CC BY
30
Таблица 2
Токи в экранах при их транспозиции (на участках 1 и 2 кабели проложены «в треугольник», на участке 3 — «в ряд» с различным расстоянием «в свету» между кабелями ж; длины участков равны)
Расчетная формула Токи в экранах, А, для пяти значений расстояний в, м, между кабелями
0 0,1 0,2 0,5 1
Расчет в ЕМТР Расчет по (3) Расчет по (4) 60/60/20 59/57/21 65 138/129/68 136/127/66 147 178/166/110 176/164/109 187 240/224/175 238/222/174 247 289/271/227 287/269/226 294
оказывает способ прокладки кабелей на разных участках — по возможности они должны иметь одинаковую конструкцию; в противном случае транспозиция экранов будет неэффективна (см. табл.2);
если длины участков транспонированной КЛ различаются, в экранах кабелей также будут про-
текать токи, и при значительной (в разы) разнице в длинах участков транспозиция может оказаться неэффективной (см. табл. 1);
для приблизительной оценки максимального тока экрана при различных конструкциях участков между узлами транспозиции можно использовать простое выражение (4).
УДК 537.84:537.9
С.И. Кривошеев, B.C. Помазов, ГЛ. Шнеерсон
ОСОБЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВЗРЫВА СКИН-СЛОЯ И ФОРМИРОВАНИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В МЕГАГАУСНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Современные средства численного эксперимента позволяют описать процесс электрического взрыва проводника при экстремально высокой линейной плотности тока. Изучение этого процесса актуально в связи с созданием установок, в то-коведущихчастяхкоторыхэта величина может до-
о д
стигать значений порядка 10 —10 А/м. Взрыв скин-слоя, происходящий в таких условиях, представляет собой сочетание процесса нелинейной диффузии поля в среду с резко изменяющимися свойствами и гидродинамического течения за фронтом ударной волны, инициированной магнитным давлением сверхсильного поля. При компьютерном моделировании конкретных экспериментов эти процессы рассматриваются совместно.
В статье наряду с полным расчетом будет уделено внимание описанию роли отдельных факторов, определяющих взрыв скин-слоя. Такой подход необходим, чтобы понять физический механизм этого процесса.
Особенности формирования ударной волны в сверхсильном магнитном поле
При резко выраженном скин-эффекте указанным выше значениям линейной плотности тока соответствует индукция внешнего поля Ве масштаба 100-1000 Т. Простая модель, описывающая распространение в среде ударной волны, инициированной магнитным полем, исходит из предположения об идеальной проводимости материала. В таком случае глубина проникновения магнитного поля (и толщина токового слоя) бесконечно мала, и можно считать, что воздействие электромагнитных сил на среду подобно действию идеального непроницаемого магнитного поршня.
Условие Ренкина — Гюгонио и эмпирическое соотношение для скорости фронта ударной волны В = с, + У Му позволяют вывести связь скорости среды за фронтом и магнитной индукции при стационарном течении [1,4]:
Рф = РоЯ
У
2цс
Д км/с
= Ро"/А (1)
где р0 — начальная плотность среды; и^ — скорость среды за фронтом УВ; Л — скорость фронта ударной волны; С]_,Х — эмпирические параметры среды (С| приблизительно равно скорости звука; X = 1,53 — для меди).
Из формулы (1) вытекают выражения для и^ и/)[1]:
= ij-2к
-1
1 В 1
I В2
(2)
где В = cv — характерная индукция сре-
ды (для меди В = 250 Т). Если В «В, выражение (2) приобретает следующий простой вид:
Uj- ~ В2/(2^р0с1). В другом крайнем случае, когда В »В, иf*B/^УцоРо =ua/yl2k, где иа — альфеновская скорость. В диапазоне 0<В<АВ (то есть в полях до 1000 Т) удобна аппроксимация Ширера [1]:
Uj- ~ а0В^2 (для меди а0 = 0,15).
(3)
На основании численных расчетов показано, что эти формулы справедливы не только в режиме установившегося течения, но и на фронте импульса внешнего поля. Согласно формуле (2) скорость фронта определяется мгновенным значением индукции. При выбранных условиях расчета это условие приближенно выполняется, что показывает рис. 1. На нем представлены значения скорости фронта ударной волны в зависимости от индукции: вычисленные по (2) с использованием аппроксимации (3) и непосредственно определенных из численного эксперимента для двух зависимостей B(t) = B't, но с различной скоростью нарастания В' = const.
В рассматриваемой модели токовый слой бесконечно малой толщины всегда отстает от фронта ударной волны (рис. 1, а). Ситуация может измениться в случае, когда токовый слой имеет конечную толщину. При этом формируется своеобразное течение с распределенным полем объемных сил, примыкающих к фронту ударной волны. Часть тока может оказаться перед фронтом ударной волны в области, где проводимость холодного металла выше, чем проводимость на-
2 / X X X
/ X X А -
/ '' ' * * * * X X \ 3
............. //..Х.Х..Х...'<. Ж * X х X
х X х * * . * * \* * ж *
X * \ •■* * * 4
X X
500
1000
1500
Т
Рис. 1. Зависимость скорости В фронта ударной волны от мгновенного значения индукции В внешнего магнитного поля;
1— рассчитано по формуле (2); 2— аппроксимация Ширера (3); 3— получено из вычислительного эксперимента для скорости нарастания внешнего магнитного поля В ' = 109Т/с; 4- В' = 10шТ/с
гретого металла в скин-слое. Есть основания ожидать, что это приведет к появлению специфического распределения магнитного поля вблизи фронта ударной волны с образованием двух максимумов на пространственной кривой плотности тока (рис. 2, б). На рис. 2 приведены примеры этих двух различных гидродинамических течений, полученные в результате численных расчетов, описанных в следующем разделе.
Можно оценить условие появления этого эффекта при линейно нарастающем магнитном поле. Процесс нелинейной диффузии описывается моделью с зависимостью проводимости от объемной тепловой энергии вида
а = а0у/+ 2ц0Л#'/Д)2),где а — удельная проводимость, Ад' — объемная тепловая энергия, а В0 — характерная индукция (для меди В0 = = 42 Т) [3-5].
При условии В >> В0 формируется специфическое немонотонное распределение плотности тока с характерным максимумом (рис. 2, а). Его координату
(4)
можно при оценках считать координатой «магнитного поршня», создающего давление В2/(2ц0).
Условие, при котором часть тока будет сосредоточена перед фронтом ударной волны, можно представить следующим образом:
(5)
где Лу « — расстояние, пройденное фрон-
о
том ударной волны. Из формулы (1) следует выражение для В\
в2
0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 х,сы
б)
Плотность
тока у, МА/мм2
600 500 400 300 200 100
2
........
Плотность среды р, г/см3 12
10
0,09 0,1 0,11 0,12 0,13
0,14
Рис. 2. Пространственное распределение плотности тока (7) и плотности среды (2), сформированное нелинейной диффузией сверхсильного поля по закону В = ВЧ для различиых В' и моментов времени: а— В' = 2-109 Т/с, /= 450 не; В' = 2-Ю10Т/с, г= 30 нс
д7 = =---уЦГ^. (6)
Исходя их условия (5) приходим к неравенству
(7)
2ЦоРом/
Используя аппроксимацию Ширера (3), получаем В = ^в/[2ц0^оРо )• Если поле нарастает линейно (В = ВЧ), путь, пройденный фронтом ударной волны, можно оценить по формуле
2яо^оРо ао
Отсюда получаем оценку порогового значения скорости нарастания индукции, при которой возможно ожидать появления второго максимума на распределении плотности тока (рис. 2,6):
В' >В'=^
1 Д?а(
о^о
Мг п 2 2* Э ц0я0р0
(8)
Для меди В0 = 42 Т, р0 = 8,9-Ю3 кг-м"3, а0 = 5,7-Ю7(Ом-мГ1, откуда В'тг = 5-Ю9 Т/с.
Представляет интерес изучить возможность существования второго максимума тока после того, как индукция внешнего поля перестает нарастать и принимает фиксированное значение Вт . Если магнитный поршень отстает от фронта ударной волны в процессе нарастания поля, то после выхода индукции на постоянное значение это отставание сохранится. Иначе, есть основания считать, что если второй максимум плотности тока не образуется на фронте импульса индукции, то он не образуется и в дальнейшем. В тех случаях, когда второй максимум имеет место, можно ожидать, что после выхода внешнего поля на постоянное значение, амплитуда второго максимума плотности тока будет со временем уменьшаться. Для проверки этих предположений использовано численное моделирование процесса.
Компьютерное моделирование процесса формирования ударной волны, инициированной сверхсильным магнитным полем
Для подтверждения высказанных предположений проведена серия численных расчетов с использованием программы МАГ [6, 7]. Рассматривались процесс диффузии магнитного поля и формирование гидродинамического течения в меди, что описывается уравнением состояния Гаранина [8, 9] и проводимостью, определенной моделью Бакунина — Лучинского [10]. Нулевой координате соответствует начальное положение границы раздела «вакуум — проводник». Ниже приведены некоторые результаты
расчета диффузии магнитного поля с линейным
нарастанием В' = Ю9 и В' = 10ш Т/с и выходом на стационарное значение В = 500 Т после 50 не.
На рис. 3, 4 представлены распределения плотности тока и плотности среды в стадии, когда ток нарастает по линейному закону. Следует отметить, что при скорости нарастания индукции В' = 1010 Т/с наблюдается характерный второй максимум плотности тока, возможность образования которого рассмотрена выше. В поле со скоростью нарастания В' = Ю9 Т/с второго максимума плотности тока не наблюдается. Результаты серии расчетов позволяют найти пороговое значение В'^г. Оно составляет около В\кг --(5—7)ТО9 Т/с, что приближенно соответствует приведенной оценке.
После прекращения нарастания индукции картина распределения тока и плотности в случае относительно медленного нарастания поля (В™ < В'тг) остается качественно такой же, как на фронте импульса. Иная картина имеет место в случае высокой скорости нарастания. Со временем амплитуда второго максимума уменьшается: все меньшая часть тока оказывается сосредоточенной перед фронтом ударной волны (рис. 5). Это можно объяснить тем, что в постоянном поле (используем систему координат, связанную со средой) происходит рост толщины скин-слоя в соответствии с зависимостью
9 - в/в0 ф^/^о ~ уЦ. При этом скорость проникновения поля падает (9Л • / 9/ - / 2), тогда как
а)
Плотность
Т01
МА,
600 500 400 300 200 100
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4
0 0,09
: / ............................;
/ \
3 ........ [,:]
0,1
0,11
0,12
0,13
0,14
б)
Плотность среды р, г/см3
14
б)
Плотность 2р
г/см3 12
х, см
Рис. 3. Распределение плотности тока (а) и плотности среды (б) в пространстве при В' = 2-109 Т/с в различные моменты времени: 1— / = 150 не {В = 300 Т); 2-/= 300 не (5= 600 Т); 5-г=450 не (В = 900 Т)
Рис. 4. Распределение плотности тока (а)
и плотности среды (б) в пространстве '
времени: 1— / = 10 не (В = 200 Т); 2-/=30 не (В = 600 Т); 3 — / = 50 не (.В = 1000 Т)
Плотность
тока у, МА/мм2
180 -160 1
120 100 80 60 40 20 0
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 х, см
Рпс. 5. Распределение плотности тока в пространстве в различные моменты времени 1-1=15 не; 2 -г = 100 не; 3- 1= 125 не после выхода внешнего поля на стационарное значение В = 500 Т через 50 не (ско-
'
фронт ударной волны имеет постоянную скорость. Поэтому токовый фронт отстает от фронта ударной волны. В системе координат, связанной с фронтом ударной волны, получаем, что имеет место диффузия тока, сосредоточенного в области второго максимума (перед фронтом ударной волны), через плоскость фронта. В итоге второй максимум тока уменьшается.
Представляет интерес характер течения элементов среды, находящихся вблизи границы. Представление об этом дает координата лагран-жевой точки, расположенной вблизи края ра-
счетной области. До начала испарения этот элемент смещается под действием электромагнитной силы в положительном направлении. Однако после начала взрыва теряющие проводимость элементы среды меняют направление движения и приобретают отрицательную скорость. Через некоторое время скорость опять меняет знак, и устанавливается течение в положительном направлении. В стационарном режиме скорость границы остается ниже скорости течения за фронтом (рис. 6). Иначе говоря, граничные элементы сохраняют отрицательную скорость по отношению к элементам среды, находящимся вблизи фронта. Причиной такого «реверсивного» движения, отмеченного в работах [11, 12] является изменение знака объемной силы
/х = ~дР/дх + Пример распределения объемной силы представлен на рис. 7.
Аналитические оценки для скорости ударной волны, рассчитанные при допущении об идеальной проводимости, приближенно соответствуют результатам компьютерного расчета в полях с индукцией до 1500 Т.
На основе анализа результатов численного моделирования и расчетов по аналитическим моделям взаимодействия сверхсильных импульсных магнитных полей с проводником выявлена возможность формирования двух различных режимов магнитогидродинамического течения. Первый из них реализуется при скорости нарастания
uLag>
км/с
0 <>-®
-0,5
-1,5
\ / * р
.........Ч...........
xLag> МКМ
Л»10
-40
-120
-160
0 50 100 150 t, не
Рис. 6. Зависимость скорости ULag (7) и координаты xLag (2) лагранжевой ячейки, расположенной вблизи границы «внешнее поле — проводник», от времени
),025 -0,015 -0,005 0,005 0,015 0,025 0,035 х,см
Рис. 7. Пространственное распределение объемной силы /х = -дР/дх + ]В{х) (7) и скорости течения их (2) в момент времени г = 75 не
индукции на границе В' < 5-109 Т/с; в этом режиме ударная волна в среде всегда распространяется со скоростью, превышающей скорость диффузии магнитного поля в проводник. При В' > 7-109 Т/с скорость диффузии магнитного поля в начальной фазе превышает скорость ударной волны, что приводит к формированию токового распределения имеющего два максимума, один из которых находится перед фронтом ударной волны.
В тех случаях, когда индукция внешнего поля после нарастания с высокой скоростью принимает постоянное значение, второй максимум плотности тока затухает вследствие диффузии тока через плоскость фронта ударной волны.
Характерной особенностью течения элементов среды, находящихся вблизи границы, является реверс их скорости и отставание от течения за фронтом ударной волны.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Shearer, J.W. Interaction of capacitor bank-produced Megagauss Magnetic Field with small Singleturn Coil [Текст] / J.W. Shearer // J. Appl. Phys.— 1969. Vol. 40. P. 4490-4497.
2. Spielman, R.B. Limitations of Laboratory Pulsed Power Systems for Multi-Megagauss Field Generation [Текст] / R.B. Spielman, S. Chantrenne, H.D. McDaniel // Proc. of the Eleventh Intern. Conf. on Megagauss Magnetic Field Generation and Related Topics.— London.- 10-14 September 2000 (2007).
3. Bryant, A.R. The effect of Joule heating on the diffusion of megagauss fields into metals [Текст] / A.R. Bryant // Proc. Conf. on Megagauss Magnetic Field Generation by Explosives and Related Experiments.- 1965,- P. 183.
4. Кнопфель, Г. Сверхсильные импульсные магнитные поля [Текст] / Г. Кнопфель,— М.: Мир, 1972,- 392 с.
5. Shneerson, G.A. On theory of electrical explosion of skin-layer in ultra-high magnetic fields [Текст] / G.A. Shneerson // J. Tech.Phys.- 1973. Vol. 43. № 2,- P. 419-427.
6. Chabourov, M. Virtual physics laboratory of the package MASTER [Текст] / M. Chabourov, V. Rouden-ko, E. Tchekhounov // Proc. Intern. Conf. «Physics Teacher Education beyond 2000»,— Barcelona, 2000.
7. Boriskov, G.V. User Software MAG for Personal Computers as a Tool for Numerical Simulation of One-
Dimensional Magneto-Hydrodynamic Flows [Текст] / G.V. Boriskov, M.I. Dolotenko, V.V. Rudenko, M.V. Shaburov // Proc. VIII Intern. Conf. on Megagauss Magnetic Field Generation and Related Topics.— 1998.
8. Garanin, S.F. Cooling down of plasma in magnetic field on the bound with exploding metal wall [Текст] / S.F. Garanin, V.I. Mamyshev // AMTPh.— 1990. Mil. - P. 30-37.
9. Buyko, A.M. Investigation of the dynamics of cylindrical exploding liner accelerated by a magnetic field in megagauss range [Текст] / A.M. Buyko, S.F. Garanin, V.A. Demidov [et all.] // Magagauss field in pulsed power systems (MG-V).— 1989.— P. 743.
10. Bakulin, J.D. Magnetic hydrodynamics calculation of exploding conductors [Текст] / J.D. Bakulin, V.F Kuropatenko, A.V. Luchinsky // JTPh.— 1976.— Vol. 46, M> 9,- P.1963.
11. Колгатин, C.H. Численное моделирование электрического взрыва проводника в сверхсильном магнитном поле [Текст] / С.Н. Колгатин, А.Я. По-лищук, Г.А. Шнеерсон // TBT.- 1993. Т. 31. № 6,- С. 890-896.
12. Krivosheyev, S.I. Peculiarities of conducting medium MHD flow under skin layer electrical explosion in a megagauss magnetic field [Текст] / S.I. Krivosheyev, G.A. Shneerson, N.G. Karykhanov // Magagauss field in pulsed power systems (MG-IX). 2000,- P. 529.
