Геометрический и физический аспекты понятия непрерывности функции в курсе математического анализа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ниегп

issn 2304-120X Вергазова О. Б. Геометрический и физический аспекты понятия непрерывности функции в курсе математического анализа //Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V1. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept. ru/2018/186008. htm.

научно-методический электронный журнал

ART 186008 УДК 378.147:372.851

Вергазова Ольга Бухтияровна,

кандидат философских наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва olga.aika@yandex.ru

Геометрический и физический аспекты понятия непрерывности функции

в курсе математического анализа

Аннотация. Понятия предела функции и непрерывности функции относятся к числу самых сложных для усвоения понятий школьного курса математики и нередко вызывают затруднения у студентов-первокурсников. Данная работа предлагает методику изложения темы «Понятие непрерывности функции» в курсах алгебры и начал анализа в старших классах средней школы и математического анализа технических специальностей первого семестра обучения. Цель работы -обосновать указанное понятие на примерах из физики, обеспечить прочное усвоение старшеклассниками и студентами понятия непрерывности, выяснить физический и геометрический смысл данного понятия. В работе кратко изложены основные теоретические сведения, рассмотрены типовые примеры и задачи на доказательство. Статья написана на основе опыта преподавания математического анализа во втузе и будет полезна как преподавателям при проведении практических занятий, так и старшеклассникам и студентам для самостоятельной работы по указанной теме.

Ключевые слова: понятие непрерывности функции, методические особенности темы «Непрерывность функции», совершенствование методики преподавания отдельных тем.

Раздел: (01) отдельные вопросы сферы образования.

Во многих учебных пособиях при введении понятий предела и непрерывности в той или иной форме используются сведения из приближенных вычислений. Но усвоение понятий, связанных с приближенными вычислениями, в школьном курсе не всегда достигает уровня, который позволяет на их основе успешно освоить понятия предела и непрерывности.

Рассмотрим подход, в котором подготовительная работа на усвоение понятия непрерывности функции происходит на основе несложных примеров из физики, а его дальнейшее усвоение опирается на геометрический смысл определения. При раскрытии темы предполагается, что понятие предела является основой для формирования понятия непрерывности.

При формулировке определений учащимся понадобятся хорошо сформированные навыки решения неравенств с модулями. При работе со старшеклассниками такую подготовительную работу можно провести с помощью такой последовательности заданий:

1) записать с помощью знака модуля предложения: а) расстояние между точками, изображающими на координатной прямой числа 2 и 7, равно 5; б) расстояние между точками х и a равно 5;

2) решить уравнение с иллюстрацией решения на чертеже |х - 4| = 3; |х + 4| = 3, |3 - х| = 7 и т. д.;

3) решить неравенство с иллюстрацией решения на чертеже | x - 4|< 3; | x + 41 < 3, |3 - х |< 7 и т. д. [1-3]

ниегп

issn 2304-120X Вергазова О. Б. Геометрический и физический аспекты понятия непрерывности функции в курсе математического анализа //Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V1. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept. ru/2018/186008. htm.

научно-методический электронный журнал

Приведем примеры плавных и скачкообразных изменений величин, которые подготавливают учащихся к пониманию текста определения непрерывности функции.

Например, объем одного V килограмма воды зависит от ее температуры t. Если температура воды находится в промежутке от 0 до 100 °C, то при малом изменении температуры объем изменяется мало. Но если температура воды равна 0 °C, то при самом небольшом понижении температуры вода переходит в другое агрегатное состояние - превращается в лед. Известно, что объем 1 кг льда при 0 °C значительно больше, чем объем 1 кг воды при той же температуре. Значит, при 0 °C зависимость объема от температуры не является непрерывной, функция V = f(t) имеет при t = 0 ° разрыв.

Рассмотрим груз, висящий на нити, относительно поверхности земли. Под действием груза нить растягивается. Расстояние груза l от первоначального положения в точке А (при нерастянутой нити) является функцией массы груза / = f(m) (рис. 1).

Рис. 1

При малом изменении массы груза т длина нити I имеет малые изменения. Но при массе груза, близкой к пределу прочности то нити, небольшое увеличение массы груза может вызвать разрыв нити - расстояние груза I от поверхности земли изменится скачкообразно и будет равно величине L - расстояние от точки А до поверхности земли. График функции I = А(т) схематически изображен на рис. 2 (см. рис. 2). На участке 0; то график представляет собой непрерывную (сплошную) линию, а в точке то он рвется. Говорят, что функция I = /(т) во всех точках, кроме точки то, непрерывна, а в точке то она имеет разрыв.

Рис. 2

В математике различие между плавными и скачкообразными изменениями величин описывается с помощью непрерывных и разрывных функций. Таким образом, если вблизи от значения х = a величины х и y = f(x) связаны друг с другом так, что

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Вергазова О. Б. Геометрический и физический аспекты понятия непрерывности функции в курсе математического анализа //Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V1. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept. ru/2018/186008. htm.

малое изменение этого значения влечет за собой малое изменение y, то y непрерывно зависит от х при х = a или, другими словами, y = f(x) непрерывна в точке x = a.

Такое определение непрерывности не является строгим в математическом смысле: слова «малое изменение» не имеют математического смысла. Если рассматривается задача об измерении радиуса Земли, то изменение на 0,1 см очень мало. В то же время изменение на 0,1 см велико, если речь идет о радиусе шарикоподшипника. 100000 км весьма значительная величина для расстояния от Земли до Луны, но весьма малая величина по сравнению с расстоянием от Солнца до Сириуса.

В математическом смысле слова «малое изменение» означают, что при малой ошибке в измерении х погрешность значения y мала.

Если величина х измерена с точностью 5 > 0, то отклонение х от точного значения a меньше 5, то есть |х - a|< 5. Выражение «погрешность значения y = /(х) сколь угодно мала» означает: какая бы точность £ > 0 ни была задана, всегда можно добиться того, чтобы отклонение /(х) от f(a) было меньше £, то есть | /(х) - f(a)|< е. Такой точности можно добиться при выборе х достаточно близко к a. Таким образом, из неравенства | х - a |< 5 будет следовать неравенство | f(.х) - f(a)| < е.

Вернемся к примеру с грузом, подвешенным на нити. Пусть масса груза много меньше массы, вызывающей обрыв нити. В таком случае при указании некоторого значения удлинения нити A l всегда можно подобрать дополнительную нагрузку Am, чтобы удлинение нити не превысило указанного значения. Или на языке £-5: для любого заранее указанного удлинения нити £ можно подобрать такое значение 5, что, если масса дополнительной нагрузки меньше 5, нить удлинится менее чем на £.

Такие наглядные рассуждения делают для старшеклассника и студента-первокурсника следующее определение понятным и оправданным [4].

Определение. Функция y = /(х) называется непрерывной в точке a, если выполнены два условия:

1) функция определена в некоторой окрестности точки a;

2) для любого е > 0 существует такое 5 > 0, что из | х - a |< 5 вытекает | /(х) -f(a)|< е.

Необходимо проиллюстрировать определение геометрически. Выберем на графике функции y = /(х) точку M(a, f(a)), которую спроектируем на оси координат. Выберем е-окрестность точки f(a) на оси Oy. Если функция непрерывна в точке a, то на оси Ох можно найти 5-окрестность точки a, обладающую свойством: какую бы точку х в этой 5-окрестности мы ни взяли, точка f(a) на оси Oy (соответствующее х = a значение функции) будет находиться в заданной ¿-окрестности точки f(a) (рис. 3).

Рис. 3

ISSN 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Вергазова О. Б. Геометрический и физический аспекты понятия непрерывности функции в курсе математического анализа //Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V1. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept. ru/2018/186008. htm.

Определение. Функция y = f(x), определенная на промежутке X, называется непрерывной на данном промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка X.

Пользуясь определением, необходимо провести строгое доказательство непрерывности некоторых элементарных функций. Такую работу следует провести как с первокурсниками, так и со старшеклассниками, поскольку такие функции им уже хорошо знакомы.

Пример 1. Докажем непрерывность постоянной функции y = С, определенной при всех x е R.

Выберем произвольное число е > 0. Тогда для любого x имеем | f(x) - f(a)| = |С -С| = 0 < е. Мы доказали, что для выбранного произвольно £ > 0 существует такое б > 0, что из | x - a |< б следует неравенство | f(x) - f(a)|< £. Таким образом, доказана непрерывность постоянной функции в любой точке a.

Пример 2. Докажем непрерывность линейной функции y = kx + b, определенной при всех x е R. Выберем произвольное число е > 0. Тогда для любого x имеем | f(x) -f(a)| = | (kx + b) - (ka + b)| = | k| | x - a |. Неравенство | f(x) - f(a)|< е в данном случае равносильно | k| | x-a |< £, то есть | x - a |< у|у. Значит, если положить 5 = -щ, то из

неравенства | x - a |< б будет следовать неравенство | f(x) - f(a)|< £. Непрерывность линейной функции в любой точке a е R доказана.

Пример 3. Доказать, что функция y = cosx непрерывна в любой точке a.

Докажем вспомогательное утверждение: для любых значений x справедливо неравенство | cosx - cosa|^|x - a| (1). Для доказательства рассмотрим единичную окружность (рис. 4).

Рис. 4

Имеем: cosx - cosa

Так как cosx - cosa

AB | = x, АС | = a, ВС | = |x-a|, |BK| = cosx, | CL| = cosa, | BDI =

BD|

= |x - a I = О. Значит,

i < | ВС|<|ВС|, то получаем, что | cosx - cosa | x - a |. Вспомогательное утверждение доказано.

Вернемся к нашему примеру. Выберем произвольное число е > 0 и попробуем найти такое б > 0, чтобы из неравенства | x - a |< б следовало неравенство | cosx -cosa|< е. Из неравенства (1) следует, что можно положить б = £. Действительно, если | x - a |< б, то есть | x - a |<£, то в силу того, что | cosx - cosa | ^ | x-a |, получим | cosx -cosa |< £. Это означает, что функция y = cosx непрерывна в любой точке a.

ниепт

issn 2304-120X Вергазова О. Б. Геометрический и физический аспекты понятия непрерывности функции в курсе математического анализа // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V1. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept. ru/2018/186008. htm.

научно-методический электронный журнал

Задачи для самостоятельного решения

Доказать по определению непрерывность функций:

1) у = х2;

2) у = ;

1 I (X I 0,2 £

3) У = - при х Ф 0; указание: выбрать 5 < и 5 < — ;

4) у = Б1ПХ.

Таким образом, привлечение примеров из физики и наглядно-графические представления способствуют прочному усвоению учащимися понятия непрерывности функции, а также совершенствованию методики изложения отдельных разделов курса алгебры и начал анализа в средней школе и математического анализа в высшем учебном заведении [5-7].

Ссылки на источники

1. Методика преподавания математики в средней школе: частная методика / А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др. - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы: в 2 ч. Ч. 1. - М.: Мне-мозина, 2013. - 400 с.

3. Морозова В. Д. Введение в анализ: учеб. для вузов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. - 408 с.

4. Виленкин Н. Я., Мордкович А. Г. Пределы, непрерывность. - М.: Просвещение, 1977. - 79 с.

5. Там же.

6. Лунгу К. Н. Систематизация приемов учебной деятельности при обучении математике. - М.: Ком-Книга, 2007. - 424 с.

7. Малыгина О. А. Изучение математического анализа на основе системно-деятельностного подхода. -М.: Изд-во ЛКИ, 2008. - 416 с.

Olga Vergasova,

Candidate of Philosophical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after

N. E. Bauman, Moscow

olga.aika@yandex.ru

Geometrical and physical aspects of the function continuity concept in mathematical analysis course Abstract. The limit of function and continuity of function concepts are among the most difficult-to-digest concepts of school mathematics, and often cause difficulties for students. This work suggests a methodology for the presentation of the topic "The function continuity concept " in the courses of algebra and analysis in high school and mathematical analysis course for University first-year students. The aim of this work is to substantiate this concept with examples from physics, to provide deep understanding of continuity concept by high school and University students, to figure out the physical and geometric meaning of this concept. The work summarizes basic theoretical knowledge, typical examples and tasks for proof. The article is based on the experience of teaching mathematical analysis in technical university and it will be useful both for teachers in conducting practical classes and for students in their independent work on the topic.

Key words: function continuity concept, methodological peculiarities of the topic "Continuity of a function",

specific topics methods of teaching improvement.

References

1. Bloh, A. Ja. et al. (1987). Metodika prepodavanija matematiki v srednej shkole: chastnaja metodika, Pros-veshhenie, Moscow, 416 p. (in Russian).

2. Mordkovich, A. G. (2013). Algebra i nachala matematicheskogo analiza 10-11 klassy: v 2 ch. Ch. 1, Mnemozina, Moscow, 400 p. (in Russian).

3. Morozova, V. D. (2000). Vvedenie vanaliz: ucheb. dlja vuzov, lzd-vo MGTU im. N. Je. Baumana, Moscow, 408 p. (in Russian).

4. Vilenkin, N. Ja. & Mordkovich, A. G. (1977). Predely, nepreryvnost", Prosveshhenie, Moscow, 79 p. (in Russian).

5. Ibid.

6. Lungu, K. N. (2007). Sistematizacijapriemovuchebnojdejatel'nostipriobucheniimatematike, Kom-Kniga, Moscow, 424 p. (in Russian).

7. Malygina, O. A. (2008). Izuchenie matematicheskogo analiza na osnove sistemno-dejatel'nostnogo pod-hoda, lzd-vo LKI, Moscow, 416 p. (in Russian).

ISSN 2Э04-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

Вергазова О. Б. Геометрический и физический аспекты понятия непрерывности функции в курсе математического анализа // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2018. - № V1. - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept. ru/2018/186008. htm.

Рекомендовано к публикации:

Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»

Поступила в редакцию Received 07.01.18 Получена положительная рецензия Received a positive review 09.01.18

Принята к публикации Accepted for publication 09.01.18 Опубликована Published 10.01.18

© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2018 © Вергазова О. Б., 2018

www.e-koncept.ru

977230412018001