CC BY
56
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 1 (61)
НЕТРАДИЩИШ ВИДИ ТРАНСПОРТУ. МАШИНИ ТА МЕХАН1ЗМИ
УДК [621.822.1:621.166]:539.4
В. С. ЛОВЕИК1Н1, ю. В. ЧОВНЮК2, А. П. ЛЯШКО3*
1Каф. «Конструювання машин 1 обладнання», Нацюнальний ушверситет бюресур^ 1 природокористування Украши, вул. Герогв Оборони, 12, Ки!в, Украша, 03041, тел. +38 (044) 527 87 34, ел. пошта lovvs@ukr.net, (ЖСГО 0000-0003-4259-3900 '
2Каф. «Конструювання машин 1 обладнання», Нацюнальний ушверситет бюресур^ 1 природокористування Украши, вул. Герогв Оборони, 12, Кшв, Украша, 03041, тел.+38 (044) 527 87 34, ел. пошта ychovnyuk@ukr.net, (ЖСГО 0000-0002-0608-0203
3*Каф. «Конструювання машин 1 обладнання», Нацюнальний унгверситет бюресурав 1 природокористування Украши, вул. Герогв Оборони, 12, Кшв, Украша, 03041, тел.+38 (093) 584 60 80, ел. пошта laskoanastasia1989@gmail.com, ОЯСГО 0000-0002-3774-3348
ОСОБЛИВОСТ1 КОЛИВАНЬ ПРИВОДНИХ МЕХАН1ЗМ1В РОТОР1В
Мета. Наукова робота присвячена вивченню впливу динам1чних коефщенпв сегментних шдшипнишв (коефщенпв опору 1 циркуляцшно! сили) на стшшсть й субгармоншш автоколивн складов1 коливань ротора у нестшкш обласп частот обертання. Методика. Дослвдження базуеться на методах: теори коливань ме-хашчних систем 1з зосередженими параметрами; функцш Лагранжа; лшшно! алгебри. Результати. Дослщ-никами зроблено: а) обгрунтування дискретно! двомасово! модел1 незбалансованого ротора, в яшй врахован впливи на його обертання динашчних коефщентш; б) анал1з та вдосконалення метод1в 1нженерних розраху-нк1в стшкосп та параметр1в субгармошчних автоколивань у нестшкш обласп частот обертання ротора; в) встановлення та класиф1кац1я основних причин роторних в1брацш, конструктивних чи тих, що виникли при виготовленш, складанн1 та експлуатаци машин, а з шшо! сторони, специф1чних для роторних систем неконсервативних сил, як призводять при певних умовах до автоколивань; г) визначення (вдентифшашя) характерних особливостей/в1дмшност1 роторних в1брацш, котр1 полягають у тому, що у переважнш бшьшо-сп випадшв вони пов'язан з поперечними коливаннями ротор1в, у той час як крутш чи поздовжн коливання вщграють незр1внянно меншу роль, 1 тому останшми у даному дослвдженн знехтувано; д) показано, що характерною особлив1стю функцюнування роторних систем сучасних машин 1 агрегапв е вщсутшсть прямого зв'язку р1вня в1браци 1з величиною потужносп, яка передаеться через них чи виробля-еться двигуном. Наукова новизна. У робот1 авторами вперше враховаш нелшшт реакцп прошарку зма-щення шдшипнишв, а саме: коефщенти опору та циркуляцшно1 сили, яш визначають динашчт коефщенти сегментних шдшипнишв. Практична значимiсть. Уточнюються та суттево вдосконалюються 1нженерн1 розрахунки стшкосп та субгармошчних автоколивань ротора (незбалансованого) у нестшкш обласп частот його обертання. Результати дано! роботи можуть бути використаш для анал1зу тих роторних систем, у яких при певних умовах можуть виникати в1брацп, котр1 не викликан якимись зовшшшми перюдичними наван-таженнями (або недосконалостями самого ротора) й умови !х виникнення не зв'язан з якимись (будь якими) резонансними сшвввдношеннями (тобто системи, в яких виникають самозбудження або автоколивання). Останн викликан д1ею неконсервативних сил циркуляцшного типу (циркуляцшн1 сили пов'язаш з вектором перемщення ротора, а не з вектором швидкосп, як це мае мюце в системах 1з «негати-вним» тертям). Осшльки вектор циркуляцшних сил перпендикулярний до вектора перемщень ротора, то внаслвдок цього так1 сили можуть проявляти себе лише у мехашчних (роторних) системах 1з числом ступе-шв вшъносп руху бшьше одного. Окр1м того, важливою особлив1стю циркуляцшних сил е !х неконсервати-вшсть, тому результати роботи можна використати для дослщження неконсервативних роторних систем, яш мають несиметричну (кососиметричну) матрицю коефщенпв.
Ключовi слова: ротор; коливання; прив1д; особливоси; двомасова модель
Вступ
Численш експериментальнi дослiдження [5] коливань приводiв poTopiB показують, що у де-яких випадках поряд з синхронною процешею з'являються несинхроннi складовi коливань ротора, зокрема субгармонiйна складова з час-
тотою, яка дорiвнюe першш критичнiй частотi. Ця складова виникае при втратi стiйкостi обертання ротора [12]. Однак у деякш зош частот обертання, яка перевищуе граничну за стшюс-тю, амплггуди субгармонiки порiвняно невеликi й практично знаходяться у припустимих грани© В. С. Ловейкш, Ю. В. Човнюк, А. П. Ляшко, 2016
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 1 (61)
цях. Тому сам факт втрати стшкосп у низцi ви-падюв ще не означае настання аваршного стану, але може слугувати дiагностичним попере-дженням про можливий небажаний його розви-ток. Тому практичний iнтерес становить ви-вчення закономiрностей розвитку амплiтуд субгармонiйних складових.
Найбiльш суттевий внесок у дослщженш нелшшно1 динамiки роторних систем у шдши-пниках ковзання зробили М. Адамс, С. Г. Го-лоскоков, В. А. Гробов, А. I. Гурш, Ф. М. Дiме-нтберг, I. Б. Каршцев, О. С. Кельзон, Я. Юсшс-ю, М. В. Коровчинський, М. Я. Кушуль, Е. Л. По-зняк, В. I. Омоновський, А. Тондл, С. Шоу, М. Г. Шульженко [3, 4, 13, 23]. Проте автоколивш складовi коливань ротора вивченi недостатньо.
Мета
Метою ще1 роботи е вивчення впливу дина-мiчних коефщенпв сегментних пiдшипникiв (коефiцiентiв опору i циркулящйно1 сили) на стiйкiсть й субгармошчш автоколивнi складовi коливань ротора у нестшкш областi частот обе-ртання. Дослiдження виконано за допомогою двомасово! моделi, яка враховуе нелшшш реа-кцп прошарку змащення шдшипниюв.
Методика
У роботi використанi методи теори коливань механiчних систем iз зосередженими параметрами. Математична модель коливань ротора базуеться на застосуванш диферен-цiальних рiвнянь, якi отриманi на основi вста-новлено! функцп Лагранжа. Для обчислення власних частот коливань ротора використаш класичнi методи лшшно1 алгебри.
Результати
Дискретна двомасова модель ротора. На рис. 1 наведена розрахункова схема ротора.
Дискретна двомасова модель будувалась вщповщно до схеми, наведеною на рис. 2.
На рис. 2 позначено: тр = т2 - е^валентна
маса ротора; тп = т1 + т2 - е^валентна маса пiдшипникiв; q = 25ю йп - е^валентний кое-фiцiент циркулящйно1 сили; й = 2 йп - е^ва-лентний коефiцiент опору пiдшипникiв;
f = 2f - еквiвалентний коефiцieнт нелшшно! частини реакцп рщинного прошарку; C = C1 + C2 - еквiвалентна жорсткiсть шдшип-никiв; ю - частота обертання ротора. Дiапазони величин коефiцieнтiв опору dn, коефiцieнтiв циркуляцiйних сил 5, нелшшного коефiцieнта жорсткост fn, жорсткостей пiдшипникiв C1, C2 варiюються при комп'ютерному досл> дженнi у межах значень, яю вимiрюються на експериментальному стецщ за допомогою ме-тодiв щентифшацп, викладених у [13].
•
т, т2 т3
\с2
Рис. 1. Розрахункова схема модельного ротора Fig. 1. Analytical model of rotor
Рис. 2. Спрощена двомасова схема модельного ротора
Fig. 2. The simplified two-mass model of rotor
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 1 (61)
Коефщенти m1, m2, m3 можна визначити на основ1 методу розрахунку екв1валентних мас тримасово! модел1 за даними розрахунку влас-них частот та форм коливань розрахунково! модел1 роторно! системи [3].
Значення перших трьох критичних частот, визначених за допомогою дискретно! тримасово! модел^ в1др1зняються вщ обчислених на ПЕОМ (модель ¡з застосуванням методу сю-нченних елеменпв) вщповщно 1,3; 24,1; 2,4 %.
Припускаючи приблизну симетрда розм> щення мас на валу, приймаемо екв1валентну схему, наведену на рис. 2 вище. Слщ зазначити, що використання трьох i бшьшо! кшькосп ма-сових схем суттево ускладнюе математичну модель, що призводить до збiльшення часу числового штегрування (до 8-10 годин для прора-хунку одного варiанта) й у низцi випадкiв — до накопичення неприпустимих похибок. У той же час, як показують паралельш розрахунки (для спiвставлення), двомасова модель дае практично т ж результати.
Рiвняння динамiки ротора, як вiдповiдають схемi рис. 3, записуються у виглядi:
m,
m,
m,
m,
(1)
• = юк
'б j , = юб , 2 , dt d t dt d T2
де а6 - базова частота обертання. Як базову
частоту юб беремо першу критичну частоту
дискретно! модель
1з врахуванням цих спiввiдношень система (1) набувае вигляду:
mpюбx1TT + CE (xj - x2) = mpeюб ra2cos(cot), m '-1-'-
юб У1тт + CE (1 - У2 ) = mp e ю2 ®2sin (ct), mH®2x1tt + CE (X1 - X2 ) + CX2 + dЮбX2T +
+ ЯУ2 + fr 2 X2 = 0,
!пю2У1тт + CE (1 - У2 ) + ^2 + dюбУ2T -
- qx2 + fr 2 y 2 = 0.
(2)
m
У (2) ю = ю/
С
- вiдносна частота;
Jic1 + CE (xj - x2) = mpec2cos(cot),
У + CE (У1 - У 2 ) = mpe ®2sin (ct)
пx1 + CE (x1 - x2) + cx2 + dx2 + qy2 +
+ fr2 X2 = 0,
Iy1 + CE (У1 - У2 ) + СУ2 + dy2 - qx2 +
+ fr 2 У 2 = 0,
де r - радiус опорних шийок ротора.
У (1) позначення: x1, у1 - координати центру мас ротора; x2, y2 - координати цен^в пе-рерiзiв пiд пiдшипниками.
Для зручностi обчислень доцшьно перейти до безрозмiрного часу зпдно з сшввщношен-нями:
т = юб t, x(t) ^ x(t),
dx dx d2 x 2 d2 x
а11 а12 а13 а14
а21 а22 а23 а24
а31 а32 а33 а34
а41 а42 а43 а44
ю2 +Се ; а21 = 2 II 0
СЕ = 1/522 - жорстюсть валу, де 522 - тддат-ливiсть валу, яка дорiвнюе прогину у точцi розмiщення маси m2 вiд одинично! сили, при-кладено! у тiй самiй точщ.
Анал1з динам1ки ротора: анал1тичний nid-xid. Виходячи з системи (1), визначимо спочат-ку власнi частоти коливань роторно! системи. 1х можна знайти, розв'язавши рiвняння:
(3)
„—и ...p
а31 = -mnю2 - Ce ; = 0; а12 = -Се ;
а32 = СЕ + С + icd + fr2; а42 =-q ; а13 = 0 ;
а23 = -mpю2 + СЕ; а33 = 0; а43 = -mHra2 - CE ;
а14 = 0 ; а24 = -СЕ ; а34 = q ;
а44 = СЕ + С + i rad + fr2; i2 =-1.
Для знаходження корешв (3) вважаемо, що всi коефщенти akl, (k, l) = (1, 4) детермшанта (3),
отриманi за умови, коли (x12; y12) « exp (ira t),
ю - шукана частота. У розгорнутому виглядi маемо замiсть (3) рiвнянпя для визначення ю:
(-mp И2 + CE ){(-mp ®2 + CE )Х
(CE + C + irad + fr2 )2 + q2 + CE x
HayKa Ta nporpec TpaHcnopTy. BicHHK ^HinponeTpoBcbKoro Ha^oH&nbHoro yHiBepcHTeTy 3&ri3HHHHoro TpaHcnopTy, 2016, № 1 (61)
x|(-mpra2 + CE )(CE + C + irad + fr2)]} +
+CE (mn®2 + CE )X
x|(mnra2 -CE)(CE + C + irad + fr2) +
+Ce (m„o2 + Ce )] = 0. nicna HecKnagHHx nepeTBopeHb MaTHMeMo:
(-mpra2 + CE ) (CE + C + irad + fr2) + q
CE ( mn®2 + CE f + 2 ( mp ®2 - CE ) CE X x(mnra2 + CE )(CE + C + irad + fr2) = 0 . (4) PiBHAHHa (4) MO^Ha nogara TaK: mpra2 - CE)(CE + C + irad + fr2) +
+CE (mnra2 + CE) + q2 (mpra2 - CE ) = 0. (5)
a6o
= 0;
, . CE (mnra2 + CE ) (Ce + C + fr 2 ) + -^ + i (rad + q)
( - Ce )
, . CE (mnra2 + CE )
(Ce + C + fr2)+ Ev E -i(-rad + q) = 0;
a6o
(mpffl2 - Ce )
, . CE (mnra2 + CE )
(Ce + C + fr2)+ ( C ) +
(mpra - Ce )
+ i (q + rad ) = 0;
. . CE (mnra2 + CE)
(Ce + C + fr2)+ ( C ) +
(mpra - Ce )
+ i (rad - q) = 0.
(6)
3 gpyroro piBHHHHa chctcmh (6) BHnnHBae, ^o y poTopmö CHCTeMi Mo^^HBi Tpu THnu KonHBaHb:
а) 3aryxaroni y naci, kohh ra d > q;
б) He3aryxaroni y naci, kohh ra d = q; PiBHaHHa (5) Mae gBa cniBMHo^HHKH, ko^hhh b) Hapocraroni y naci, koot ra d < q .
3 nepmoro piBHaHHa cucreMH (6) BHnnHBae, ^o y poTopHiö cucTeMi Mo^nHBi 3aryxaroni ko-nHBaHHa, iHTeHcHBHicTb 3araxaHHa akhx y naci nponop^oHarnHa -Jq+rad .
CaMa nacToTa KonHBaHb cucreMH BH3Ha-
naeTbca (3a yMoBH, ^o gucunaTHBHi npoцecн cnpaBnaroTb He3HanHHH BnnHB Ha kohhbhhh npo-цec) 3 BHpa3y:
3 3KHX BH3Hanae xapaKTepHi nacTOTH cucTeMH:
(mpra2 - CE)(CE + C + irad + fr2) +
+Ce (mnra2 + Ce ) + iq (mpra2 - Ce ) = 0; (mpra2 - CE)(CE + C + irad + fr2) +
+CE (mnra2 + ce )+(-i )q (mpra2 - ce ) =0;
a6o
. . CE (mnra2 + CE)
(CE + C + irad + fr -r^- + iq1 = 0;
(mpra2 - Ce )
, . CE (mnra2 + CE )
(CE + C + irad + fr2 -r^ - iq1 = 0;
(mpra2 - Ce )
, N CE (mnra2 + CE )
(Ce + C + fr2)+ ( n2 C ) ^ 0.
(mpra - CE)
3HaögeMo цi nacTOTH KonHBaHb:
ra ' =
ra ' = -
m.
CE (mnra2 + CE )
(Ce + C + fr2) + mnCE
CE ((2 + CE )
p (Ce + C + fr2) + mnCE
1/2
12
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету затазничиого транспорту, 2016, № 1 (61)
Оскшьки функци cos (ют) та sin (ют) лшш-но незалежш, з (9) матимемо:
mX (-ю)2 A + Ce (A - A ) + +CA2 + fr2A2 + (dюбюB2 - qA2 )2 = 0;
m^ (-ю)2 B1 + Ce (B2 - B1) +
+ (C + fr2 )B2 = 0.
(10)
Знаки (+) й (—) визначають напрям обертан-ня валу (прямий та зворотний вщповщно).
Частоти ю(+) i ю( ' визначають критичнi значення частот обертання ротора, за яких у ро-торнiй системi можливi значення коливання.
Тепер дослщимо вимушенi коливання роторно! системи анаттичними методами.
Використовуючи рiвняння системи (2), можна !! аналiтично розв'язати i записати розв'язки, якi вiдповiдають правш частинi перших двох рiвнянь вказано! системи. Тепер спiвставимо (7) i (10). Можна анал>
Так, змшш x1 (т), x2 (т) обираемо у ви- т1™ знайти !х роз'вязки з таких систем р^-глядi: x1 (т) = А1 cos (ют); x2 (т) = А2 cos (ют) .
Для змшних y1 (т) , y2 (т) обираемо розв'я-зок так: y1 (т) = B1 sin (ю т) ; y2 (т) = B2 sin (ют) .
Тодi першi два рiвняння системи (2) набу-вають вигляду:
нянь:
-mp юб
(+ю)2 A1 + Ce (A - A2 ) = mpe
2 —2 юю ;
-mpю^ (+ю) B1 + CE (B1 - B2 ) = mpeюб ю2.
(7)
Для двох останнiх рiвнянь системи (2) матимемо:
mHю2 (-ю)2 A1 cos (ют) + CE (A2 - A1) x
xcos(ют) + cA2cos(ют) + fr2A2 x x cos (ют) - dюбюA2 sin (ют) +
+ qB2sin (ют) = 0; (8)
Шпю2б (-ю)2 B1 + CE (B2 - B1 ) +
+ (C + fr2 )B2 sin (ют)-d ffl6SB2 x
x cos (ют) + qA2 cos (ют) = 0. Складемо рiвняння системи (8), отримаемо:
-2 = mpe ю2ю2;
[mр ю^-ю)2 + Ce ] А - CeA2 [mnю^-ю)2 - Ce ] А +
+ (CE + С + fr2 - 2q) А2 + 2dюбюВ2 = 0; [mрю^-ю)2 + CE ]В1 - CEВ2 = mpeю^ю2; [mnю^-ю)2 - CE ]В1 +
+ (Ce + С + fr2)) = 0.
(11)
З двох останшх рiвиянь системи (11) легко
e ю2 ю2 ( CE + С + fr2)
знайти B1 i B2:
m„
В1 =-
A
В2 =
(с
E + mH ю^ю2) mpe юб ю2
A
де
mn(-ю)2 A1 + Ce (A2 - A1) + CA + fr2A2 xcos(ют) + (юбюB2 - qA2)cos(ют) = 0; mnю2 (-ю)2 B1 + Ce (B2 - B ) + (C + fr2 ) x sin (ют) + (dюбюB2 - qA2 )sin (ют) = 0.
(9)
A = (mp + mn)ю2 (-ю)2 Ce +
+ (c + fr2)[ce + mpюб (-ю) З перших двох рiвнянь системи (11) маемо:
\_mpю^(-Ю)2 + CE ] А + ( CE ) A2 =
2 — 2 збю ;
(12)
= mpe ю^ю2;
[mnюб (-ю)2 - Ce ] А +
+(CE + С + fr2 -2q)А2 = -2dюбюВ2.
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 1 (61)
Введемо позначення: [трш2 (-ш)2 + CE ] (CE + С + fr2 - 2q) +
+CE [тпш2(-Ш)2 -CE] = A*. (13)
Тод1 A1, A2 визначимо з (12), враховуючи (13), за допомогою правила Крамара:
А =
трю6ш2
+ Ce (Ce + С + fr2 - 2q) + + CE (-2d)to6юВ2
A"
A2 =•
[трю6 (-ш)2 - CE J (-2dю6юВ2)-- [тп®б(-Ш)2 - Ce ] трею^2
x1 = Ajcos (ют); x2 = A2cos (ют);
+ С + fr2 -+ CE (-2d)ю6юВ
А =
A2 =
трю2ю2 + CE (CE + С + fr2 - 2q) +
A"
трюб<
(-ю)2 - CE (-2dю6юВ2)
т
пю2 (-ю) - CE
тр ею2ю2
A"
A" =
трю6 <-1
(-ю)2 + Ce ](Ce + С + fr2- 2q) +
+ CE [тпю2 (-ю)2 - CE ] .
A"
На основ! формули (14) по6удовано графши залежност коливань координат центру мас ро-
Таким чином, остаточно «вимушеш» роз- тора за таких вихЗДних даних: тр =200 кг;
в'язки системи (2) (як1, до реч1, з плином часу е = 0,002 м; ю6 = 465; СЕ = 5• 109; С = 12-105; й залишаються, 6о власн1 коливання системи за
затухають) f = 2000; r = 0,°26; тп =10.
уьм 4. П10 7 -
рахунок дисипативних процес1в
мають вигляд:
y = B1 sin (ют); y2 = В2 sin (ют);
трв ю2 ю2 (( + С + fr2)
В =■
A
В2 =
(2 2 \ 2 2
CE + тпю6ю )трею6ю
A
(14)
2. Ш0 7
A = (mp + тп )ю22(-ю)2 Ce +
+ (С + fr2 )[Ce + трю2(-ю)2 ].
Рис. 3. Графж коливання координати y1 Fig. 3. Oscillation graph of y -coordinate
Х1,м 3. П10 7
1. П10 7
2. П10 7
3. П10
Рис. 4. Графiк коливання координати y1 Fig. 4. Oscillation graph of x1 -coordinate
2. Ш0
t,c
0
t,c
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету зашзничного транспорту, 2016, № 1 (61)
Наукова новизна та практична значимкть
Висновки
1. Отримаш аналггичш розв'язки задачi
СПИСОК ВИКОРИСТАШИХ ДЖЕРЕЛ
6.
Шаукова новизна полягае у тому, що вперше врахованi нелiнiйнi реакци прошарку змащення пiдшипникiв, а саме: коефщенти (опору i цир- 7. куляцшно! сили), якi визначають динамiчнi ко-ефiцiенти сегментних пiдшипникiв.
Практична значимють роботи полягае у тому, що уточнюються i суттево вдосконалюють-ся iнженернi розрахунки стшкосп та субгармо- 8 нiчних автоколивань ротора (незбалансованого) у нестiйкiй област частот його обертання.
9.
10.
коливань двомасово1 моделi ротора, у якш вра-хованi нелiнiйнi реакци рщинного прошарку пiдшипникiв ковзання.
2. Отримаш у робот результати можуть 11 бути у подальшому використаш для уточнення й вдосконалення iнженерних методiв розрахун-ку подiбних систем як на стадп 1х проектуван- I2 ня/конструювання, так i у режимах реально1 експлуатацi1.
13.
1. Бондаренко, I. О. Особливосп процесу розпов-сюдження коливань при деформативнш робот 14. зал1знично! коли / I. О. Бондаренко // Наука та прогрес транспорту. - 2015. - № 5 (59). -
С. 75-83. 10.15802Мр2015/55336.
2. Вибрации в технике : Справочник в 6-ти т. / под. ред. В. Н. Челомей. - Москва : Машиностроение, 1980. - Т. 3. - 544 с. 15.
3. Гадяка, В. Г. Математическая модель ротора турбокомпрессора для исследования несинхронных составляющих вибраций / В. Г. Гадяка, Д. В. Лейких, В. И. Симоновский // Компрессорное и энергетическое машиностроение. 16. - 2010. - № 2 (20). - С. 48-50.
4. Гадяка, В. Г. Оценивание влияния нелинейных реакций сегментных подшипников на динамику и устойчивость роторов турбокомпресоров /
B. Г. Гадяка, Д. В. Лейких, В. И. Симоновский 17. // Тр. МНТК / Ин-т проблем прочности им.
Г. С. Писаренко НАН Украины. - Киев, 2011. -
C. 17-24.
5. Гадяка, В. Г. Экспериментальное исследование динамики ротора в неустойчивой области 18. частот вращения / В. Г. Гадяка, Д. В. Лейких,
B. И. Симоновский // Проблемы машиностроения. - 2009. - Вып. 12, № 5. - С. 81-85. Диментберг, Ф. М. Изгибные колебания вращающихся валов / Ф. М. Диментберг. - Москва : АШ СССР, 1959. - 340 с. 1скович-Лотоцький, Р. Д. Основи резонансно-структурно! теорп в1броударного розвантажен-ня транспортних засоб1в / Р. Д. 1скович-Лото-цький, I. В. 1ванчук, Я. П. Веселовський // Наука та прогрес транспорту. - 2014. - № 5 (53). -
C. 109-118. doi: 10.15802/stp2014/30458. Кельзон, А. С. Расчет и конструирование роторных машин / А. С. Кельзон, Ю. Н. Журавлев, Н. В. Январев. - Ленинград : Машино-страение, 1977. - 260 с.
Кушуль, И. Я. Автоколебания роторов / И. Я. Ку-шуль. - Москва : АН СССР, 1963. - 250 с. Позняк, Э. Д. Автоколебания роторов со многими степенями свободы / £. Д. Позняк // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - Москва, 1977. - № 2. - С. 40-50.
Рагульскис, К. М. Вибрации роторных систем / К. М. Рагульскис, Р. Д. Ионушас, А. К. Бакшис.
- Вильнюс : Мокслас, 1976. - 190 с. Симоновский, В. И. Динамика роторов центробежных машин / В. И. Симоновский. - Сумы : СумГу, 2006. - 126 с.
Симоновський, В. I. Уточнення математичних моделей коливальних систем за експеримен-тальними даними / В. I. Симоновський. - Суми : СумДУ, 2010. - 92 с.
Black, H. F. Vibration of a rotating asymmetric shaft supported in asymmetric bearing / H. F. Black, A. J. MacTernan // J. of Mechanical Engineering Sciences. - 1968. - Vol. 10. - Iss. 3.
- P. 252-261. doi: 10.1243 / jmes_jour_-1968_010_037_02.
Chen, X. Q. Research on Field Balancing of Rotor / X. Q. Chen, Y. J. Jia, G. Z. Cheng // Applied Mechanics and Materials. - 2012. - Vol. 201-202.
- P. 83-86. doi: 10.4028/www.scientific.net-/amm.201-202.83.
Köenig, E. C. Analysis for calculating lateral vibration characteristics of rotating systems with any number of flexible supports / E. C. Köenig // J. of Applied Mechanics. - 1961. - Vol. 28. - Iss. 4. -P. 585-590. doi: 10.1115/1.3641788. Li, C. Analysis of Loads at Crankshaft Bearing for Scroll Compressor / C. Li, Y. Yu, M. Zhao // Applied Mechanics and Materials. - 2012. - Vol. 160. - P. 42-46. doi: 10.4028/www.scientific.net-/amm.160.42.
Li, X. Balancing of flexible rotors without trial weights based on finite element modal analysis / X. Li, L. Zheng, Z. Liu // J. of Vibration and Con-
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 1 (61)
trol. - 2013. - Vol. 19. - Iss. 3. - P. 461-470. doi: 10.1177/1077546311433916.
19. Loewy, R. G. Dynamics of rotating shafts / R. G. Loewy, V. J. Piarulli. - Washington : Pe-gramon Press, 1969. - 300 p.
20. Memmot, E. A. Stability and Testing of a Train of Centrifugal Compressors / E. A. Memmot // ASME 1998 Intern. Gas Turbine and Aeroengine Congress and Exhibition. (2.06.-5.06.1998). -Stockholm, Sweden, 1998. - Vol. 5. - P. 1-8. doi: 10.1115/98-gt-378.
21. Morton, P. G. On the dynamics of large turbogenerator rotors / P. G. Morton // Proc. of Institute of Mechanical Engineering. - 1965. - Vol. 180. -Iss. 9. - P. 133-150. doi: 10.1243/pime_conf_-1965 180 240 02.
22. Static Analysis on Slewing Bearing with Negative Clearance Based on ANSYS 19 / M. Qiu, J. F. Yan, L. Chen, B. H. Zhao // Applied Mechanics and Materials. - 2010. - Vol. 42. - P. 196-199. doi: 10.4028/www.scientific.net/amm.42.196.
23. Sudhakar, G. N. D. S. Identification of unbalance in a rotor bearing system / G. N. D. S. Sudhakar, A. S. Sekhar // J. of Sound and Vibration. - 2011. - Vol. 330. - Iss. 10. - P. 2299-2313. doi: 10.1016/j.jsv.2010.11.028.
24. Yuan, X. The Inner Equilibrium Analysis and Counterweight Design of Engine / X. Yuan, T. Wang, W. X. Fan // Applied Mechanics and Materials. - 2010. - Vol. 44-47. - P. 1051-1055.
В. С. ЛОВЕИКИН1, Ю. В. ЧОВНЮК2, А. П. ЛЯШКО3*
'Каф. «Конструирование машин и оборудования», Национальный университет биоресурсов и природопользования Украины, ул. Героев Обороны, 12, Киев, Украина, 03041, тел. +38 (044) 527 87 34, эл. почта lovvs@ukr.net, (ЖСГО 0000-0003-4259-3900
2Каф. «Конструирование машин и оборудования», Национальный университет биоресурсов и природопользования Украины, ул. Героев Обороны, 12, Киев, Украина, 03041, тел. +38 (044) 527 87 34, эл. почта ychovnyuk@ukr.net, (ЖСГО 0000-0002-0608-0203
3*Каф. «Конструирование машин и оборудования», Национальный университет биоресурсов и природопользования Украины, ул. Героев Обороны, 12, Киев, Украина, 03041, тел. +38 (093) 584 60 80, эл. почта laskoanastasia1989@gmail.com, ОЯСГО 0000-0002-3774-3348
ОСОБЕННОСТИ КОЛЕБАНИЙ ПРИВОДНЫХ МЕХАНИЗМОВ РОТОРОВ
Цель. Научная работа посвящена изучению влияния динамических коэффициентов сегментных подшипников (коэффициентов сопротивления и циркуляционной силы) на устойчивость и субгармоничные автоколеблющиеся составляющие колебаний ротора в неустойчивой области частот вращения. Методика. Исследование базируется на методах: теории колебаний механических систем с сосредоточенными параметрами; функций Лагранжа; линейной алгебры. Результаты. Исследователями сделано: а) обоснование дискретной двухмассовой модели несбалансированного ротора, в которой учтены влияния на его вращения динамических коэффициентов; б) анализ и совершенствование методов инженерных расчетов устойчивости и параметров субгармоничных автоколебаний в неустойчивой области частот вращения ротора; в) установка и классификация основных причин роторных вибраций, конструктивных или тех, которые возникли при изготовлении, сборке и эксплуатации машин, а с другой стороны, специфических для роторных систем неконсервативных сил, которые приводят при определенных условиях к автоколебаниям; г) определение (идентификация) характерных особенностей/различий роторных вибраций, которые заключаются в том, что в подавляющем большинстве случаев они связаны с поперечными колебаниями роторов, в то время как крутящие или продольные колебания играют несравнимо меньшую роль, и поэтому последние в данном исследовании отвергнуты; д) показано, что характерной особенностью функционирования роторных систем современных машин и агрегатов есть отсутствие прямой связи уровня вибрации с величиной мощности, которая передается через них или вырабатывается двигателем. Научная новизна. В работе авторами впервые учтены нелинейные реакции слоя смазки подшипников, а именно: коэффициенты сопротивления и циркуляционной силы, которые определяют динамические коэффициенты сегментных подшипников. Практическая значимость. Уточняются и существенно совершенствуются инженерные расчеты устойчивости и субгармоничных автоколебаний ротора (несбалансированного) в неустойчивой области частот его вращения. Результаты данной работы могут быть использованы для анализа тех роторных систем, в которых при определенных условиях могут возникать вибрации, которые не вызваны какими-то внешними периоди-
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 1 (61)
ческими нагрузками (или несовершенствами самого ротора) и условия возникновения которых не связаны с какими-то (любыми) резонансными соотношениями (т.е. системы, в которых возникают самовозбуждения или автоколебания). Последние вызваны действием неконсервативных сил циркуляционного типа (циркуляционные силы связаны с вектором перемещения ротора, а не с вектором скорости, как это имеет место в системах с «отрицательным» трением). Поскольку вектор циркуляционных сил перпендикулярен вектору перемещений ротора, то в результате этого такие силы могут проявлять себя только в механических (роторных) системах с числом степеней свободы движения больше одного. Кроме того, важной особенностью циркуляционных сил есть их неконсервативность, поэтому результаты работы можно использовать для исследования неконсервативных роторных систем, имеющих несимметричную (кососимметрич-ную) матрицу коэффициентов.
Ключевые слова: ротор; колебания; привод; особенности; двухмассовая модель
V. S. LOVEIKIN1, YU. V. CHOVNYUK2, A. P. LYASHKO3*
1Dep. «Construction Machinery and Equipment», National University of Life and Environmental Sciences of Ukraine, Heroiv Oborony St., 12, Kyiv, Ukraine , 03041, tel. +38 (044) 527 87 34, e-mail lovvs@ukr.net, ORCID 0000-0003-4259-3900
2Dep. «Construction Machinery and Equipment», National University of Life and Environmental Sciences of Ukraine, Heroiv Oborony St., 12, Kyiv, Ukraine, 03041, tel. +38 (044) 527 87 34, e-mail ychovnyuk@ukr.net, 3O*RCID 0000-0002-0608-0203
3*Dep. «Construction Machinery and Equipment», National University of Life and Environmental Sciences of Ukraine, Heroiv Oborony St., 12, Kyiv, Ukraine, 03041, tel. +38 (093) 584 60 80, e-mail laskoanastasia1989@gmail.com, ORCID 0000-0002-3774-3348
SPECIALTY OF ROTOR'S DRIVE MECHANISM OSCILLATIONS
Purpose. Scientific work is devoted to study the influence of dynamic coefficients of bearings segment (coefficients of resistance and recirculating power) on stability and subharmonics self-oscillating components of the rotor vibration in unstable region of rotational speeds. Methodology. The study is based on the methods: the theory of vibrations of mechanical systems with lumped parameters; Lagrange functions; linear algebra. Findings. The researchers made: a) justification of the discrete two-mass model of an unbalanced rotor, which takes into account the influence of rotation on dynamic coefficients; b) analysis and improvement of methods for engineering analysis of stability and parameter subharmonic self-oscillations in the unstable range of frequencies of rotation of the rotor; c) installation and classification of the main rotor causes of vibrations constructive or those arising in the manufacture, assembly and operation of the machine, and on the other hand, rotary systems specific for non-conservative forces, that lead under certain conditions to the self-oscillation; d) determination (identification) the characteristics/differences of rotor vibration, which lies in the fact that in most cases they are associated with the transverse vibrations of the rotors, while torsional or longitudinal oscillations play the incomparably smaller role, and therefore the last in this study were rejected; e)it is shown that the characteristic feature of the functioning of rotor systems of modern machines and units have no direct relationship with the level of vibration with amount of power that is transmitted through them or produced engine. Originality. In this paper the authors first considered the nonlinear response bearing lubrication layer, namely the coefficients of resistance and circulating forces that determine the dynamic coefficient of segment bearings. Practical value. The engineering calculations subharmonic stability and self-oscillations of the rotor (unbalanced) in unstable frequency of rotation are adjusted and significantly improved. The results of this work can be used to analyze rotary systems which under certain conditions can cause vibration that is not caused by some external periodic loads (or imperfections of the rotor) and the conditions of occurrence of which is not associated with some (any) resonant ratio (i.e., the system with self-excitation or self-oscillations). The latter are caused by the action of nonconservative forces of circulation type (circulation strength associated with the displacement vector of the rotor, not the velocity vector, as in systems with «negative» friction). As the circulating force vector is perpendicular to the vector displacement of the rotor, resulting in such a force can manifest themselves only in mechanical (rotary) systems with many degrees of freedom of movement greater than one. In addition, an important feature of the circulation of forces there should not be conservative, so the results can be used to study non-conservative rotor systems with asymmetric (skew-symmetric) matrix of coefficients.
Keywords: rotor; oscillations; actuator; characteristics; two-mass model
HayKa Ta nporpec TpaHcnopTy. BicHHK ^mnponeTpoBCbKoro Ha^oH&nbHoro ymBepcureTy 3&ni3HHHHoro TpaHcnopTy, 2016, № 1 (61)
REFERENCES
1. Bondarenko I.O. Osoblyvosti protsesu rozpovsiudzhennia kolyvan pry deformatyvnii roboti zaliznychnoi kolii [Process features of fluctuations propagation at stress-strain work of the railway track]. Nauka ta prohres transportu - Science and Transport Progress, 2015, no. 5 (59), pp. 75-83. doi: 10.15802/stp2015/55336.
2. Chelomey V.N. Vibratsii v tekhnike [Vibrations in the technique]. Moscow, Mashinostroyeniye Publ., 1980. 544 p.
3. Gadyaka V.G., Leykikh D.V., Simonovskiy V.I. Matematicheskaya model rotora turbokompressora dlya isledovaniya nesinkhronnykh sostavlyayushchikh vibratsiy [A mathematical model for the study of the turbocharger rotor for asynchronous vibration components]. Kompressornoye i energeticheskoye mashinostro-eniye - Compressor and Power Engineering, 2010, no. 2 (20), pp. 48-50.
4. Gadyaka V.G., Leykikh D.V., Simonovskiy V.I. Otsenivaniye vliyaniya nelineynykh reaktsiy segmentnykh podshipnikov na dinamiku i ustoychivost rotorov turbokompresorov [Evaluation of the influence of nonlinear reactions of segmental bearings on the dynamics and stability of turbochargers rotors]. Trudy mizhnarodnoi naukovo-tekhnichnoi konferentsii [Proc. of Intern. Sci. and Techn. Conf.]. Kyiv, 2011, pp.17-24.
5. Gadyaka V.G., Leykikh D.V., Simonovskiy V.I. Eksperimentalnoye issledovaniye dinamiki rotora v neustoychivoy oblasti chastot vrashcheniya [Experimental study of the dynamics of the rotor in the unstable region of rotational speeds]. Problemy mashinostroyeniya - Problems of Mechanical Engineering, 2009, vol. 12, no. 5, pp. 81-85.
6. Dimentberg F.M. Izgibnyye kolebaniya vrashchayushchikhsya valov [Flexural vibrations of rotating shafts]. Moscow, AN SSSR Publ., 1959. 340 p.
7. Iskovych-Lototskyi R.D., Ivanchuk I.V., Veselovskyi Ya.P. Osnovy rezonansno-strukturnoi teorii vibrou-darnoho rozvantazhennia transportnykh zasobiv [The basis of resonance-structural theory of vibration shock unloading of the vehicle]. Nauka ta prohres transportu - Science and Transport Progress, 2014, no. 5 (53), pp. 109-118. doi: 10.15802/stp2014/30458.
8. Kelzon A.S., Zhuravlev Yu.N., Yanvarev N.V. Raschet i konstruirovaniye rotornykh mashin [Calculation and design of rotating machines]. Leningrad, Mashinostroyeniye Publ., 1977. 260 p.
9. Kushul I.Ya. Avtokolebaniya rotorov [Self-oscillations of the rotors]. Moscow, AN SSSR Publ., 1963. 250 p.
10. Poznyak E.D. Avtokolebaniya rotorov so mnogimi stepenyami svobody [Self-oscillations of rotors with many degrees of freedom]. Izvestiya Akademii naukSSSR. Mekhanika tverdogo tela [News of the USSR Academy of Sciences. Rigid body mechanics]. Moscow, 1977, no. 2, pp. 40-50.
11. Ragulskis K.M., Ionushas R.D., Bakshis A.K. Vibratsii rotornykh sistem [Vibrations of rotor systems]. Vilnyus, Mokslas Publ., 1976. 190 p.
12. Simonovskiy V.I. Dinamika rotorov tsentrobezhnykh mashin [Dynamics of rotors centrifugal machines]. Sumy, SumGu Publ., 2006. 126 p.
13. Symonovskyi V.I. Utochnennia matematychnykh modelei kolyvalnykh system za eksperymentalnymy danymy [Refinement of mathematical models of oscillatory systems from experimental data]. Sumy, SumGu Publ., 2010. 92 p.
14. Black H.F., MacTernan A.J. Vibration of a rotating asymmetric shaft supported in asymmetric bearing. Journal of Mechanical Engineering Sciences, 1968, vol. 10, issue 3, pp. 252-261. doi: 10.1243 / jmesj our_1968_010_037_02.
15. Chen X.Q., Jia Y.J., Cheng G.Z. Research on Field Balancing of Rotor. Applied Mechanics and Materials, 2012, vol. 201-202, pp. 83-86. doi: 10.4028/www.scientific.net/amm.201-202.83.
16. Koenig E.C. Analysis for calculating lateral vibration characteristics of rotating systems with any number of flexible supports. Journal of Applied Mechanics, 1961, vol. 28, issue 4, pp. 585-590. doi: 10.1115/1.3641788.
17. Li C., Yu. Y., Zhao M. Analysis of Loads at Crankshaft Bearing for Scroll Compressor. Applied Mechanics and Materials, 2012, vol. 160, pp. 42-46. doi: 10.4028/www.scientific.net/amm. 160.42.
18. Li X., Zheng L., Liu Z. Balancing of flexible rotors without trial weights based on finite element modal analysis. Journal of Vibration and Control, 2013, vol. 19, issue 3, pp. 461-470. doi: 10.1177/1077546311433916.
19. Loewy R.G., Piarulli V.J. Dynamics of rotating shafts. Washington, Pegramon Press Publ., 1969. 300 p.
20. Memmot E.A. Stability and Testing of a Train of Centrifugal Compressors. ASME 1998 International Gas Turbine and Aeroengine Congress and Exhibition (2.06.-5.06.1998). Stockholm, Sweden, 1998, vol. 5, pp. 1-8. doi: 10.1115/98-gt-378.
21. Morton P.G. On the dynamics of large turbogenerator rotors. Proc. of Institute of Mechanical Engineering, 1965, vol. 180, issue 9, pp. 133-150. doi: 10.1243/pime_conf_1965_180_240_02.
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2016, № 1 (61)
22. Qiu M., Yan J.F., Chen L., Zhao B.H. Static Analysis on Slewing Bearing with Negative Clearance Based on ANSYS 19. Applied Mechanics and Materials, 2010, vol. 42, pp. 196-199. doi: 10.4028/www.scientific.net/amm.42.196.
23. Sudhakar G.N.D.S., Sekhar A.S. Identification of un-balance in a rotor bearing system. Journal of Sound and Vibration, 2011, vol. 330, issue 10, pp. 2299-2313. doi: 10.1016/j.jsv.2010.11.028.
24. Yuan X., Wang T., Fan W.X. The Inner Equilibrium Analysis and Counterweight Design of Engine. Applied Mechanics and Materials, 2010, vols. 44-47, pp. 1051-1055.
Статтярекомендована до друку д.т.н., проф. С. В. Ракшою (Украгна); д.т.н., проф. В. В. Гай-дайчуком (Украгна)
Надшшла до редколегп: 29.10.2015 Прийнята до друку: 23.12.2015
