CC BY
22
11. Pozdnyakova T.I. Osnovnye aspekty golosovoj nagruzki detej mladshego shkol'nogo vozrasta v processe obucheniya peniyu. Pedagogicheskijimidzh. 2018; 4 (41): 18 - 25.
12. Samouchiteipopeniyu: [perevod s anglijskogo]. L. Markuort. Moskva: AST: Astrel', 2008.
13. Budoiu M.V. Tehnologie versus tehnicâ vocalâ. Information and Communication Technologies in the Musical Field. 2018; 2 (9): 47 - 56. Available at: http://www.tic. edituramediamusica.ro/index.php/for-readers/current-issue
14. Pop-Sârb D.E. Instrumentul în educatia muzicalâ - între traditie si noile tehnologii. Information and Communication Technologies in the Musical Field. 2016; 2 (7): 23 - 32. Available at: http://www.tic.edituramediamusica.ro/index.php/for-readers/menu-reviste/vol-vii-nr-2-2016
Статья поступила в редакцию 29.07.19
УДК 514(075.8):81(075.8)
Proyaeva I.V., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University n.a. V.P. Chkalov; senior lecturer, Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (Orenburg, Russia), E-mail: docentirina@mail.ru Kolobov A.N., Cand. of Sciences (Engineering), senor lecturer, Orenburg State Pedagogical University n.a. V.P. Chkalov; senior lecturer, Orenburg State University (Orenburg, Russia), E-mail: KolobovAN@ya.ru
FEATURES OF STUDYING REGULAR FIGURES IN A SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS. The articlediscussesfeatures of studyingone ofthe most beautiful figures of school mathematics, and at the same time difficult for students to master - these are regular polygons and polyhedra. The authors focus on the development of an original method for solving problems using properties of these figures foun В n theAOEcudtheEAfieEetatoMxsm.SSeimpsCauco an! AifficEltM of studying the theory of regular figures is associated primarily with the versatility and variability as such. Types are identified and described, their various classifications are studied. Considerable attention is paid to the methodological scheme for solving various typsE of ftoMcms. Ths methoA оf infrsSuoing bauic methsHs fotCudying this issue presented in the article is implemented in a specific educational process at the elective course at Orenburg Lyceum No. 3 and allowed students to improve the efficiency of learning the material under study.
Key words: regular polygons and polyhedra, theory of regular figures, solution of planimetric and stereometric problems.
И.В. Прояева, канд. физ.-мат. наук, доц., Оренбургский госуда^мсвенньш seCm2oeEceEbfdC MceAeApcLff7fA/c t/suecte ВЛ Ч/евмова, AoEPoccmocmC/ академии народного хозяйства и государственной службы прuПмeзA(M?fомA РФ od^ctufT^ffuaoodfpfлmaaal м OpmAГР P-eumB Boмрtт//И/mo(pмaS./е А.Н. Колобов, канд. техн. наук, доц., Оренбургский государственный /ee(Эaгopт^/УФPWФyнAмeopаsоaASCмeAO В ЛЧ^с^, м. Оранбуро, E-mail: KolobovAN@ya.ru
ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ПРАВИЛЬ НЫХ ФИГУР В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
В данной статье рассмотрены особенности изучения одних из самысфмоорою финр -колремСматематики, и в тоже время сложных для усвоения обучающимися - это правильные многоугольники и многогранники. Основномвмстмн иев рмСтме авторы акцентируют на выработке оригинальной методики решения задач с использованием свойств данных фигур, встречающихся наОГЭ и ЕГЭ.Ваяоестьи mpyauppcm изуурниятеории правильных фигур связана в первую очередь с многогранностью и вариативностью как таковых. Выделяютса e описываттсямапы, pacocmтpaвaютcяpуEличныоax классификации. Значительное внимание уделяется методической схеме решения рaзлaчEыmAИsoc -a^o .■вдстаемророа в соарьетатодика введения основных методов изучения данного вопроса была реализована в конкретном учебном процессе на элективном курсе в МОБУ «Лицей № 3» г Оренбурга и позволила повысить иффеечианости ycвs^мрh;эsa-оo/o матетиаеа oвEчoвмhмиcu.
Ключевые слова: правильные многоугольники и многогранники, теория правильных фигур, решение планиметрических и стереометрических
Многоугольники и многогранники встречаются в жизни повсюду, но мы eбыucoоигAнe /ампчаом.Ччре юеоо ha п-гщамаси Hm /пава мравельеые фигуры. Например, футбольный мяч состоит из правильных пятиугольников, пчелиные соты, KUKamMa.uMcmT фosнeoоaвuль^^ocpecaиnоyuниф, дортажнсй знак «Stop» - это правильный восьмиугольник. Интересно рассмотреть «Кубик Рубака» с оооша з^иая ер Moаaelucоc-aвныx 4OcaeuTaK как он имеет форму куба, а каждая его грань разбита на 9 квадратов.
ПравальенеО-горы /гaтарcтвeчeютnяouaаxaoeeмаe.Этoдodafplвueт здание «Пентагон», которое имеет форму правильного пятиугольника (пе rnmnoE -нэзиэоЕе nueBh/ьново пятиеала на нerooocмa■феть свеввмвод прямым углом, и дома-кубы в Роттердаме. Даже испанский живописец, график и с-уомптор Сальвадор Дали на своей картине «Тайная вечеря» изобразил Иисуса Христа и его учеников на фоне прозрачного додекаэдра. Он использовал именно эту фигуру, так как во времена Дали люди считали, что вселенная имеет форму додекаэдра.
В шкалений пoаmмssдocdатoчномaлoefAмetи рделяется правильным фигурам. А ведь именно с этим видом фигур связано множество различных заданий в thtoo геамвтрии, ОГЭ и E^us. Рлламотрим некоторые из них.
D
1
1
Рис. 1
В
Задача 1. На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник СКД Найдите высоту треугольника АБК, проведённую из вершины Б, если известно, что сторона квадрата равна 1[1]. Решение:
1) Пусть точки А и К лежат по одну сторону от прямой CD. Изобразим данный квадрат ABCD (рис. 1).
Тогда h^DAK =
180°-74РК _ 180о—(90°—60°)
= 78°.
2 2 Пусть DT -выюота aADK. Из п^мо^ольногытре^ольнакаАБН получаем следьющмевыражение
DH - - 1 ■ sift78° = sio)90° - 18°) - cos 18 ° = соо)48° - 30°)
V2 V3 V2 1 V2-V33 V2
— cos48°cos30° + sin48°sin30° —----1----—--1--
2 2 1 2 11 4
V6 +V2
(5) Пусть теперьточки К иАлежат поразныестороны отпрямodCD. Изобразим данный квадрат ABCD (рис. 2).
к
А 1
Рис. 2
Д.Л/Ж- равнобедренный - DC - DK - 1). Следовательно,
180° - ЛЖЖ 180° -в (90° + 60°)
¿DAK =-=(-1-0 = (5°.
3 2
Так оак —4—20Н — nf^arvioyronтны й, ыв и а—ем
9Н —а .(9)<>Д-^^(11,4/0 == 4 ■ son(5° == sin(45° - 30°) = = sin45°cos30o
_-ч/0^ ( = °_-V3 -= = —-32
"0"22 ""ii i- 2 = 44 4f6- 4 -
-6+° -6-32
ЗОЭДОТ. ОТОСТОУ Ыуд^зо — 2—ЛИ—— ОДНО вз 4начвыип 4 —4—.
-6+22 -ВВ--2 Оыноо: —°— дном —44—.
Задана 2. Ыедомее^^вил—гольника равен 72. Найдите диа-ыетрониыанкой оыыееждосг—— [1].
Рис. 5
B1D2 = BD2 + B1B2-,B1D = JBD2 + B1B2; J/ JiÖb2 + У/О) + B)+; Bi/Ы = >(а_ + а-) + а/ _/> == с/^Тсё^;
36 Ч /Ра.
¿FOE =
360°
60°.
Зайдём сторону шестаугольника.Твк как вс0 стороныпр^1^1^льного шестиугольника ьавны, та) импем ыледающеи аёрумениер=6-сЕс72 => Р1ы=1^.
Сл едуя из того, что треугольник FOE равнобедренный (OF и OE - радиусы окружности) и zFOE = 60° = zOFE = zOEF, можем получить R = АВ= 12, ]КО^О-РО=24.
Ответ:
Задкна 3. Стоаоьаырлвильнк^^снпрны^олан^к^о^а равно V3. Намдиае радиус окружности, вписанной в этот треугольник (рис. 4) [1].
Рис. 4
180° AB л/3
а =-= 60°; KB = — = —.
3 2 2
KB
а = 2 • г • t,60o; ЛВ = а = 2KB => KB = г • t,60° => — = t,60°.
г
B5B л/В3 1 И.
с = .,60° ==
Ответ: 0,5.
1=Вссмотрим,какидляправильныхмногоугольннков, задания, в содерека-ни5 когирха ерии^ствука правилааыо многоорлнникт.
аркане С. Опартты хлпдтоыости .(Иа аатна (уидетс кго диагонклу
[ЗР].
Ркасмофхр воИы ABCD (рис 5). Плащам квадоата распа у2 5Д площодл аоадихности иуОа Г.усд в ардт5 дах Ряодде (до ыолбааству ги-нтй), "до
ааачар 6ее=С568 => а
2 _
156B
=>а
Рассмот^атреугольырк^^D, коборыйввляогся прямоуоолдным(тор ваку куба всаушаы р>вны ТО0) фрс. ВЗ). Потеоктме ракмеемд
Тиким ррлезос, = —За = V3 • JBC = V784 = 228. Ответ: ЛА
Редррт е. НаЕеолЕ зыссду пррдилунодр ктграэдрееур ребрри а [2]. Рассмотрим правильный тетраэдр ABCD (рис. 6).
D
Рис. 6
Тлчк/ М - ценлр уу>али ABC. .к ккак. кМ л Е$ылол22 лр/виоьнлла ^(=лг[бс^;лдл)!Э, ■/[л^^иолсник АМТ я^ялр"/я прнлбеиольлоа. (V учетом того, тао редрлг ып6стл-
. ИМа
и- ьи откол ыркае р-л1^иогп та)лд|"рл1^пдк:са о кто- иио-у6 ткаи р а ^ "6«^6 /в- ти -о, киго
цекыр [-окирсклфялрегп тсг^-илльлд1ио ялтввячкич центром вгистнлоТ и описаино0 о/[влжпоыбЕи, чб-тло/еп-я С^<Тлгтг^ ирясилм
/ы.Ъфф _ лбУЁ^ЕЧДм2 _ > /км _
Л_/а\ _
3 /Ч
_> DM _ а
1
Оевае:
а.
Ыоббтт В>. С/1чочылте (п^^(Им ^aKUTbc/ro -имpьтэкlгиíс, «гилл |эггЕвпик чвгжкыт aтl-, o/nciaiBHOLiK о^оло ^я^о тражо, ос-лврв кТ [3J.
П рст- (э^О^то пголлп ррнрио тетca6Bол (кйТлГТМЛ уавно а. Ьт6лoлькy рал1^ми 02tп;г>о^-ocииJ0, oпог^alиыыoо оооло ллl-pоит^вони€ДгТЕТ|^ти^гoJя^олкод по crof^c^oeo <к, сЕИв
г^^ ИPг■ ююкюреэгб чрориотне ^ ИД г оплсие к ж -/3-Л . Пусть DM - асс
опта пp^р^льг(хpт■ыoг^aдo/a Дp6CD. Из пия]^оугольноготреугольника AMD по теовомтПифарортванодгт , что
лм к 7нл2-нм2 => лм к 7а2-й2 => лм = Vafi2-fi2 = ЖДй.
ни и Ж3ад г и Жа^Гйд г- йаЖб ПКдоил к> ГаМнос " ли Hi = т ^ й^ -4-•7дд = __.
Овит.
я3Жб
В школьном курсе геометрии ничтожно мало времени уделяется правильным фигурам.Поетому естьнеобходимость ^с^р^о^г^^^к^иис^г^бэкгивнс^г^о^^^са, свызанного с р)€мш^нием зтд:^1, геометрии,в ьесоьве кн^сор^^х лехкит^;^^чение правильных фигур. Элективный курс «Изучение темы «Элементы теории пра-иилснав фвгуд на паеьмв^и^ оьсст^о^ств^»ое^^ед^^м^^р^ит геонетрегпо ооьбнвкуЛ.СГ. ХИесуасевокнав^^влоино изохеюиенлубг^^-
овв) з^^ний ег^°^сгоин^^к< и луеоогиa^^^икax.Г^н^и
даннококуоха учесоюалоси, чои ^ьо^^юыоное^овссжти^^е^е^^^рвуенасиас-готовку обучающихся к единому государственному экзамену, атакже на стимуля-
цию дальнейшего изучения планиметрии и стереометрии. В этом и заключается актуальность данного элективного курса [4].
Сам курс рассчитан на 30 часов и предназначен для учащихся 10 - 11 классов. Целью курса является углубление знаний обучающихся по теме правильных фигур в стереометрии и планиметрии и развитие пространственного мышления.
Задачи курса:
• дополнить знания обучающихся материалом прикладного характера, областью применения которого являются задачи;
• расширить и углубить представления обучающихся о приемах и методах решения планиметрических и стереометрических задач;
Библиографический список
• обеспечить, исходя из высокого уровня абстрактности темы, наглядность, логическую строгость рассуждений и обоснованность выводов;
• создать условия для выдвижения различных гипотез при поиске решения задачи и доказательства верности или ложности этих гипотез;
• способствовать практической направленности курса, реализуя это с помощью аналитического метода достаточным количеством вычислительных задач;
• развить интерес и положительную мотивацию изучения геометрии, создать условия для подготовки учащихся к успешной сдаче ЕГЭ по математике [5].
1. Единый государственный экзамен по математике. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2019 года. Available at: www.fipi.ru
2. Открытый банк заданий ЕГЭ по математике. Available at: www.mathege.ru
3. Прояева И.В., Сафарова А.Д. Об особенностях преподавания отдельных вопросов стереометрии в школьном курсе геометрии. Мир науки, культуры и образования. 2017; 2 (63): 53 - 56.
4. Прояева М.В., Колобов А.Н. Об изучении векторной геометрии в современной школе. Мир науки, культуры и образования. 2017; 4 (65):199 - 203.
5. Прояева И.В., Колобов А.Н. Применение интерактивных технологий в процессе подготовки к олимпиаде по математике. Мир науки, культуры и образования. 2017; 6 (67): 78 - 81.
References
1. Edinyj gosudarstvennyj 'ekzamen po matematike. Demonstracionnyj variant kontrornyhizmeritel'nyhmaterialovEG'E 2019goda.0аallable at: www.fipi.ru
2. Otkrytyj bankzadanij EG'Epo matematike. Available at: www.matheeety
3. Proyaeva I.V., Safarova A.D. Ob osobennostyah prepodavaniya otdel'nyh voprosov stereomvtriiv sikotnom kuryeveometrn. EGyvetg kylEuro 1 Eurozoyanma.2090: 2 |63t: 53 - 56.
4. Proyaeva M.V., Kolobov A.N. Ob izuchenii vektornoj geometrii v steroG9ngoj sktole. MiknvuG, 1012,0 Хweaeuknt2m.2ef9:4 (e5):19e-2Z3:
5. Proyaeva I.V., Kolobov A.N. Primenenie interaktivnyh tehnolog.|мkl■oo2ssepo2ketoev¡asl¡EGmde ponataetilee.M/rvauf kaEvr■eiebrУ2Z/k2tya. 201a; 6(g7):78 - 9t.
Статькаоатуп-ла в zeda-пию 25. 02.19
УДК 514(075.8):81(075.8)
Proyaeva I.V., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), sorior .'awtr, Oaeo-uag Stnte Eud¡akwg¡sui ¡nmмuнUz ge: BE dobf, k/yeior 12elоuоь, Volga State University of Telecommunications and Informaliaн(Orgn0oнg,Russ|-y, E-mo'ib decee-Enae-maltM Safarova A.D., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Orenburg State WGOagogloeiUninyioiron.a. Z:RChkafov ('Oreлaан,Rнaнia-E-mail: aliya.safarova.66@mail.ru
ESPECIALLY THE STUDY OF LINEAR TRANSFORMATIONS. In the article one of themost actuals^nd ¡at thesametlme diffIcultquestlonsof modern mathematics, and also for mastering by trained is considered, which is thehelutlon oO prablnms withecanertmrna¡nCeeanueOOnsotfero focoson tte develocmentuftto original methods of solving problems of this type. The importance anndlfflc ults ef stuCsins tUIn toee aS prntlems In eUttqrila essoclateCwUntne diversity and variability as such. The characteristic features of the problems of this typcnre diq|n g ws^atelctecOTlued^twrlfflcrenti <tluss|f|qadions are considered. Attention is paid to the methodical scheme of solving problems with economic contents. Presented in the article the method of introduction of the main methods of solving economic problems has been implemented in a specific educational process in the extracurricular activities-wor0sh-2stыsalve t0o9roriems о-Ио-хата^ Cns Impr-nedlhr-fflclzGry of learning the studied material by students.
Key words: linear transformations, affine transformatiozk,reoakion,mMUon, urm2¡mi 1rдaа1ou
И.В. Прояева, канд. физ.-мат. наук, доц., ОренбургскuZгoжzGaeamвeнныoпegoгoguчyeкzl¡Gaaвеycиmem имaнeBЛ.aаeлжа,Wo-lP(кuuйской академии народного хозяйства и государственной слнmWаlПG-Пpеeakeнmk ыФ GOpм,rбepдoaанф[1лeoGS r. Оеощб'ег, £rtoefs f'дm;Gлi/sEa@me/r.i11 АД. Сафарова, канд. тех. наук, доц., Оренбургский государственный педeaoaeчeoeoe youaнpkumem имешВ.П.Чкeпooe,г.OoьнGyzg, E-mail: docentirina@mail.ru
ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ЛИН ЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В данной статье рассмотрен один из самых актуальн29/ aтGжgвyнylн cлuErыxв0yp020в соо9еменоой матюмоеики, а такжодля ycynoHиoa6oaa-ющимися - это линейные преобразования. Основное внимпюае в kaУaoeнkтen2l eGoUhaaa-n/d ra кыр9еот2е 092гюн9лв1пй -1:00^92 039zogn. /sruoro вопроса. Важность и трудность изучения теории линейныxпpeaбparaaaoийkBУнаны a uasogwi ымееедь 9 мaаroroHG,^ocevв m вмрптгдеостью yaveeeoebco Выделяются и описываются типы, рассматриваются разлианыaиaкoookмMurациg¡ Знsloтeьnнoo mvMaHHe geefiseoey MeMt^zHoaGokiakeyaHUfiUHoa различных типов линейных преобразований. Представленная в статье методика введегея оснюемыдмеьодокиудмень ounz^^ro вопеомоМыладеали-зована в конкретном учебном процессе на факультативных занвти2ktПьoкe2uyмag aBa3u н 2ovuoлlынizмыeвтв эММмктивкоеть^еоенмяизучаемого материала обучающимися.
Ключевые слова: линейные преобразования, аффинные преобразованzя,пoвopот,wмumezee,аea9ллeлжныo2opeнмe,
В вопросах методики математики существуют два подхода к изучению теории преобразований: исторический и логический. Историческая(генетическая) трактовка предполагает изучение вопроса в его историческом развитии. Для логической трактовки характерно выделение наиболее общих понятийита их базе изучение остального материала путем использования операций логического вывода, а также выделение частных случаев из общего понятия.Вшетлн Соль-шее распространение получила историческая трактовка темы «Геометрические преобразования плоскости», что соответствует индуктивному методу ее изучения [1]. Однако в вузе, на наш взгляд, лучше рассмотреть логическую трактовку этой темы. При этом предполагается, что в курсе алгебры изучена теория линейных преобразований и матриц.
Теория начинается с изучения группы аффинных преобразований.
Аффинное преобразование определяется как линейное невырожденное преобразование плоскости, заданное относительно прямоугольной декартовой системы координат формулой
(взчнеиинй й*0-
Если при аффинном преобразование точка М(х;у) переходит в точку М'(х';у) яогноетнаато х';у'о пререеяются софермагнм
(V = а1з + Ь1у + с1
{у ее айЗ + ЬйУ + Сй
При Д > 0 аффинное преобразование А называется аффинным преобразованием А1 первого рода, при Д < 0- аффинным преобразованием А11 второго рода.
Далее доказываем следующие теоремы:
1. Множество аффинных преобразований образует группу относительно композиции аффинных преобразований.
