CC BY
12УДК 519.2
Гурбанбердиева А.
старший преподаватель кафедры «Высшая математика и информатика»
Туркменский государственный институт экономики и управления
(Туркменистан, г. Ашгабад)
Хыдырова А.Г.
преподаватель кафедры «Высшая математика» Международный университет нефти и газа имени Ягшигельды Какаева
(Туркменистан, г. Ашгабад)
ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ТЕОРИИ ОЖИДАНИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Аннотация: в данной статье рассматриваются особенности использования теории ожидания и вероятность. Проведен перекрестный и сравнительный анализ влияния методик на экономическое развитие. Даны рекомендации по внедрению технологий в обучение.
Ключевые слова: анализ, метод, исследование, математика, теории.
Вероятность используется для обозначения наступления определенного события и возникновения этого события на основе прошлого опыта. Математическое ожидание — это события, которые либо невозможны, либо определенное событие в эксперименте. Вероятность невозможного события равна нулю, что возможно, только если числитель равен 0. Вероятность определенного события равна 1, что возможно, только если числитель и знаменатель равны.
Математическое ожидание
Математическое ожидание, также известное как ожидаемое значение , представляет собой сумму всех возможных значений случайной величины.
Он также известен как произведение вероятности возникновения события, обозначаемой Р(х), и значения, соответствующего фактически наблюдаемому возникновению события.
Для случайной величины ожидаемое значение является полезным свойством. Е(Х) является ожидаемым значением и может быть вычислено путем суммирования общих различных значений, которые являются случайной величиной. Математическое ожидание обозначается формулой:
Е(Х)= X (х 1 р 1 , х 2 р 2 , ..., х п р п ),
где х - случайная величина с функцией вероятности f (х),
р - вероятность возникновения,
п — количество всех возможных значений.
Математическое ожидание индикаторной переменной может быть равно 0, если событие А не произошло, а математическое ожидание индикаторной переменной может быть равно 1, если событие А произошло.
Например, бросают игральную кость, набор возможных исходов равен {1,2,3,4,5,6}, и каждый из этих исходов имеет одинаковую вероятность 1/6. Таким образом, ожидаемое значение эксперимента составит 1/6*(1+2+3+4+5+6) = 21/6 = 3,5. Важно знать, что «ожидаемое значение» — это не то же самое, что «наиболее вероятное значение», и не обязательно, чтобы оно было одним из вероятных значений.
Свойства ожидания
1. Если X и Y — две переменные, то математическое ожидание суммы двух переменных равно сумме математического ожидания X и математического ожидания Y.
Или же
Е(Х+У)=Е(Х)+Е(У)
2. Математическое ожидание произведения двух случайных величин будет произведением математического ожидания этих двух переменных, но при условии, что эти две переменные независимы по своей природе. Другими словами, математическое ожидание произведения п независимых случайных величин равно произведению математического ожидания п независимых случайных величин
Или же
Е(ХУ)=Е(Х)Е(У)
3. Математическое ожидание суммы константы и функции случайной величины равно сумме константы и математического ожидания функции этой случайной величины.
Или же,
Е(а+ / (Х))=а+Е( / (X)),
где а — константа, а / (X) — функция.
4. Математическое ожидание суммы произведения между константой и функцией случайной величины и другой константы равно сумме произведения константы и математического ожидания функции этой случайной величины и другой константы.
Или же,
Е(аХ+Ь)=аЕ(Х)+Ь,
где а и Ь — константы.
5. Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин и константы равно сумме произведения п констант и математического ожидания числа п переменных.
Или же
Е£а я X я )=! а я Е(Х я )
Где а 1 , (1=1.. .п) — константы.
Решенный пример на математическом ожидании
В. Каково ожидаемое количество подбрасываний монеты для получения двух последовательных орлов?
Сол: Пусть ожидаемое количество подбрасываний монеты равно х. Если первый бросок - решка, то вероятность события равна 1/2. Таким образом, общее количество требуемых переворотов равно х+1. Если первый бросок — решка, а второй — решка, то вероятность события равна 1/4, а общее количество требуемых бросков равно х+2. Если первый бросок выпал орлом, а второй бросок тоже орлом, то вероятность события равна 1/4, а общее количество требуемых бросков равно 2. Сложив уравнения, мы получаем х = (1/2)(х+1) + (1/4)(х+2) + (1/4)2 Решив уравнение, получим х = 6.
Таким образом, ожидаемое количество подбрасываний монеты для двух последовательных орлов равно 6.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика / И.И.Баврин. -М.: Высш. шк., 2005.— 160 с:
Вентцель Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособие для студ. втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. — 5-е изд., испр. — М.: Издательский центр «Академия», 2003. — 448 с.
Виленкин Н.Я. Комбинаторика / Н.Я. Виленкон, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. - М.: ФИМА, МЦНМО, 2006. - 400 с.
Вуколов Э.А. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. ч. 4 / Э.А. Вуколов, А.В. Ефимов, В.Н. Земсков, А.С. Поспелов. - М., Физматлит, 2004- 432 с.
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике /В. Е. Гмурман. - М., Высш.шк., 2004.- 404 с.
Gurbanberdieva A.
Senior Lecturer at the department "Higher mathematics and computer science" Turkmen state institute of economics and management (Turkmenistan, Ashgabat)
Hydyrova A.G.
Lecturer at the Department of Higher Mathematics International University of Oil and Gas named after Yagshigeldy Kakaev
(Turkmenistan, Ashgabat)
FEATURES OF STUDYING PROBABILITY & EXPECTATION THEORY IN MATHEMATICS
Abstract: this article discusses the features of using the theory of expectation and probability. A cross-sectional and comparative analysis of the influence of methods on economic development was carried out. Recommendations are given on the introduction of technologies in education.
Keywords: analysis, method, research, mathematics, theory.
