CC BY
35
Особенности деформирования образцов с покрытиями при локализованных нагружениях
Ю.В. Немировский, А.П. Янковский
Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
На базе общих представлений линейной теории упругости сформулирована задача расчета образцов с упрочняющими покрытиями при локализованных нагружениях, моделирующих их трехточечный изгиб и обжатие. Разработан аналитический метод интегрирования поставленной задачи и проведены конкретные расчеты. На основе анализа рассчитанных полей напряжений в базовом материале образца и в покрытиях удалось объяснить такие эффекты, как упрочнение образца на 33.. .37 % при нанесении на его поверхности высокомодульных покрытий толщиной порядка 10.20 мкм и разупрочнение образца при нанесении более толстых покрытий (порядка 50 мкм).
Deformation features of coated specimens under localized loading
Yu.V. Nemirovskii and A.P. Yankovskii
S.A. Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
Based on the general notions of linear elastic theory, we formulate a numerical problem for specimens with hard coatings under localized loading that simulates their three-point bending and reduction. An analytical integration method for the posed problem is developed and particular calculations are carried out. The analysis of the calculated stress fields in the base material of the specimen and in the coatings allows us to explain such effects as specimen hardening by 33.37 % at deposition of high-modulus coatings ~ 10.20 ^m thick and specimen softening at deposition of thicker coatings (~ 50 ^m).
1. Введение
Настоящая работа продолжает исследования, результаты которых опубликованы авторами в [1], где была предпринята попытка объяснить с позиции общих представлений теории упругости такие явления, как упрочнение образцов при нанесении на их поверхности высокомодульных покрытий толщиной порядка 0.05.0.2 мм и разупрочнение образцов при нанесении более толстых покрытий. При этом в [1] изучался лишь типичный случай растяжения-сжатия образцов. Однако на экспериментальных установках образцы испытываются не только на растяжение-сжатие, но и на изгиб. В последнем случае образцы подвергаются так называемому трехточечному изгибу, и этот тип испытаний является независимым и равноправным наряду с испытаниями на растяжение-сжатие.
Целью настоящей работы является изучение методами механики деформируемого твердого тела особенностей напряженно-деформированного состояния образцов с покрытиями при локализованных нагружениях, моделирующих трехточечный изгиб и контактное обжатие («перекусывание») образцов, и попытка объяснения резкого упрочнения, наблюдаемого при таких испытаниях образцов, при нанесении на них именно тонких высокомодульных покрытий.
2. Постановка задачи
Для большей наглядности и упрощения расчетов, как и в [1], в качестве образца рассмотрим удлиненное призматическое тело прямоугольного поперечного сечения шириной а и высотой Ь (рис. 1) из базового изотропного однородного конструкционного материала, на
© Немировский Ю.В., Янковский А.П., 2007
лицевые поверхности которого нанесены изотропные однородные покрытия толщиной h(_) = const (на нижней стороне) и h(+) = const (на верхней стороне).
Свяжем с образцом прямоугольную декартову систему координат x, y, z. Координатную плоскость xz (у = 0) совместим с нижней лицевой поверхностью образца (рис. 1), а координатную плоскостьyz (x = 0) — с левой торцевой поверхностью. Тогда точки поперечного сечения образца занимают прямоугольную область
G: 0 < x < a, 0 < у < H = h(_) + b + h(+), (1)
где H — толщина образца с покрытиями.
Нагружение и закрепление образца в направлении z не изменяются. Массовые и поверхностные нагрузки в этом направлении не имеют составляющей. При такой структуре, закреплении и нагружении образца в нем реализуется случай плоской деформации [2].
Учитывая возможное наличие переходных слоев, будем рассматривать образец с покрытиями как слоистую конструкцию-пластину. Пусть Hm — ордината плоскости контакта m-го и (m+ 1)-гослоев(т = 1, 2, ...,M; M — количество слоев, которых в общем случае может быть и больше трех, и меньше, если образец не имеет покрытий или покрытие нанесено только с одной стороны), тогда при M = 3 (рис. 1)
H 0 = 0, H = h(_), H 2 = h(_) + b,
H = HM = h(-) + b + h(+), (2)
где y = H0, y = HM — ординаты нижней и верхней лицевых поверхностей. При этом точки поперечного сечения m-го слоя занимают прямоугольную область
Gm : 0 < x < a, Hm< у < Hm (3)
(m = 1, 2, ..., M).
Как правило, теории расчета таких слоистых пластин базируются на введении упрощающих гипотез (не-учет обжатия, задание закона распределения касательных напряжений в поперечном направлении и т.п.) [3-7]. В рамках таких теорий удается построить с той или иной степенью точности основное напряженное состояние в пластине, но нельзя определить напряженное состоя-
ние в погранслоях и в окрестности линий искажения напряженно-деформированного состояния, каковыми, в частности, являются линии приложения локализованных нагрузок. Поэтому расчеты, проведенные на основе таких приближенных теорий, не позволяют объяснить резкое упрочнение образца с тонким высокомодульным покрытием поверхностей при изгибе и, уж тем более, при его обжатии, моделирующем воздействие на образец захватов экспериментальной установки.
В настоящем исследовании, как и в [1], будем исходить из общих уравнений линейной двумерной теории упругости без привлечения каких-либо упрощающих гипотез. При сделанных выше предположениях о строении образца, его нагружении и закреплении в каждом т-м слое реализуется случай плоской деформации. Система разрешающих уравнений, граничные условия и условия сопряжения на поверхностях контакта слоев подробно приведены в [1] (см. там раздел 2), поэтому не будем их здесь повторять (нужно лишь сделать соответствующие переобозначения: х1 ^ х, х2 ^ у, х3 ^ г и т.п.).
3. Метод расчета
Для изучения особенностей напряженно-деформированного состояния образцов с тонкими покрытиями вначале построим решение рассматриваемой задачи в аналитической форме.
Пусть на продольных торцевых поверхностях (кромках) х = 0 и х = а заданы граничные условия:
v (х, у) = °, охх(х у) = 0 (4)
(х = 0, х = а, 0 < у < Н).
Здесь и далее и, V — перемещения точек образца в направлениях х, у соответственно (в продольном направлении г перемещение ю = 0 в силу условий закрепления, реализующих состояние плоской деформации); ахх, оуу, агг, хху — нормальные и касательное напряжения (Туг = хх2 = 0).
Идеализированные граничные условия (4) моделируют поведение краев образца, жестко соединенных с тонкими листами-диафрагмами, абсолютно жесткими в отношении перемещений в своей плоскости (уг) и допускающими свободные перемещения из плоскости (в направлении х) [8]. В классической теории изгиба пластин граничным условиям (4) соответствует шарнирное опирание кромок х = 0 и х = а [3].
Согласно методу начальных функций, решение задачи о плоской деформации т-го изотропного слоя при граничных условиях (4) и отсутствии массовых нагрузок имеет вид (см. гл. VII, § 15 в [8]):
и (т)(х> у) = Е (иПт)^(у) + ) +
П=1
Рис. 1. Геометрия поперечного сечения образца с покрытиями (ось г ортогональна плоскости рисунка)
+4m« f'U™ (y)+^ FUmn> (y)) cos anx
xynF urn
Vм (х, у)=е ит) рт (у)+^ Fm (у) -
й = 1
+ <2 (у) + хШ Fm (у)) ап(ая х),
а(ш)=у(т) <ахт}+< )>!
ууйр Шй (у) ' *хуй
(т) , Лт
хх уу
(5)
ут) (х, у) = Е (и(т)(у) + ^т)рСт) (у) -
й=1
+ ъ<т(у) + рт) (у)) ^п(аНх\
й=1
+а
уу) Р™( у) + 4$ Р<”)(y))cos(aиx),
4т) (х, у) = Е (и(т)Ф « (у) + V<m)ф т (у) -
й=1
+c<m«)фт (у) + ^Ф^т (у)) 8т(а„х),
где
FUm = РШ = [(1 -^^(«й (у - у(т))) +
+0.5ай (у - у(т) )sh(aй (у - у(т)))](1 - у(т)) -1;
рСш)=1^(1 ^<т)ж«й (у-у(т)))+ +«»(у - у(т)>*<ай (у - у(т)))];
Р™ = -Р™ = -[(у - у(т) Ж«„ (у - у(т) ))]х х[4е(т)(1-у(т))]^1;
F<т) «я 1 (3 - 4у^> )sh(aИ (у - /т>)) +
Ри ™ 4G(m)(1 -У<т))
,(т)'|
,,(т)\
(у - у<m))ch(aя(у - /”0) 4G(m) (1 -У(т))
,< т)'|
(6)
Р™ = 1^[-<1 - 2v(m))sh(aй(у - у(т))) + +«й (У - У (т)Жай (у - у(т)))];
РТ = =—^ [<1 -\(т ^)А(ай (у - у(т))) -
7(т) _ р(т) _ 1 |<| _л,(т))
аай 1-ф
-0.5ай (у - у(т)Жай (у - у(т)))];
р(т) (3 ~ 4у ^Ж^аи (у - 0)
-1- ^Т^ЖМу- у(т)) 4&<т)(1 -у(т))
(у - у (m))ch(a й (у - у(т))); 4в <т)(1 -у(т)) ;
р(т) =_ р(т) = 0'т>дй (у - /т^Ж«й (у - 0) ;
р^т рхш 1 _у<т) ’
р<т) =
в(т) а
(у - у<т))) -
° ш 1-у(т)
-ап (у - у<т))Л(ай (у - у<т)))];
0(т) а„
-Ж^ (у - у<т))) +
Хин 1 _у(т)
+ай (у - у <т))Л(ай (у - у(т)))];
Р™ = 1^[<1 -2v(m))sh(aй(у-у(т))) -
-а» <У - У(т)Шап (у - у(т)))];
—С <т) а
Ф т ==G:^ШL [2ch(aи ^У - у(т))) -
-ап (у - у(т)Жай (у - у(т)))];
[sh(aй (у - у(т))) +
ф(т) = &< )«й [sh(„ (у _ у(т)
Ф
1 -у( т)
+ап (у - у<m))ch(^ (у - у<т)))];
<т) V(у - у(т))) +
1 -у(т)
0.5ай (у - у<т)Жай (у - у<т))).
1 -V
<т)
Ф°т) = ^^Щу[<3 - 2у(т) ^(Ий (у - у(т))) +
Су - У <у - у(т)))];
<т) _ 0.5Е(т).
& / \ ;
1 + у(т)
а„ = йп/а; т = 1,2,..., М; Е(т), Vет) — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала т-го слоя; У<т) — ордината начальной плоскости для т-го слоя (задается из соображений удобства дальнейшего построения решения); иСт), -^т), 0(уу1, — постоян-
ные, подлежащие определению.
Пусть на верхней (+) и нижней (-) лицевых поверх-
(±) (+)
ностях пластины заданы напряжения аууй, %ху, которые разложим в ряды Фурье:
в(уу(х) = Ё в(ууй sin(aйх),
й=1
хх^) (х) = х^0 + X ^й со«(«йх),
(7)
й =1
где О^ууй, Т^хуй — известные коэффициенты разложения
(далее для простоты изложения и применимости формул (5), (6) полагаем = 0, хотя это не принципиально, кроме того, во всех последующих расчетах ^хуй = 0, п = 0, 1, 2, ...)■
На границах между слоями должны выполняться условия сопряжения решения:
и(m)(x, Нт) = и(т+1)<X, НтX
v(m)(X, Нт ) = т/т+1)(X, Нт X
сУУ}(х, Нт) = 0%+1)(х, Нт),
Ххт)(х, Нт ) = Ххт+1)(х, Нт ),
m = 1, 2, Ы- 1,
а на лицевых поверхностях — граничные условия:
о^Сх, 0) = а<уу)( х),
(8)
уу
хусX, 0) = т£;)(x\
ЛМ )
x
(X, H) = а(^)( x), (x, H) = xXy) (x), 0 < x < a.
T( M )
(9)
wxy \x> H / wxy
Подставим в (8), (9) выражения (5) и соберем слагаемые при линейно независимых функциях cos anx, sin an x, тогда для каждого n получим замкнутую систему линейных алгебраических уравнений для определения постоянных ^m), Vim), a<yyn), (1 - m < М,
n > 1). После чего задача о плоской деформации слоистого образца при граничных условиях (4) будет точно решена.
Приведем конкретный вид разрешающей системы линейных алгебраических уравнений для некоторых частных случаев. Если рассматривается образец без покрытий (M = 1), то положение начальной плоскости целесообразно совместить с нижней лицевой поверхностью (y(1) = 0), тогда из (9) с учетом (5)-(7) получим:
^n = U1 F® (H ) + V1 F^ (H) +
+ a(-) F(1) (H) + t(~) F(1)( H)
1 KJvvn1aan (H ) 1 '■‘xyn1 axn (H ^
^й = ис1) Рх<и1й(Н) + V? рМ( Н) +
+ а(-) р(1) (Н) + т<~) р(1)(Н)
1 ууй1 тай (Н ) 1 схуй1 ххй (Н )
откуда следует разрешающая система линейных алгебраических уравнений при Ы = 1:
и(1) Р£)й (Н ) + V? 1СТ<^ (Н) =
= а(+) _ ст(_) f(1) (H) - т(_) F(1) (H)
yyn wyynF стаи (H / xynF axn (H /,
и?} FxUin(H ) + V1 F«(H) =
= x(+) _a( -) f (1) (H) -T(-) F(1) (H)
^xyn wyynF xan (H / ^xynF xxn (H /,
n = 1, 2, 3,....
(10)
Система линейных алгебраических уравнений (10) при каждом п замкнута относительно ий\ V|?^. Определив эти величины, построим точное решение рассматриваемой задачи для образца без покрытий, которое определяется равенствами (5), (6).
Для двухслойной (Ы = 2) пластины, моделирующей поведение образца с покрытием лишь на одной из лицевых поверхностей, например нижней, зададим начальные плоскости у(1) = 0, у(2) = Н = М-) + Ь, тогда из (9) с учетом (5)-(7) будем иметь:
(11)
(12)
а(1) = ст< ) о(М) = ст<+)
ууй ууй ,ууй ууй ,
т(1) = т(-) Т<м) = _<+)
хуй хуй , хуй хуй
(М = 2, й = 1,2,3,...), а из (8) с учетом (11) получим:
ийЧийН!) + V1 р!» <Н1) -
-ий2)1и(и2й)(Н1) - Н?) =
= о^й рЦ2 <н)+тх;Уй 1и(т2й) < Н]) -
- п< ^ р(1) (Н ) — т< ^ р(1) С Н )
^ууй1 пай (Н1) ^хуй ихй \111)1
И? <Н1) + V1 <Н1) -
- ийМ^) - VVF£)(Н?) =
= ^УУй <Н])+т<$ р(х2)< Н]) -
<Н]) -т<х;у) Н]),
ий1} <Нщ)+V;) рст<^ <Нщ) -
- ий2)рст<и2й(Н1) - V?рст(2й(Н 1) =
= о^й рст(2)й (Н?)+т*х;уй р^СН]) -
- а(_) р(1) (Н ) — т(_) р(1) ( Н )
yyй1 (ЗЪй (Н1) '■'хуй-1 ахй (H1),
ий1} рх<!й<Н1)+V;) рх(1й<Н1) -
- ий2)рх<и2й)(Н1) - '^2р<2) <Н]) =
=ст<ууй рх® <Н1)+тх;й рй < Н1) -
-о^Ой (Н1) -т<х;у) рх«< Н1).
Разрешающая система линейных алгебраических уравнений (12) при каждом п замкнута относительно и(1), ^!), и(2), ^2). Определив эти величины, по формулам (5), (6) построим точное решение рассматриваемой задачи при Ы = 2.
В случае трехслойной (Ы = 3) пластины, моделирующей поведение образца с покрытиями на обеих лицевых поверхностях, ординаты начальных плоскостей целесообразно задать так: у(1) = 0, у(2) = М ) + Ь/2, у(3) = = Н(см. (1)—(3)). Тогда остаются справедливыми равенства (11) при Ы = 3, а из (8) с учетом (11) после элементарных преобразований следует:
UM^) + ^(HO + о^ІЇП( Hl)
+ т
■(2nF^{Hl)-u^Fu(un(Hi) - ■)Fu(V> (Hi) =
= a(_) /г(1) (И ) + т(_) F(1){W )
^yynL u2n (Hl)~ LxynL uin(“l^
xynL
u^F^H) + Vn2)FVVn(H1) + ^F^ Hi) +
+ xxynF^n(Hl)-uni}F^n(Hl) -Vі FVVn ( Hi) =
= ^У2п (Hi )+T{x-n f£>( Hi),
u^F^H) + Vt2)FaVn (H1) + o<2nF{<^n (Hl) +
+ x*x}''Fct™(Hi)-uni)FCT(u)n(Hi)- V»FCT(Vn(Hi) =
= CT(}}nFian (H) + X^xyn Fi^n (Hl), un2)Ft(u2) {Hl) + V?F% {Hl) + o^n F™ {Hl) +
+ 4})Л(2) {Hi ) -u^F(un {Hi ) - VіF® {Hi ) =
= {Hi ) + хЦ Ft« {Hi ), (1З)
uIM2 {H 2) + v^L2 {H 2) + ^y}nFu2m {H 2 ) +
+ X^2nnFu(x2n){H2 )-u13) F^uI {H 2 ) - v)3 Fu(31{H2 ) =
= o(y+yh Fu2n {H 2 ) + T<g f!3 {H 2 ), u^FVl (H 2) + V^F-Wl (H2) + ct{21fVS( H2) +
■{?IfVI(H2)-uf^H2)- V3F^(H2) =
+ T
= a(}}n F^n (H 2) + n FV3 (H2)
u^F^ (H 2) + Vn2)FCT(2n( H2) + 0^ (H2)
+<21f£)(H2 )-un3) F({3n(H2 ) -VIі3 F?Vn (H2) = = ^{y}lFCT(33)n (H2)+x(;n F® (H2), uM (H 2) + V)2)Fi(V)) (H2) + H2) + + T(2nF£l!(H2)-un3)Fi(uU)(H2)- V3FxV)(H2) =
= ct(}})Fi^(H2) + T(;lFt(i3n)(H2), n = і,2,3,....
Разрешающая система линейных алгебраических уравнений (13) при каждом п замкнута относительно и<!) V:1) и<2) Vе2) а<2) т<2) и<3) т)<3) поэтому опре-
ий , 41 , ий , ^ууй , ^хуй , ий ,41 , поэтомУ, опре
делив эти величины, по формулам (5), (6) построим точное решение рассматриваемой задачи при Ы = 3.
Замечание 1. Точное решение о плоской деформации слоистого образца можно получить в гиперболо-триго-нометрических рядах не только при граничных условиях (4), но и при
u(x, У) = °, Txy (x, У) = 0
(x = 0, x = a, 0 < y < H).
В этом случае в соотношениях (5), (7) следует заменить cos ^ sin, а в (6) нужно поменять на противоположный знак у функций FUVn, F^), Fст(un),
F(Cта, F^l ф(<m>n, Ф^Ц. Далее решение строит-
ся по схеме, аналогичной (8)-(13). В классической теории изгиба пластин граничным условиям (14) соответствует подвижное (в направлении у) защемление кромок x = 0 и x = a [3], поэтому нагрузки a<^yy,(x) в разложении типа (7) должны быть самоуравновешены, чтобы исключить смещение образца как жесткого целого в направлении у.
В настоящем исследовании локализованные нагрузки будем задавать в виде:
Т(+) { x) — т( )
^xy
(x) = %(xy> (x) = 0 (0 < x < a),
(15)
a(±) =
yy
0 при 0 < x < x0±) - є'
(±)
D(±)
|і + cos |^(x - x0+) )/Є(±) Л
2e(±) x0±) -e(±) < x < x0±) + e(±),
0 при x0±) +e(±) < x < a
при
(16)
(0 < Е(±) < а/2, Е(±) < х0±) < а -Е(±)),
где х0±) — абсциссы максимальных по модулю значений нагрузки на верхней (+) и нижней (-) лицевых поверхностях образца; 2е<-±) — ширина зоны приложения нормальных напряжений на верхней и нижней лицевых поверхностях; Р(±) — суммарное погонное значение нормальной нагрузки, приложенной к верхней и нижней сторонам образца, т.е.
э(±) _
= H;})dx
(1l)
Коэффициенты разложения в (l) нагрузок (15), (16) определяются так:
Txi =т(-1 = 0 (n = 0, 1, 2, 3,...);
xyn
xyn
(18)
a(±) - — х
aУУП ■ 2л Х
\ m(x0r) +е(±)) nn(x0±) -е(±)) 1
х< cos---------0-------------cos---------0-----------Ух
n = 1, 2, 3,.
е(±)n - a e(±)n + a e(±)n
(19)
Замечание 2. Обычно в качестве локализованных нагрузок вместо (16) задают нагрузки наиболее простого ступенчатого вида:
а(±) =
yy
0 при 0 < x < x0+) - е(+), р(±)
= const при
2е(±)
x0±) -е(±) < x < x0±) + е(±),
0 при x0±) +е(±) < x < a
(20)
(0 < е(±) < а/2, е(±) < x0±) < a - Е(±)).
(При этом по-прежнему выполняется равенство (17).) Однако в силу кусочной непрерывности нагрузки (20) при ее разложении в ряды Фурье (7) и удержании в них лишь конечного числа слагаемых (что всегда имеет место при практических расчетах) возникают неустранимые эффекты Гиббса [9], которые сильно искажают напряженно-деформированное состояние в образце в окрестности точек с координатами x = x0±) + £(±), у = 0 и у = H. Нагрузка (16) является непрерывной и гладкой, поэтому ее разложение (7), (19) достаточно быстро сходится и не порождает эффектов Гиббса [9], в силу чего авторы отдали предпочтение именно такому виду нагрузки.
Как правило, результаты, полученные из экспериментов, сравнивают с теоретическими расчетами, выполненными на основе простейших теорий сопротивления материалов и строительной механики, используемых в инженерной практике, а не на основе общих представлений механики сплошной среды, в частности теории упругости. Поэтому для сравнения с точным решением приведем классическое решение для трехслойной пластины, работающей в условиях цилиндрического изгиба при действии локализованных нагрузок вида (15), (16).
Пусть на обе лицевые поверхности образца нанесены покрытия одинаковой толщины (h(+) = h( 3 = h = = const > 0) из одного материала (E(1) = E(3), v(1) = = v(3)). Поперечная нагрузкаp(x) приложена к нижней лицевой поверхности у = 0, причем p(x) = -ay^(x) (стУУ* = TCxy> = 0), где стУУ задается соотношениями (16) при x0 3 = а2 и е( 3 =£> 0. Обе кромки пластины x = = 0 и x = а либо шарнирно (свободно) оперты, либо жестко защемлены.
Такая задача обладает симметрией относительно сечения x = а2 и в пластине реализуется условие поперечного изгиба, поэтому разрешающее уравнение имеет вид [3]:
DvV (x) = p( x), v(x) = v(a - x), a2 ^ x < a,
(21)
где v — прогиб; D — цилиндрическая жесткость, определяемая по формуле [3, 5],
^ 1 [ E(2)b3
' 12 +
+ jEIL[(b + 2h)3 - b3 ]J = const > 0, (22)
штрих означает обычную производную по x.
Интегрируя уравнение (21) с учетом заданного вида нагрузки, получим
x-x0 , sinWx-x0)lE) , ^
V*{ x) 2e + 2rc + Ce1’
DV0(x) =
^ (x_x0)2 ecos(^(x-x0)/e) ,
DV£ (x) — . 2 +
4e 2л2
+CE1( x - x0) + CE 2,
DvqCx) = C01(x - a) + C02,
Cx -x0)3 E2 sin(n(x - x0)/e)
D V£ Cx) =
12e
2n3
Cd C x — xA)
+----------------+ CE2(x - x0) + Ce3 ,
(23)
Dv0 (x) =
DV (x) =
C01(x - a)
+ C02(x -a) + C03,
(x - x0) e cos(n(x - x0)/e)
48e
2n
2
+ C£1( x x0) + Ce2( x x0) +
6 2 + CE3 (x - x0) + CE4,
Dv0( x) =
C01(x - a) . C02 (x - a)
+ -
6 2 +C03 (x _ a) + C04,
x0 =■
где С£г, С0г (г = 1,4) — постоянные интегрирования;
ч(х) = V; (х) при а/2 ^ х < а/2 + Е и v(x) = у0 (х) при
а/2 + Е< х < а.
Так как рассматриваемая задача обладает симметрией относительно сечения х = х0 = а 2, то
^ 2) = <(а/2) = ^ (24) откуда с учетом (23) следует:
СЕ1 = СЕ3 = 0. (25)
В случае шарнирного опирания обеих кромок имеем:
^0<а) = V (а) = 0, (26)
откуда с учетом (23) получим:
С02 _ С04 — °> Сої —
С — — Се2 ■ 2
01
1 _ 1
2 л2
а
'4’
С _ (в —а/2) +е_ + С е
С03 - 4 +12 +Се2ь>
(27)
СЕ4 =
_ (є - а2)3 е3
СЕ2Е
12
2
- + С03 (е- а2),
(28)
а в случае жесткого защемления обеих кромок вместо (26) имеем граничные условия:
^0<а) = V} (а) = 0,
откуда следует:
С03 = С04 = 0, С01 = ‘2’
-02
є ( 2 1 4 а
є —
а 3 V л2 _
С£2 - С02 + -
1 _ 1
2 л2
а
'4’
СЕ4 =
(в-а/2)3 _(_1_______!_^_ (29)
!2 24
- + С01(Е_ „/2)2.
2 2 '
Таким образом, равенства (23), (25), (27) определяют прогиб и его производные при шарнирном опирании, а соотношения (23), (25), (29) — при жестком защемлении обеих кромок.
Если прогиб и его производные известны, то тангенциальные напряжения при цилиндрическом изгибе в рамках классической теории определяются так [3]:
_<!) = _ Е(1) у <х)(у - У0)
Стхх ? _ ^£1)2
при 0 < у < к,
_(2) = _ Е(2) у(х)(у - У0)
°ХХ 1 _ у(2)2
при h < у < h + Ь,
_(3) = _ Е(1) у (х)(у - у0) °ХХ 1 _ у(1)2
при h + Ь < у < 2h + Ь,
=у(і)аХХ (і = 1,2,3),
(30)
где
у0 = к + Ъ/2 и нужно учесть соотношения (22)-(29).
(31)
(32)
Для определения касательных тХу и нормальных
7(і)
уу
сия плоской задачи теории упругости [2, 3]:
Эа(0 Эт$
- + -ху- = 0,
Эх Эу
эхХу? эо(у
ху-+
(33)
Эх
-уу = 0 (і = 1,2,3), оу
предполагая, что напряжения уже известны из (30). Тогда, проинтегрировав по у первое уравнение (33) с учетом граничных условий на лицевых поверхностях образца (тхУ? = 0), получим:
Е(1) V (х)
Т(Ц =
ху 2(1 -у(1)2)
(0 < у < к, а/ - - х < а).
т(2) = Е(1) ^ (х) ху 8(1 -у(1)-)
[(у - у0)- - (Ъ/- + к)2 ]
Е(2) у (х)
2(1 -у(2)2) (к < у < к + Ъ),
(1) V (х)
т(3) _ Е
ху
Ъ2 -(Ъ + 2к )■
(у - у0 )- - Ъ/4 (у - у0 )--(Ъ/2 + к )-
(34)
2(1 -у(1)2)
(к + Ъ < у < 2к + Ъ).
Проинтегрируем второе равенство (33) по у и учтем соотношения (34) и граничные условия на лицевых поверхностях (оуу = 0, оуу = -р(х)), тогда после элементарных преобразований будем иметь:
°уу = °ууСуХрМ/°> і = 1 - 3 (35)
где функции о^уу,(у) имеют вид:
^у1у)(у) = -0 -
(1)
2(1 -у(1)2) х|-3[(у - у0)3 + (Ъ/2 + к)3 ]-
- у-у0 +Ъ12 + к (Ъ + -к)2} (0 < у < к),
5(-)
уу
(у) = -П-
(1)
2(1 -у(1)2)
Х{-4[(Ъ + -к)3 -Ъ3]--4(Ъ + 2к) + 4[ъ2 - (Ъ + 2к)2 ](у - у0 + Ъ/2)
г(-)
2(1 -у(2)2) 13
(у - у0)3 + Ъ-
у-у0 + - |г (к < у <к + Ъ),
(36)
2(1 -у(1)2) 124 --(Ь + 2К)2 + -[ь2 -(Ь + 2К)2 ]
± [(,+2-)3 _ і3 ]_
У - Уо + - | +
1
+-
3
3 ь3 ь2
(У - Уо) + V о 4
Е (2)Ь3
у - Уо - 2 1г+
(К + Ь < у < 2К + Ь).
12(1 -у(2)2)
Таким образом, соотношения (30), (31), (34)-(36) с учетом (22)-(29) позволяют определить в рамках классической теории напряженное состояние в трехслойной пластине с симметричной относительно срединной плоскости (32) структурой при цилиндрическом поперечном изгибе.
4. Обсуждение результатов расчетов
Рассматриваются образцы, поперечное сечение которых имеет размеры а = 100 мм, Ь = 10 мм. На верхнюю и нижнюю лицевые поверхности образца нанесены покрытия одинаковой толщины (И(_) = И(+) = И) из одного материала. В качестве базового материала образца выберем алюминиевый сплав АДН или магниевый сплав ИМВ-2; покрытия могут быть борными, стальными (марка стали 40Х) или титановыми (сплав ВТ6С). Механические характеристики этих материалов приведены в табл. 1.
Проведем расчеты, соответствующие испытаниям образцов на трехточечный изгиб. При этом массовыми нагрузками пренебрегаем, на торцевых поверхностях х = 0 и х = а зададим граничные условия (4), а на лицевых поверхностях у = 0 и у = Н внешние нагрузки определяются равенствами (15), (16), где примем Р(+) = 0, Р( 3 < 0, х0_) = х0 = а/2 (т.е. локализованная нагрузка приложена только к нижней лицевой поверхности у = 0 в окрестности точки х = а/2, поэтому задача обладает симметрией относительно поперечного сечения х = а 2). При этом аналитическое решение определяется соотношениями (5)—(13), (18), (19).
Таблица 1
Механические характеристики материалов фаз композиции образца [10, 11]
Материал Е, ГПа Оо 2, МПа V
Сплав АДН (А1) 71.0 100 0.315
Сплав ИМВ-2 ^) 44.5 190 0.31
Бор (В) 420.0 3 200 0.235
Сталь 40Х 210.0 1 200 0.3
Сплав ВТ6С (Ті) 120.0 900 0.3
Чтобы все коэффициенты разложения а^П были ограничены, согласно (19), для каждого п = 1, 2, 3, ... должно выполняться неравенство е(_)п Ф а. Так как а имеет рациональное значение, то для надежного выполнения неравенства е(_) п Ф а зададим е(_) иррациональным числом:
£(_) =е0л/2/1.4 ~ е0 > 0. (37)
Далее в расчетах примем Е0 = 0.2 мм, при этом в рядах (5), (7) будем удерживать 1 500 слагаемых, что обеспечивает разложение напряжения (см. (16)) в точке х = х0 ) = а2 с точностью не менее 0.4 %.
Расчеты будем проводить до появления начальных пластических деформаций в базовом материале или покрытиях (либо до начала разрушения упругохрупкого материала, например борного покрытия). Соответствующие амплитуды нагрузок будем считать предельными.
На рис. 2 изображены зависимости предельного погонного усилия Р = |Р( )| (см. (17)), приложенного вертикально вверх к нижней лицевой поверхности, от толщины покрытия h на каждой из лицевых поверхностей. Кривая 1 рассчитана для базового материала образца из алюминиевого сплава АДН с борными покрытиями. Кривые 2-4 получены для базового материала образца из магниевого сплава ИМВ-2 с разными покрытиями: борными (2), стальными (3), титановыми (4). Кроме того, на этом рисунке приведена пунктирная линия Г, которая соответствует образцу из сплава АДН с борным покрытием лишь на нижней лицевой поверхности (И(+) = 0, И _) = И > 0), где приложена внешняя нагрузка (подчеркнем, что все остальные линии получены для образцов с покрытиями на обеих лицевых поверхностях: И(-) = и(+) = И > 0).
Все указанные кривые ведут себя немонотонно. На начальных участках этих линий наблюдается резкий рост предельно допустимой прикладываемой нагрузки Р с увеличением толщины покрытий h. После достижения некоторого значения И = Иор1 = 15 мкм (это значение
Р, МН/м
0.4
0.2
0.0
(Мд-В) 2/
(Мд-сталь) ✓^(мд-ті) з г-. —' МАІ-В) С 1' (АІ-В)
2' (Мд В)
'а"в
100 200
300
400
І1, мкм
Рис. 2. Зависимости предельных погонных поперечных усилий при трехточечном изгибе шарнирно опертых образцов
толщины покрытия назовем «оптимальным», ему соответствуют точки локальных максимумов на кривых рис. 2, см., например, точку А на кривой 1) происходит снижение нагрузки Р с увеличением толщины внешних слоев (К г < h < hmin). После достижения некоторого значения h = hmin (которому соответствуют локальные минимумы указанных кривых, см., например, точку В на кривой 1) происходит медленное (по сравнению с начальным участком 0 < h < К^) нарастание предельной нагрузки Р с увеличением толщины покрытий (К > ^тпХ
Значения К^ и К^ свои для каждой композиции, но достаточно близки (например, 10 < К^ < 23 мкм), причем, как видно из рис. 2, К^ тем меньше и снижение Р(К) при КорХ < h < hmin тем резче, чем больше отношение модулей Юнга покрытия и базового материала (т.е. чем жестче покрытие). Так, для кривой 2 К0р = 10.5 мкм, а для линии 3 КорХ = 23 мкм. Подчеркнем, что несмотря на значительную разницу модулей Юнга покрытий отношения Р(К0рг)/Р(0) для кривых 1-4, 1 на рис. 2 близки и равны 1.33_1.37. Следо-
вательно, при нанесении достаточно тонких покрытий (порядка одного-двух десятков микрометров) предельно допустимую нагрузку при трехточечном изгибе можно увеличить на 33.37 %. При этом достаточно нанести покрытие лишь на одну лицевую поверхность образца, к которой приложена локализованная нагрузка (об этом свидетельствуют значения Р(К0рХ) на кривых 1, Г, отличающиеся всего на 0.2 %). Кроме того, тип покрытия (из рассматриваемого здесь набора) не влияет принципиально на значение Р(К0рХ) (так, для кривых 2, 3 и 4 Р(КорХ)/Р(0) = 1.37, 1.33 и 1.35 соответственно), но более существенно влияет на оптимальную толщину покрытия (К0р = 10.5 мкм для кривой 2, К0рХ = 23 мкм для линий 3, 4).
Отметим, что поведение рассматриваемых кривых на рис. 2 качественно совпадает с поведением зависимостей Р(К), приведенных в [1] на рис. 5 и соответствующих статическому методу испытаний образцов с покрытиями на растяжение-сжатие в направлении х. Немонотонное поведение кривых 1-4, Г на рис. 2 объясняется теми же причинами (особенностями напряженно-деформированного состояния в окрестности области приложения локализованной нагрузки и особенностями его изменения с увеличением К), что и линий на рис. 5 в [1]. Если толщина покрытий больше К^, то, как и в [1], наблюдается относительная стабилизация напряженно-деформированного состояния в слоях образца и плавное (по сравнению с начальным участком
0 < h < К^) увеличение нагрузки Р(К) при h > hmin объясняется в основном утолщением покрытий.
При толщинах h > hmin на рассматриваемых кривых наблюдаются точки изломов (см., например, точку С на кривой 1) с абсциссами К = К. (своими для каждой
композиции), которым соответствует смена «механизмов разрушения» образца. Так, точкам кривых 2, 4 при К^п < Н < К* соответствуют опасные (предельные) напряженные состояния (начальные пластические деформации), появляющиеся в базовом материале в окрестности приложения локализованной нагрузки, а точки этих кривых при К > К, характеризуются предельным напряженно-деформированным состоянием в покрытии, нанесенном на нижнюю лицевую поверхность образца, в точке приложения максимального по модулю значения нагрузки (х = Х0, у = 0). Изломы на кривых 1,
1 объясняются тем, что при К^ < К < К, и К > К, опасное напряженно-деформированное состояние реализуется в разных точках базового материала. Например, точкам кривой 1 при К^ < К < К* соответствует предельное напряженно-деформированное состояние в базовом материале в окрестности приложения локализованной нагрузки (х = Х0, у = К), а точки этой кривой при К > К, характеризуются опасным напряженным состоянием в базовом материале на верхней (свободной от нагружения) лицевой поверхности (х = х0, у = Н). (Напомним, что линия 1 соответствует образцу с покрытием лишь на нижней лицевой поверхности.)
Для объяснения излома на кривой 1 (см. точку С) обратимся к анализу напряженно-деформированного состояния в соответствующем образце с покрытиями. На рис. 3 изображены зависимости максимумов по у относительных интенсивностей напряжений
Лт) =
max о,-
Нт_г< у< Нт
(т) I с(т)
0.2 ’
^(т) =-^((^ + (оУт} -а«)2 + (38)
л/2
+ (<г£°-^Хт})2 + 6<)2 )У2, 1 < т < 3,
в слоях образца с покрытиями от координаты x. Кривые на рис. 3 рассчитаны для образца из алюминиевого сплава АДН с борными покрытиями на обеих лицевых
Рис. 3. Зависимости максимальных по толщине слоев значений относительной интенсивности напряжений от координаты я при трехточечном изгибе шарнирно опертых образцов
поверхностях. Качественно аналогичные кривые получаются и при выборе других материалов композиции, соответствующих линиям 2-4 на рис. 2.
Кривые 1-3 на рис. 3 характеризуют зависимость £(2) (х) в базовом материале образца, а линии 2', 3' — зависимости £(1)(х) в покрытии, нанесенном на нижнюю лицевую поверхность, к которой приложена нагрузка. (Зависимости £(3)(х) в покрытии на верхней лицевой поверхности не изображены, так как близки кривым 2', 3', но в отличие от линий 2', 3' не имеют пиков при х = х0 = 0.05 м.) Кривая 1 соответствует образцу без покрытий (К = 0), остальные линии соответствуют образцам с покрытиями, толщина которых К = 200 мкм (кривые 2, 2'), К = 800 мкм (кривые 3, 3'). Поведение всех кривых на рис. 3 показывает, что в окрестности точек (х ~ х0) приложения локализованной нагрузки напряженно-деформированное состояние в слоях имеет большие градиенты и концентрацию; за пределами же этих локальных зон напряженно-деформированное состояние в слоях с приемлемой точностью совпадает с расчетом по классической теории изгиба пластин (21)-(23), (25), (27), (30), (31), (34)-(36).
Отметим, что наличие концентраторов напряжений в зонах приложения нагрузок отмечалось, например, в работах [12, 13] и др.
Максимальные значения ординат точек кривых 1-3 равны единице (в точках А, В', В"), что соответствует возникновению начальных пластических деформаций в определенных точках базового материала образца. Интенсивность напряженного состояния в борных покрытиях при этом не превосходит 40 % от предельного значения (см. максимумы кривых 2', 3').
Поведение кривой 1 на рис. 3 показывает, что основное напряженно-деформированное состояние (за пределами «пика» интенсивности напряжений) в образце без покрытий почти вдвое ниже предельного значения, достигаемого в точке приложения максимального по модулю значения нагрузки (х = х0, у = 0). В частности, отсюда следует необходимость введения коэффициента запаса прочности Яр ~ 2 при расчете такого образца на основе одной из теорий изгиба пластин [3-7], определяющих приближенно именно основное напряженно-деформированное состояние в образце. (Отметим, что значение коэффициента запаса прочности зависит от величины концентрации напряжений в окрестности точек приложения локализованной нагрузки, т.е. от ширины 2е( ) зоны приложения этой нагрузки.)
При нанесении на лицевые поверхности покрытий, толщина которых больше К^п , наблюдается сглаживание градиентов напряженно-деформированного состояния в базовом материале в окрестности точек приложения нагрузки и увеличение основного напряженно-деформированного состояния (см. кривую 2, рассчитанную при К = 200 мкм), что приводит к росту зависимости
Р(К) с увеличением К > К^. Если толщина покрытий меньше К (К* соответствует точке С излома на кривой 1 рис. 2), то опасное напряженно-деформированное состояние возникает в одной точке (х = х0, у = К) в базовом материале на границе его контакта с нижним покрытием (см. точку А на кривой 2 рис. 3). Если же К > К, то предельное напряженно-деформированное состояние возникает в двух точках базового материала на границе контакта с нижним покрытием (см. точки В', В"на кривой 3 рис. 3, рассчитанной при К = 800 мкм), причем эти опасные точки могут лежать вне зоны (х0 ) -е(_) < х < х0 ) + е(_)) приложения локализованной нагрузки (о чем свидетельствуют, например, точки В', В"). Следовательно, при 0 < К < К* возможно возникновение отслоения нижнего покрытия от базового материала в одной точке непосредственно под нагрузкой, а при К > К* — в двух разных точках в некоторой окрестности точек приложения локализованной нагрузки. Такая резкая смена положения точек опасного напряженно-деформированного состояния в базовом материале при К = К. и объясняет излом кривой 1 на рис. 2
при К > ^щ.
Так как при К > К^п , а особенно при К > К,, происходит относительная стабилизация напряженно-деформированного состояния в слоях образца и рост зависимостей Р(К) объясняется в основном увеличением толщин покрытий, то несущая способность образца при таких толщинах покрытий в случае трехточечного изгиба существенно зависит от того, на одну или обе лицевые поверхности образца нанесены покрытия. Образцы с покрытиями на обеих лицевых поверхностях обладают значительно большей (при достаточно толстых покрытиях (порядка 1 мм) увеличение в несколько раз) несущей способностью по сравнению с образцами, покрытыми лишь с одной лицевой стороны, к которой приложена локализованная нагрузка. Об этом наглядно свидетельствует поведение кривых 1, 1' на рис. 2 при К > К.~ 160 мкм.
Обычно результаты испытаний на трехточечный изгиб сравнивают с расчетами по классической теории изгиба пластин, поэтому на рис. 2 для сравнения приведена кривая 2', полученная, как и линия 2, для образца с базовым материалом из сплава ИМВ-2 при нанесении борных покрытий на обе лицевые поверхности, но рассчитанная на основе классической теории по формулам (21)—(23), (25), (27), (30), (31), (34)-(36). Сопоставление кривых 2, 2' показывает, что классическая теория ни качественно, ни количественно не отражает особенностей упрочнения образца при нанесении на него высокомодульных покрытий в случае приложения локализованных нагрузок. Наоборот, в силу убывания кривой 2', классическое решение описывает по сути явление разупрочнения образца при нанесении на его лицевые поверхности покрытий. Столь резкое отличие точ-
ного (кривая 2) и приближенного (линия 2') решений объясняется тем, что при локализованных нагружениях становятся неприемлемыми гипотезы Кирхгофа, положенные в основу классической теории изгиба пластин. Действительно, согласно статической кирхгофовской гипотезе можно пренебречь напряжениями <5^ по сравнению с \ поэтому при вычислении можно перейти от точной формулы, определяемой третьим равенством (5), к приближенному соотношению (31). Однако, как показывают точные расчеты, в рассматриваемой задаче напряжение а!1 в точке с координатами х = х0, у = 0 (под нагрузкой) сопоставимо с в той же точке (точнее, стХХ ~ За®), поэтому пренебрегать напряжением ^ по сравнению с ), с1”) уже нель-
зя. Кроме того, в рамках классического решения, согласно (30) в рассматриваемой задаче имеем О'ХХ? (х, 0) = = -ОхХ (х, Н), но точное решение показывает, что аХХ (хо, 0) ~ -2аХ3Х)(хо, Н). Эти отклонения приближенного напряженно-деформированного состояния от точного при локализованных нагрузках приводят к существенному искажению зависимостей (38) в окрестности точки х = хо и, как следствие этого, к существенному качественному и количественному отличию зависимостей Р(И), определенных по классической теории изгиба слоистых пластин и по точному решению теории упругости (см. кривые 2, 2' на рис. 2).
Если же нагрузка является нелокализованной, то кирхгофовская теория может быть вполне приемлема при расчетах изгибаемых слоистых пластин, шарнирно опертых на кромках. Так, 5% точность по напряженно-деформированному состоянию в слоях образца в рамках классического решения обеспечивается в рассматриваемом случае нагружения при полуширине зоны приложения нагрузки (37), где £о = 3.5 мм (т.е. при ширине зоны приложения нагрузки, сопоставимой с толщиной образца). Приближенные значения прогиба при этом отличаются от точных не более чем на 3 %, причем классическая теория занижает по модулю величину прогиба.
В качестве следующего примера рассмотрим случай обжатия образца локализованными нагрузками, приложенными к обеим лицевым поверхностям. Нагрузки по-прежнему зададим в виде (15), (16), где Р(+) = Р( 3 < 0, х0±) = х0 = а 2, £(+) = £(_), причем е(_) определяется равенством (37) со значением £0 = 0.2 мм. (Такой вид нагрузки моделирует явление «перекусывания» образца.) Геометрические размеры образца имеют прежние значения.
На рис. 4 изображены зависимости предельного погонного усилия Р = |Р(+)| = | Р( )| (см. (17)), приложенного в направлении у к нижней и верхней лицевым поверхностям, от толщины покрытия h на каждой из лицевых поверхностей. Кривые 1-4 на рис. 4 рассчитаны для тех же композиций, что и линии с номерами
0.0 ----•---.---•---•------------•-------•--—
0 100 200 300 400 (1, мкм
Рис. 4. Зависимости предельных погонных поперечных усилий при локализованном обжатии («перекусывании») шарнирно опертых образцов
1-4 на рис. 2. Все кривые на рис. 4, как и соответствующие линии на рис. 2, ведут себя немонотонно: на начальном участке 0 < И < Иор1 ~ 1.2.5 мкм наблюдается некоторое упрочнение, затем при НорХ < И < ~
= 40.50 мкм происходит существенное (до 34 %) разупрочнение и лишь при И > Ига;п начинается повторное и монотонное упрочнение образцов, причем последнее упрочнение тем больше, чем больше отношение модулей Юнга покрытия и базового материала (т.е. чем жестче покрытие).
Количественное отличие кривых, приведенных на рис. 4, от соответствующих линий на рис. 2 заключается в том, что начальное упрочнение при 0 < И < Иор1 в случае обжатия образцов незначительно и составляет всего около 1.5 %. (Напомним, что при трехточечном изгибе, которому соответствует рис. 2, начальное упрочнение составляло 33.37 %.) Следовательно, не при всех видах локализованных нагрузок нанесение тонких (порядка 1.10 мкм) высокомодульных покрытий может приводить к существенному упрочнению образца, напротив, может произойти значительное разупрочнение исследуемого образца (см. значения Р(И) на кривых
1-4 рис. 4 в точках с абсциссами h = 0 и И = йга;п).
На рис. 5 изображены зависимости s(m)(x) (см. (38)) для образца с базовым материалом из сплава ИМВ-2 при толщине борных покрытий h = 150 мкм. Кривая 1 характеризует зависимость £(2) (х) в базовом материале, а линия 2 — зависимости sг(1) (х) = £(3) (х) в покрытиях. (Напряженное состояние, изображенное на рис. 5, соответствует точке на кривой 2 рис. 4 с абсциссой h = = 150 мкм.) Для других композиций и при других толщинах покрытий зависимости sг(т)(х) (т = 1, 2, 3) качественно не отличаются от изображенных на рис. 5. Из этого рисунка видно, что при «перекусывании» образца в окрестности точек приложения локализованных нагрузок (х = х0 = 0.05 м) наблюдается резкая концентрация напряжений как в базовом материале, так и в покрытиях, причем начальные пластические деформа-
Рис. 5. Зависимости максимальных по толщине слоев значений относительной интенсивности напряжений от координаты х при локализованном обжатии («перекусывании») шарнирно опертых образцов
ции для всех видов рассматриваемых композиций возникают в базовом материале на границах контакта с покрытиями в сечении х = х0. Следовательно, в рассматриваемом случае под нагрузкой может возникнуть расслоение образца на границах контакта базового материала с покрытиями.
Подчеркнем, что зависимости, изображенные на рис. 4, 5, нельзя получить ни методами сопротивления материалов [14], ни методами строительной механики [3], ни по одной из неклассических теорий деформирования пластин [4-7], так как они не учитывают обжатия тонкостенных конструкций.
Замечание 3. Все использованные выше аналитические решения были построены при граничных условиях (4) (шарнирное опирание кромок). Согласно замечанию 1 точное решение можно получить и при граничных условиях (14) (подвижное в направлении у защемление кромок), но в этом случае нагрузки в направлении у должны быть самоуравновешены, а значит, при граничных условиях (14) можно получить аналитическое решение для случая обжатия образца. Однако получающиеся при этом зависимости Р(И) и sг(т) (х) качественно не отличаются от приведенных на рис. 4, 5, поэтому не будем более подробно останавливаться на случае граничных условий (14).
Вернемся вновь к случаю, моделирующему трехточечный изгиб, но вместо граничных условий (4) на торцевых поверхностях (кромках) зададим условия жесткого закрепления:
и(х,у) = 0, ц(х,у) = 0 (39)
(х = 0, х = а, 0 < у < Н).
Геометрические размеры образца остаются прежними. Массовыми нагрузками пренебрегаем, а на лицевых поверхностях у = 0, у = Н внешние нагрузки по-прежнему определим равенствами (15), (16), где примем
У( ) = -V* —
ней лицевой поверхности у = 0 в окрестности точки х = а2, поэтому задача обладает симметрией относительно поперечного сечения х = а 2).
Авторам не известно точное аналитическое решение рассматриваемой задачи при граничных условиях (39), поэтому для построения решения на базе общих уравнений плоской задачи теории упругости воспользуемся численным методом, подробно изложенным в [1].
На рис. 6 изображены зависимости предельного погонного усилия Р = | Р( )| (см. (17)), приложенного вертикально вверх к нижней лицевой поверхности, от толщины покрытия h лицевых поверхностей. Кривые 1-4,
2' рассчитаны для тех же композиций, что и линии 1-4, 2' на рис. 2 при нанесении высокомодульных покрытий на обе лицевые поверхности (И(+) = И( ) = И > 0). Линия 2" на рис. 6 рассчитана для образца с базовым материалом из сплава ИМВ-2 и борным покрытием лишь на нижней лицевой поверхности (И(+) = 0, И(_) = h >0). Кривые 1-4 на рис. 6, в отличие от рис. 2, монотонно возрастают и имеют два участка, разделенных точкой излома с абсциссой И = И0рХ. На начальном участке (0 < И < ИорХ) наблюдается резкое увеличение Р с ростом h, а на втором участке (И > Н0рХ) — менее интенсивное приращение Р с увеличением h. Причем нарастание зависимости Р(И) тем больше, чем больше отношение модулей Юнга покрытия и базового материала, т.е. чем жестче покрытие. Так, для Mg-B-композиции (кривая 2) нанесение покрытий толщиной порядка 0.2 мм позволяет увеличить несущую способность образца почти в 2 раза, а при толщинах И ~ 0.5 мм — в5.6 раза.
Отметим, что поведение кривых 1-4 на рис. 6 качественно совпадает с поведением зависимостей Р(И), приведенных в [1] на рис. 4 и соответствующих кинематическому методу испытаний образца с покрытиями на растяжение-сжатие в направлении х. Поведение кривых
1-4 на рис. 6 объясняется теми же причинами (особенностями напряженно-деформированного состояния в окрестности торцевых поверхностей х = 0, х = а), что и линий на рис. 4 в [1].
р(+) = 0, Р(_) < 0,
(т.е. локализованная нагрузка приложена только к ниж-
= х0 = а2, е( ) = а20 = 5 мм
Рис. 6. Зависимости предельных погонных поперечных усилий при трехточечном изгибе жестко закрепленных образцов
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 х/а
Рис. 7. Зависимости максимальных по толщине слоев значений относительной интенсивности напряжений от координаты х при трехточечном изгибе жестко закрепленных образцов
Для детального объяснения поведения кривых 1-4 на рис. 6 обратимся к анализу зависимостей (38) в слоях образца. На рис. 7 изображены зависимости s(m)(x) для образца из магниевого сплава ИМВ-2 с борными покрытиями (см. линию 2 на рис. 6). Качественно аналогичные кривые получаются и при выборе других материалов композиции, соответствующих линиям 2-4 на рис. 6.
Кривые 1-3 на рис. 7 характеризуют зависимость s(2) (х) в базовом материале образца, линии 2', 3' — зависимости я(1) (х), а пунктирные кривые 2", 3" — зависимости s(3) (х) в покрытиях. Кривая 1 соответствует образцу без покрытий (к = 0), остальные линии — образцам с покрытиями, толщина которых h = 0.235 мм (кривые 2, 2\ 2"), И = НорХ = 0.477 мм (кривые 3, 3', 3"). Поведение всех указанных кривых на рис. 7 показывает, что в окрестностях торцевых поверхностей образца напряженно-деформированное состояние в слоях имеет большие градиенты, что вызвано возникновением по-гранслоев. В окрестности же точек приложения локализованной нагрузки (х = а/2) больших концентраций напряженного состояния не наблюдается, что объясняется достаточно широкой зоной приложения нагрузки 2е(~) = 10 мм, которая в 25 раз больше, чем в предыдущих примерах.
Подчеркнем, что в рассматриваемом случае опасное напряженно-деформированное состояние, в отличие от предыдущих задач, возникает не в окрестности зоны приложения локализованной нагрузки, а на значительном удалении от нее — на жестко закрепленных торцевых поверхностях. (Наличие концентраторов напряжений в зонах закрепления образцов также отмечалось в работах [12, 13].)
При нанесении на лицевые поверхности покрытий, толщина которых меньше Н0рХ, наблюдается сглаживание градиентов напряженно-деформированного состояния в погранслоях в базовом материале и увеличение
основного напряженно-деформированного состояния во всех слоях за пределами погранслоев (см. кривые 2, 2\ 2" на рис. 7, рассчитанные при И ~ 0.5И0рХ, и линии 3, 3', 3", полученные при И = ИорХ). Быстрый рост зависимостей Р(И) при толщинах покрытий 0 < И < И0рХ (см. кривые 1-4 на рис. 6) объясняется двумя факторами: увеличением толщины покрытий и ростом основного напряженно-деформированного состояния в слоях.
Однако при 0 < И < И0рХ помимо сглаживания концентраций напряжений в погранслоях в базовом материале с увеличением h резко нарастают концентрации напряжений в погранслоях покрытий (см. левые и правые участки кривых 2\ 2", 3', 3" на рис. 7) и при h = = И0рХ опасное напряженно-деформированное состояние возникает одновременно в базовом материале и верхнем покрытии, которое не нагружено (£(2)(х) = = лг(3) (х) = 1 при х = 0, х = а и И = И0рХ, см. левые и правые точки на кривых 3, 3" рис. 7).
В случае «толстых» покрытий (И > И0рХ) основное напряженно-деформированное состояние в базовом материале стабилизируется, предельное напряженно-деформированное состояние в нем становится меньше, чем опасное напряженно-деформированное состояние в верхнем покрытии, и медленный прирост кривых 1-4 на рис. 6 при И > И0рХ обуславливается в основном одним фактором — увеличением толщины покрытий.
Отметим, что опасное напряженно-деформированное состояние в рассматриваемом случае возникает в верхних угловых точках поперечного сечения образца (в верхнем покрытии: см. точки А', А" на рис. 1) или базового материала (на границе раздела с верхним покрытием: см. точки В', В" на рис. 1), т.е. точки излома контура поперечного сечения образца и базового материала являются концентраторами напряжений.
Кривая 2' на рис. 6 получена для той же композиции, что и линия 2, но рассчитана по классической теории изгиба пластин (21)-(25), (28)-(31), (34)-(36). Сопоставление этих линий показывает, что при жестком закреплении кромок, в отличие от случая шарнирного опирания (см. линии 2, 2' на рис. 2), классическое решение дает завышение значений зависимости Р(И) по сравнению с расчетом по уравнениям теории упругости, причем это завышение может быть значительным, особенно при малых толщинах покрытий (например, при h = 0 завышение составляет 62 %). Кроме того, при И > И0рХ кривая 2 на рис. 6 возрастает, а линия 2', наоборот, убывает, т.е. зависимость Р(И), полученная по классической теории изгиба пластин, даже качественно не отслеживает истинного поведения этой функции. Все это объясняется тем, что в рамках классического решения нельзя получить никакой информации об особенностях напряженно-деформированного состояния в по-гранслоях, которые как раз и определяют в рассматриваемом случае поведение зависимости Р(И).
На рис. 7 для сравнения с линией 1 приведена пунктирная кривая 4, рассчитанная по классической теории для магниевого образца без покрытий. Поведение кривой 4 указывает на то, что в окрестности торцевых поверхностей погранслои отсутствуют, в силу чего кривая 4 всюду лежит выше линии 1, что и определяет завышение на 62 % значения Р(И), рассчитанного по кирх-гофовской теории, по сравнению с точным значением Р(И) при h = 0 (см. левые точки на кривых 2, 2' рис. 6). Кроме того, отметим, что при фиксированном уровне нагружения максимальный по модулю прогиб, рассчитанный по классической теории при граничных условиях (39), примерно на 30 % меньше, чем полученный из расчета по уравнениям теории упругости.
Таким образом, проведенные расчеты позволяют утверждать, что при различных способах закрепления торцевых поверхностей классическая теория может как занижать (см. кривые 2, 2' на рис. 2), так и завышать (см. кривые 2, 2' на рис. 6) несущую способность образца. Если в случае шарнирного опирания образца при задании определенной (не слишком узкой) ширины 2е(~) зоны приложения локализованной нагрузки (15), (16) кирхгофовская теория дает приемлемую точность расчета напряженно-деформированного состояния, податливости и несущей способности Р(И) образца, то при жестком закреплении кромок (39) классическая теория, как правило, дает завышение значений Р(И), потому что при любых (локализованных или распределенных) нагрузках в этом случае возникают ярко выраженные кромочные эффекты, особенности напряженно-деформированного состояния в которых методами классической теории определить нельзя. Причем отклонение приближенной зависимости Р(И) от точной, а также скорость роста точной зависимости Р(И) при 0 < И < И0рХ будут тем больше, чем меньше ширина 2е(~) зоны приложения локализованной нагрузки, так как с уменьшением е(_) наблюдается резкое увеличение концентрации напряженно-деформированного состояния в погранслоях образца.
Если на исследуемый образец с жестко закрепленными кромками (39) нанести покрытие не на обе лицевые поверхности, а лишь на одну (нижнюю), к которой приложена нагрузка, то для Mg-B-композиции получим зависимость Р(И), характеризуемую кривой 2" на рис. 6. Сравнение линий 2, 2" на этом рисунке показывает, что в рассматриваемом случае нанесение покрытия только на одну лицевую поверхность почти не приводит к упрочнению образца. Это объясняется тем, что опасное напряженно-деформированное состояние в базовом материале возникает в верхних угловых точках сечения образца (см. точки В', В" на рис. 1), но на верхней лицевой поверхности не нанесено высокомодульное покрытие (И(+) = 0), поэтому с увеличением толщины покры-
тия на нижней лицевой поверхности (И( ) = И > 0) не происходит сглаживания концентрации напряжений в погранслоях в базовом материале, как это имеет место в случае нанесения покрытия на обе лицевые поверхности (см. кривые 1-3 на рис. 7), в силу чего незначительный прирост кривой 2" вызван лишь увеличением толщины нижнего покрытия.
5. Заключение
Проведенные расчеты и анализ особенностей напряженно-деформированного состояния в образцах с жесткими покрытиями, подвергнутых трехточечному изгибу или обжатию локализованными нагрузками, позволили объяснить такие особенности их поведения, как резкое (на 33.37 %) увеличение несущей способности слоистой конструкции при нанесении достаточно тонких покрытий (толщиной порядка 10.20 мкм) и незначительное увеличение, а в некоторых случаях и резкое уменьшение несущей способности конструкции при нанесении более толстых покрытий (толщиной порядка 50 мкм).
Работа выполнена при финансовой поддержке Президиума СО РАН (Постановление № 54 от 09.02.06, проект 2.2).
Литература
1. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Об особенностях деформирования образцов с тонкими упрочняющими покрытиями // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - № 2. - С. 17-26.
2. Демидов С.П. Теория упругости. - М.: Высш. школа, 1979. - 432 с.
3. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. - М.-Л.: ГТТИ, 1957. -
436 с.
4. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материа-
лов. - М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.
5. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. - М.: Наука, 1967.- 268 с.
6. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Вариант нелинейной теории упругих
многослойных пологих оболочек // Механика композитных материалов. - 1985. - № 5. - С. 856-860.
7. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость и колебания. - Новосибирск: Наука, 2001. - 287 с.
8. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. - М.: Физматгиз, 1960. - 491 с.
9. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III. - М.: Физматгиз, 1960. - 656 с.
10. Композиционные материалы: Справочник / Под ред. Д.М. Карпи-носа. - Киев: Наук. думка, 1985. - 592 с.
11. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. -М.: Машиностроение, 1968. - 400 с.
12. Панин С.В., Коваль А.В., Почивалов Ю.И. Особенности разрушения образцов малоуглеродистой стали с боридными слоями различной толщины при одноосном статическом нагружении // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 4. - С. 85-95.
13. Панин В.Е., Елсукова Т.Ф., Ангелова Г.В. Динамика локализации деформации в поверхностном монокристаллическом слое плоских поликристаллических образцов алюминия при циклическом нагружении // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 4. - С. 79-88.
14. ФеодосьевВ.И. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1986. -516 с.
Поступила в редакцию 07.12.2006 г.
