ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ» И ЕЕ РОЛЬ В ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510.2

Барабанова И.А.

Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина (г. Воронеж, Россия)

ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ» И ЕЕ РОЛЬ В ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Аннотация: в данной работе рассмотрены особенности и основные моменты изучения темы: «Непрерывность функции в точке», освящены основные аспекты этого понятия. Показана роль данной темы в дисциплине: «Математический анализ». Раскрыт алгоритм исследования функции на непрерывность.

Ключевые слова: последовательность, непрерывность, точка разрыва, предел, односторонний предел.

Одно из важнейших свойств функции в математическом анализе является непрерывность. Исследование функции на непрерывность позволяет судить о других свойствах исследуемой функции. На понятие непрерывности, необходимо обращать внимание обучающихся с первых дней изучения функции и в дальнейшем, поскольку тенденция показывает, что обучающиеся явно не придают этому понятию роль.

В качестве примера, проиллюстрировать непрерывность можно, изучая физику: различные законы движения, непрерывность изменения температуры нагреваемой воды и прочее. Простейшая иллюстрация - непрерывная линия, которую нарисовали без разрыва, она же и будет являться графиком непрерывной функции. Важность изучения этого понятия велика, поскольку встречается на протяжении всего изучения не только дисциплины

«Математический анализ», но и других дисциплин. В данной статье представлены особенности изучения этой темы и показаны основные аспекты представления материала на занятиях в вузе.

Как правило, изучение непрерывности начинается на первых лекционных занятиях и первое, что рассматривается, это определение понятия, которых достаточно много. Мы остановились на некоторых из них:

1) Функция f(x), определенная на интервале (a, b), называется непрерывной в точке x0 е (a, b), если lim f (x) = f (x0).

x—^ Xo

2) Функция f (x), определенная на интервале (a, b), называется непрерывной в точке x0 е (a,b), если Vs > 0, 38 = S(s) > 0, что для всех x , удовлетворяющих условию |x - x0| <8, выполняется неравенство |f (x) - f (x0)| <s . Данная формулировка называется определением непрерывности на «языке s - 8 » или определением по Коши.

3) Функция f(x), определенная на интервале (a, b), называется непрерывной в точке x0 е (a, b), если для любой последовательности xn, n = 1,2,...,xn е (a,b), такой, что lim xn = x0, последовательность {f (xn)}

n—<x>

сходится и lim f (xn) = f (x0). Эту форму определения непрерывности функции

n—<x>

называют определением непрерывности функции на «языке последовательностей» или определением по Гейне.

4) Функция / (х) называется непрерывной в точке х0, если Vs> 0, 38 = 8(е) > 0, что V х е О(х0,8): / (х) е й(/(х0), е). Данное определение называют определением непрерывности на языке окрестностей.

В зависимости от специальности, количество часов на дисциплину «Математический анализ» варьируется, поэтому количество определений может меняться.

Далее, рассматриваются основные условия непрерывности:

1) функция f(x) должна быть определена в некоторой окрестности точки

Хо,

2) должны существовать конечные односторонние пределы ''' ' ' и

3) эти пределы должны быть одинаковы,

4) эти пределы должны быть равны f (x0).

Необходимо показать непрерывность функции в точке справа и слева, желательно показать на графике и пояснить форму записи.

1)Пусть функция f (x), определена на полуинтервале (a, b] и x0 е (a, b]. Функция f (x) называется непрерывной слева в точке x0, если lim f (x) = f (хо) (рис. 1).

x—^ xo -0

Рис. 1. Непрерывность слева Рис. 2. Непрерывность справа

2) Пусть функция /(х), определена на полуинтервале [а, Ь) и х0 е [а, Ь). Функция /(х) называется непрерывной справа в точке х0, если значение предела функции равно значению функции в точке х0. Проиллюстрировано на рисунке 2.

Если в точке х0 нарушается хотя бы одно из условий непрерывности, то эта точка - точка разрыва функции ^х). При изучении этого понятия необходимо дать определение и рассмотреть виды точек разрыва. Достаточно

сформулировать определения, показать на графике и привести примеры функций, у которых есть разрыв.

Далее, сформулируем ряд теорем и лемм, в которых понятие непрерывности играет определенную роль.

1) Если функции f (x) и g(x) непрерывны в точке x0, то функции c • f (x) (с - постоянная), f (x) + g(x), f (x) • g(x), а если, кроме того g(x0) ф 0,

то и функция f (x) - также непрерывны в точке x0 (теорема о свойствах

g(x) 0

арифметических операций с непрерывными функциями).

2) Пусть функция y = ф(x) непрерывна в точке x0, а функция f (y) непрерывна в точке y0 = ф( x0), тогда существует 8 -окрестность O( x0, 8) такая, что при x е O(x0, 8) имеет смысл сложная функция f [ф(x)] (Лемма).

3) Пусть функция y = ф(x) непрерывна в точке x0, а функция f (y) непрерывна в точке y0 = ф(x0), тогда сложная функция f [ф(x)] непрерывна в точке x0 (теорема о непрерывности сложной функции).

При случае нахождения пределов непрерывных сложных функций, возможно использование замены переменных по формуле: lim f (y) = lim f [ф(x)].

y—y0 x—x0

Таким образом, освящая основные моменты понятия непрерывности у учащихся должен сформироваться следующий алгоритм:

1) найти область определения и точки, подозрительные на разрыв,

2) найти односторонние пределы для каждой подозрительной точки,

3) вычислить значение функции в этих точках,

4) проклассифицировать характер разрыва,

5) построить эскиз графика. Если необходимо вычислить пределы функции на бесконечностях.

При этом, понимаем, что если речь идет о непрерывности функции, то она может быть непрерывна в какой-то точке, либо на отрезке, интервале или полуинтервале. В любом случае, основополагающим принципом является ее

непрерывность в точке. Подготовка к восприятию важнейшего понятия в математике способствует глубокому пониманию сути понятия, а также совершенствованию навыка проведения доказательств.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Баумане К.И., Галкина В.Г., Жучева Е.Н., Сухомлин И.И., Якубсон М.Я. Математика. Базовый электронный учебник С.-П.: Михайловская военная артиллерийская академия, 2019;

2. Морозова В.Д., Введение в анализ: Учебник для втузов - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005, с.322-335;

3. Паршин А.В., Панюшкин. В.Н., Математика. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: Учебное пособие - Воронеж, 2010, с.55-66;

4. Шипачев В.С. Высшая математика. Учебник. - М., 2005, с. 78-82, с. 84-87

Barabanova I.A.

Military Training and Research Center of the Air Force Air Force Academy named after N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin

(Voronezh, Russia)

FEATURES OF STUDYING TOPIC «CONTINUITY OF FUNCTION AT POINT» AND ITS ROLE IN DISCIPLINE «MATHEMATICAL ANALYSIS»

Abstract: in this paper, the features and main points of studying the topic: "Continuity of a function at a point" are considered, the main aspects of this concept are consecrated. The role of this topic in the discipline "Mathematical analysis" is shown. The algorithm for investigating the function for continuity is disclosed.

Keywords: sequence, continuity, break point, limit, one-sided limit.