CC BY
30
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2009, том 52, №8_____________________________
ФИЗИКА
УДК 535.21: 536.48: 538:953
Т.Х.Салихов, Д.М.Шарифов , Х.Ш.Туйчиев ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ НЕЛИНЕЙНОГО ФОТОАКУСТИЧЕСКОГО ОТКЛИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ОБЪЕМНОМ ПОГЛОЩЕНИИ ЛУЧА
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминовым 15.06.2009г.)
Вторая гармоника (ВГ) фотоакустического (ФА) сигнала является нелинейным откликом среды и обусловлена наличием ее тепловой нелинейности [1,2]. Это позволяет из характеристик этого сигнала определить не только макроскопические величины, но и их термические коэффициенты. В [3,4] была построена теория ВГ ФА сигнала для случая, когда исследуемая система является низкотеплопроводящей. Последнее обстоятельство позволяло пренебречь вкладом подложки, поскольку для этого случая ее нагрев оказался на два порядка меньше, чем для самой системы.
Целью настоящей работы является теоретическое рассмотрение особенностей формирования ВГ ФА-сигнала для изотропных твердых тел, оптические характеристики которых соответствуют случаю объемного поглощения падающего луча. Рассмотрим особенности генерации ВГ ФА сигнала, обусловленные температурной зависимостью теплофизических параметров газа (§), образца (б) и подложки (Ь). Оптические величины этих систем считаются постоянными. Исходные уравнения для акустических колебаний температуры Фш (х, ?) на удвоенной частоте для одномерной модели ФА камеры имеют следующий вид [4]:
а2ф“' 1 №“'=4№Х-4^)(Ф1(*,0),о<*</ (1)
дх2 х'°' д! 2 28 дх2 а 18
0Ф“ 1 Э®”-=~(Л,£-4г£хф2.(*,0),-'*г*о (2)
дх1 ^(0) дt 2 дх2 ^(0) д^
д Фгм> 1 ^^2МЬ 1 (я д 8Ъ д 2 П , 1 \ ^ ^ 1 /"5 4
= --У.°2ъ1ГТ--тт)(фй№0). -(К+1ъ)^х^-1 ■ (3)
дх2 хТ дг 2 2Ъ дх1 хТ дг ьъУ',}' ъ
Здесь хТ = !С{^, где к\0) и - начальные значения коэффициента тепло-
проводности и теплоемкости единицы объема соответствующих слоев (/ = g,s,b ); д., ()2. -термические коэффициенты этих величин; Фи{х,?) - линейная составляющая ФА сигнала [5]. Из (1)-(3) для величин /) = Ф2№(/,х)+ 0,5<^2.Ф^.(/,х) имеем
дХ
дх2
хГ дг 2%1°'> Тогда граничные условия примут вид
1 дЧ2г. _ді 32ідФ2и і = г 8 Ь
дї
(4)
Ф2№0,0) = Ф2Л^,0)
дх
х=0 §
(5)
х=0
Ф2м(?-0 = Ф2Л»(^-0
2 Ъ
дх
*=-/ 40) дх
(6)
=-1
Учитывая, что Ф2и ~ Ф,; (со, х)ехр(/2&>/), в (4) положим Ч\, (У. х) = ЧЛ, (со. х)е\р( /2<у/) и, используя обозначения сг2. = 2ио!х-0), ^2, - 0,5(^1, - д21)сг21, получим уравнение
с12х¥п
2' ~ (Т2^2/ = КЛФ 1г (*>, X), І = Е, Я, Ь,
йх
решения которого можно представить в виде
^2еО»,*) = ®2Ыхе~°2еХ + (ю, х) -е~°2еХ1¥2 (со, х),
^(щх) = и2№е^ + Г2№е~^ +е^Ж^щх)-е-^Ж2х(со,х).
Ч'2Ь(со,х) = Ж2те+^х+1) + е°»™}Ги>(со,х)-е-а»™}Г2Ь(а>,х). Здесь использованы следующие обозначения:
Ж18 (СО, х) = —|е "72 Фд_, (со, х)с/х, (о, х) = —у- \е^хФ^ (со, х)с/х,
2
(7)
К
(со, х) = % |<Г^Ф^ (ю, х)й?х, Ж2, (ю, х) = ^ (®, х)</х
2
(8)
Игіь(я>,х) = -^- \е 2 -1
_^2Ь [0~&и( х+1)(^2
Ф 1ъ(со,х)б/х, Ж2Ь (е>, х) = ]>“(я+,)Ф^ (а?,х)й?х.
(9)
Амплитуды 02Л,, (/2Л7,, У2т и И/2,.л могут быть определены из системы алгебраических уравнений
®2ы + (®,0) - ж28(со,0) = ^ 0,0) - Щь (со,0) + 0.50" (д2е - 3^),
- ©2„ + Ж (ю,0>) + 1¥2г (Ю,0) = 8~\и2Ы - ¥2Ы + ТУЪ ((о,0) + Ж2, («>,())],
х
+У2Ке^ +И^и(ю,-1)е~СТ2*! -1¥2Хсо,-1)е^1 =
= Т¥2ЛГ (со, -/) + Цг1Ь (со, -/) - ТГ2Ь (со, -/)) + 0.5Ф1 (со, -1)(3^ - 32Ь ) ’
и2Ые—1 -У2Хе^ +Ж1Хсо,-1)е—г +Ж2Хсо,-1)е^ = Н[1¥2Х + Т¥1Ь (со,-1) + Ж2Й (со,-1)],
следующих из четырех граничных условий (5) и (6). Здесь 8 = кГа2* 1кТ°2& = ^°Ч 1кТ°г, Ь = кь)(*2,1кТ°2ъ = кь)сг* 1к?)(*ь ■ Ддя рассматриваемого случая регистрация ФА сигнала производится микрофоном в газовой среде и поэтому достаточно определить величину 02Л?. Используя обозначения
Д2 = еа2’1 (Ь + 1)(£ +1) - е-^1 (Ь -1)(£ -1) и
Н, (со) = (1 + 8)Ж2я 0,0) + (я - 1)щг 0,0) - 2Ж2,0,0) + 2Ж2, (со,-1) ,
Н2 (со) = (1 - е)Ж2з (со,0) - (я + 1)щг 0,0) + 2ЖЪ (со,0) - 2ЖЪ (со,-1), мы получаем следующую формулу:
02
02„ = ^(Ь + ЩМУ^ + (Ь-Щ2(ш)е-^ + ЬФ\5{3Ъ-32Ь)-4Ы¥2Ь(т -1) + -^(3^-32з)[ф-1)е-^ + ф + 1)е^]} .(Ю)
Функции, необходимые для вычисления интегралов (7)-(9), получены в [5] и имеют
:д: (х, со) = ®ье~а^, Фьь (х, со) - }¥ьеС7ь{х+1), (х, со) - 1/ье^х + Уье~°*х - Ее^, где
= А1(1)/Д1, V = Д1(2) / Ах, Д1=[(1 + 1/^)(1 + 1/Ь)е£Г'/-(1-1/^)(1-1/Ь)е-£Г'/], ©, =иь+Уь-Е,
Дщ) = ЕКё + Г)Ф + - (8 - Щ - г)е-р1 ], А1(2) - £[(# + \)(Ь - г)е-р1 -(Ъ-1)(# + г)еа*1 ],
Е - 0.5/?/0 [А:х (Т0 )(р2 - а2 )]-1.
Подставляя функции Фь (х,со), Фи(х, со) и Фьь (х, со) в выражения (7)-(9) и выполнив интегрирование, будем иметь:
И'„(‘а’х) = ~ъ------- ,—г«р[-(<тI, +2<Т )г], 1Г (т,х) = - *--ехр[-(2<т -а, )х],
8 _і_ 0^- \ и и г 2(2(7ё-0-2ц)
Я IV2 /? IV2
ИГ]6(0),Х) = - 2Ь 1------ехр[-((Тм -2(7ь)(х + 1)\, Ц'2Ь(С0,Х)= *2Ь 1 ехр[((Т2г, + 2<тг, )(х+/)],
2(сг2ь-2сТь) 1(а2Ь+2иь)
ЦТ (со х) ^2, г?7£ехР[(2о',-сг2,>] 2иьУь ехр(-<т2,х) ехр[—(<х2^ + 2сгб)х]
Ъ ’ 2 2а,-а2з а2х &2*+2^
2ЕУЬ ехр[/? + сгз- <т2х )х 2ЕУЬ ехр[/? -<тз- а2х )х | Е2 ехр[(2/? - сг2з )х] ’
Р + 2Р~°2*
ЦТ (е, х)-1*2’ ехР[^2сГ ' +(Т:^х] | 2(;/ К/ ехр(а2л.у-) | К,2 ехр[(д~2 — 2<т)х]
2" ’ 2 СТ2,+2^ ^ СГ2,-2СГ,
2Е11ь ехр[/? + о; + ст25)х 2-ЕР^ ехр[/? - а5 + <т2^)х | Е2 ехр[(2/? + сг2д)х]
0 + °,+°!, Р-<Т,+°Ъ, 2Р + (Т2*
Полученные выражения позволяют определить необходимые формулы для величин Ж1з(со,0) ,Ж2з(со,0), Ж1ж(/у,0), Ж1х((У,-/) ,Ж2Д(У,0) и Ж2Д<у,-/) , входящих в Н^со) и Н2(со) .
Для вычисления акустической части давления на удвоенной частоте необходимо провести усреднение величины Ф2№ (0,х) = Ч,2 (®,х)-0.5(У2 по толщине слоя 2пи2,;, то есть вы-
2жм2е
числить интеграл Ф2ЛГ(ю) = [2^г//2я(<»)] 1 |Ф2ЛГ(®,х)й&, где =(^0)/®)1/2 длина тепловой диффу-
0
зии на удвоенной частоте. Выполнив интегрирование и проделав алгебраические выкладки, получаем:
1 ^ ®\ {3 , 2К2^2 2а2& 4а& 2г <-4^
ФМ = ^-!—[—-Т^(^ + 22*Д)] • О1)
Очевидно, что при этом акустическое возмущение давления на второй гармонике ФА сигнала должно быть определено равенством
уРп27Г1и (со)__ уР @ 02 2Я^ сг,
а>ш(2а,,1) = г" 7Л Ч>«) = -т^№; + г 8 Л)]. (12)
Г»Л Тт1, 4СТ1 ‘ 0^-4^
где Т00 - Т0 + ©0, Т0 и 0О - начальное значение температуры поверхности образца и ее приращение соответственно. Выражения (11) и (12) совместно с (10) являются общим решением сформулированной задачи. Однако выражение для ©2ЛГ весьма громоздкое и ее вычисление
сопряжено с существенными трудностями. В этой связи целесообразно рассматривать более простые частные случаи, позволяющие произвести конкретные оценки или расчеты.
Примем во внимание, что нелинейный ФА отклик, в частности ВГ ФА сигнала, как правило, возникает в сильнопоглощающей системе, для которой /31»1 и ехр(—/31) « 0. В зависимости от соотношения между /, и /ир в ФА эксперименте может реализовываться три различных случая. Рассмотрим их подробнее.
А. Пусть » / (термически тонкие образцы) и » 1, тогда ехр(±сгх/) « 1, |г|»1 и |г|»Ь. Другие величины, входящие в 02Л , для этого случая имеют вид
е=&ь4 + 8^> = <г + г^ + 1.1Э у = ^ • 0£. Выполнив
г-й 2<-6^ 2%-Ъ^ г-Ъ
достаточно длинные, но все же простые вычисления, для 02Л получим:
02Л, = О.502[2£2я - (1 / 42 + \)(31Ь +4252Ь)~\. Подставив его в (12), получаем выражение
для акустического давления:
.3 7Ї
дрС<£>,ц Р » 1 ^ ° °е 4 К2Ш. (13)
^ - 16л^Т00//Г 2(1) ' '
Оно соответствует ВГ в газовом слое ФА камеры, где Г2(1) = (2г)2(/ -(')|(/)(1 -2 1 :) - (1 + л/2) 1 (г),. + л/2д\:). Из выражения (13) видно, что для этого случая амплитуда ВГ ФА сигнала определяется теплофизическими параметрами буферного газа и подложки и их термическими коэффициентами; не зависит от теплофизических параметров образца и ее термических коэффициентов, а её частотное поведение подчиняется закону ~ йГ3/2; фаза этого сигнала равна 135°.
В. Случай термически толстых образцов, для которых справедливы условия ц!, < I,
ц5> Ир, ехр(-/?/) «0 и ехр(-сгх/) « 0 и |г| > 1. В этом случае справедливы выражения 0£ = <-1 V, =0, =0, ^„«,-/>0,
Г ~ 1
-------г-^-+—^гт). #2 =0, 1¥,ь(а,-п = 0,
П ТТ 2 л пуг
И',,>-^(-—і—+----------------------------------------------------------^-+--), Я, =-О.50;К5 -<52, -2Д2,г /(г-1)2К, +2,7,)].
2 2(7,-(72, (72,-(7,-^ 2^-(72,
Принимая во внимание эти выражения и выполнив соответствующие вычисления, получаем ®2Л? = 0-5©£ к л - с!)|л ^л/2 +1) 1 + 2(г)2„ - - с>2л , что позволяет записать следующую
формулу для колебания давления ВГ:
др^со,/и (З > 1 3= —К2ф-е 4 , (14)
" 16^21и,кГ 2*'
где К2(2) = -Зъ^[2+\) 1 +(232г -31г)(1-2 1,2)-32* ■ Видно, что в этом случае
\ф(2а,/л^ > 1)| не зависит от ^ и параметров подложки, а ее уменьшение с ростом частоты
описывается по закону ~ со " 2, в то время как фаза этого сигнала, как и в предыдущем случае, составляет 135о.
С. Случай термически толстых образцов, для которых справедливы условия /л8 «I, < Цр, ехр (—(31) ~ 0 и ехр(-сгх/) «О, |г| < 1. Тогда после соответствующих вычислений бу-
= О.502[232g —3ls ~3lg\ и для акустического колебания давления получим выражение
тотная зависимость амплитуды ВГ нелинейного ФА сигнала подчиняется закону ~ со '1, в то время как ее фаза равна 45о
Выражения (13)-(15) показывают, что для рассматриваемых случаев амплитуды ВГ ФА сигнала простым образом связаны с коэффициентом поглощения /?, теплофизическими параметрами газа, образца и подложки. Также обнаруживается квадратичная зависимость амплитуды сигнала от интенсивности падающего луча и ее линейная связь с комбинацией термических коэффициентов теплофизических параметров. Эти зависимости позволяют определить из результатов измерения параметров ВГ ФА сигнала все вышеуказанные параметры среды, включая их термические коэффициенты.
Таким образом, в настоящей работе построена теория генерации второй гармоники нелинейного ФА сигнала, обусловленная температурной зависимостью теплофизических параметров газа, образца и подложки для случая объемного поглощения падающего луча изотропным твердым телом.
Таджикский национальный университет, Поступило 22.06.2009 г.
* Физико-технический институт
им.С.У. Умарова АН Республики Таджикистан,
Таджикский государственный педагогический университет им.С.Айни.
дем
иметь
Я, = -0.50" - Ss + Sls - Sls 0„ = Я, + 0.5@1 S2g - S„
(15)
где K2<->=(2S2g -3lg)(\ — 2 У2)-Зъ. Выражение (15) показывает, что в данном случае час-
ЛИТЕРАТУРА
1. Peralta S.B., Al-Khafaji H.H., Williams A.W. - Nondestr. Test. Eval., 1991, v.6., p. 17-23.
2. Kapidzic A., Petrovic D.M. et. al. - J. of Opt. and Adv. mat.,2007, v.9, p.2691-2695.
3. Мадвалиев У., Салихов Т. X., Шарифов Д. М.и др. - ЖПС, 2006, т.73, № 2, с. 170-176.
4. Мадвалиев У., Салихов Т.Х., Шарифов Д.М. - ЖТФ, 2006, т.76, в.6, с.87-97.
5. Rosencwaig А, Gersho A. - J. Appl. Phys., 1976, v.47, p. 64-69.
^Х^алихов, Ч,.М.Шарифов, Х^ШЛуйчиев ХУCУCИЯTХOИ TАШАKKУЛЁБИИ ГАРМOНИKАИ ДУЮМИ ОТГНАЛИ FАЙРИХАTTИИ ФOTOАKУCTИKИИ ЧИCМХOИ CAXT ХАНТОМИ
ФУРУБАРИИ ХА^МИИ НУР
Назаpиёти хусусиятх,ои ташаккyлёбии гаpмоникаи дуюми сигнали фотоакусти-кии чисмх,ои сахт хднгоми фypyбаpии хдчмии нypи афтандаи лазеpй пешних,од каpда шудааст. Баpои мавpидx,ои мушаххас вобастагии амплитудаи сигнал аз басомади моду-лятсияи нypи афтанда муайян каpда шудааст. Нишон дода шудааст, ки тадк;ик;оти экс-пеpименталии амплитуда ва фазаи гаpмоникаи дуюм имконият медихднд, ки бyзypгиx,ои гаpмофизикии намуна, газ ва такягох, ва инчунин коэффисиентх,ои теpмикии онх,о даpёфт каpда шавад.
T.Kh.Salikhov, D.M.Sharifov, Kh.Sh.Tuichiev THE SPECIFIC FEATURE OF THE SECOND HARMONIC OF NONLINEAR PHOTOACOUSTIC RESPONSE OF SOLIDS AT THE VOLUME ABSORPTION BEAM
Theory of specific feature of the second harmonic of the nonlinear photoacoustic response of the solids at the volume absorption of the incident beam is presented. The dependence of the amplitude of the signal from frequency of chopper has been obtained. The shown that experimental investigation of the amplitude and phase of the second harmonic a can be used for determination of the thermophysics values of the samples, gas and substrate and also theirs thermal coefficients.
