспечения дальней радиосвязи расчет радиополей необходимо осуществлять на протяжении всей трассы распространения радиоволн. На радиополя источников в приземном волноводном канале большое влияние оказывает состояние нижних слоев ионосферы, которая характеризуется концентрацией электронов Ые (2) и эффективной частотой Угу (г) соударения составляющих ионосферу частиц, здесь

г — расстояние от поверхности Земли.

Детерминированная модель ионосферы используется как при моделировании процессов распространения радиоволн в двумерно-нерегулярных сферических волноводных каналах [1, 2], так и при рассмотрении трехмерных крупномасштабных неоднородностей [3, 4].

Представим одномерную концентрацию электронов в ионосфере выражением

Не (5) = Ы(е 0) (5) + Ы(е '} (5 ),

где (5) — регулярная составляющая, Не г ^ (5) — случайная составляющая, 5 = — безразмерная переменная, I — характерный масштаб элементарной неоднородности.

Аналитическое задание случайной составляющей Ыег ^ (5), на которую влияет множество факторов, не представляется возможным. В ограниченных пространственно-временных масштабах можно использовать стационарные модели. При допущении, что случайная составляющая профиля является нормальным стационарным случайным полем, достигается компромисс между достоверностью модели и ее сложностью.

Отметим, что в данном случае рассматривается дискретно-слоистая среда, размер каждого случайно выбранного слоя которой I« 30 км.

Моделирование случайного поля. При моделировании стационарного случайного поля Ыег ^ (5) задается либо его спектральная плотность, либо автокорреляционная функция (АКФ), которые связаны между собой взаимным преобразованием Фурье (по теореме Винера — Хинчина).

Спектральная плотность задается на основе априорной информации, обусловленной различными факторами, влияющими на образование неоднородностей в ионосфере: в основном это акустико-гравитационные волны [5], метеоритные дожди, ионно-рекомбинационные процессы, землетрясения, терминатор, антропогенное воздействие, старты космических аппаратов, подземные, наземные и воздушные взрывы, эксперименты по высокочастотному нагреву ионосферы [6].

Ионосферу принято разделять на верхнюю (100—500 км от поверхности Земли) и нижнюю (50—100 км) области. В нижней области ионосферы преобладают мелкомасштабные неоднородности турбулентного характера. Как показывают расчеты [7], такое условное разделение связано с тем, что на высоте, превышающей примерно 100 км, для дневного состояния Ne (z) ионосферы выполняются соотношения квазипродольной аппроксимации электромагнитных полей приземных источников; для ночного состояния эта высота составляет примерно 150 км.

В задачах распространения радиоволн СДВ-диапазона наибольший интерес представляют размеры области, существенной для отражения электромагнитных полей [8]; ее размер в дневных условиях составляет примерно 20—30 км от границы ионосферы [9], что соответствует нижней области ионосферы и в дневном, и в ночном состоянии.

Обратимся сначала к простому случаю, когда неоднородности крупномасштабные и описываются случайными полями. Это соответствует верхней области ионосферы, где турбулентность отсутствует. Рассмотрим следующую модель автокорреляционной функции:

- ^sin(Qs)^р

К (s ) =

а

Qs

ЛР

-I cos (J3s), s е(-ю; +ю),

Р = 2, р = 3,

(1)

где а — дисперсия; О — параметр, характеризующий случайное поле; Р — преобладающая гармоника.

Для нижней области ионосферы, где турбулентность существенна, а следовательно, неоднородности носят мелкомасштабный характер, случайное поле описывается более сложной функцией, состоящей из суперпозиции двух АКФ вида (1):

К (s ) = .

C1

sin(Qs) Qs

cos

(J ) + C2

sin(2Qs) 2Qs

cos

(2Js )

(2)

^ е(-ю; р = 2, р = 3. Будем считать, что вне области (-л / й; + л / й) АКФ (1) и (2) обращаются в нуль. Тогда, периодически продолжая АКФ на остальной оси, получаем периодическую в средне-квадратическом смысле функцию с периодом Ь = 2л/О, которую можно разложить в ряд Фурье:

К (s ) =

o^cos

2ns L

-a0cos

2n2s L

(3)

Разложение АКФ в ряд Фурье соответствует каноническому разложению случайного

поля флуктуаций [10]: N(e r) (s)=Ne°}X(s), где

X( s) = A + A1 cos

2ns

B1 sin

2ns

A2 cos

2n2s

(4)

ь ; у Ь ; у Ь

здесь Л1, Бк — некореллированные между собой случайные величины, распределенные по

нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и значениями дисперсий а1, ак,

которые определены разложением в ряд (3).

Для верхней области ионосферы эти коэффициенты определяются выражениями

2 n

=

Яг. =

cos

cos

С x ^

я

с x ^

я

dx, q =

cos(kx)dx, q = Q/J.

(5)

>

Мелкомасштабность неоднородностей нижней области ионосферы находит свое математическое выражение в том, что членов ряда в каноническом разложении Пугачева [10] больше, чем в случае, определяемом выражением (2):

ао = С1-1

тс „

о 2 тс ✓ . \р 2а п бш х ^

о

2 тс

С 2а г

ак = с1— ]

бш х

соб

соб

тс

( х ^

ч)

( х ^

Я )

дх + С-

о 2 тс {■ . хр

2а [■( бш х ^

2тс

соб

2а2 тс(

со$>(кх)дх + С2—— 11

бш х

( х ^

V ч ) р

дх,

соб

( х ^

Ч )

сов(кх)дх.

(6)

Спектр АКФ для р=2 и р=3 оказывается финитным. Сужение области определения АКФ вызывает изменение спектра — он становится инфинитным и может принимать отрицательные значения. Это приводит к тому, что ряд элементарных дисперсий ак, начиная с некоторого номера, становится знакопеременным рядом, и эти члены не учитываются. Таким образом, каноническое разложение поля флуктуаций представляет собой конечный ряд Фурье.

Результаты численных расчетов. Сначала определим нули функции ао (ч). Обращение в нуль постоянной составляющей в разложении Пугачева (4) соответствует только колебательному характеру поля неоднородностей, считаем это предположение априори выполненным. Если рассматривать спектральную плотность для всей области определения АКФ, не сужая ее, то значения ч=1/2 соответствуют спектральной плотности, равной нулю. Поэтому при моделировании из корней выражения ао (ч) =0 выберем только крайние справа значения параметра ч.

На рис. 1 приведены графики коэффициентов разложения а1 (ч)/ а при разных показателях степени р (см. выражения (5)) для верхней области ионосферы. Крайние справа значения ч, при которых постоянная составляющая ао обращается в нуль, равны: ч = 0,42666 при р =2 (рис. 1, а) и ч = о,32332 при р =3 (рис. 1, б).

а)

а (ч).

2 \ '

ч

Рис. 1

Точность моделирования определяется количеством членов в выражении 1/ а2 (Га)

при фиксированных значениях параметра ч. Суммирование ведется до первого неотрицательного значения, после чего ряд становится знакопеременным. Как известно [12], сумма отброшенных членов ряда не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. Именно такое количество неотрицательных при ао(ч)=о коэффициентов а? (ч) показано на рис. 1, 2. В результате для указанных значений ч при р=2 имеем 1/ а2 (Га) = о, 997 и при р=3 имеем 1/ а2 ((Га?) = о, 999, что свидетельствует о точности выбранных АКФ (1).

Аналогичные графики приведены и для нижней области ионосферы (см. формулы (6)) для С1 = С2 = 0,5 (рис. 2). В данном случае q = 0,434363 при р=2 (рис. 2, а) и q = 0,324705 при

р=3 (рис. 2, б); 1/а2 ) = 0,987 при р=2 и 1/а2 )= 0,999 при р=3, что также хорошо характеризует выбор АКФ для нижней области (2).

2

CT

0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05

0

q

Рис. 2

Заключение. Предложенный в статье метод использования канонического разложения Пугачева для математического описания случайно-неоднородной составляющей одномерного ионосферного профиля экваториальной ионосферы оказывается эффективным при правильном выборе автокорреляционных функций. Рассмотренный способ моделирования одномерных неоднородностей может быть распространен и на объемные неоднородности. В последнем случае трехмерное случайное поле может быть задано как произведение трех взаимно некореллированных полей. Отметим, что формально можно рассматривать каноническое разложение, выбрав в качестве периода разложения ь всю ионосферу, но в этом случае невозможно задать АКФ. Предложенный подход представляется практичным в вычислительном плане, поскольку позволяет осуществлять контроль точности, что важно при решении численных задач расчета радиополей наземных или ионосферных источников.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Макаров Г. И., Новиков В. В., Рыбачек С. Т. Распространение радиоволн в волноводном канале Земля — ионосфера и в ионосфере. М.: Наука, 1993. 150 с.

2. Иванов В. И., Рыбачек С. Т., Сенина В. Л. Электромагнитные поля, возбуждаемые в анизотропной ионосфере электрическими и магнитными диполями произвольной ориентации, расположенными в нерегулярном волноводе Земля — ионосфера // Вестн. Санкт-Петерб. ун-та. Сер. 4. Физика, химия. 1996. Вып. 1(№ 4). С. 31—45.

3. Соловьев О. В. Распространение низкочастотных радиоволн в возмущенном трехмерной крупномасштабной неоднородностью приземном волноводе // Изв. вузов. Радиофизика. 1998. Т. XLI, № 5. С. 588—601.

4. Коган Л. П. О распространении электромагнитных волн в волноводе Земля — ионосфера с плавной периодической неоднородностью импеданса верхней границы // Изв. вузов. Радиофизика. 1998. Т. XLI, № 3. С. 374—381.

5. Ахмедов Р. Р. Численное моделирование генерации акустико-гравитационных волн и ионосферных возмущений от наземных и атмосферных источников: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 2004.

6. Excitation of artificial airglow by high power radio waves from the "Sura" ionospheric heating facility / P. A. Bernhart, W. A. Scales, S. M. Grash et al. // Geophys. Res. Lett. 1991. Vol. 18, N 8. P. 1477—1480.

7. Рыбачек С. Т., Белянский М. А. Основные особенности электромагнитных полей, создаваемых в нижней ионосфере низкочастотными приземными антеннами. Результаты численных расчетов // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2011. № 6 (76). С. 44—48.

8. Кириллов В. В. Области, существенные при отражении электромагнитных волн от неоднородных проводящих слоев // Проблемы дифракции и распространения волн. 1986. № 20. С. 165—181.

9. Рыбачек С. Т. Электромагнитные поля плоской волны в неоднородной анизотропной ионосфере // Проблемы дифракции и распространения волн. 1981. № 18. С. 221—237.

10. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматлит, 1960. 884 с.

11. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Финитные функции в физике и технике. М.: Книжный дом „ЛИБРОКОМ", 2010. 416 с.

12. Смирнов В. И. Курс высшей математики. СПб: БХВ — Петербург, 2008. Т. 1. 624 с.

Сведения об авторах

Александр Владимирович Денисов — канд. физ.-мат. наук; Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, кафедра радиотехники и телекоммуникаций; E-mail: [email protected] Максим Анатольевич Белянский — ОАО «НТЦ „Завод Ленинец"», Санкт-Петербург; зам. начальника

отдела; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

оптико-цифровых систем 24.10.13 г.

и технологий НИУ ИТМО