ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

УДК 372.851:378.147

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

ТОЧЕК РАЗРЫВА ФУНКЦИЙ

ИМАНОВА АЙСЕЛЬ БЕЙБАЛА КЫЗЫ

доктор философии по математике, старший преподаватель кафедры естественных дисциплин и технологии их преподавания Шекинского филиала АГПУ, Шеки, Азербайджан ORCID: https://orcid.org/0000-0003-1566-6465

Аннотация. В статье даны технологические и теоретические направления исследования точек разрыва функций, представлен вариант изложения материала по теме «Исследование точек разрыва функции» входящий в содержание курса «Математический анализ», преподаваемый на первых курсах педагогических и других вузов. Предоставленный теоретический материал подкреплен типовыми примерами, которые способствуют наглядному представлению классификации точек разрыва. Содержание статьи будет полезным преподавателям и студентам.

Ключевые слова: непрерывная функция, пределы функции слева и справа, точка непрерывности, точка разрыва, устранимая точка разрыва.

Определение точек разрыва функции и их видов является продолжением темы непрерывности функции. Наглядное (графическое) объяснение смысла точек разрыва функции даётся так же в контрасте с понятием непрерывности. Поэтому, изложение материала по теме «Исследование точек разрыва функции» следует начать с рассмотрения основного определения непрерывности функции.

Предположим, что функция y = f (x) задана на некотором множестве X ^ R . x0 - предельная точка множества X и x0 е X. При рассмотрении предела функции f(x), x е X, в точке x0, случай, когда x0 е X представляет особый интерес - он приводит к понятию непрерывной функции.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует конечный

предел функции в точке x0, равный значению функции в этой точке: lim f (x) = f (x0) .

x^x0 xeX

Точка, в которой функция непрерывна, называется ее точкой непрерывности. Определение. Если функция f(x) не является непрерывной в точке x0 е X, то говорят, что

она терпит разрыв в этой точке. При этом точка x 0 называется точкой разрыва функции f (x)

Следует отметить, что согласно определению предела функции для того, чтобы у функции f(x) существовал предел lim f (x) необходимо и достаточно, чтобы в точке x0 существовали

х^ х0 xeX

пределы слева и справа и они были равны. С этим связано понятие односторонней непрерывности функции в точке.

Определение. Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 слева, если f (x0 - 0) = lim f (x) = f (x0) . Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 справа,

x^ x0-0

если f (x0 + 0) = lim f (x) = f (x0) .

x^x0+0

Таким образом, делаем вывод, что функция f(x) является непрерывной во внутренней точке x0 е Х тогда и только тогда, когда она в этой точке непрерывна слева и справа.

Определение. Точка x0 называется точкой непрерывности функции f(x), если выполнены все следующие условия:

1. Функция определена в самой точке x0 (т. е. существует f (x0)) и в некоторой ее окрестности.

2. Существуют односторонние конечные пределы функции: f (x0 - 0) = lim f (x) и

x^ x0-0

f (Xo + 0) = lim f (x) ;

т. е.

x^x0+0

3. Эти односторонние пределы совпадают, т. е. f (x0 - 0) = f (x0 + 0)

4. Совпадающие односторонние пределы равны значению функции в точке x0

f (x0 - 0) = f (x0 + 0) = f x ).

Таким образом, при исследовании функции на непрерывность студент должен проверить все четыре пункта этого определения и убедиться в их выполнении, а если один из этих четырех пунктов не будет выполняться, то делать вывод о разрывности функции в точке x0, т.е. назвать

точку x0 точкой разрыва этой функции. Можно сформулировать определение точки разрыва и так: хо называется точкой разрыва функции f (x), либо если функция f (x) не определена в самой точке хо, либо если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной. В зависимости от того какой из вышеприведенных пунктов не выполняется, можно разделить точки разрыва на две группы: точки разрыва первого рода и второго рода. Точки разрыва функции f (x) классифицируем следующим образом :

1. Пусть x0 е Х - точкой разрыва функции f (x) и существует lim f (x) конечный или

x0

бесконечный. При этом:

а) если lim f (x) конечный, то x0 называем точкой

x0

устранимого разрыва функции f (x) (рис.1); В этом случае выполняются условия 1-3 непрерывности функции в точке, но нарушается условие 4.

б) если lim f (x) = да , то x0 называем точкой разрыва

x0

типа полюса.

2. Если lim f (x) не существует, то точку x0 е Х

x^ x0

называем точкой существенного разрыва функции f (x) . В этих случаях нарушается условие 2, а значит и условия 3 и 4.

При этом:

а) если существуют конечные пределы f (x0 - 0), f (x0 + 0), (f (x0 - 0) Ф f(x0 + 0)), то точку x0 называем точкой разрыва первого рода функции f(x) .

б) все остальные точки, т.е. точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов функции бесконечен или не существует, называем точками разрыва второго рода функции f (x).

Студенты должны быть осведомлены, что, поскольку, в изолированной точке x0 е Х функции f (x) - непрерывна, то ее точками разрыва могут быть лишь предельные точки x е Х. Таким образом, студент для исследования функции f (x), x е Х на непрерывность, нахождения точек разрыва и исследования их вида в первую очередь должен находить левые и правые пределы функции в рассматриваемой точке x0 е Х. Если эти пределы существуют и конечны, то сравнить их значения со значением функции в той же точке, а также значения самих пределов между собой. Если все эти значения совпадают, то делать заключение о непрерывности функции в исследуемой точке, если значения левых и правых пределов совпадают, но эти значения не равны значению функции f (x) в этой точке, то отнести точку к точкам устранимого разрыва. В этом случае можно доопределить функции до непрерывной функции. Доопределить функцию в точке, говоря просто, значит обеспечить соединение точек, между которыми находится точка, в которой найдены равные друг другу левый и правый пределы. При этом соединение должно представлять собой лишь одну точку, в которой должно быть найдено значение функции. Если правый и левый предел не совпадут, то отнести точку к точкам разрыва первого рода. Следует довести до сведения студентов, что равенство одного из пределов значению функции в точке разрыва не исключено, т.е. функция может обладать в данной точке односторонней непрерывностью: f (x0 + 0) ^ f (x0 — 0) = f (x0) или f (x0 — 0) ^ f (x0 + 0) = f (x0) . В случае точек разрыва первого рода функция будет иметь скачок, равный f (x0 + 0)- f (x0 — 0). Для устранимой точки разрыва скачок равна 0. А если хотя бы один из односторонних пределов функции бесконечен или не существует, то точку следует отнести к точкам разрыва второго рода.

Для усвоения учащимися теоретического материала по теме «Исследование точек разрыва функции», включение его в существующую практическую базу и для развития у студентов соответствующих умений и навыков важно внедрение системы задач, преобразованную в систему.

Подкрепим изложенный теоретический материал типовыми примерами

Пример 1. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции:

1, х > 0 0, x = 0 , 1, x < 0

Решение: Для этой функции выполняется условие 1, 2 непрерывности функции в точке 0: lim sgn x = — 1

f (x) = sgn x = <

x ^-0

sgm.i) +1

0 i -1

lim sgn x = 1, но не выполняется условие 3 и 4, значит, в

этой точке функция f (x) = sgn x терпит разрыв. Так как левый и правый предел функции y = sgn x в точке x0 = 0

не равны между собой, то согласно определению точек разрыва первого рода, точка x0 = 0 является точкой разрыва первого рода, а скачок в ней равен 2

sgn( +0) — sgn( —0) = 2

Та же точка x0 = 0 является для функции f (x) = |sgn x| точкой устранимого разрыва, а скачок равен 0:

lim |sgn x| = lim |sgn x| = 1 Ф 0 = sgn 0, |sgn(+0) — |sgn(—0) = 0. Рассмотрим еще один пример с устранимой точкой разрыва:

Пример 2. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции:

f (x) = x • sin1.

x

Решение: Так как эта функция не определена в точке x0 = 0, то она терпит разрыв в этой точке. Но как известно существует предел функции f(x) = x• sin— в точке x0 = 0 и равен 0. Это

следует из известной леммы о бесконечно малых величинах: функция а(х) = sin — -

х

ограничена, аß(x) = х ^ 0, при х ^ 0,значит lim f (х) = lim а(х) • ß(х) = = limх • sin — = 0, т.е.

существуют левый и правый пределы функции f (х) = х • sin — в точке х0 = 0 и они совпадают,

х

тогда согласно определению х0 = 0 является точкой устранимого разрыва функции

f (х) = х • sin —. Если положить f(0) = 0, то мы можем доопределить функцию до х

непрерывной в точке х0 = 0 функции, т.е. восстановим непрерывность и при х0 = 0 .

Пример 3.

Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции: /(х) = е3 х

Решение: Из выражения степени при е видно, что в точке х0 = 3 функция не определена. Значит, терпит

разрыв в точке х0 = 3 .

Найдём левый и правый пределы функции в этой точке:

lim е3-- = е 3-(3~0) = е+0 = е=

да

x^-3-0

i i 2. lim е3~х = е3~(3+0) = е 0 = е = 0. Так как один из

x^-3+0

односторонних пределов равен бесконечности, то точка х0 = 3 является точкой разрыва типа полюса и согласно определению относится к точкам разрыва второго рода.

x

i

i

Пример 4. Определить точку разрыва функции и вид (характер) точки разрыва для функции:

f (x) = sin1

x

Решение: Она определена, а следовательно, и непрерывна всюду, кроме точки x0 = 3. Однако для этой функции при x ^ 0 не существует ни правый, ни левый предел, значит функция

f (x) = sin — имеет в точке x0 = 0 разрыв второго рода.

x

должны

Студенты быть

осведомлены, что функция может иметь не только одну точку разрыва. Функция может обладать конечным или бесконечным числом точек разрыва. Для наглядности приведем пример к каждому из этих случаев.

Пример 5. Определить точки разрыва функции и вид (характер) точек разрыва для функции:

1 1

f (x) =

x x + 1 1 1

x-1 x

Решение: Эта функция не определена в точках х0 = 0, 1, — 1, а значит терпит разрыв в этих точках. Определим виды этих точек разрыва. Точка х0 = 0 является точкой устранимого разрыва, так как

1

1

1

1

1

1

lim

x

1

x-1

x + 1 x(x +1) x -1

= lim -= lim-= -1,

x—>—0

1

(x 1)x

x— 0 x +1

lim

x^+0

x + 1 x(x +1) x-1

= lim —^-= lim-= -1,

x—+0

x-1

x

1

(x 1)x

x—+0 x + 1

т.е. /(0 — 0) = / (0 + 0).

Точка х0 = 1 также является точкой устранимого разрыва, так как

1

1

1

x x + 1 x ( x + 1) x 1 1 0 1 lim x—= lim -= lim -=-= 0,

x—1-0 1 1 x—1-0 1 x—1-0 x + 1 1-0 + 1

x-1 x

1

1

(x 1)x

1

r r +1 x( x +1) x -1 1 + 0-1

lim -—x+1 = lim -= lim -=-= 0.

x—1+0 1 1 x—1+0 1 x—1+0 x + 1 1 + 0 + 1

x-1 x

(x 1)x

т.е. /(1 — 0) = /(1 + 0) .

Точка х0 = —1 является точкой бесконечного разрыва, так как

x

1

0

x

Impact Factor: SJIF 2020 - 5.497 ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ

2021 - 5.81

1 1 1

xx +1 x( x +1) x -1 -1 - 0 -1

lim x—= lim —-- = lim -=-= да,

c^-1-0 1 1 x^-1-0 1 x^-1-0 x + 1 — 1 — 0 + 1

x -1 x (x -1) x

1 1 1

x x +1 x( x +1) x -1 -1 + 0 -1

lim x—= lim —-- = lim -=-= да.

t^-1+0 1 1 x^-1+0 1 x^-1+0 x + 1 - 1 + 0 + 1

X -1 X (X -1) X

Для того чтобы учащиеся приобрели опыт решения задач, связанных с нахождением точек разрыва и исследованием их видов, им важно работать с познавательной самостоятельностью и активностью на образцах задач, отобранных с педагогической компетентностью и оформленных в систему. Для систематизации теоретического материала и удобства восприятия классификации точек разрыва представим изложенные выше результаты в виде таблицы. [4]

а и

2 а

м «

а _ a

j¡ 4,

Ч ST В О

и н

х = точка устранимого разрыва

х = —точка разрыва первого рода

х = — точка разрыва второго рода

ш S 35 а П а П а

а а О

Существуют конечные левый /(х0 — 0) и правый /(х0 + 0) пределы, причем /(х0 + 0) = /(х0 — 0), но lim f (х) * f (х0)

Существуют конечные левый /(х0 — 0) и правый /(х0 + 0) пределы, но /(х0 + 0) Ф /(Х0 — 0)

Хотя бы один из пределов /(х0 — 0) и /(х0 + 0) не существует или равен бесконечности

а

я

S

а В

f (x) = x • sin

1

x0 = 0 — точка устранимого разрыва, т.к. /(0 — 0) = /(0 + 0) = 0, но /(0) не существует

f (x) = sgn x

1, x > 0 0, x = 0 -1, x < 0

x0 = 0 — точка разрыва первого рода, т.к. /(0 0) = —1Ф1=/(0 + 0) но /(0) не существует

1) f (х) = е3-»

х0 = 3 —точка второго

рода(бесконечный разрыв типа полюса);

2) f (х) = sin1

х

х = 0 —точка разрыва

второго рода, т.к. не существует ни левый /(х0 — 0),ни правый /(х0 + 0) пределы

x

Выводы. 1) В процессе обучения теме «Исследование точек разрыва функции», следует сосредоточить внимание на выборе и применении типов заданий, чтобы учащиеся стали субъектами действий, лежащих в основе ожидаемых результатов;

2) В процессе учебно-методических работ по теме «Исследование точек разрыва функции» включение необходимых терминов в содержание активного математического словаря учащихся должно рассматриваться как важное дидактическое требование;

3) Представление изложенного материала в виде таблицы положительно влияет на систематизацию теоретического материала и удобства восприятия классификации точек разрыва;

4) Ожидание парадигмы "возможность-действие-качество" в подборе заданий, их систематизации положительно сказывается на эффективности учебного процесса.

ЛИТЕРАТУРА

1.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1., М.: Физматлит, 2003, 680 с.

2.Ильин В.А. Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1., М.: Физматлит, 2005, 648 с.

3.Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т.1., М.: Физматлит, 2003, 400 с.

4.Ахметова Ф.Х., Ласковая Т.А., Пелевина И.Н. Методические аспекты изложения темы «Непрерывность в точке и точки разрыва» в курсе математического анализа. //Научно методический электронный журнал «Концепт», 2017.