CC BY
43
УДК 532.517.2
Х. А. Халаф, К. М. Алиев, Ф. А. Гарифуллин,
Ф. Р. Карибуллина, Ф. Х. Тазюков
ОСОБЕННОСТИ МГД ТЕЧЕНИЙ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ
В РАСШИРЯЮЩЕМСЯ СТЕПЕНЧАТОМ СИММЕТРИЧНОМ КАНАЛЕ
Ключевые слова. Течение проводящей нелинейно-вязкой жидкости, Бифуркация, Критическое значение числа Рейнольдса,
Магнитное поле, Расширяющийся канал.
Целью настоящей работы является исследование течений нелинейно-вязких электропроводящих жидкостей в плоских расширяющихся симметричных каналах в присутствии наложенного внешнего постоянного магнитного поля. Уравнения МГД течения решены численно методом контрольного объема (КО). Показано, что в расширяющихся каналах возможно образование несимметричной структуры потока. Представлены диаграммы течения, первичные и вторичные циркуляционные зоны. Показано влияние аномалии вязкости на форму циркуляционных зон. Обнаружен эффект образования пары центров вращения во вторичной зоне циркуляции. Проведен анализ течения проводящей жидкости при воздействии поперечного магнитного поля. Показано, что с ростом значения числа Хартмана структура течения меняется, при достижении некоторой величины размеры циркуляционных зон становятся пренебрежимо малы.
Key words: Flow bifurcation, Asymmetric flow, Critical Reynolds numbers, Magnetic field, Sudden expanded Planar Geometry.
The aim of this work is to study the symmetry-breaking flow bifurcations and its control of an electrically conducting fluid in presence of magnetic field in an expanded channel. The governing nonlinear magnetohydrodynamic equations simplified for low conducting fluids are written and solved numerically using control volume technique. The critical Reynolds number for first bifurcation (asymmetric flow) is obtained the value 48 for the 1:3 sudden expanded planar geometry in case of electrically non-conducting fluid. It is interesting to note that the flow field becomes symmetric about the channel centerline for suitable value of magnetic strength.
Введение
В последние годы наблюдается повышенный интерес к исследованию проблемы втекания жидкости во внезапно расширяющиеся каналы.
Симметричные расширяющиеся каналы являются популярным элементом машин и аппаратов
химической технологии и используются в
холодильной технике, процессах экструзии,
формовании изделий из полимерных материалов, процессов прядения, в мембранной технологии и многих других процессах и аппаратах. При этом геометрическая простота канала не приводит к предсказуемым симметричным течениям. Более того, течение характеризуется такими эффектами, как асимметрией, вторичными циркуляционными
течениями и многими другими нелинейными эффектами и представляют значительный интерес для исследователей для понимания физических особенностей таких течений.
Экспериментально обнаружено [1-5], что при течении жидкости с числом Рейнольдса ниже некоторого критического значения, поток остается симметричным. Это симметричное течение становится неустойчивыми при достижении числом Рейнольдса некоторого критического значения и образуется пара несимметричных по отношению к оси канала зон с циркуляционным течением.
Результаты исследований несимметричных течений ньютоновской вязкой жидкости в расширяющихся симметричных каналах, благодаря работам Ферна, Дурста, Меллинга, Друкакиса, Оливейры и многих других авторов, становятся
известными широкому кругу специалистов. Получено достаточно много результатов по определению критического значения числа Рейнольдса, формы циркуляционных зон и т.д. В настоящее время назрела необходимость исследования течений неньютоновских жидкостей. Исследование особенностей явления бифуркации в неньютоновских жидкостях должно привести к росту эффективности технологических процессов, в которых используются расширяющиеся каналы.
В настоящий момент важным являются попытки управления процессом потери симметрии потока. При течении электропроводящих жидкостей, для управления можно использовать различные электрические и магнитные поля, наложенные на течение. В работе [6] исследовались МГД течения в ступенчатых каналах, содержащих местные сужения. В этой работе показано, что наложенное магнитное поле уменьшает область циркуляции.
Целью настоящего исследования является изучение МГД течения нелинейно-вязкой электропроводящей жидкости в присутствии внешнего поперечного постоянного магнитного поля в расширяющемся канале, изучение влияния магнитного поля на структуру течения, размеры и местоположение зон циркуляционных течений.
В настоящей работе двумерные нелинейные МГД уравнения, учитывающие пондеромоторную силу (силу Лоренца) решаются численно методом контрольного объема (КО). В качестве реологического конститутивного соотношения принят степенной закон. Основным результатом
работы является анализ закономерностей комплексного влияния аномалии вязкости и
магнитного поля на форму течения электропроводящих жидкостей в симметричных каналах, содержащих резкое расширение.
Математическая модель
Представленная в работе физическая задача основана на исследовании стационарного течения нелинейно-вязкой несжимаемой проводящей жидкости, имеющей постоянную электрическую проводимость ст, постоянную плотность р,
зависящую от второго инварианта тензора скоростей деформаций кинематическую вязкость ^,
постоянную магнитную проницаемость ц0. Степень расширения канала принята равной 1:3. Поперечное стационарное однородное магнитное поле с
магнитной индукцией В0 действует вдоль оси оу. Схема течения и форма канала показана на рис. 1.
rotE = 0 rotB0 = ц 0j
(5)
условиях взаимодействия поперечным магнитным полем
постоянным
В движущейся со скоростью У(ы,у) проводящей нелинейно-вязкой жидкости возникает электрический ток плотности ] за счет местного электрического поля, напряженностью Е и магнитного поля с магнитной индукцией В0, определяемый в соответствие с законом Ома
І =ст(Е + V х В0) . (1)
Пондеромоторная сила, возникающая вследствие взаимодействия магнитного поля с электрическим током, определяется из следующего выражения
Р = ] X В0. (2)
При принятых допущениях система МГД уравнений сводится к следующим управляющим уравнениям
р^ = -дгас1Р + У- ~ + ] х В0 (3)
где V(u,v) - вектор скорости, р - давление, ~ -девиатор напряжения, р - плотность и
У Г 5 - 5
У= і — + і —.
5х 5у
В качестве конститутивного реологического уравнения, связывающего неньютоновские напряжения с градиентом скорости, принимается модель обобщенной ньютоновской жидкости (степенная модель):
~ , (6)
где у = V - V + V - Vі тензор скоростей
деформаций, а ц = ц(у) = КуП-1 эффективная динамическая вязкость. Обобщенное число
ри2-П1П
Рейнольдса Re определяется как Re = -
K
где
и характерная скорость (определяемая как средняя скорость), L - половина ширины канала во входном сечении, К и П консистенция и показатель неньютоновости для степенной модели соответственно.
Вводятся следующие масштабы
переменных
, x , У , u , v p
x' = —, y' = —, u' = — , v ' = — , P' = —Ї--
h h U U pU2
(6)
где И - масштаб длины, и- масштаб скорости (рис.1).
Учитывая, что векторы В0 и ] имеют
координаты В0(0,В0,0) и і(0,0,1), а также
пренебрегая внешним электрическим полем,
запишем МГД уравнения в безразмерном виде.
Ou Ou op 1 і oxxx ox І на- пл
u— + v— =-------+ —I—— + —- I-----------------------u (7)
OP 1 ( Ox xx Oxx,
Ox Oy Ox Re I Ox Oy
Ov Ov OP 1 і Ox xy
u— + v =----------------+--------------
Ox Oy Oy Re I Ox
Ha2 Re
(8)
Ox yy 1
Oy
Ou Ov — + — = 0 ,
Ox Oy
где Re - число Рейнольдса, Ha = B0h
(9)
офР
divV = 0
divB0 = 0
divE = 0
(4)
Р'П
число Хартмана, характеризующее относительное влияние внешнего магнитного поля.
Уравнения (7-9) записаны с учетом малости значения магнитного числа Рейнольдса, то есть
Rem =a^0hU << 1 . (10)
В этом случае уравнения электродинамики и гидродинамики разделяются.
На границах области течения поставлены следующие граничные условия. На твердых стенках
+
канала компоненты скорости равны нулю, то есть реализуется гипотеза прилипания
и = 0 и V = 0 (11)
Во входном сечении задается постоянный профиль осевой скорости
и = 1 и V = 0 (12)
В выходном сечении постулировалось установившееся течение
— = 0 и V = 0 . (13)
йх
Для обеспечения получения установившегося течения на выходе, длина канала \- принималась равной 30Н.
Система уравнений (7-9) совместно с граничными условиями (11-13) решалась численно методом контрольных объемов. Сетка наносилась на область течения. Каждая неизвестная величина связана с точками контрольного объема (КО). Сетка является фиксированной в любой момент времени. Предполагается, что стороны каждого КО связаны с координатными осями.
Для контроля сходимости результатов и обеспечения независимости от выбранного шага конечноразностной сетки, проведены расчеты на сгущающихся сетках. В результате этого анализа для расчетов была выбрана сетка размером 200x500 узло. Результаты моделирования
В настоящей работе исследовалось влияние внешнего магнитного поля на течение проводящей нелинейно-вязкой жидкости. На рис.2 показаны контуры линии тока при течении непроводящей (На = 0 ) жидкости в ступенчатом канале при значении числа Рейнольдса Ре = 200 для псевдопластика (п = 0.8), ньютоновской жидкости (п = 1) и дилатантной жидкости (п = 1.2). Хорошо заметно наличие асимметрии в размерах циркуляционных зон вблизи угловых областей относительной осевой линии канала. Для ньютоновской и дилатантной жидкости характерно образование на нижней стенке зоны вторичного
циркуляционного течения. Причем, в случае
дилатантной жидкости, обнаружено (рис.2^ рис.3), что вторичное течение имеет структуру течения с двумя центрами циркуляции. Следует отметить, что, в пределах принятых параметров, в случае течения ньютоновской и псевдопластичной жидкостей
обнаруженный эффект не проявился. На рис.3 более подробно показано парное циркуляционное течение, характерное, как уже отмечено, только для дилатантных жидкостей. Таким образом,
существенное увеличение эффективной вязкости стенки канала, а следовательно, увеличение тангенциальных напряжений в этой же области и приводит к появлению эффекта парности вторичного циркуляционного течения.
Стоит также отметить, что для псевдопластика вторичное течение отсутствует (рис. 2a), что является удивительным фактом.
Рис. 2 - Контуры линий тока: а - псевдопластик; б - ньютоновская жидкость; с - дилатантная жидкость
и_I_і_і_і_і_I_і_і_і_і_I_і_і_і_і_I_і_і_і
Рис. 3 - Контуры линий тока для дилатантной жидкости
Поскольку это влияние характеризуется величиной числа Хартмана, то можно видеть, что с ростом значения числа Хартмана структура течения меняется. Влияние магнитного поля при небольшом значении числа Хартмана (На = 1.0 ) и величины показателя неньютоновости представлено на рис.4.
Рис. 4 - Контуры линий тока: а - псевдопластик; б - ньютоновская жидкость; с - дилатантная жидкость
На этом рисунке показаны контуры линий тока при течении проводящей нелинейно-вязкой жидкости в ступенчатом канале при значении числа Рейнольдса Ре = 200 для псевдопластика (п = 0.8),
ньютоновской жидкости ( n = 1 ) и дилатантной жидкости ( n = 1.2 ). Можно видеть, что для ньютоновской жидкости вторичное течение исчезло, а для дилатантной жидкости парное циркуляционное течение вырождается в циркуляционное движение с одним центром. При этом можно заметить (рис.4а), что для псевдопластика течение практически восстановило симметричную форму потока, тогда как для ньютоновской и дилатантной жидкостей (рис.4 б, рис.4с) еще сохраняется асимметрия потока.
Дальнейший рост значения числа Хартмана ( Ha = 6.0 ), при постоянном значении числа Рейнольдса, приводит к тому, что при всех значениях показателя неньютоновости восстанавливается симметричная структура потока. При этом форма течения для псевдопластика, ньютоновской и дилатантной жидкостей практически одинакова и симметрична относительно оси канала. Это может означать то, что внешнее магнитное поле действует избирательно. Оно полностью подавляет несимметричную моду возмущений и оказывает меньшее влияние на эволюцию симметричной моды возмущений. Подобная избирательность действия внешнего магнитного поля основана, на наш взгляд, на особенности влияния вязкой диссипации для нелинейно-вязких жидкостей на взаимодействие мод возмущений и внешнего магнитного поля.
При дальнейшем увеличении значения числа Хартмана (Ha = 10.0 ) можно наблюдать, что области с циркуляционным течением практически исчезают для всех исследованных типов жидкостей. Данное обстоятельство означает, внешнее поперечное магнитное поле оказывает заметное влияние на амплитуду возмущений, сохраняя симметричность потока.
Показано распределение осевой скорости и тангенциального напряжения вдоль осевой линии при течении нелинейно-вязкой жидкости для значения числа Рейнольдса Re = 20 при различных значениях показателя неньютоновости и различных значениях числа Хартмана. Из анализа результатов, можно видеть, что внешнее магнитное поле действует стабилизирующим образом на течение нелинейновязкой проводящей жидкости. Осцилляции скорости и тангенциального напряжения по длине канала исчезают.
Выводы
Наличие резкого расширения в в симметричных каналах приводит к разнообразным формам течения, в том числе и несимметричным по отношению к оси канала. Особенности реологического поведения нелинейно-вязких жидкостей придает течению за ступенькой много дополнительных свойств, таких как появление вторичной циркуляционной зоны со сдвоенным центром (дилатантная жидкость) или полное отсутствие вторичной циркуляционной зоны (псевдопластик). В работе показано, что при течении
непроводящей псевдопластичной жидкости
вторичная циркуляционная область не возникает, тогда как при течении вязкой ньютоновской жидкости возникает вторичная циркуляционная область с одиночным вихрем. В случае течения дилатантной жидкости возникает парное циркуляционное течение с двумя центрами циркуляции (рис.3). Такое поведение может быть связано со значительным влиянием аномалии вязкости на величину сдвиговых напряжений вблизи стенок канала. Также показана возможность управления течением проводящей нелинейно-вязкой жидкости путем наложения внешнего постоянного поперечного магнитного поля, обладающего стабилизирующим эффектом и подавляющим возникающие в потоке возмущения. Видно, что с ростом магнитного числа Хартмана Ha > 6 асимметрия в структуре течения исчезает, течение становится симметричным. При дальнейшем росте значения числа Хартмана, размеры циркуляционных областей, расположенных вблизи угловых точек, уменьшаются и при Ha > 10 становятся пренебрежимо малыми.
Проверка используемого алгоритма на известных задачах, а также сравнение с численными и экспериментальными данными других авторов дает уверенность в достоверности полученных результатов.
Литература
1. Durst F, Melling A and Whitelaw JH. Low Reynolds number flow over a plane symmetrical sudden expansion. Journal of Fluid Mechanics. 1974, v.64, p.111-128.
2. Fearn RM, Mullin T, Cliffe KA. Nonlinear flow phenomena in a symmetric sudden expansion. Journal of Fluid Mechanics. 1990, v.211, p.595-608.
3. Cherdron W, Durst F, Whitelaw J.H. Asymmetric flows and instabilities in symmetric ducts with sudden expansion. Journal of Fluid Mechanics. 1978, v.84, p.13-31.
4. Tazyukov F.Kh., Khalaf H.A Numerical Simulation of Flow of Shear-Thinning Fluids in a Symmetric Channel with a Suddenly Expanded and Contracted Part, Transactions of academenergo, -2011, -№ 4, -С.38-49.
5. H.A. Khalaf, F.Kh. Tazyukov, B.A. Snigerev, K.M. Aliev, F.A. Garifullin, Bifurcation Phenomena in the Flow of Non-Newtonian Fluids in a Symmetric Channel with a Suddenly Expanded and Contracted Part, 7th Annual European Rheology Conference, Suzdal, 10-14 May, 2011.
6. Midya C, Layek G.C, Gupta A.S, Mahapatra T.R. Magnetohydrodynamics viscous flow separation in a channel with constrictions. Trans. ASME J. Fluids Engg. 2003, v.125, p.952-962.
7. Снигерев Б.А., Тазюков Ф.Х., Кутузов А.Г., Амер Аль Раваш. Течение упруговязкой жидкости со свободной поверхностью// Вестник Казан. технол. ун-та. 2007. №1. С.86-93.
8. Мануйко Г.В., Аминова Г.А., Дьяконов Г.С., Бронская
В.В. Моделирование периодического процесса
полимеризации бутадиена на модифицированном литиевом катализаторе с учетом изменения его активности. // Вестник Казан. технол. ун-та. 2012. Т. 15, №.1. С.79-86.
© Х. А. Халаф - асп. каф. ТМиСМ КНИТУ, [email protected]; К. М. Алиев - асп. каф. ТМиСМ КНИТУ; Ф. А. Гарифуллин - д-р техн. наук, проф. каф. ТКМ КНИТУ; Ф. Р. Карибуллина - доц. каф. КМУ КНИТУ; Ф. Х. Тазюков -д-р техн. наук, проф. каф. ТМиСМ КНИТУ, [email protected].
58
