CC BY
28
Кривая ^г имеет касание первого порядка с вертикальным направлением (вертикальным направлением в пространстве РТМ называется направление параллельное оси р, т. е. ядро стандартного проектирования РТМ — М ) в точке (д; рг) . Следовательно, проекция кривой на многообразие М является полукубической параболой с каспом в точке д и касательным направлением рг.
Пример 1. Пусть функция F = p2 + c .Тогда Д = 2(3с — p2) и P = 7cyp2 + 4cxp + 3cc
y .
Страты M- и Мод определены условиями c(x,y) > 0 и c(x,y) = 0 , соответственно, и кривые Si имеют вид cx = ±2cyV3c .
I. Положим c(x,y) = —x (рис. 1, слева). Тогда, очевидно, Si = S2 = 0 , и полуплоскость x> 0 ( М+ ) заполнена сетью изотропных линий y = ± |x 2 + const (изображены штриховым пунктиром), а полуплоскость x< 0 ( М- ) заполнена сетью сингулярных линий y = ± (—x) 2 +const (изображены точечным пунктиром). Каспы на геодезических появляются, когда геодезические (сплошные линии) касаются сингулярных линий. Отметим, что геодезические проходят из области М- в М+ и обратно, пересекая страт Мо,1 (ось y) без появления сингулярности, если они пересекают ось y с любым неизотропным касательным направлением p = 0 .В противном случае уравнение (4) имеет особенности в точках страта Мод . Далее мы увидим, что в таких точках существует однопараметрическое семейство геодезических, выходящих в обе области М+ и М- с общим касательным направлением p = 0, и продолжение геодезических через Мо,1 не является естественно определенным.
II. Положим c(x,y) = ay2 — x с а = 0 .Тогда Si = 0 , i = 1, 2 , но ни одна из кривых Si не проходит через начало координат. На рис. 1 (справа) изображены геодезические в окрестности начала координат, не содержащей точек ни одной из кривых Si . Для определенности мы считаем здесь а> 0 . Все обозначения здесь те же самые, что и прежде.
M_ v M+
х
Рис. 1. Пример 1: I и II (слева и справа, соответственно). Страт Мод (ось у слева и парабола справа) изображен сплошной жирной линией. Геодезические и сингулярные линии изображены сплошными линиями и точечным пунктиром, соответственно. Изотропные линии - штриховым пунктиром
Следующий тип особых точек геодезического потока в области М- (коразмерности 1) связан с обращением в нуль поля (6). Заметим, что это поле принадлежит к специальному классу векторных полей, особые точки которых не изолированы, а образуют многообразие Ш коразмерности 2 в фазовом пространстве. Это условие может быть выражено в алгебраической форме: ростки всех компонент поля в особой точке принадлежат идеалу I (в кольце гладких ростков), порожденном двумя из них. Спектр линейной части такого поля в любой особой точке (для краткости, будем называть его просто спектром поля) может содержать только
2009
два ненулевых собственных значения Ах;2 •
В случае поля (6) идеал I = (A, P) , и множество особых точек поля W = Si U S2 • Ненулевые собственные значения А^2 описываются следующей леммой.
Лемма 1.
1. Во всех точках (q; p) € Si имеет место резонанс А1 + А2 =0 , т. е. А1>2 - вещественные или чисто мнимые числа с противоположными знаками.
2. Следующие утверждения эквивалентны:
2.1. Собственные значения А1>2 в точке (q; p) € Si не равны нулю.
2.2. В точке (q; p) кривая Si регулярна и трансверсальна контактной плоскости.
2.3. В точке q кривая Si регулярна и направление pi трансверсально Si .
3. В случае общего положения условия 2.1-2.3 выполнены почти во всех (q; p) € Si.
Доказательство. Без ограничения общности предположим, что q = 0 (начало координат) принадлежит кривой Si и выберем локальные координаты с центром в точке 0 таким образом, чтобы сохранить линии x = const и превратить интегральные кривые векторного поля dx = pi(x, y) в семейство параллельных прямых y = const. Существование таких локальных координат следует из следующего общего факта: если Vi и V2 - гладкие векторные поля на плоскости, трансверсальные в точке 0 , то в окрестности 0 найдутся такие локальные координаты, в которых интегральные кривые полей Vi и V2 совпадают с координатными линиями.
Тогда многочлены F, A, D[p] принимают вид (7) и в окрестности точки 0 выполнены соотношения pi = 0 и b(x,y) = 5(x,y) . Заметим, что первое из них влечет за собой тождество 3ac = 4b2 . С учетом b2 — ac< 0 отсюда следует ac> 0 , а также то, что в окрестности точки 0 ни один из коэффициентов a, b, c не обращается в нуль. Далее мы представим доказательство для страта Si , заданного уравнением 3c(cy — 2bx) + 4bcx = 0 . Доказательство для страта S2 аналогично.
Обозначим через Л матрицу вещественной части поля (6) и через Л1 матрицу пфаффовой системы dA = 0 , dP = 0 , pdx — dy = 0 , рассматриваемые в произвольной точке (q; p) € S1 , т. е. q € S1 и p = 0 :
Л
где
Ax Ay Ap
0 0 0
Px Py Pv.
Ax
P I
x lp=0
= cx(3cy — 2bx) + 4bcxx + 3c(cxy 2bxx^
Pp|p=0 = 4acx — 6axc + 2b(5cy — 2bx).
Ax Ay Ap\
, Л1 = 1 Px Py Pp )
=0 0 —1 0i p=0
xc) — 16bbx, App =0 = —4ab,
(8)
1. Для доказательства утверждения 1 достаточно показать, что ^Л = 0. С учетом равенства 3с(су — 2Ьх)+4Ьсх = 0 , выполненного в точках кривой и тождества Ь = 5 (из которого следует 3ас = 4Ь2 ), выполненного в окрестности точки 0 , из (8) получаем
^Л = (Ax + Pp)|p=0 = 10[acx + b(cy — 2b x)] = 10 (acx — b = (3ac — 4b2) = 0.
Уравнение характеристического многочлена матрицы Л имеет вид А(А2 + |Л1|) = 0, откуда вытекает уравнение
А2
+ |Л11 = 0 для собственных значений А^2 . 2. Дифференцируя тождество 4Ь2 = 3ас по х , получаем 8ЬЬх = 3(ахс + асх) . Используя
x
2010
оба эти тождества и (8), находим Дж |p=Q = 6(acx + axc) — 16bbx = 6(acx + ax c) — 6(acx + axc) = 0,
lp=Q
p=Q
|Лх| = —ДрРх: |p=Q = 16ab2cxx — 8abbxcx + 12ab[cxcy + ccxy — 2bxxc] =
= 12а2ссхх — 3асх(ахс + асх) + 12аЬ[схсу + ссху — 2Ьххс].
Таким образом, А1)2=0 равносильно |Лх | = 0 , что эквивалентно условию 2.2.
С другой стороны, нетрудно видеть, что кривая 51 касается направления р = 0 в точке ц = 0 , если и только если в этой точке выполнено равенство [3с(су — 2Ьх) + 4Ьсх]х = 0 . Принимая во внимание тождества 4Ь2 = 3ас и 8ЬЬх = 3(ахс + асх) , мы получаем
[3с(су — 2Ьх) + 4Ьсх]х = 3(схсу + ссху) — 6Ьххс + 4Ь схх ^ 2ЬЬхСсх =
= 3( + ^6b | 12accxx — 3(axc + acx)cx = |Лх |
—3(cxcy + ccxy) 6bxxc+
4Ь 4аЬ
Это доказывает, что А1>2 = 0 равносильно условию 2.3.
3. В случае общего положения почти во всех точках (ц; р) € 51 оба определителя
Дx Ду
P P
1 x 1 у
|Л1| =
Дx Др
PP
1 x 1 p
не равны нулю. Следовательно, Si и Si - регулярные кривые и, более того, выполнены условия 2.1-2.3.
Теорема 2. Предположим, что (q; pi) € S i - особая точка общего положения векторного поля (6). Тогда росток поля (6) в точке (q; pi) гладко орбитально эквивалентен
д д д
— ПЩ + если \i,2 £R\ 0, (9)
д д д ПЩ — К^2 + П2) ^ если Ai,2 €0\ 0 (10)
где R, I - вещественная и мнимая оси, соответственно. В первом случае существуют две геодезические, проходящие через точку q € Si с касательным направлением pi, обе эти геодезические гладкие. Во втором случае не существует геодезических, проходящих через точку q € Si с касательным направлением pi.
Доказательство. Предположим, что в точке (q; pi) € S i собственные значения Ai,2 = 0 , и следовательно, линейная часть ростка поля (6) в этой точке орбитально эквивалентна линейной части ростка (9) или (10) в нуле. Более того, прямое вычисление показывает, что если квадратичная часть ростка (6) - общего положения (именно, ее коэффициенты не удовлетворяют некоторому специальному условию типа равенства), то 2-струя ростка (6) орбитально эквивалентна 2-струе ростка (9) или (10). В случае Ai,2 €R упомянутое специальное условие явно указано в работе [4] (раздел 6), в случае Ai;2 €0 оно аналогично. Используя результаты работ [5]-[7], можно видеть, что росток поля (6) в точке (q; pi) € Si, удовлетворяющий описанным выше условиям общности положения, гладко орбитально эквивалентен одному из ростков
(9), (10).
Вещественный случай. Очевидно, что поле (9) имеет первый интеграл . Соответствующее инвариантное слоение = const содержит ровно два слоя, проходящих через множество особых точек этого поля, именно, плоскости £ = 0 и п = 0. Все остальные слои этого слоения суть гиперболические цилиндры = const = 0 , не пересекающиеся с множеством особых
2011
точек поля (9). Легко видеть, что для каждой особой точки поля (9) существует ровно две интегральные кривые, проходящие через эту точку: прямые линии, параллельные оси £ и оси П, соответственно.
Покажем, что собственные направления с собственными значениями А^2 = 0, не вертикальные. Пусть е - собственный вектор матрицы Л, соответствующий Ai. Тогда Ле = Aie и е = adx + вдР , где (Ax|p 0 — А^)а + Ap|p 0e = 0 . Если вектор е вертикальный, т. е. а = 0 , в = 0 , из последнего равенства следует Ap |p 0 = 0 . Тогда из (8) следует, что a(0) = 0 или b(0) = 0 . Но оба эти равенства противоречат тому, что ни один из коэффициентов a, b, c не обращается в нуль в точке 0 (этот факт был установлен при доказательстве леммы 1). Из сказанного следует, что поле (6) имеет только две интегральные кривые, проходящие через данную точку (q; pi) , обе они являются гладкими и имеют невертикальные касательные направления в данной точке. Проектируя эти кривые из PTM на M , мы получаем две гладкие геодезические, проходящие через точку q € Si с касательным направлением pi; см. рис. 2 (слева).
Мнимый случай. Очевидно, что поле (10) имеет первый интеграл £2 + п2 . Соответствующее инвариантное слоение £2 + п2 = const содержит вырожденный одномерный слой £ = п = 0 , целиком состоящий из особых точек поля (10) и однопараметрическое семейство двумерных инвариантных слоев (эллиптических цилиндров £2 + п2 = const = 0 ), не пересекающихся со множеством особых точек поля. Эти эллиптические цилиндры заполнены интегральными кривыми, имеющими вид спиралей, проекции которых на M имеют каспы; см. рис. 2 (справа).
Для завершения доказательства остается заметить, что и в вещественном, и в мнимом случае сами кривые Si не являются геодезическими, так как кривые Si трансверсальны контактным плоскостям pdx — dy = 0 (пункт 2.2 в лемме 1). Следовательно, кривые Si не являются 1-графиками никаких кривых, лежащих на многообразии M .
Рис. 2. Фазовый портрет поля (6) в случае нормальной формы (9) и (10) (слева и справа, соответственно) и проекции его интегральных кривых на плоскость (х, у) . Кривые Бг (сверху) и их проекции - кривые Бг (снизу) изображены штриховым пунктиром
Пример 2. Рассмотрим функцию ^ = р2 + с(х, у) , где с(х, у) = ау2 — х с вещественным параметром а .Тогда Д = 2(3с — р2) , Р = 12аур2 — 4р + 6аус , и кривые Бг являются связными компонентами графика функции х = ау2 — 48/а2у2 , лежащими в верхней и нижней полуплоскостях. Простое вычисление показывает, что Рг\8. = 12ау(ау2 — х), следовательно, направление рг касательно к кривой Бг в единственной точке х = Ц/у/а. По лемме 1 (пункт 2.3),
2012
собственные значения А^2 = 0 во всех точках кривой 5г, если а< 0 и во всех точках кривой Бг при х = Ц/у/а, если а > 0 .
На рис. 3 (слева и в центре) изображены геодезические при а> 0. При этом существуют особые точки как с вещественными, так и с мнимыми А^ . Те части кривой Бг, которые соответствуют вещественным (соответственно, мнимым) собственным значениям А^2 = 0 , изображены коротким (соответственно, длинным) пунктиром. Кружком отмечены точки кривых Бг с абсциссой х = 4|/у/а, где А\,2 = 0 . На рис. 3 (справа) изображены геодезические при а< 0 .В этом случае имеются только особые точки вещественными А^2 , и кривые Бг целиком изображены коротким пунктиром. Кружком отмечены точки, в которых геодезические пересекают кривые Бг с сингулярным касательным направлением рг .
Рис. 3. Пример 2: F = р2 + c , где c = ay2 — x при a> 0 (слева, в центре) и при а< 0 (справа). Геодезические изображены сплошными линиями. Страт Мод изображен жирной сплошной линией, кривые Si изображены коротким (длинным) пунктиром, если Ai,2 € R \ 0 (соответственно, Ai,2 € 0 \ 0 )
2.2. Особенности на страте Мод . В этом разделе, как и ранее, мы будем работать в таких локальных координатах, где F, А и D[p\ имеют вид (7). В каждой точке q € Мод многочлен F имеет двойной корень ро = —b/a . Легко видеть, что ро является также двойным корнем многочлена А в q (это следует также из леммы 4 статьи [1]). Таким образом, (q;ро) , q € Мод , суть особые точки сразу двух неявных дифференциальных уравнений F = 0 и А = 0 . Из (5) следует, что P (q; ро) = 0 , поэтому точки (q; ро) , q € Мод , являются особыми также и для поля (6): все компоненты векторного поля обращаются в нуль, и никакое направление в этих точках не определено.
Далее мы ограничимся рассмотрением типичных особых точек q € Мод , в окрестности которых Мод - регулярная кривая и изотропное направление ро трансверсально Мод . В таких точках оба неявные уравнения F = 0 и А = 0 имеют нормальную форму Чибрарио р2 = x (см. [8]), и их интегральные кривые являются полукубическими параболами, лежащими по разные стороны от Мод (в областях М+ и М- , соответственно), как это представлено на рис. 1. В случае общего положения точки q € Мод , не удовлетворяющие описанным условиям, лежат на страте Мод дискретно.
Теорема 3. Предположим, что изотропное направление ро трансверсально кривой Мод в точке q € Мод . Тогда росток поля (6) в особой точке (q; ро) гладко орбитально эквивалентен
_ д д д , . 3«di +2паП + 0 к (11)
и направлению ро соответствует однопараметрическое семейство геодезических, выходящих из точки q в области М+ и М- . Существуют такие локальные координаты с цен-
2013
тром q, в которых это семейство геодезических имеет вид
x = а\п\2 + |2 + aXa (n), y = an\n\5 + £|3 + aYa(n), £ = 0,
(12)
где Ха(п) = о(|п|5) ^ Уа(п) = о(|п1 5) _ С2 -гладкие функции.
Здесь а> 0 (а< 0) соответствует неизотропным геодезическим, выходящим из q в область М+ (соответственно, М- ), а значение а = 0 отвечает изотропной геодезической, являющейся полукубической параболой, лежащей в М+ . Предельный случай а ж дает единственную регулярную геодезическую, проходящую через точку q с касательным направлением р0 . В окрестности точки q любая неизотропная геодезическая, выходящая из q в М+ , содержится в криволинейном секторе, ограниченном двумя ветвями изотропной полукубической параболы, как это представлено на рис. 4.
М+ , /
/
/ / ' /
Рис. 4. Иллюстрация к теореме 3. Страт Мод изображен жирной линией (ось y). Сплошные и пунктирные линии - неизотропные и изотропные геодезические, соответственно
Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что q = 0. Выберем локальные координаты с центром 0 таким образом, чтобы сохранить координатные линии x = const и обеспечить условие b(x,y) = 0 . Это можно сделать, используя подходящую замену переменных y ^ yu(x,y) , u(0) = 0 . Заметим, что в отличие от леммы 1, теперь у нас нет тождества pi = 0 или p2 = 0 в окрестности точки 0 . Более того, теперь уже невозможно получить ни одно из этих тождеств с помощью гладкой замены координат, так как интегральные кривые неявного дифференциального уравнения Д = 0 с корнями pi,p2 имеют каспы на Мод . В выбранные таким образом локальных координатах имеем
F = ap2 + c, Д = —2(ap)2 + 6ac, D[F ] = -4a3 c, P = aayp4 — 2aaxp3 + (7acy — 3ay c)p2 + (4acx — 6axc)p + 3ccy.
(13)
Кривая Мод задается равенством с(х,у) = 0, и р0 = 0 в каждой точке q € Мод . Следовательно, условие "направление ро трансверсально Мод в точке 0" эквивалентно условию сж(0) = 0.
Подставляя выражения для Д и Р из (13) в (6), нетрудно вычислить, что спектр поля (6) в точке ^;0), q € М0д , равен (А1,А2, 0), где А1 = 6асх , А2 = 4асх , а соответствующие собственные векторы имеют вид
е1 = 2адх + 3судр, в2 = др, во = судх - Схду.
Согласно результатам работ [7], [9], росток поля (6) в точке 0 гладко орбитально эквивалентен ростку (11). Более того, сравнивая (6) и (11), легко видеть, что сопрягающий диффеоморфизм
2014
(x, y,p) ^ (Ç, п, Z) может быть выбран в виде
x = 2< + CyZ + h(Ç,n,(), Р = 3cyÇ + п + ¡2((,п,(), y = -CrC + 1з((,п,(), (14)
где a,cx,cy вычислены в точке 0 и fi € M1 ( Mk , k > 0 , означает идеал, состоящий из k -плоских функций в кольце гладких функций).
Поле (11) имеет двумерное инвариантное слоение ( = const. Множество интегральных кривых поля (11), проходящих через начало координат, состоит из оси Ç и однопараметрического семейства кривых
3
{Ç = а\п\2, Z = 0}, а , (15)
с общим касательным направлением в 0, стремящихся к оси Ç при а ^ ж . Интегральная кривая поля (6), соответствующая оси Ç в нормальной форме (11), имеет невертикальное касательное направление в точке 0 (собственный вектор ei ), поэтому ее проекция на плоскость (x,y) является гладкой геодезической. Напротив, семейство (15) при переходе к исходным координатам дает семейство интегральных кривых поля (6) с вертикальным касательным направлением в 0 (собственный вектор e2 ). Проекции таких кривых на плоскость (x,y) имеют особенность в точке 0. Для того, чтобы понять характер этих особенностей, подставим (15) в (14). Это дает
3
x = 2аа\п\2 + Да(п), Р = П + f2,a(п),
где fi,a (п) = fi(a\n\2 ,П, 0) . Заметим, что функции fi,a = о(\п\3) и Да = о(п) являются C2 -и C1 -гладкими, соответственно. Обозначив знак переменной п через s(n) , в результате получаем уравнение
dy = pdx = (п + ¡2,«(п))(3аа\п\2s(п) + fi,а(п)) dп = (3аа\п\2 + да(п)) ¿п, где да = о(\п\2) - C1 -гладкая функция. Интегрируя, получаем
y = 6 аа\п\2 s^) + ha (п) = f аап\п\2 + К(п),
где ha = о(\п\2) - некоторая C2 -гладкая функция. Сделав замену y ^ |y , а ^±2аа , получаем
33
x = а\п\2 + Ха(п), y = ап\п\2 + Уа(п), (16)
где Xa = о(\п\2) и Ya = о(\п\2) - C2 -гладкие функции и неравенство а> 0 ( а< 0 ) соответствует области M+ (соответственно, M- ). Асимптотическая формула (16) имеет смысл для всех вещественных а = 0 .
Для того, чтобы охватить пропущенный случай а = 0 , вспомним, что изотропная поверхность F является инвариантной поверхностью поля (6) (лемма 2 из [1]) и содержит все его особые точки (лемма 4 из [1]). Следовательно, в нормальных координатах (£,п,С) поверхность F содержит ось ( и пересекает каждый инваринтный слой ( = const по некоторой интегральной кривой поля (11). Например, F пересекает слой ( = 0 по одной из интегральных кривых семейства (15), проекция которой является изотропной геодезической, проходящей через 0. С другой стороны, как мы знаем, неявное дифференциальное уравнение F = ар2 + c = 0 , описывающее изотропные линии псевдофинслерова пространства (M, F) , имеет нормальную форму Чибрарио в точке 0. Следовательно, существует единственная изотропная геодезическая, проходящая через точку 0, - это полукубическая парабола
x = п2, y = п3^ (п), N (0) = 0, (17)
2015
лежащая в области М+ . Из единственности изотропной геодезической, проходящей через точку 0, следует, что 1-график кривой (17) является интегральной кривой семейства (16) с а = = 0 и У0(п) = П3N(п) . Используя представление N(п) = ^(п2) + (п2) и замену переменных у ^ ^(0)(у — x2N2(x))/N1(x) , получаем N(п) = N(0) . Нетрудно проверить, что число £ = N(0) является инвариантом пары кривых (16) и (17).
Замечание 1. В примере 1 мы рассматривали функцию ¥ = р2 + с с с = —х и с = ау2 — х . В обоих случаях изотропное направление ро = 0 трансверсально кривой Мод , задаваемой уравнением х = 0 и х = ау2 , соответственно, и условия теоремы 3 выполнены.
Пример 3. Рассмотрим случай ¥ = р2 — х более детально. Поле (6) имеет вид
-2(3, + Л(| + 4) - (18)
Легко проверить, что изотропная поверхность $, заданная уравнением р2 = х , является инвариантной поверхностью поля (18), и единственная изотропная линия, проходящая через точку 0, задается соотношениями х = р2 , у = |р3 . Интегрируя уравнение йр/йх = 2р/(3х + р2) , мы получаем семейство х = а\р\ 2 + р2 , где а - постоянная интегрирования, и отдельную интегральную кривую р = 0 , соответствующую гладкой неизотропной геодезической у = 0 .
Далее, интегрируя соотношение йу = рйх = р(§а\р\ 2з(р) +2р)ф = (|а\р\2 + 2р2)йр, мы получаем соотношение у = |ар\р\ 2 + 3р3 + С1 , где С1 - вторая постоянная интегрирования. Семейству геодезических, выходящих из точки ц = 0, соответствует значение С1 =0. Замена у ^ 5у приводит это семейство к виду (12) с Ха = Уа = 0 и п = р :
х = а\п\3 + п2, у = ап\п\2 + 10 п3- (19)
При а = 0 формула (19) дает изотропную геодезическую. При а кривые (19) стремятся к гладкой геодезической у = 0 .
Замечание 2. Теорема 3 показывает, что продолжение геодезических через кривую Мо,1 не определено однозначно. Все геодезические семейства (12) имеют одно и тоже касательное направление в точке ц € Мод и почти все из них имеют в ц особенность одного и того же типа. Кривая, заданная одной формулой (12) с произвольным а = 0 , не имеет преимуществ перед кривой, состоящей из двух дуг (12) с а1 при (х,у) € М+ и а2 при (х,у) € М- .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Курбацкий А.Н., Павлова Н.Г., Ремизов А.О. Особенности геодезических потоков и линий в псев-дофинслеровых пространствах. I // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 1. С. 66-75.
2. Рунд Х. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М.: Наука, 1981.
3. Matsumoto M. Two-dimensional Finsler spaces whose geodesies constitute a family of special conic sections // J. Math. Kyoto Univ. 1995. V. 35. Iss. 3. P. 357-376.
4. Ремизов А.О. Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений // СМФН. 2006. Т. 19. С. 131-170.
5. Арнольд В.И., Гивенталь А.Б. Симплектическая геометрия // Совр. проблемы матем. Фундамент. направления. Динамические системы. Т. 4. М.: ВИНИТИ, 1985.
6. Martinet J. Sur les singularites des formes differentielles // Ann. Inst. Fourier. 1970. V. 20. № 1. P. 95-178.
7. Roussarie R. Modeles locaux de champs et de formes // Asterisque. 1975. V. 30. P. 1-181.
8. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Совр. проблемы матем. Фундамент. направления. Динамические системы. Т. 1. М.: ВИНИТИ, 1985.
9. Ghezzi R., Remizov A.O. On a class of vector fields with discontinuities of divide-by-zero type and its applications to geodesics in singular metrics // Journal of Dynamical and Control Systems. 2012. V. 18. Iss. 1. P. 135-158.
2016
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 16-01-00677, 16-01-00766, 15-01-04601, 15-0105134) и гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ № НШ-8215.2016.1.
Поступила в редакцию 20 октября 2016 г.
Курбацкий Алексей Николаевич, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры эконометрики и математических методов экономики, e-mail: [email protected]
Павлова Наталья Геннадьевна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Ремизов Алексей Олегович, Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории проблем качественного исследования нелинейных динамических систем, e-mail: [email protected]
UDC 514
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2005-2018
SINGULARITIES OF GEODESIC FLOWS AND GEODESIC LINES IN PSEUDO-FINSLER SPACES. II
© A. N. Kurbatskiy ^ , N. G. Pavlova 2) , A. O. Remizov 3)
Lomonosov Moscow State University 1 Leninskie Gory, Moscow, Russian Federation, 119991 Moscow Business School 38А Leninskiy Prospect, Moscow, Russian Federation, 119334 E-mail: [email protected] 2) The Peoples' Friendship University of Russia 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: [email protected] 3) V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences 65 Profsoyuznaya St., Moscow, Russian Federation, 117997 E-mail: [email protected]
This is a second paper in the series devoted to singularities of geodesic flows in generalized Finsler (pseudo-Finsler) spaces. In the previous paper, we defined geodesics as extremals of a certain auxiliary functional whose non-isotropic extremals coincide with extremals of the action functional. In the present paper, we study generic singularities of so-defined geodesic flows in the case when the pseudo-Finsler metric is given by a generic form of degree 3 on a two-dimensional manifold.
Key words: Pseudo-Finsler spaces; geodesics; singular points; normal forms
2017
REFERENCES
1. Kurbackij A. N., Pavlova N. G., Remizov A. O. Osobennosti geodezicheskih potokov i linij v psevdofinslerovyh prostranstvah. I // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016. T. 21. Vyp. 1. S. 66-75.
2. Rund H. Differencial'naya geometriya finslerovyh prostranstv. M.: Nauka, 1981.
3. Matsumoto M. Two-dimensional Finsler spaces whose geodesics constitute a family of special conic sections // J. Math. Kyoto Univ. 1995. V. 35. Iss. 3. P. 357-376.
4. Remizov A. O. Mnogomernaya konstrukciya Puankare i osobennosti podnyatyh polej dlya neyavnyh differencial'nyh uravnenij // SMFN. 2006. T. 19. S. 131-170.
5. Arnol'd V. I., Givental' A. B. Simplekticheskaya geometriya // Sovr. problemy matem. Fundament. napravleniya. Dinamicheskie sistemy. T. 4. M.: VINITI, 1985.
6. Martinet J. Sur les singularites des formes differentielles // Ann. Inst. Fourier. 1970. V. 20. № 1. P. 95-178.
7. Roussarie R. Modeles locaux de champs et de formes // Asterisque. 1975. V. 30. P. 1-181.
8. Arnol'd V. I., Il'yashenko YU. S. Obyknovennye differencial'nye uravneniya // Sovr. problemy matem. Fundament. napravleniya. Dinamicheskie sistemy. T. 1. M.: VINITI, 1985.
9. Ghezzi R., Remizov A. O. On a class of vector fields with discontinuities of divide-by-zero type and its applications to geodesics in singular metrics // Journal of Dynamical and Control Systems. 2012. V. 18. Iss. 1. P. 135-158.
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (projects №№ 16-01-00677, 16-01-00766, 15-01-04601, 15-01-05134) and by the grant of the Russian Federation President for the state support of leading scientific schools № NSh-8215.2016.1.
Received 20 October 2016
Kurbatskiy Aleksei Nikolaevich, Moscow Lomonosov State University, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Econometrics and Mathematical Economics methods Department, e-mail: [email protected]
Pavlova Natalia Gennadievna, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
Remizov Aleksei Olegovich, V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher of the laboratory of Qualitative Analysis for Nonlinear Dynamic System e-mail: [email protected]
Информация для цитирования:
Курбацкий А.Н., Павлова Н.Г., Ремизов А.О. Особенности геодезических потоков и линий в псевдофинслеровых пространствах. II // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 2005-2018. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2005-2018
Kurbatskiy A.N., Pavlova N.G., Remizov A.O. Osobennosti geodezicheskih potokov i linij v psevdofinslerovyh prostranstvah [Singularities of geodesic flows and geodesic lines in pseudo-finsler spaces. II]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 2005-2018. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2005-2018 (In Russian)
2018
УДК 519.6
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2019-2025
ОБ ОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ПОТЕНЦИАЛА ДЛЯ ТЕЛ ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ
© Е. Б. Ланеев, М. Н. Муратов, Е. Ю. Пономаренко, О. Бааж
Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: [email protected]
Получено устойчивое решение линейной обратной задачи потенциала для для тел постоянной толщины в случае, когда поле потенциала задано на неплоской поверхности. Ключевые слова: некорректно поставленная задача; обратная задача потенциала; класс тел Сретенского; метод регуляризации Тихонова
Здесь мы рассматриваем один из вариантов обратной задачи потенциала [1] для тел постоянной толщины, относящихся к классу Сретенского [2]. Задача рассматривается в рамках нечетно-периодической модели [3], сводится к линейному интегральному уравнению первого рода, устойчивое решение которого строится на основе метода регуляризации Тихонова [4]. Периодическая модель позволяет для построения решения использовать ряды Фурье, погрешность периодической модели по отношению с непериодической изучена в [5]. В рассматриваемом случае решение обратной задачи потенциала аналогично решению векторного варианта [6] задачи продолжения поля потенциала [7], использованного в [8] для решения линейной обратной задачи потенциала для бесконечно тонких тел.
1. Постановка задачи
Как и в работе [8], в цилиндре
Dx = {(x, y,z):0 <x<lx, 0 <y<ly, -ж <z< то} (1)
рассмотрим краевую задачу для поля потенциала, соответствующего нечетно-периодической модели [3]
f rot E(M) = 0, M e Dx, div E(M ) = -4пр,
[n E] lx=0,k =0, (2)
[n E] \y=0,ly =0, , E — 0, z
При заданной плотности р решение задачи (2) может быть получено в виде [3]:
E(M )= iEx + jEy + kEz =
8п [ 1ТГ , х -ж\п2+12\zm-zp\ _ жихр. . ,пшур, = - — dVp р(Р) е V y sin( —i—р) sin(—)x
lxly J Л lx ly
Suppp '
пи жихмЛ ,пшум s пш ,пихмЛ / пшум \
Х (i-1 2 2 COs(^-) sin(^-) + j-1 2 2 sin(^-) COs(^-) +
7 n2 | m2 lx ly i n2, m2 lx ly
lxyT% +Т W^ + Т x
+ ksigu(zM - zp) sin(пиХм) sin(пшум)). (3)
lx ly
2019
Будем считать, что плотность источников р в задаче (2) соответствует телу постоянной толщины h , «лежащего» на плоскости z = Н :
р(х, у, z) = а(х, y)d(z - НЩН + h - z). (4)
Согласно (4) мы рассматриваем функции плотности распределения источников постоянные вдоль оси z и переменные в плоскости (х, у) внутри носителя плотности.
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА. Пусть поле E в рамках модели (2) задано на поверхности S:
S = {(х, у, z): 0 <x<lx, 0 <у <ly, z = F (x, у) < H}, (5)
т. е. известна функция
E\s = E0, (6)
а плотность р неизвестна. Поставим задачу восстановления функции р по заданному полю E0 . Имея в виду, что плотность имеет вид (4), а параметры Н и h известны, задача тем самым состоит в восстановлении функции а(х, у) в (4) по известной функции E0 на поверхности S .
2. Восстановление плотности по известной составляющей Ez поля потенциала
Вначале рассмотрим возможность восстановления плотности a(x, y) в формуле (4) по известной составляющей поля Ez в области
D(-x>, H) = {(x, y,z):0 <x<lx, 0 <y<ly, -ж <z<H} . (7)
Для составляющей поля Ez в (3) получаем
^ 8п [ ,т ^ -ж\ ir+mr \zm-zp \ ,nuxp. ,nmyp,
Ez(M) = - — dVpp(P) e У sin(—^)sin(—f^)x
lxly lx ly
Suppp nm=1
. , Л . ,nnxM, . ,nmyMч x stgn(zM - zp) sin( i-) sin(—--).
lx ly
Отсюда и из (4), учитывая, что zm < zp в области (7), следует, что в области (7)
ix ly н+h ¡-ir-Г
^ / WN 8п Г [ , л Г , ^ -*Ji2+f2(zp-zm)
Ez(M) = — a(xp,yp) dzp Y, e ^ lx ly x
x y 0 0 H n'm=1
nnxp nmyp nnxM nmyM , , x sin —-— sin —-— sin —--sin —--dxpdyp =
lx ly
lx ly oo I 2 2 i,
8n f f V f+m (h+f -zm)
\ e V x ly 2
lx sin ■ ly
sh n. n2 V ч i m2 + /2 y
n2 JtÍ m2 +12 ly
lx ly
e » x y 2-. :—sin—--sin
lxly J J ir rß2 -L- f2 lx ly
0 0 n'm=1
x a(x,y)sin ^^ sin ^^dxdy = K(xM,yM,zm,x,y)a(x,y)dxdy, (8)
lx ly J J
00
где
16 v -VñÑF (H+f-ZM)sh y tf+f h
K (xm ,Ум ,zm ,x,y) = ^ e У lX iy 2 ""-V 2'x ' x
lx ly / П i fs
x y n,m=1 \ IX +
nnxM nmyM nnx nmy x sin —--sin —--sin —-— sin —-—. (9)
lx ly lx ly
2020
Пусть хм = а , а < ш1п ¥(х,у) , где функция ¥ задает поверхность Б , при этом очевидно а<Н . Тогда, считая, что известна функция
Ф(хм,ум, а) = Ех(М)1м=а, (10)
из (8) получим интегральное уравнение относительно функции а :
1х 1У
J ! К (хм ,ум, а, х, у)а(х, у)йхйу = Ф(хм ,Ум ,а), (11)
0 0
где ядро интегрального оператора К имеет вид (9) и а фиксированный параметр, удовлетворяющий условию а < шт ¥(х, у) < Н .
Решая уравнение (11), находим плотность а, а, следовательно, и искомую плотность р вида (4).
Если плотность а, определяющая границу тела, имеет носитель V, то а(М) = = а(М)хв(М) , где — характеристическая функция носителя функции плотности а, в частности, когда а = а0 = соив1 в пределах носителя, то а(М) = а0ХБ(М) и
Хв (х,у) = — а(х,у). а0
Таким образом, если плотность а найдена как решение интегрального уравнения (11), а величина а0 известна, то носитель О плотности, т. е. «форма» тела, может быть найден, например, так
О = {(х, у) : — а(х, у) > Л, 0 < Л < 1}. (12)
а0
3. Решение обратной задачи в случае точно заданного поля Е0
Пусть теперь задана функция Е0 вида (6). В работе [6] показано, что функцию Ф в (10) можно получить в виде
1х 1У
4 I' Г д д
Ф(М) = — I ¡[Е°х(хр,ур)—<р(М,Р)\рез + Е°у(хр,ур)—ф(М,Р)\р^+
Х У 0 0
0
+ Е0(хр, ур)(щ, Ур<р(М, Р))\р^]ЛхрАур, (13)
где
ф(М,р) = ПТТ. Е
т 2 , т 2 I
2 е V х У пихм птум пихр птур
— У -/ 2 2-й1П —1-й1П —1-й1П —1— й1П —1—
Х 1у п,т=1 \Мг + ТГ 1х 1у 1х 1у
У
функция источника задачи Дирихле для уравнения Лапласа в цилиндре Vх (1). Решение интегрального уравнения (11) может быть получено в виде ряда Фурье
, ^ х ¡к , Л п2+т2(н+2-а) + Т
а(х,у)= > Фпт(а)е V г х г У - г^
-* Л 1 / П2
п,т=1
12 + -¡г(н + 2-а) V Т 1У пих пту ,
1 х 1 У -у х - 81п —-— 8Ш —-——, (14)
пПТ + ТI 1х У
2021
где Фпт(а) — коэффициенты Фурье
1-х 1У
Ф , . 4 ¡' ¡' пих пту , ,
Фпт(а) = ^г Ф(х, у, а) йт — вт ——ахау
1х1у J J 1х 1у
00
функции Ф вида (13) при хм = а . Вводя обозначение
(н+1-а)
(14) можно записать в виде
, , . ,п2 | т2
V 72 + 72 (н+ 2-а) + Ж , л
Кпт(а) = еУ ¡х 2 -У - 2 У ^ , (15)
п2 | т2 I
оо
, . ^ % ^ • пих . пту
а(х,у)= Фпт(а)Кпт Э1П-— Эт ——. (16)
п,т=1 "
Отметим, что решая уравнение (11) мы считаем, что функция (10) или (13) соответствуют плотности а вида (4), поэтому коэффициенты фпт(а) = апт/Кпт убывают быстрее, чем
пт пт
^ 72 + 7Т (н-а)
^ ¡2 + 1Г (н -а) /„2 , т2 (лп,
растет е V х У .¡пТ + т и ряд (16) сходится.
у ^х 1У
4. Решение обратной задачи в случае приближенно заданного поля Е0
Пусть теперь вместо точной вектор-функции Е0 (6) известна функция Е°'" =
/ т-Ай 77.0,5
= (Ех , Еу , Ех ) такая, что
\\Е0,й - ЕХ(5) = 5. В этом случае функция Ф вида (13) вычисляется приближенно:
1-х 1У
ф1 (М) = х-//[Ех(хр ,ур) ддр <р(М,Р)\р& + Е^ (хр ,ур) -ддр ф(М,Р)\р^+ х у 0 0 р р
70,5
+ Е0,д (хр ,ур )(П1, Ур ф(М,Р))\р&з]ахр Аур. (17)
Для разности приближенной и точной правой части интегрального уравнения (11) имеет место оценка
1|Фй - ФУЬ2(П(а)) < С5, С = Соиз1.
Здесь
П(а) = {(х,у,х) : 0 < х < 1х, 0 < у < 1у,х = а} , а < ш1п ¥(х,у).
Устойчивое приближенное решение интегрального уравнения первого рода (11) как некорректно поставленной задачи может быть получено аналогично [6] с использованием метода регуляризации Тихонова [4]. В качестве приближенного решения интегрального уравнения будем рассматривать экстремаль функционала Тихонова
М[ад] =|| ^ - Фй |Ц2(п(а)) +« II ™ Щ, (18)
где К — интегральный оператор в (11). Экстремаль аа может быть получена как решение уравнения Эйлера для функционала (18) и имеет вид
\ х Ф5пт(а)Кпт(а) . пих . пту
аа ху)= п,т=1 1+ К» 1Г ^' (19)
2022
