CC BY
18
несколько семейств решений Ьз или Ца, то проверяем всевозможные произведения до получения выполнимости ЬзЦ <т О. Если при всех Ьз и и неравенство не выполняется, то ЬИ-разложение не существует.
Пусть х - фиксированный элемент, [а, Ь] - интервальный элемент. В результате умножения Ьз на и2 возможны следующие случаи:
• ЬзЦ = х и х <т О , тогда фиксируем наибольшие значения на интервальных элементах в матрицах Ьз и и и получаем ЬИ-разложение;
• Ь3и2 = х и х >т О , тогда ЬИ-разложение не существует;
• ЬзЦ = [а, Ь] и Ь <т О , тогда фиксируем наибольшие значения на интервальных элементах в матрицах Ьз и и и получаем ЬИ-разложение;
• Ьзи2 = [а, Ь] и а >т О , тогда ЬИ-разложение не существует;
• ЬзЦ = [а, Ь] и а <т О <т Ь , тогда нужно уменьшить в матрицах Ьз и и наибольшие значения интервальных элементов, на которых происходит превышение допустимого значения, на , затем зафиксировать полученные значения. Если О = 0, то фиксируем алгебраические нули.
Таким образом, при выполнении условия ЬзЦ <т О ЬИ-разложение матрицы А :
Ь=(ы =(и- Ц2).
A' =
Пример. Найдем над max, + LU-разложение матрицы /243 7 5 6 \ 3 5 6 8 7 7 2 4 5 7 8 7 1 3 3 9 6 9 5 7 7 11 10 12 \ 4 6 9 11 12 11 / I. A = 2, B = 4, C = 3, D = 5, Li = 1, Ui =2; L1U2 = B, U2 = 4; L3U1 = C, L3 = 1, L3U2 = 5 < 5;
11 Li=(i!)'Ui=(2 B=Ш-C=(2 4);№=B-lh=(6);^=
= C, L3 = (1 [0,-1] ) ; L3U2 = [3, 5] < 5;
2 4 3 7
III. Li = I 1
Ui =
1
56 5
B=
8 7
C = 1 3 3 ; LiU2 = B,
U2 = I [0, 8] I ; L3U1 = C, L3 = ( -1 -3 [0, -2]) , ( -1 №, -3] -2); L3U2 = 6 < 9;
IV. Li
L1U2 = B, U2 =
№ ,7]
/10 0 1
-1
V -1 -3 -2 1 J 5
7
8
[ , 6]
U1 =
2437 568 57 9
B=
5
7
8
6
, C = ( 5 7 7 11 ) ;
; L3U1 = C, L3 = (3 [0, 1] 2 2 ),( 3 1 [0, 2] 2);
2002
L3U2 = (3 №, 1] 2 2 ) U2 = 10 < 10;
/ 1 0 0 0 0 \ 2 43 7 5 \
1 0 0 0 D 5 6 8 7
V. Li = 1 -1 1 0 0 , Ui = D 0 5 7 8
-1 -3 -2 1 0 D 0 0 9 6
V 31 2 2 V D 0 0 0 10
/ 6 ^
№, 7]
C = ( 4 6 9 11 12 ); LiU2 = B, U2 7 ;
9
V 12
B =
/ 6 \ 7 7
9
V 12 )
Ь3иг = С, Ь3 = (2 [0,1] 4 [0, 2] [0, 2]); ¿3^2 = [11,14], Б = 11; Ь - Б = 14 - 11 = 3, нужно уменьшить наибольшее значение интервального элемента в матрице ¿3 , на котором происходит превышение допустимого значения, на 3, а уже затем фиксировать значения. Таким образом, получаем разложение для матрицы А :
L
/ 1 0 0 0 0 0 \ 2 43 7 5 6 \
1 1 0 0 0 0 0 56 8 7 7
1 -1 1 0 0 0 , U = 0 5 7 8 7
-1 -3 -2 1 0 0 0 0 0 9 6 9
3 1 2 2 1 0 0 0 0 0 10 12
V 2 1 4 2 -1 V 0 0 0 0 0 11 /
Заключение
Мы описали для матриц над полуполями два блочных алгоритма вычисления LU-разложения матрицы без использования перестановок. Каждый из этих алгоритмов завершается либо вычислением разложения, либо устанавливает отсутствие такого разложения у заданной матрицы. Полученные блочные алгоритмы имеют сложность O(n3) .
Дальнейшим развитием этого направления должно быть обобщение данного подхода и создание универсального дихотомического рекурсивного алгоритма, который будет иметь сложность матричного умножения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Малашонок Г.И., Киреев С.А. Введение в идемпотентную математику. Тамбов: Издат. дом ТГУ им. Г.Р. Державина, 2014. 48 с.
2. Kireev S. Sequential Algorithm LU-decomposition of matrices over idempotent semifield. International Conference on Mathematical Partnership, Parallel Computing and Computer Algebra: MathParCA-2016, Loutra, Agia Paraskevi, Greece, August, 5 - 15, 2016. P. 41-45.
3. Kireev S. Block-recursive algorithm LU-decomposition of matrices over idempotent semifields // International Conference on Mathematical Partnership, Parallel Computing and Computer Algebra: MathParCA-2016, Loutra, Agia Paraskevi, Greece, August, 5 - 15, 2016. P. 15-16.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-07-00420).
Поступила в редакцию 18 октября 2016 г.
Киреев Сергей Анатольевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра функционального анализа, е-mail: [email protected]
2003
UDC 512.71
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1998-2004
TWO PARTICULAR CASES OF BLOCK-RECURSIVE ALGORITHM LU-DECOMPOSITION OF THE MATRIX OVER IDEMPOTENT SEMIFIELDS
© S. A. Kireev
Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: [email protected]
We propose two algorithms for particular cases of block-recursive LU-decomposition of matrices over idempotent semifields. We consider the cases in which the band width of the block is equal to 1 or 2. For each of them we will get the decomposition algorithm and give an example.
Key words: LU-decomposition; block-recursive algorithm; idempotent semifield
REFERENCES
1. Malaschonok G.I., Kireev S.A. Introduction in Idempotent Mathematics. Tambov: Publishing House of TSU, 2014. 48 pp.
2. Kireev S. Sequential Algorithm LU-decomposition of matrices over idempotent semifield. International Conference on Mathematical Partnership, Parallel Computing and Computer Algebra: MathParCA-2016, Loutra, Agia Paraskevi, Greece, August, 5 - 15, 2016. P. 41-45.
3. Kireev S. Block-recursive algorithm LU-decomposition of matrices over idempotent semifields. International Conference on Mathematical Partnership, Parallel Computing and Computer Algebra: MathParCA-2016, Loutra, Agia Paraskevi, Greece, August, 5 - 15, 2016. P. 15-16.
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 16-07-00420).
Received 18 October 2016
Kireev Sergey Anatolevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate student of the Functional Analysis Department, е-mail: [email protected]
Информация для цитирования:
Киреев С.А. Два частных случая блочно-рекурсивного алгоритма LU-разложения матриц над идемпотентными полуполями // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 1998-2004. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1998-2004
Kireev S.A. Dva chastnyh sluchaya blochno-rekursivnogo algoritma LU-razlozheniya matrits nad idempotentnymi polupolyami [Two particular cases of block-recursive algorithm LU-decomposition of the matrix over idempotent semifields]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 1998-2004. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1998-2004 (In Russian)
2004
УДК 514
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2005-2018
ОСОБЕННОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОТОКОВ И ЛИНИЙ В ПСЕВДОФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. II
© А. Н. Курбацкий ^ , Н. Г. Павлова 2) , А. О. Ремизов 3)
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова 119991, Российская Федерация, г. Москва, Ленинские горы, 1 Московская школа экономики 119334, Российская Федерация, г. Москва, Ленинский проспект, 38А E-mail: [email protected] 2) Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: [email protected] 3) Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН 117997, Российская Федерация, г. Москва, ул. Профсоюзная, 65 E-mail: [email protected]
Эта статья является второй частью серии работ, посвященных особенностям геодезических потоков в обобощенных финслеровых (псевдофинслеровых) пространствах. В первой статье геодезические были определены как экстремали некоторого функционала, все неизотропные экстремали которого совпадают с экстремалями функционала действия. Сейчас мы исследуем типичные особенности определенных таким образом геодезических потоков в случае, когда размерность многообразия равна двум, а псев-дофинслерова метрика задана формой степени три общего положения. Ключевые слова: псевдофинслеровы пространства; геодезические; особые точки; нормальные формы
1. Введение и предварительные сведения
Для удобства читателя мы кратко излагаем некоторые результаты предшествующей статьи [1], необходимые для понимания настоящей работы.
1.1. Общий случай. Финслеровым пространством, следуя [2], мы называем пару (M, F) или, эквивалентно, (M, f), где M - гладкое (здесь и далее это означает C^ , если не оговорено противное) многообразие, dim M = m , с координатами (xi) , снабженное функцией F(Xi; Xi): TM ^ R , положительно однородной степени n > 2 по переменным (Xi) , гладкой на дополнении нулевого сечения касательного расслоения TM , и удовлетворяющей условиям:
B. F(xf; Xi) > 0 , если \Xi| +-----+ \Xm\ =0 .
C. Гессиан функции f попеременным (X i) положительно определен, т. е.
m g2(f2) m
^SXdd ^ > если £ =°. (1)
ij=1 i j i=1
_ _1
Функция f (Xi; Xi) = Fn (Xi; Xi) гладкая на всем дополнении нулевого сечения касательного расслоения TM и положительно однородная степени 1 по (Xi) . Квадратичная форма (1) называется фундаментальным тензором, а f - метрической функцией на M .
2005
Метрическая функция I (хг; •) определяет норму на каждом касательном пространстве ТхЫ . Это позволяет определить функционалы действия и длины, аналогично тому, как это делается для римановых метрик. Именно, для кривой 7: I ^ Ы мы имеем:
3(%) = / I и{хг; Хг) (И = 1 Ё П (хг; Хг) (Ь, Хг = ^,
I I
где V = 1 (длина) или V = 2 (действие), см., например, [2, 3]. Как и в римановом случае, функционал длины 3 (!) инвариантен относительно перепараметризаций кривой 7, а функционал действия 3(2) - не инвариантен.
Параметризованные геодезические могут быть определены как экстремали функционала действия 3(2) , соответствующая параметризация называется натуральной или канонической (она пропорциональна длине дуги кривой, где йв = I).
Непараметризованные геодезические могут быть определены как экстремали любого из двух функционалов
3(2)
и 3 (^ . Различие в использовании
3(2)
и 3 (^ состоит в следующем.
В первом случае мы просто забываем натуральную параметризацию экстремалей функционала
3(2)
, а во втором случае система уравнений Эйлера-Лагранжа с лагранжианом I(хг; Ххг) содержит не т , а всего лишь т — 1 независимых уравнений, см. [2]. Это обстоятельство отражает тот факт, что функционал длины 3(1)(7) инвариантен относительно перепараметризаций 7 . Используя имеющуюся степень свободы и рассматривая только непрерывно дифференцируемые геодезические, имеющие в каждой точке определенное касательное направление, можно положить параметр Ь равным одной из координат хг, уменьшив число уравнений в системе Эйлера-Лагранжа для 3(1)(7) на единицу.
Непараметризованные геодезические в финслеровых пространствах можно определить как экстремали функционала 3с произвольным V > 1, в частности, V = п (см. [1]). Такое изменение определения геодезических не дает ничего нового, но для псевдофинслеровых пространств оно оказывается весьма полезно.
Псевдофинслеровым пространством (или обобщенным финслеровым пространством), следуя [2], мы называем пару (Ы,Ё) или, эквивалентно, (Ы,1) , где многообразие Ы и функции Ё, I удовлетворяет всем условиям из определения финслерова пространства, кроме В и С. Отсутствие условия В приводит к появлению изотропной гиперповерхности $, задаваемой в касательном расслоении ТЫ уравнением Ё(хг; ХХг) = 0 . Хорошо известным примером псевдофинслерова пространства является так называемое пространство Бервальда-Моора, в котором I (хг; Хг) = (Х 1 ••• Хп) п , п = т .
Начиная с этого момента, мы будем рассматривать псевдофинслеровы пространства и под (непараметризованными) геодезическими в таких пространствах подразумевать проекции на Ы экстремалей функционала 3(п) , т. е. решений системы уравнений Эйлера-Лагранжа
V °2Т х +т °2Ё х _ = дЁ , = 1 т
дХгдХ 3 3 дХгдхз 3 дхг' ' " '' '
3 = 1 ^ 3=1 ^
отличные от точки.
Так как мы исследуем непараметризованные геодезические, удобно перейти от ТЫ к про-ективизированному касательному расслоению РТЫ с помощью стандартной проективизации П: ТЫ ^ РТЫ, при которой проективизируется касательное пространство в каждой точке многообразия Ы .Например, положив х = х1 , уг = хг и рг = (уг/(х для г = 2,...,т , и перейдя от лагранжиана Ё(хг; Хг) лагранжиану Ё(х,уг,рг) = Ё/Х'П . При этом система уравнений (2) перейдет в некоторую систему, состоящую из т — 1 уравнений второго порядка. Заметим, что изотропная гиперповерхность $, задаваемая в пространствах ТЫ и РТЫ уравнениями
2006
Е = 0 и Е = 0 , соответственно, является инвариантной гиперповерхностью обеих систем. Кроме того, в случае т = 2 все изотропные линии являются непараметризованными экстремалями функционала .1(п) .
1.2. Двумерный случай. Выпишем систему уравнений в РТМ явно в двумерном случае ( т = 2 ), предположив также, что функция Е является однородным полиномом степени п > 2 по переменным (х г) . Обозначим координаты на многообразии М через (х, у) , т. е. положим
Е(х, у; х,у) = У' аг(х, у)хп гуг, Е(х, у; р) = V аг(х, у)рг,
г=0
г=о
где коэффициенты аг гладко зависят от (х, у) . Система (2) в этом случае принимает вид
х= Нг х Н '
у
Н2, Н
Н
Е■ ■ Ехх Е■ ■ Е ху , Н1 = С1 Е- ■ Е ху , Н 2 = Е ■ ■ Ехх Сг
Е- ■ Еху Е ■ ■ Еуу С2 Е ■ ■ Еуу Е ■ ■ Еху С2
(3)
где Сг = Ех - хЕ±х - уЕху и С2 = Еу - хЕху - уЕуу .
Стандартная проективизация П: ТМ — РТМ переводит систему (3) в
йу йр
р = Тх> Тх =
Н - рНг = Р Н = А'
где
А(х, у; р)= пЕЕрр - (п - 1)Е%,
(4)
(5)
Р(х, у; р) = пЕ(Еу - Ехр - рЕуР) + (п - 1)Ер(Ех + рЕу).
А и Р являются полиномами по р степеней не больше 2п - 4 и 2п - 1 , соответственно. В
частности, А(х, у; р) = (2папап-2 - (п - 1)аП-г)р2п-4 +-----+ 2па0а2 - (п - 1)а\.
Систему уравнений (4) удобно записать как векторное поле
д
А + рдт^)
д_ дх
ду ) + Р др
(6)
на РТМ . В соответствии с принятым определением, непараметризованные геодезические суть проекции интегральных кривых поля (6) из РТМ на М , отличные от точки. Поле контактных плоскостей йу = рйх высекает на инвариантной изотропной поверхности $ С РТМ поле направлений, интегральные кривые которого соответствуют (про проектировании РТМ — М ) изотропным геодезическим. Все остальные интегральные кривые поля (6), не лежащие целиком на изотропной поверхности $, соответствуют неизотропным геодезическим.
Особенности геодезического потока возникают в тех точках пространства РТМ , где функция А(х, у; р) обращается в нуль. В области М' С М , через каждую точку которой проходят т изотропных линий псевдофинслерова пространства, т. е. многочлен Е(р) имеет т вещественных корней (с учетом кратностей и, возможно, включая в число корней р = ж ), описание множества особых точек геодезического потока (уравнения (4)) весьма просто. Именно, в точке (х,у) € М' функция А(х,у; р) обращается в нуль если и только если хотя бы две из т изотропных линий, проходящих через данную точку, касаются друг друга, причем р - соответствующее касательное направление. Это утверждение не верно для дополнения области М', где многочлен Е(р) имеет комплексные корни, и в области М \ М' множество особых точек устроено иначе.
2. Кубические псевдофинслеровы метрики
Пусть п = 3 и т = 2 . Обозначим через Ор и Од] соответственно дискриминант кубического многочлена Е (х,у; р) и дискриминант квадратного многочлена А(х,у; р) попеременной р. Простое вычисление показывает, что Од = -12О[р] .
2007
Введем следующую стратификацию двумерного многообразия M . Открытые области M+, M- определяются условиями D[p] > 0 , D[p] < 0 , соответственно. В случае общего положения области M+, M- разделены дискриминантной кривой Mo : Dp] =0 , которая состоит из регулярных точек (кубический многочлен F имеет один простой корень и один двойной корень) и каспов (F имеет тройной корень), причем каспы - изолированные точки кривой Mo . Символом Mo,i обозначим множество всех регулярных точек кривой Mo , а также введем обозначение Mo,o = Mo \ Mo,i . В области M+ дискриминант квадратного многочлена А строго отрицателен, поэтому особые точки уравнения (4) могут быть только в области M- или на кривой Mo . Далее мы исключаем из рассмотрения страт Mo,o размерности нуль (состоящий из дискретного множества точек) и будем рассматривать только особые точки в стратах M-и Mo>1 .
В малой окрестности каждой точки (x, y) € M \ Mo,o кубический многочлен F имеет по крайней мере один простой вещественный корень p*(x,y) , гладкой зависящий от x,y. Чтобы упростить вычисления, будем считать рассматриваемую точку началом координат 0 и выберем локальные координаты в окрестности 0 таким образом, чтобы интегральные кривые векторного поля ^Х = P*(x,y) (одного из трех семейство изотропных линий) приняли вид x = const. При этом, очевидно, получаем a3(x,y) = 0 и
F = ap2 + 2bp + c, А = -2(ap + b)2 + 6(ac - b2), D[P] = 4a2(b2 - ac),
M± = {±(b2 - ac) > 0, a = 0}, Mo,i = {b2 - ac = 0, a = 0}, (7)
P = 3F(Fy - Fxp - pFyp) + 2Fp(Fx + pFy).
2.1. Особенности на страте M- . В каждой точке области M- квадратное уравнение А = 0 имеет два простых вещественных корня
pi,2 = b, ö = \/3(ac - b2),
и следовательно, область M- заполнена двумя трансверсальными семействами интегральных кривых бинарного дифференциального уравнения А = 0 , которые мы будем называть сингулярными линиями рассматриваемой псевдофинслеровой метрики.
Рассмотрим две кривые Si С M- , задаваемые уравнениями P(x, y; pi) =0 , i = 1, 2 , где P определено в (7). Эти кривые вместе составляют множество res(A,P) = 0, где res означает результант двух многочленов по p .В проективизированном касательном расслоении PTM рассмотрим соответствующие кривые
Si = {(x,y; pi):(x,y) € Si}, i = 1, 2,
состоящие из особых точек поля (6).
Обозначим через Гд семейство геодезических, выходящих из точки q = (x,y) . Простейший тип особенностей геодезического потока (коразмерности 0) описывается следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть q € M- и (q; pi) €Si, i = 1, 2 . Тогда существует единственная геодезическая, проходящая через точку q с касательным направлением pi: эта геодезическая -полукубическая парабола с каспом в q .В частности, если q € M- \ (S1 U S2), семейство Гд содержит ровно две полукубические параболы с касательными направлениями pi, в то время как геодезические со всеми остальными касательными направлениями в точке q гладкие.
Доказательство. Если P (q; pi)=0 , то согласно стандартной теореме существования и единственности, поле (6) имеет единственную интегральную кривую Yi, проходящую через точку (q; pi) . Из условий a = 0, ac - b2 = 0 следует, что А и Ap не обращаются в нуль одновременно, см. формулу (7).
2008
