Течение крови в симметричной кровеносной артерии со стенозом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531/534: [57+61]

ТЕЧЕНИЕ КРОВИ В СИММЕТРИЧНОЙ КРОВЕНОСНОЙ АРТЕРИИ СО СТЕНОЗОМ

Ф.Х. Тазюков1, Джафар M. Хассан2, Х.А. Халаф1, Б.А. Снигерев1,

Сафаа Х. Абдул Рахман2

1 Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов Казанского национального научноисследовательского технологического университета, 420015, Россия, Казань, ул. Карла Маркса, 68, e-mail: tazyukov@mail.ru, eng.hussam@mail.ru

2 University of Technology, Al-Sina'a Street, P.O. Box: 35010, Baghdad, Iraq, e-mail:

Jafarmehdi1951@yahoo.com, drsafaa_hashim@yahoo.com

Технологический университет, Багдад, Ирак

Аннотация. В работе рассматривается численное моделирование течения неньютоновской жидкости методом контрольного объема, моделирующего течение крови в кровеносном сосуде со стенозом, при этом реологические свойства крови описываются обобщенной степенной моделью. Исследуется влияние числа Рейнольдса и степени стеноза на поведение жидкости. Показано, что при степени стеноза 75% максимальные значения скорости вдоль оси канала, давления и напряжений на стенках канала больше, чем при 25 и 50%-ной степени стеноза. Показано, что для дилатантной жидкости пиковые значения этих величин наибольшие, а для ньютоновской жидкости - минимальные.

Ключевые слова: вычислительная гидродинамика, метод контрольного объема, неньютоновская жидкость, степенная модель, течение крови, артерии со стенозом.

Введение

Артериальный стеноз представляет собой одно из самых часто встречающихся заболеваний, особенно широко распространен в западных странах: сильные стенозы приводят к параличу и инфаркту миокарда, которые относятся к главным причинам потери трудоспособности людей и смерти. Только в Соединенных штатах Америки по оценке, представленной Американским обществом кардиологии, в 2005 г. от кардиологических болезней скончалось 280 человек на 100 000 человек населения [8], это означает, что около 2400 американцев умирают от болезней сердца и сосудов каждый день (в среднем один человек каждые 37 секунд). Артериальные стенозы возникают из-за образования локального сужения кровеносного сосуда вследствие отложения холестерина на его стенках и разрастания соединительных биологических тканей, что приводит к образованию бляшек, которые увеличиваются внутрь сосуда и ограничивают движение крови. Вследствие этого биологические ткани сосудов получают меньше кислорода [10]. Развитие бляшек происходит наиболее часто в аорте, кровеносных артериях, сонной артерии [3].

© Тазюков Ф.Х., Джафар М. Хассан, Халаф Х.А., Снигерев Б.А., Абдул Рахман Сафаа Х., 2012 Тазюков Фарук Хоснутдинович, д.т.н., профессор кафедры теоретической механики и сопротивления материалов, Казань

Хасан Джафар Мехди, доктор наук, профессор кафедры прикладной механики, Багдад Халаф Хуссам Али, аспирант кафедры теоретической механики и сопротивления материалов, Казань Снигерев Борис Александрович, к.т.н., доцент кафедры теоретической механики и сопротивления материалов, Казань

Абдул Рахман Сафаа Хашим, доктор наук, доцент кафедры электромеханики, Багдад

09806267

Изучение гемодинамики стенозов имеет много клинических приложений [2]. Большинство медицинских предсказаний для диагностики предотвращения инфарктов миокарда, ишемических заболеваний сердца базируется на информации об образовании значительных стенозов в кровеносных сосудах. Таким образом, современное лечение кардиологических болезней основывается на выявлении места расположения и степени осложнения потока стенозом. Степень осложнения определяется в процентах уменьшения диаметра или площади течения в выбранном кровеносном сосуде. Когда степень стеноза превышает 75%, выявляется клиническая стадия [19]. В частности, для сонной и коронарной артерий назначается хирургическое лечение, если степень стеноза больше 75%, а для главной левой коронарной артерии эта величина составляет 50% [1, 3].

В настоящее время информация о степени развившегося стеноза и связанного с этим изменения характеристик потока крови может быть определена с помощью различных медицинских диагностических тестов. Анатомия степени повреждения сосуда может быть исследована с помощью лазерной томографии, которая определяет степень стеноза, но дает очень мало информации об изменении расхода в сосуде, возможного наибольшего потока и природы бляшки. Эта информация может быть получена с помощью допплеровского ультразвукового спектрального анализа [2], который позволяет, не разрушая сосуд, измерять величины, характеризующие изменение скорости в сужающемся потоке крови. С помощью новейшей технологии магнитного резонанса (МРТ) можно получать общую полную информацию, которая обеспечивается ультразвуковыми тестами и томографией [20]. Данные по давлению могут быть получены с помощью томографа, который определяет изменение локального пульсационного объема в сужении на основе отражения локальной волны давления. Действительная запись изменения давления может быть получена с помощью внутреннего катетера, связанного с датчиком давления. Тем не менее все эти диагностические тесты имеют недостатки. Рентгенография использует радиационные лучи, и их проникновение в артерии может привести к некоторым осложнениям. Ультразвуковые диагностики имеют ограничения с выбором объема исследования, времени прохождения и рассеивания луча. Применение этой методики ограничено только некоторыми сосудами в системе кровообращения вследствие акустических ограничений на диапазон колебаний звука и возникающих рассеивающихся колебаний в биологических тканях. Хотя технология магнитного резонанса была предложена как более дешевая по сравнению с рентгенографий, на ее основе, в отличие от допплеровской техники, можно обследовать большую часть сосудов. Гемодинамические исследования на основе МРТ показывают, что сигнал сильно ослабевает вблизи стеноза в сосуде. Он уменьшается, когда течение становится переходным или турбулентным. В заключение можно сказать, что исследование давления внутри кровеносных сосудов - достаточно трудоемкий процесс [3].

Данная работа посвящена численному моделированию ламинарного течения неньютоновской жидкости для трех различных реологических моделей в сосудах со стенозом, что очень важно при изучении гемодинамики, связанной с этим заболеванием. Особое внимание в данной работе уделено исследованию влияния таких параметров, как число Рейнольдса Re и степень стеноза St, для течений ньютоновских и неньютоновских жидкостей; определению изменения скорости вдоль оси, давления и касательных напряжений на стенке для различных значений числа Рейнольдса.

Математическая модель

Для описания движения несжимаемой жидкости используются уравнения сохранения количества движения и массы, записанные в следующем виде:

V ■ V = 0, (1)

V -Уг = -1Vр + У -т, Р

(2)

где V - вектор скорости; р - давление; т - девиатор напряжении; р - плотность;

V = і д

дх

+ І

ду'

В качестве конститутивного реологического уравнения, связывающего неньютоновские напряжения с градиентом скорости, принимается модель обобщенной ньютоновской жидкости (степенная модель):

т = Ц У:

(3)

где у - тензор скорости деформации, у = Уу + Ууг ; д - эффективная неньютоновская вязкость.

Жидкости, для которых динамическая вязкость не является постоянной величиной, а зависит от скорости сдвига, называются неньютоновскими. В действительности почти все физиологические жидкости характеризуются неньютоновским поведением, и их вязкость является функцией, зависящей от скорости сдвига д = д(у) = К у ”ч , а обобщенное число Рейнольдса Re определяется как

Re =

ри2-п (2а)п К

где и - характерная скорость (определяемая как средняя скорость); а - половина ширины канала во входном сечении; Кип- консистенция и показатель неньютоновости для степенной модели соответственно.

В данной работе течение предполагается ламинарным, несжимаемым, неньютоновским, а стенки сосудов являются твердыми стенками, на которых выполняется условие прилипания жидкости. На рис. 1 показана схема течения крови в кровеносной артерии со стенозом. Для описания формы поверхности со стенозом применяется модель Янга [18]:

Рис. 1. Схема течения в кровеносном сосуде со стенозом

h

у (* )=а—2

у (* ) = а,

, 2л

1 + cos—

ь

о V

в других случаях,

(4)

где а - радиус кровеносной артерии в той ее части, в которой нет стеноза; L0 - расстояние участка, где проявляется стеноз стенки сосуда; h - максимальная высота стеноза.

В качестве граничных условий задается установившееся параболическое течение Пуазейля на входе и выходе, при этом выходное сечение берется на достаточно удаленном расстоянии от стеноза для того, чтобы выходной поток стал установившимся. На всех твердых стенках ставится граничное условие прилипания жидкости.

Численный алгоритм

Конститутивное соотношение (3) решается совместно с уравнениями (1) и (2), с использованием метода контрольного объема. Область течения жидкости покрывается сеткой контрольных объемов. Для каждой неизвестной переменной, определяемой в центре контрольного объема, строится свой контрольный объем. Сетка контрольных объемов остается все время неподвижной. В данном исследовании строится прямоугольная сетка контрольных объемов. Для каждой неизвестной переменной определен свой контрольный объем. Фрагмент сетки контрольных объемов показан на рис. 2.

Для разных неизвестных переменных строится отдельная сетка контрольных объемов, которые разнесены по пространству, и такая сетка называется разнесенной сеткой контрольных объемов. Ее использование позволяет получить устойчивые решения для поля давления.

Уравнения сохранения массы, количества движения и конститутивное соотношение можно записать в следующей общей форме [4, 12, 16]:

_д_Г

д*

дф^ д

Лиф — Г — I н------

д*) ду

Лиф — ГдфЛ ду

= &

(5)

пп

ww

і а < к ■ — — - ! 1 1 и

W/ и V 1 т*у | туу и і 4-і Ду 1

1 1 4

V і 1 1 1

т

(5у)п

ее

(8у),

л_

(5*)м

55

(5*)е

Рис. 2. Контрольный объем с узловой точкой Р, находящейся в центре объема, для двумерной неразнесенной сетки контрольных объемов: давление, скорость и узлы

напряжений

где в качестве переменной Л принимается плотность р или время релаксации X для закона сохранения или конститутивного соотношения; ф - одна из зависимых переменных; Г - коэффициент диффузии и £ф - источниковый член.

Интегрируя уравнение (5) по контрольному объему, показанному на рис. 2, можно получить следующее уравнение:

Г— Лиф-Г— | йУ + Г| Лиф-Г— йУ = Г БфйУ. 'дх у дх) у у ду) у ф

,дф

Л

(6)

V ^ \ У V V

Из формулы Остроградского-Г аусса следует, что

Г— Лиф-Г— |-пйА + Г1 Лиф-Г— • пйА = ГБфйУ,

1 дх у дх) А у ду) У

,дф'

дх

дф

Л

(7)

где А - поверхность, ограничивающая объем V; п - единичный вектор нормали к поверхности. Интегрируя уравнение (7), получим

+■

|[(ЛифаХ-(Лифа1 ]

Г(Лифа)п -(Лифа)х ]-

ГД Г5ф^ -г А ^ ]

е е удх )е w w 1 *

г А Гдф! -г А

п п Удх )п s s і

■ +

= БфЛУ,

(8)

где каждое выражение в скобках вычисляется на соответствующей поверхности контрольного объема.

Для контроля сходимости результатов и обеспечения независимости от выбранного шага конечноразностной сетки проведены расчеты на сгущающихся сетках.

Численные результаты и обсуждение

Численное моделирование артериального стеноза дает возможность установить неагрессивным способом картину течения, вызванного стенозом. Оно дополняет информацию, которую можно получить с помощью экспериментальных исследований, и позволяет определить влияние формы стенки, типа и характера течения на степень заболевания. Такие параметры, как распределение скорости вдоль оси и падение давления, очень важны для установления развития физиологических и патологических условий в артерии. Особой характеристикой течения в пораженных стенозом сосудах является появление переходных и турбулентных режимов течения, которые рассматриваются как патологические, в отличие от нормального режима кровообращения. В кардиососудистых системах течение происходит при низких значениях числа Рейнольдса в ламинарном режиме. В свою очередь, в течениях со стенозом проявляются такие особенности, как разделение течения, вихревые зоны, сильные пограничные слои. Таким образом, наличие нескольких стенозов в кровеносном сосуде может значительно уменьшить расход крови вследствие появления вихревых зон и турбулентного режима.

В литературе много внимания уделяется рассмотрению стационарного и нестационарного режимов течения около стеноза. В вычислительной динамике жидкости рассматриваются пульсирующие течения в различных каналах со стенозом в ламинарном, переходном и турбулентном режимах. Сосуд со стенозом может быть представлен в виде прямой трубы с гладким локальным сужением. Широко используется для моделирования ламинарных течений при низких числах Рейнольдса метод конечных элементов [14]. 50 ISSN 1812-5123. Российский журнал биомеханики. 2012. Т. 16, № 1 (55): 46-56

Сосуд со стенозом представляется в виде двумерного осесимметричного канала. Таким образом, вычислительная область состоит только из половины области течения. Вихревая зона возникает сразу за стенозом, при этом при увеличении числа Рейнольдса протяженность вихревой зоны увеличивается и в силу постановки задачи течение является полностью симметричным. Метод контрольного объема также используется для моделирования ламинарных течений [6, 7, 9, 11]. В этом случае сосуд со стенозом представляется в виде трехмерной осесимметричной трубы. Для моделирования переходных течений в работах [5, 13, 15] использовался метод спектральных элементов. Для определения критического числа Рейнольдса, при превышении которого течение становится турбулентным, проводится анализ методом эволюции малых возмущений. В частности, стационарное течение подвергается слабому эффекту типа Коанда, когда течение как бы притягивается ближе к стенке, что приводит к небольшой асимметрии потока. Затем переход режима течения от переходного к турбулентному сопровождается бифуркацией потока. Это явление называется эффектом Коанда, который заключается в особенном поведении течения вблизи гладкой поверхности [17]. В трехмерных трубах эффект очень незначительный, в то время как для двумерных каналов неустойчивость течения типа Коанда проявляется сильнее и встречается при значительно более низких значениях числа Рейнольдса.

Для исследования и более глубокого понимания влияния эффекта Коанда сосуд со стенозом может быть представлен в виде двумерного симметричного канала с симметричным и гладким сужением. Заметим при этом, что задача не может решаться в симметричной постановке, поскольку в этом случае в качестве граничных условий для системы исходных разрешающих уравнений должны быть поставлены условия симметрии, что, в свою очередь, приводит к невозможности получения информации о поведении потока жидкости, проявляющей несимметричные свойства. Другим способом проявления эффекта Коанда является увеличение скорости жидкости вблизи одной из стенок канала, что, в свою очередь, приводит к уменьшению давления вблизи этой стенки и повышению давления вблизи другой. Таким образом, как только устанавливается различие давлений на стенках, можно утверждать о возникновении асимметрии в течении.

Влияние числа Рейнольдса Ще)

На рис. 3 показаны линии тока для различных значений числа Рейнольдса (Яе = 10, 30 и 50) для дилатантной модели жидкости. Из этих рисунков видно, что при малых значениях числа Re (рис. 3, а) за препятствием возникают две симметричные вихревые зоны на верхней и нижней стенке, что и следовало ожидать.

а

б

в

Рис. 3. Линии тока для дилатантной жидкости в сосуде (п = 1,2) с 66%-ной степенью стеноза: а - Яе = 10; б - Яе = 30; в - Яе = 50

При увеличении значения числа Рейнольдса вихревые зоны увеличиваются в размерах, и при превышении критического числа Яе проявляется феномен бифуркации в виде нарушения симметрии потока. Симметричное течение становится неустойчивым. Неустойчивость симметричного потока свидетельствует о возникновении несимметричности течения (рис. 3, б). Хотя форма стеноза и граничные условия на стенках симметричны, наблюдается несимметричность течения в области образования вихревых зон. Струя жидкости направлена к одной стороне трубы, где образуется большая вихревая зона, удаленная от стенозной области. Видно, что проявляется эффект нарушения симметрии потока, схожий с явлением бифуркации - потери симметрии потока при течении во внезапно расширяющемся канале [7]. В дополнение к основной вихревой зоне для всех моделей на нижней стенке видно образование вторичной вихревой зоны при Яе = 50. Вторичное течение образуется вследствие возникновения градиента давления вдоль стенки на противоположной стороне. На рис. 3, в видно образование вихревой зоны вниз по потоку после основной области циркуляционного течения.

Влияние степени стеноза ^)

В дальнейшем численно моделируется течение для Яе = 50 и степени стеноза (81), равной 25, 50 и 75% для трех реологических моделей жидкости. Линии тока, представленные на рис. 4, 5 и 6, показывают влияние степени сужения на характер течения для трех моделей жидкости. Из этих рисунков видно, что, когда стеноз составляет 25%, вихревые зоны не образуются, и даже при 50%-ной степени стеноза появляется только маленькая циркуляционная зона. Для 75%-ной степени стеноза циркуляционная зона является доминирующей в области течения. Видно, что увеличение степени стеноза приводит к увеличению размера вихревой зоны, а также к проявлению асимметрии в течении и образованию второй вихревой зоны за основной циркуляционной зоной.

Если происходит физиологический рост стеноза, это способствует появлению атеросклероза, что может привести к серьезному повреждению кровеносных сосудов. Можно отметить, что замкнутая циркуляционная зона с низкими и высокими значениями касательных напряжений может стать источником повреждения красных кровяных телец и формирования тромбоза. Дальнейшее увеличение стеноза приводит к тому, что часть артерии должна быть заменена на искусственный клапан. На рис. 7-9 представлено распределение осевой скорости, давления и касательного напряжения вдоль оси симметрии для псевдопластичной, ньютоновской и дилатантной жидкостей при значении числа Яе = 50. Показано, что для безразмерного распределения скорости максимальное значение скорости находится в узкой области течения для всех степеней сужения. Наблюдается большое падение давления, причем наибольшее падение давления происходит в области сужения. Наибольшие значения касательных напряжений обнаружены в области расположения стеноза, а отрицательные касательные напряжения на стенке получаются в области расположения вихревой зоны.

Рис. 4. Линии тока для псевдопластичной жидкости (п = 0,8) при Яе = 50: а - 81 = 25%;

б - 81 = 50%; в - 81 = 75%

Рис. 5. Линии тока для ньютоновской жидкости для Яе = 50: а - 81 = 25%; б - 81 = 50%;

в - 81 = 75%

в

Рис. 6. Линии тока для дилатантной жидкости (п = 1,2) для Яе = 50: а - 81 = 25%;

б - 81 = 50%; в - 81 = 75%

а б в

Рис. 7. Распределение осевой скорости (а), давления (б) и касательного напряжения (в) на стенке вдоль оси симметрии для псевдопластичной жидкости (п = 0,8) при Яе = 50

Для течения со степенью стеноза 75% преобладающим эффектом является распределение касательных напряжений независимо от увеличения или уменьшения его скорости в области расположения стеноза. Касательные напряжения растут перед сужением и имеют наибольшее пиковое значение в центре узкого прохода. Вниз по течению они уменьшаются. Образование большой циркуляционной зоны проявляется в том, что касательные напряжения здесь принимают отрицательные значения.

и

ХУ

О

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-------81 = 25%

------81 = 50%

-------81 = 75%

0,04

0,03

0,02

0,01

О

-0,01

10 20

х

б

30

-------81 = 25%

------81 = 50%

-------81 = 75%

10 20

х

30

Рис. 8. Распределение осевой скорости (а), давления (б) и касательного напряжения (в) на стенке вдоль оси симметрии для ньютоновской жидкости при Яе = 50

а

в

и

ХУ

0

-2

-4

-6

-8

-10

-12

а

б

Рис. 9. Распределение осевой скорости, давления и касательного напряжения на стенке вдоль оси симметрии для дилатантной жидкости (п = 1,2) при Яе = 50

в

а

X

б

X

в

Рис. 10. Распределение осевой скорости (а), давления (б) и касательного напряжения (в) на стенке вдоль оси симметрии для Яе = 50 при 81 = 75% для различных п (п = 0,8; 1 и 1,2)

и Р

Рис. 11. Распределение осевой скорости (а), давления (б) и касательного напряжения (в) на стенке вдоль оси симметрии для Re = 50 при St = 75% для различных n (n = 0,5; 1 и 1,5)

Также можно отметить, что пиковые значения увеличиваются с ростом степени стеноза и значения числа Re. На рис. 10, 11 показано сравнение результатов для трех реологических моделей. Обнаружено, что значения осевой скорости, давления и пиков касательных напряжений на стенке для ньютоновской жидкости минимальны, в то время как для дилатантной жидкости они максимальны.

Заключение

В работе представлено изучение нелинейных эффектов при течении крови в кровеносных артериях со стенозом для трех реологических моделей: ньютоновской, псевдопластичной и дилатантной. Численные расчеты были проведены с помощью метода контрольного объема для разных значений числа Рейнольдса и различной степени стеноза кровеносной артерии. Расчеты показали, что при малых значениях числа Рейнольдса в потоке развиваются симметричные вихревые зоны. С ростом значения числа Рейнольдса обнаруживается явление бифуркации в виде нарушения симметрии потока. При этом на верхней и нижней стенках возникают вихревые зоны различного размера. При увеличении числа Рейнольдса асимметрия потока проявляется сильнее. Значения осевой скорости, давления и пиков касательных напряжений на стенке для 75%-ной степени стеноза больше, чем для 25 и 50%-ной степеней стеноза. Пиковые значения величин для дилатантной жидкости максимальны.

В ньютоновской модели жидкости (n = 1) происходит уменьшение возмущений, в то время как при использовании дилатантной жидкости происходит увеличение возмущений для осевой скорости и касательных напряжений в сравнении с ньютоновской жидкостью. Распределение поля давления для трех моделей жидкости остается близким.

Список литературы

1. Chaitman B.R., Fisher L.D., Bourassa M.G., Davis K., Rogers W.J. Effect of coronary bypass surgery on survival patterns in subsets of patients with left main coronary artery disease. Report of the collaborative study in coronary artery surgery (CASS) // Am. J. Cardiol. - 1981. - Vol. 48. - P. 765-777.

2. Dawson D.L., Strandness D.E. Jr. Duplex scanning // Vascular diseases: surgical and interventional therapy / ed. by D.E. Strandness, A. Van Breda. - New York: Churchill Livingstone, 1994. - P. 157-199.

3. Dubini G. Flow dynamics through a stenosed vessel: M.Sc. Thesis. - Eindhoven: Eindhoven University of Technology, 2009.

4. Ferziger J.H., Peric M. Computational methods for fluid dynamics. - 3d ed. - New York: Springer-Verlag, 2002.

5. Griffith M.D., Leweke T., Thompson M.C., Hourigan K. Steady inlet flows in stenotic geometries: convective and absolute instabilities // J. Fluid Mech. - 2008. - Vol. 616. - P. 111-133.

6. Khalaf H.A., Tazyukov F.Kh., Kutuzov A.G., Lutfullina G.N. Bifurcation characteristics of flow in rectangular sudden expansion channels // Высокоэффективные технологии в химии, нефтехимии и нефтепереработке. - Нижнекамск, 2011. - С. 185-189.

7. Khalaf H.A., Tazyukov F.Kh., Snigerev B.A., Aliev K.M., Garifullin F.A. Bifurcation phenomena in the flow of non-Newtonian fluids in a symmetric channel with a suddenly expanded and contracted part // AERC 2011: 7th Annual European Rheology Conference. - Suzdal, 2011. - P. 113.

8. Lloyd-Jones D., Adams R., Carnethon M. Heart disease and stroke statistics 2009 update. A report from the American Heart Association statistics committee and stroke statistics subcommittee // Circulation. - 2009. -Vol. 3. - P. 119.

9. Long Q., Xu X.Y., Ramnarine K.V., Hoskins P. Numerical investigation of physiologically realistic pulsatile flow through arterial stenosis // J. Biomech. - 2001. - Vol. 34. - P. 1229-1242.

10. Lusis A.J. Atherosclerosis // Nature. - 2000. - Vol. 407. - P. 233-241.

11. Oliveira P.J. Asymmetric flows of viscoelastic fluids in symmetric planar expansion geometries // J. Non-Newtonian Fluid Mech. - 2003. - Vol. 114. - P. 33-63.

12. Patankar S.V. Numerical heat transfer and fluid flow. - New York: Hemispher, 1980.

13. Sherwin S.J., Blackburn H.M. Three-dimensional instabilities and transition of steady and pulsatile axisymmetric stenotic flows // J. Fluid Mech. - 2005. - Vol. 533. - P. 297-327.

14. Tu C., Deville M., Dheur L., Vanderschuren L. Finite element simulation of pulsatile flow through arterial stenosis // J. Biomech. - 1992. - Vol. 25. - P. 1141-1152.

15. Varghese S.S., Frankel S.H., Fischer P.F. Direct numerical simulation of stenotic flows. Part 1. Steady

flow // J. Fluid Mech. - 2007. - Vol. 582. - P. 253-280.

16. Versteeg H.K., Malalasekera W. An introduction to computational fluid dynamics: The finite volume method. - Harlow: Addison Wesley Longman, 1995.

17. Wille R., Fernholz H. Report on the first European mechanics colloquium on the Coanda effect // J. Fluid Mech. - 1965. - Vol. 23. - P. 801-819.

18. Young D.F. Fluid mechanics of arterial stenosis // J. Biomech. Eng. - 1979. - Vol. 101. - P. 157-173.

19. Young D.F. Effects of a time-dependent stenosis of flow through a tube // J. Eng. Ind. - 1968. -

Vol. 90. - P. 248-254.

20. Yucel E.K. Magnetic resonance angiography // Vascular diseases: surgical and interventional therapy / ed. by D.E. Strandness, A. Van Breda. - New York: Churchill Livingstone, 1994. - P. 289-302.

NON-NEWTONIAN FLOW OF BLOOD THROUGH A SYMMETRIC STENOSED ARTERY

F.Kh. Tazyukov (Kazan, Russia), Jafar M. Hassan (Baghdad, Iraq), H.A. Khalaf,

B.A. Snigerev (Kazan, Russia), Safaa H. Abdul Rahman (Baghdad, Iraq)

The problems of non-Newtonian blood flow through a stenosed artery are solved numerically using control volume method where the non-Newtonian rheology of the flowing blood is characterized by the generalized power-law model. The effects of Reynolds number and stenosis severity on the flow behavior are studied. The axial velocity, pressure, and wall shear stress peaks for 75% stenosis are higher than that for 25% and 50% stenosis. These peaks for the dilatant fluid model are the highest and for Newtonian fluid model they are minimal.

Key words: computational fluid dynamics, control volume method, non-Newtonian fluid, power-law model, blood flow, stenosed artery.

Получено 03 июля 2011