CC BY
32
Об особенностях деформирования образцов с тонкими упрочняющими покрытиями
Ю.В. Немировский, А.П. Янковский
Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
На базе общих представлений линейной теории упругости сформулирована задача расчета образцов с упрочняющими покрытиями. Разработан численный метод интегрирования поставленной задачи и проведены конкретные расчеты. На основе анализа рассчитанных полей напряжений в базовом материале образца и в покрытиях удалось объяснить такие эффекты, как упрочнение образца при нанесении на его поверхности высокомодульных покрытий толщиной порядка 0.05-0.2 мм и разупрочнение образца при нанесении более толстых покрытий.
On deformation features of specimens with thin hardening coatings
Yu.V Nemirovskii and A.P. Yankovskii Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
Based on the general ideas of the linear theory of elasticity we have formulated a calculation problem for specimens with hardening coatings. A numerical method of integrating the posed problem is developed and particular calculations are carried out. Based on the analysis of calculated stress fields in the substrate material and in coatings we explain such effects as specimen hardening due to deposition of high-modulus coatings ~ 0.05-0.2 mm thick and specimen softening when thicker coatings are deposited.
1. Введение
В соответствии с представлениями физической мезо-механики [1] деформируемое твердое тело рассматривается как многоуровневая система, в которой микро-, мезо- и макромасштабные уровни должны рассматриваться как органически взаимосвязанные. Если микромасштабный уровень развития процессов деформирования, зарождения и развития процессов пластичности, ползучести и разрушения изучен в литературе с достаточной полнотой, то исследования взаимодействия различных мезомасштабных уровней только начинают активно развиваться. Проведенными экспериментальными и теоретическими исследованиями структурно-неоднородных сред была установлена [2-5] важная роль границ разделов и физических свойств материалов фаз композиции в формировании концентраторов напряжений, развитии пластических деформаций и процессов разрушения.
Для корректного обоснования моделей и принципов мезомеханики необходимо проведение в контролируемых условиях экспериментальных исследований и расшифровка полученных результатов на относительно простых, с точки зрения их воспроизводимости, объектах. В этом смысле идеальными считаются объекты типа образцов некоторых базовых материалов с покрытиями или поверхностно упрочненными слоями. Именно поэтому большое внимание уделяется изучению поведения подобных образцов при различных типах упрочняющих слоев и при различных условиях нагружения [2-4, 6, 7]. Исследование подобных объектов представляет и большой практический интерес, поскольку многие современные конструкции и инструментальные наборы в массовом порядке изготовляются с нанесением упрочняющих, защитных или функциональных покрытий [8]. Учитывая, что в большинстве технологических приемов наряду с базовыми мате-
© Немировский Ю.В., Янковский А.П., 2006
риалами и покрытиями образуются и переходные слои, то фактически мы имеем дело со специфическими слоистыми конструкциями с большими градиентами свойств на малых размерах. Методы расчета подобных изделий только начинают развиваться [9].
Данная работа посвящена изучению методами механики деформируемого твердого тела особенностей напряженно-деформированного состояния образцов с покрытиями и попытке объяснения резкого упрочнения таких образцов при нанесении именно тонких высокомодульных покрытий.
2. Постановка задачи
Для большей наглядности и упрощения расчетов в качестве образца рассмотрим удлиненное призматическое тело, прямоугольного поперечного сечения шириной а и высотой b (рис. 1, а) из базового изотропного однородного конструкционного материла, на лицевые поверхности которого нанесены изотропные однородные покрытия толщиной h(-) = const (на нижней стороне) и h(+) = const (на верхней стороне). Нагружение и закрепление образца в продольном направлении не изменяются. Массовые и поверхностные нагрузки не имеют продольной составляющей. При такой структуре, закреплении и нагружении образца в нем реализуется случай плоской деформации [10].
Свяжем с образцом прямоугольную декартову систему координат x1x2 x3. Ось x3 направим вдоль образца, координатную плоскость x1x3 (x2 = 0) совместим с нижней лицевой поверхностью образца (рис. 1), а координатную плоскость x2x3 (x1 = 0) с левой торцевой поверхностью. Тогда точки поперечного сечения образца занимают прямоугольную область
G: 0 < x1 < a, 0 < x2 < H = h(-) + b + h(+), (1)
где H — толщина образца с покрытиями.
Учитывая возможное наличие переходных слоев, будем рассматривать образец с покрытиями как слоистую
Х2,
/
А / ►
J Н2Т і / 1р(
lit7 ►
! Т /
X
■^(хг)
*1
Рис. 1. Геометрия образца с покрытиями (ось Х3 ортогональна плоскости рисунка) и способы его нагружения и закрепления при кинематическом (а) и статическом (б) методах испытаний
(2)
конструкцию-пластину. Пусть Нт — ордината плоскости контакта т-го и (т + 1)-го слоев (т = 1, 2, ..., М, где М — количество слоев, которых в общем случае может быть и больше трех), тогда при М = 3 (рис. 1, б)
Н0 = 0, Н1 = к(-), Н2 = к(-) + Ь,
Н 3 = Нм = к(-) + Ь + к (+) = Н,
где х2 = Н0, х2 = Нм — ординаты нижней и верхней лицевых поверхностей. При этом точки поперечного сечения т-го слоя занимают прямоугольную область
Gm: 0 < х < а, Нт-1 < х2 < Нт (3)
(т = 1, 2, М).
Как правило [11-15], теории расчета таких слоистых пластин базируются на введении упрощающих гипотез (неучет обжатия, задание закона распределения касательных напряжений в поперечном направлении и т.п.). В рамках таких теорий удается построить с той или иной степенью точности основное напряженное состояние в пластине, но нельзя определить напряженное состояние в погранслоях. Поэтому расчеты, проведенные на основе таких приближенных теорий, не позволяют объяснить резкое упрочнение образца с тонким высокомодульным покрытием поверхностей, выявляемое, например, при проведении простейших испытаний образцов на растяжение (сжатие).
В настоящем исследовании будем исходить из общих уравнений линейной двумерной теории упругости без привлечения каких-либо упрощающих гипотез. При сделанных выше предположениях о строении образца, его нагружении и закреплении в каждом т-м слое реализуется случай плоской деформации ( и 3т) = 0), и уравнения равновесия в перемещениях в пределах упругого деформирования имеют вид [10]:
Ат) ит + (В(т) + G(т)) и 2т2 + G(т)и1т2, =
= -Р (m) / (m) /1 ,
A( m) um2 + (B(m) + G(m)) u1m) + G(m)u m =
(4)
= -p(m)/2(m), 1 < m < M,
где
,m) = 2G(m)(1 - У(m)) _(m) = 2v(m)G
(m))
A(m) =
G(m) =
1 - 2v
(m)
(m)
B(m) =-
1 - 2v
(m)
(5)
2(1 + v(m))’
(т)
и] 7 — компоненты вектора смещений точек т-го слоя; f(т) — компоненты вектора удельной массовой нагрузки, действующей на т-й слой; р(т) — объемная плотность материала т-го слоя; V(т), Е(т) — коэффициент Пуассона и модуль Юнга материала т-го слоя; нижний индекс после запятой означает частную производную по переменной х I ( I = 1, 2) соответственно. Здесь и да-
лее все функции зависят только от двух переменных Х1, х2.
Напряжения в т-м слое определяются из закона Гука, записанного в перемещениях:
(т) = л(т),,(т) + д (т),,(т)
= А^’иЦ’ + В(т)и2>2,
Г;(т) = В(т)и (т) + А(т)и (т)
и22 _ В и1,1 Т А и2,2 ,
= стЙ0 = 0
23
(6)
а3т ^(т)(ат + а2'т)),
= ^(и^ + и2т)),
1 < т < М.
На лицевых поверхностях пластины заданы стати ческие граничные условия, записанные в перемеще ниях:
на нижней поверхности В (1)и® + А(1)и® =
G (1)(и1(12 + и21)) = рТ-),
0 < х1 < а, х2 = 0,
на верхней поверхности
в(М )и(М) + А(М )и(М) = р(+)
В и1,1 + А и2,2 = Рп ,
(7)
^ >(«£> + и*"» = рТ
0 < х1 < а, х2 = Н,
(8)
где рП±, Рт± — заданные нормальные и касательные напряжения на верхней (+) и нижней (-) лицевых поверхностях пластины соответственно.
Левая торцевая поверхность пластины предполагается жестко закрепленной:
и}т)(0, х2) = и2т)(0, х2) = 0, (9)
Нт-1 < х2 < Нт, 1 < т < М, на правой торцевой поверхности при кинематическом методе испытаний задаются перемещения:
и}т)(а, х2) = и0(х2), и2т)(а, х2) = и°(х2), (10)
Нт-1 < х2 < Нт, 1 < т < М.
При статическом методе испытаний задаются напряжения (записанные в перемещениях):
А(т)и<т,) + В(т)и2т2) = р}т)(х2),
G (т)(и« + и2т)) = Р12(х2),
х1 = а, Нт-1 < х2 < Нт, 1 < т < М,
(11)
где и10, и°, р^, Р12
заданные на правой торцевой
поверхности смещения и нормальное и касательное напряжения соответственно, причем функции и^ и°, Р12 непрерывны в силу условий сопряжения на границах контакта слоев. Кроме того, и°, и2 предполагаются дифференцируемыми внутри каждого слоя (см. ниже).
Предполагается, что слои контактируют без отрыва и проскальзывания, поэтому на поверхностях контакта выполняются кинематические
и(т+1) (х1, х2 ) = и(т) (х1, х2 ),
0 < х1 < а, х2 = Нт, 1 < т < М -1, и статические (записанные в перемещениях)
В (п)и (П) + А(п)и(п2 = В
*1,1
(п) (п) (т) (т)
2,2
(т) (т)
и
2,2
;(п)(и1(”) + и2п1)) = G(m)(u1m2) + и2”^;)
(т)
(12)
(13)
п = т +1, 0 < х1 < а, х2 = Нт, 1 < т < М -1,
условия сопряжения решения.
Таким образом, линейная система разрешающих уравнений эллиптического типа (4), граничные условия (7)—(11) и условия сопряжения решения (12), (13) образуют граничную задачу расчета рассматриваемого образца с покрытиями в пределах упругого деформирования.
3. Метод расчета
Для удобства разработки численного метода интегрирования сформулированной граничной задачи введем в рассмотрение новые функции:
и(т) = и$, v2m) = и2т2), 1 < т < М. (14)
Тогда уравнения равновесия (4) можно записать в виде замкнутой системы четырех уравнений, разрешенных относительно производных по переменной х2:
и(т) = -и1,2 =
1
G(m) (т)
(-р(т)л(т) - А(т)и(т)) -
- (В(т) + G(m))v2m))
= _1_(-р(т)/2(т) - G(т)и(т) -
(15)
А(т) (т)
2,11
- (В(т) + ^т))и(т))
и$ = и(т), и2т2) = и2т), 1 < т < М.
Преобразуем граничные условия (7), (8), (11) и усло вия стыковки (13) с учетом (14), тогда
В «и® + А(1)иР = Р^,
G (1)(и(1) + и21)) = рТ-),
0 < х1 < а, х2 = 0;
(16)
В(М)и(М) + А(М)_ (М) = р(+)
В и1,1 + А и2 = рп ,
G(М )(и1(М) + и2^) = рТ+),
0 < х1 < а, х2 = Н;
А(т)и(0) + В (т)и(т) = р1(;й)(х2),
G (т)(и1(т) + и2т)) = Р12(х2),
х1 = а, Нт-1 < х2 < Нт, 1 < т < М;
(17)
B (n)u1f + A(n)v2n) = B (m)u1f + A(m)v2m),
’ ’ (19)
G (n)(v(n) + u 2m1)) = G (m)(v(m) + u 2^),
n = m +1, 0 < x1 < a, x2 = Hm,
1 < m < M -1,
где учтено, что в силу (12)
(n) (m)
ui1 = ui
i,l , 0 < Xl < a, X2 = Hm,
(20)
n = m +1, i = 1, 2, 1 < m < M -1. Продифференцируем по x2 граничные условия (9), (10), тогда с учетом (14) получим
v1(m)(0, x2) = v2m)(0, x2) = 0,
(21)
Hm-l < X2 < Hm, 1 < m < M;
v(m) (a, x2) = du10/dx2, v2m) (a, x2) = du°/dx2,
Hm -l < X2 < Hm , 1 < m < M.
(22)
Разрешим соотношения (16), (18) относительно v1(m), vf}, а (19) относительно v1(n), v^n):
p(-)
v (1) = p___________________u (1)
vl = G (l) ^
i-(p-ї - b ВД),
(2З)
v (1) = -2 A(1)
0 < x1 < a, x2 = 0;
,(m) = p12 - u (m) G 0
v — U21 ,
1 (m) 2,1
v2m) ^-1t(P.i -A(m)ulT)),
(24)
(m)
B
X1 = a Hm-1 < x2 < Hm , 1 < m < M;
G(m) G(n)
v/n)=G^(vl(m)+u2m)) - u2m),
1_((B(m) - B(n))u1('m) + A(m)v2m)),
v (n) =-2 A(n)
n = m +1, 0 < x1 < a, x2 = Hm,
(25)
1 < т < М -1.
Правые части системы разрешающих уравнений (15) и соотношений (23)-(25) содержат частные производные только по одной переменной х1 от неизвестных функций и(т), и;(т) (г = 1, 2). Поэтому, если задать на нижней лицевой поверхности х2 = 0 кинематически допустимые значения перемещений (обозначим их и(-)( х1), и2-)( х1)), за счет соотношений (23), где
U(1) (x1, 0) = ul ; (x1), U(2l>(x1,0) = u2 ;(x1), (26)
(-)
(1)
(-)
0 < x1 < a,
можно сформулировать начальные условия для системы (15) на линии х2 = 0. Если каким-либо способом удастся проинтегрировать начально-краевую задачу (15), (23),
(26), (21), (9), (10), (22) (или (24)) в первом (m =1) слое пластины, то за счет равенств (12), (25) можно поставить на линии x2 = H1 начальные условия для интегрирования системы (15) во втором (m = 2) слое. Если начально-краевая задача (15), (12), (25), (21), (9), (10), (22) (или (24)) проинтегрирована и во втором слое, то за счет (12), (25) можно сформулировать на линии х2 = = Н2 начальные условия для интегрирования системы (15) в третьем (m = 3) слое и т.д. Если же в последнем M-м слое решена соответствующая начально-краевая задача (известны функции u(Mj v(Mj i = 1, 2), то на верхней лицевой поверхности (х2 = H) можно вычислить левые части граничных условий (17). При произвольном задании функций u(-) (i = 1, 2) в (26) равенства в (17) выполняться не будут. Следовательно, нужно так подобрать начальные функции в (26), чтобы невязки в (17) обратились в ноль, после чего будет известно решение исходной граничной задачи во всей области (1). Такой ход рассуждений позволяет использовать для численного интегрирования поставленной выше граничной задачи метод прямых [16] совместно с методом пристрелки [17].
Действительно, введем в рассмотрение прямые
x, = xfj = А/, 0 < x2 < H,
1 1 2 (27)
А = a/N, j = 0, 1, 2 ..., N, У J
где N — количество отрезков, на которые разбивается интервал 0 < x1 < а по ширине образца. Заменим в правых частях уравнений (15) и соотношений (23), (25) производные по переменной x1 их конечно-разностными аналогами [18], используя значения неизвестных функций на прямых (27). Тогда в каждом m-м слое конечно-разностный аналог системы (15) будет линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений по переменной x2, замкнутой относительно 4N неизвестных функций v(m (i = 1, 2, 1 < j < N )
при статическом способе испытаний (при задании на правой торцевой поверхности образца статических граничных условий (24)) или 4(N - 1) неизвестных функций 4"), v™ (i = 1, 2, 1 < j < N -1) при кинематическом способе испытаний (при задании на правой торцевой поверхности образца кинематических граничных условий (10), (22)). Задав узловые значения функций
,,(-) =, ,(-)(,Х/ ]) V — Ui[j]
= Ui(-)(x1^]), i = 1, 2,
(28)
1 < j < N (или 1 < j < N -1), можем за счет конечно-разностного аналога соотношений (23) определить начальные условия для конечноразностного аналога системы (15) в первом слое. Интегрируя начальную задачу для конечно-разностного аналога системы (15) (линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений) каким-либо из известных методов [16-18] (например, методами Рунге-Кут-ты), получим с учетом (21), (9), (10), (22) (или (24))
решение в первом слое на прямых (27). Следуя далее изложенному выше алгоритму, можем последовательно во всех слоях построить решение для конечно-разностного аналога системы (15) на прямых (27). В конечном итоге на верхней лицевой поверхности получим невязки в конечно-разностном аналоге соотношений (17) в узлах пересечения линии х2 = Н и прямых (27). При этом количество узловых значений невязок в конечно-разностном аналоге условий (17) равно количеству узловых значений неизвестных (28). Для устранения невязок в конечно-разностном аналоге условий (17) необходимо соответствующим образом подобрать значения узловых функций (28). Такой подбор можно осуществить за счет использования метода пристрелки [17].
Предложенный алгоритм численного решения сформулированной граничной задачи для образца с покрытиями удобен тем, что, сколько бы не содержала слоев конструкция, количество неизвестных начальных параметров (28) остается фиксированным. Кроме того, при интегрировании конечно-разностного аналога системы (15) в каждом слое может быть выбран свой (при необходимости переменный) шаг интегрирования по переменной х2.
Такая численная процедура была реализована авторами на компьютере, при этом для интегрирования конечно-разностного аналога системы (15) использовался явный метод Рунге-Кутты четвертого порядка [16], а производные по переменной х1 в (15), (23)-(25) были заменены их конечно-разностным аналогом на девятиточечном шаблоне. Это обеспечило высокий порядок аппроксимации производных, что необходимо для получения достоверной информации о поведении неизвестных функций в погранслоях, где, как известно, решение обладает большими градиентами [9, 19].
Разработанный численный метод был протестирован на известных решениях [10] для однородных удлиненных призматических тел прямоугольного поперечного сечения, полученных (решениях) методами плоской теории упругости с помощью функций напряжений Эри, заданной в полиномиальном виде. При этом приближенные решения были получены с точностью до 8^10 значащих цифр при разбивке интервалов 0 < х,< а, 0 < х2 <Н на 50^100 отрезков. Однако столь высокая точность имеет место лишь в тестовых задачах, которых отсутствуют погранслои. В задачах же с погранслоями, как показывают многочисленные расчеты, проведенные авторами, предложенный метод достаточно устойчив при относительной толщине образца порядка 0 < Н/а <
< 1/10 1/8. Устойчивость метода определялась из тех соображений, что при симметричных относительно срединной плоскости структуре, нагружении и закреплении конструкции (или кососимметричном нагружении и закреплении) напряженно-деформированное состояние также должно быть симметричным (кососимметричным) относительно срединной плоскости. Степень сим-
метрии (антисимметрии) полученного решения, а также величина невязок в конечно-разностном аналоге соотношений (17) после применения метода пристрелки при других типах структуры, нагружения и закрепления образца и служили критериями достоверности решения при определении границ устойчивости метода (решение считалось приемлемым при 5 % точности выполнения указанных условий). Для расширения границ устойчивости метода (при расчете более толстых образцов) необходимо, по-видимому, использовать метод дискретной ортогонализации [17].
4. Обсуждение результатов расчетов
Рассматриваются образцы, поперечное сечение которых имеет размеры a = 100 мм, b = 9 мм. На верхнюю и нижнюю лицевые поверхности образца нанесены покрытия одинаковой толщины (h(-) = h(+) = h ) и из одного материала. В качестве базового материала образца выберем алюминиевый сплав АДН или магниевый сплав ИМВ-2; покрытия могут быть борными, стальными (марка стали 40Х) или титановыми (сплав ВТ6С). Механические характеристики этих материалов приведены в таблице 1.
Проведем расчеты, соответствующие испытаниям образца на растяжение (сжатие) в направлении x1. При этом массовыми нагрузками и напряжениями на лицевых поверхностях образца пренебрегаем (f = f = 0, рП^ = рТ± = 0, см. (15), (17), (23)). При кинематическом способе испытаний на правой торцевой поверхности x1 = а задаются условия жесткого края: Uj° (x2) = = u0 = const, u20(x2) = 0 (см. (10), (22)), а при статическом способе испытаний к правой торцевой поверхности приложено равномерное нормальное напряжение (давление): p1(")(x2) = p0 = const, p12(x2) = 0 (см. (24)). Напомним, что левая торцевая поверхность образца жестко закреплена (см. (9)). Расчеты проводились до появления начальных пластических деформаций в базовом материале или покрытиях (либо до начала разрушения упруго-хрупкого материала, например, борного покрытия).
На рис. 2 изображены зависимости предельного удлинения образца u0 от толщины покрытия h на каждой из лицевых поверхностей. Кривая 1 рассчитана для
Таблица 1
Механические характеристики материалов фаз композиции образца [20, 21]
Материал E, ГПа ст0 2, МПа v
Сплав АДН (Al) 71.0 100 0.315
Сплав ИМВ-2 (Mg) 44.5 190 0.31
Бор (B) 420.0 3 200 0.235
Сталь 40X 210.0 1 200 0.3
Сплав ВТ6С (Ti) 120.0 900 0.3
базового материала образца из алюминиевого сплава АДН с борными покрытиями. Кривые 2-4 получены для базового материала образца из магниевого сплава ИМВ-2 с разными покрытиями: борными (2), стальными (3), титановыми (4). Поведение всех линий показывает, что при малой толщине покрытий (0 < h < 0.4 мм) наблюдается увеличение предельного удлинения u0 образца с увеличением толщины покрытия h. После достижения некоторого значения h = hopt (это значение толщины покрытия назовем «оптимальным», ему соответствуют точки излома кривых на рис. 2) увеличения предельного удлинения образца не происходит, наоборот, при h > hopt наблюдается некоторое незначительное уменьшение значений u0 (du0/dh < 0 при h > hopt). Значения hopt свои для каждой композиции, причем, как видно из рис. 2, hopt тем меньше, чем больше отношение модулей Юнга покрытия и базового материала (т.е. чем жестче покрытие). Так, для кривой 2 hopt ~ = 0.14 мм. «Горизонтальные» участки кривых 2-4 указывают на то, что максимальное предельное удлинение пластины (maxu0) практически не зависит от материала покрытия, а определяется свойствами базового материала (ср. «горизонтальные» участки кривых 1 и 2).
Отметим, что существование некоторой оптимальной толщины покрытия для других ситуаций отмечалось в [2, 6].
Для объяснения поведения кривых на рис. 2 обратимся к анализу напряженно-деформированного состояния в образцах с покрытиями при кинематическом способе испытаний. На рис. 3 изображены зависимости максимумов по x2 относительных интенсивностей напряжений
max
HTO -1 < x9 < ня
a)
(m)
a,
(m) 0.2
a (m) =
((a(m) ■
a 2m))2 + (a;
22
(m)
*33
)2 +
(29)
+ (a3m) -a((m))2
+ 6 a(m)
12
1< т < 3,
в слоях образца с покрытиями от безразмерной координаты х = х1/а. Кривые на рис. 3 рассчитаны для образца из алюминиевого сплава АДН с борными покрытиями (линия 1, рис. 2). Качественно аналогичные кривые получаются и при выборе других материалов композиции, соответствующих линиям 2-4 на рис. 2.
Кривые 1-4 на рис. 3 характеризуют зависимость я(2) (х) в базовом материале образца, а линии 2-4' — зависимости я(т)(х), т = 1, 3, в покрытиях. Кривая 1 соответствует образцу без покрытий (к = 0), остальные линии соответствуют образцам с покрытиями, толщина которых к = 0.1 мм (кривые 2, 2'), h = = 0.2 мм (кри-
вые 3, 3'), к = 1.5 мм (пунктирные кривые 4, 4'). Поведение всех кривых на рис. 3 показывает, что в окрест-
Рис. 2. Зависимости предельных удлинений образцов при кинематическом методе испытаний от толщины покрытий
ностях торцевых поверхностей образца напряженно-деформированное состояние в слоях имеет большие градиенты, что вызвано возникновением погранслоев; центральные же участки этих кривых практически горизонтальны, что соответствует основному напряженно-деформированному состоянию в слоях.
Отметим, что наличие концентраторов напряжений в зонах закрепления и приложения нагрузок отмечалось в работах [2, 7].
Максимальные значения ординат точек кривых 1-4 равны 1 (в точках Л', Л", В', В", С, С'), что соответствует возникновению начальных пластических деформаций в определенных точках базового материала образца. Напряженное же состояние в борных покрытиях составляет примерно 20 % от предельного значения.
Поведение кривой 1 на рис. 3 показывает, что основное напряженно-деформированное состояние в образце без покрытий почти в 1.5 раза ниже предельного значения, достигаемого в погранслоях (в этом случае я(2) = 1 в угловых точках поперечного сечения образца). В част-
Рис. 3. Зависимости максимальных по толщине слоев значений относительной интенсивности напряжений от безразмерной поперечной координаты при кинематическом методе испытаний
ности, отсюда следует необходимость введения коэффициента запаса прочности np~ 1.5 при расчете такого образца методами сопромата [22] или одной из теорий [11-15], определяющих, как уже отмечалось, приближенно именно основное напряженно-деформированное состояние в образце.
При нанесении на лицевые поверхности покрытий, толщина которых меньше hopt, наблюдается сглаживание градиентов напряженно-деформированного состояния в погранслоях и увеличение основного напряженно-деформированного состояния (см. кривую 2, рассчитанную при h = 0.5hopt = 0.1 мм). Так как с увеличением h в пределах от 0 до hopt наблюдается рост основного напряженно-деформированного состояния в базовом
материале образца, то увеличивается по модулю и де-
(2) (2)
формация е}/ = и\{, которая за пределами погран-
слоев доминирует над другими деформациями. С рос-
(2)
том же увеличивается и значение предельного удлинения (или сокращения) образца и0. Это явление наблюдается до достижения толщины покрытия h = hopt. При h > hopt основное напряженно-деформированное состояние в базовом материале образца почти равно предельному значению (s(2) (х) ~ 1 при 8 < х <1 - 8, 8 > 0, см. центральные части кривых 3, 4), т.е. за пределами погранслоев |е(:р| = 8max = const, поэтому практически и не происходит увеличения предельного удлинения образца при h > hopt (см. «горизонтальные» участки кривых на рис. 2). Если при h < hopt предельное напряженно-деформированное состояние в базовом материале достигается на торцевых (х = 0, х = 1) поверхностях образца (точки A\ A" на кривых 1, 2 рис. 3), то при оптимальной толщине покрытия ( h = hopt) предельное значение s(2) (х) = 1 достигается одновременно на торцевых поверхностях (х = 0, х = 1) и в некоторых внутренних точках (х = 8, х = 1 - 8), близких к торцевым поверхностям (точки A', A", B', B" на кривой 3). При h > hopt предельное напряженно-деформируемое состояние в базовом материале достигается в некоторых внутренних точках образца (см. точки локальных максимумов C , C" на кривой 4), а с приближением к торцевым поверхностям происходит уменьшение интенсивности напряжений в базовом материале (крайние участки кривой 4 на рис. 3), причем это уменьшение тем значительнее, чем больше толщина покрытия. Указанные особенности изменения напряженно-деформированного состояния в базовом материале образца в зависимости от увеличения толщины покрытий и обьяс-няют поведение кривых на рис. 2.
Если использовать теорию прочности, базирующуюся на понятии предельной деформации, то «горизонтальным» участкам кривых на рис. 2 как раз и соответствует достижение предельной деформации в базовом материале за пределами погранслоев.
Подсчитаем величину погонного усилия P, направленного по оси х}, которое необходимо приложить к правой торцевой поверхности образца для реализации кинематического метода испытаний. Для этого достаточно вычислить в произвольном сечении х} = const интеграл
M Hm
р=Ё Hm^2. (зо)
m=} Hm-1
На рис. 4 изображены зависимости P(h), причем кривые на этом рисунке рассчитаны для тех же образцов, что и линии на рис. 2 соответственно. Все кривые на рис. 4 имеют два участка: на начальном участке (0 < h <
< hopt ) наблюдается резкое увеличение P с ростом h, а на втором участке (h > hopt) — менее интенсивное приращение P с увеличением h. Это также объясняется особенностями напряженно-деформированного состояния в образцах с покрытиями. Начальным участкам кривых на рис. 4 соответствуют тонкие покрытия, при этом, как уже отмечалось выше, происходит сглаживание градиентов напряженно-деформированного состояния в погранслоях и рост основного напряженного состояния в базовом материале образца (ср. кривые 1-3 на рис. 3), из всех компонент которого доминирующим является именно напряжение а(:р, входящее под интеграл в (30). На этом участке ( 0 < h < hopt ) быстрый прирост P(h) обуславливается двумя факторами: увеличением толщины покрытий (напряженно-деформируемое состояние в которых практически фиксировано, ср. кривые 2-4 на рис. 3) и ростом напряжения а(2). В случае «толстых» покрытий ( h > hopt) основное напряженно-деформированное состояние в базовом материале стабилизируется (ср. кривые 3, 4 на рис. 3), т.е. за пределами
(2)
погранслоев напряжение а}^ практически не изменяется с увеличением h, поэтому на вторых участках кривых рис. 4 медленный прирост P(h) обуславливается лишь одним фактором — увеличением толщины покрытий.
Р, МН/м
0 0.4 0.8 1.2 h, мм
Рис. 4. Зависимости погонных растягивающих усилий, необходимых для реализации кинематического метода испытаний, от толщины покрытий
Рис. 5. Зависимости растягивающих погонных усилий при статическом методе испытаний от толщины покрытий
Проанализируем теперь зависимости Р(Н) при статическом методе испытаний. В этом случае согласно принятым граничным условиям на правой торцевой поверхности образца Р = Нр0. На рис. 5 изображены кривые, характеризующие зависимости Р(Н) для тех же композиций, что и на рис. 4, при статическом методе испытаний. В отличие от рис. 4 кривые 1-3 на рис. 5 ведут себя немонотонно. На начальных участках этих кривых наблюдается рост предельно допустимой прикладываемой нагрузки Р с увеличением толщины покрытий Н. После достижения некоторого значения Н = Нор1 происходит снижение нагрузки Р с увеличением толщины внешних слоев ( НорХ < Н < НтП ). После достижения некоторого значения Н = Нт|п (которому соответствуют локальные минимумы кривых 1-3 на рис. 5) происходит медленное нарастание предельной нагрузки Р с увеличением толщины покрытий (Н > Нт|п ). По-прежнему значения НорХ (а также и Нт|п ) свои для каждой композиции, причем, как видно из рис. 5, НорХ тем меньше и снижение Р(Н) при Нор{ < Н < Нтп тем резче, чем больше отношение модулей Юнга покрытия и базового материала (т.е. чем жестче покрытие). Так, для кривой 2 Нор{ ^ 0.05 мм, а для линии 1 НорХ ^ 0.09 мм.
Для объяснения поведения кривых на рис. 5 вновь обратимся к анализу напряженно-деформированного состояния в образцах с покрытиями при статическом способе испытаний. На рис. 6 изображены зависимости
т) (х) (см. (29)) в слоях образца с покрытиями. Кривые на этом рисунке рассчитаны для образца из магниевого сплава ИМВ-2 с борными покрытиями (линия 2, рис. 5). Качественно аналогичные кривые получаются и при выборе других материалов композиции (линии 1,
3, 4, рис. 5).
Линии 1-3 на рис. 6 характеризуют зависимость я-2) (х) в базовом материале образца, а пунктирные линии 2', 3 — зависимости ^т) (х), т = 1, 3, в покрытиях. Кривая 1 соответствует образцу без покрытий (Н = 0), остальные линии соответствуют образцам с покрытиями, толщина которых: Н = НорХ = 0.0508 мм (кривые
2, 2'), Н = 0.6 мм (кривые 3, 3'). Поведение кривой 1 показывает, что в образце без покрытий погранслой развивается лишь в окрестности жестко закрепленной левой торцевой поверхности, где напряженно-деформированное состояние имеет большие градиенты; правый участок кривой 1 практически горизонтален, что соответствует основному напряженно-деформированному состоянию в образце. При наличии же покрытий, как показывает поведение кривых 2, 3, 2', 3', в окрестности обеих торцевых поверхностей образца напряженно-деформированное состояние в слоях имеет большие градиенты; центральные же участки этих кривых практически горизонтальны, что соответствует основному напряженно-деформированному состоянию в слоях.
Максимальные значения ординат точек кривых 1-3 равны 1 (в точках А, В), что соответствует возникновению начальных пластических деформаций в базовом материале образца в некоторых точках, лежащих на его торцевых поверхностях. Напряженное же состояние в борных покрытиях не превосходит 60 % от предельного значения, о чем свидетельствуют кривые 2', 3' на рис. 6. Следовательно, в пределах упругого деформирования и для этого типа композиции борные покрытия имеют значительный запас прочности.
Поведение кривой 1 показывает, что основное напряженно-деформированное состояние в образце без покрытий почти на 25 % меньше предельного значения, достигаемого в погранслое (в этом случае я(2) = 1 в двух левых угловых точках поперечного сечения образца). В частности, отсюда следует необходимость введения
коэффициента запаса прочности
1.3 при расчете
Рис. 6. Зависимости максимальных по толщине слоев значений относительной интенсивности напряжений от безразмерной поперечной координаты при статическом методе испытаний
такого образца методами сопромата [22] или одной из теорий [11-15]. При нанесении на лицевые поверхности покрытий, толщина которых меньше Нор1, наблюдается сглаживание градиентов напряженно-деформированного состояния в погранслое на левой закрепленной торцевой поверхности, но появляется и интенсивно начинает развиваться погранслой на правой торцевой поверхности, где приложено нормальное напряжение р0. С увеличением толщины покрытий Н происходит рост напряженно-деформированного состояния в окрестности именно правой торцевой поверхности (пра-
вые участки кривых 2, 3). При увеличении Н в пределах от 0 до Нор1 происходит сглаживание зависимости (х) в окрестности точки х = 0 и нарастание х(:2) (х) в окрестности точки х = 1, но значения ^(2)(1) <
< s(j12 (0) = 1 и увеличению Н сопутствует рост основного напряженно-деформированного состояния в базовом материале образца (ср. центральные части кривых 1, 2). При Н = Нор( на обеих торцевых поверхностях образца ^(2) = 1 (х = 0, х = 1, см. точки А, В на кривой 2), т.е. появляются начальные пластические деформации. Так как при увеличении Н в пределах от 0 до Нор( увеличиваются и толщины покрытий и основное напряженно-деформированное состояние (в котором доминирует напряжение ) в базовом материале, то согласно формуле (30) происходит рост предельной нагрузки Р, прикладываемой к образцу. Этим и объясняется поведение кривых 1-4 на рис. 5 на начальных участках (0< Н <
< Нор1 )-
При толщине покрытий, превышающей Нор(, градиенты напряженно-деформированного состояния в базовом материале в окрестности левой торцевой поверхности по-прежнему сглаживаются (интенсивность напряжений здесь становится даже меньше, чем за пределами погранслоев, см. левый участок кривой 3), а в окрестности правой торцевой поверхности в базовом материале продолжают интенсивно нарастать, что приводит к резкому снижению уровня основного напряженно-деформированного состояния (и напряжения в том числе) в базовом материале образца (ср. центральные участки кривых 2, 3 на рис. 6) и в покрытиях (ср. центральные участки кривых 2', 3'). При этом увеличение толщины покрытий не компенсирует уменьшения по модулю напряжений в слоях, и интеграл (30) при Нор( < Н < Нт|п меньше, чем при Н = Нор(. Данное обстоятельство и объясняет наличие участков спада кривых 1-3 на рис. 5. Спад этих кривых, как уже отмечалось, тем резче, чем больше отношение модулей Юнга покрытия и базового материала (Е(1)/ Е(2)). Это объясняется тем, что с увеличением Е(1)/Е(2) более интенсивно начинает развиваться погранслой в окрестности правой торцевой поверхности, к которой приложена нагрузка. При достаточно «малых» отношениях Е(1)/Е(2) (например, Е(1)/Е(2) = 2.7 в случае композиции Mg-Ti) погранслой в окрестности нагруженной торцевой поверхности развивается слабо и почти не влияет на изменение (снижение) основного напряженно-деформированного состояния в слоях при Н > Нор(, поэтому в таких случаях не наблюдается спад зависимости Р(Н), что и объясняет монотонное возрастание кривой 4 на рис. 5, которая поведением своим схожа с кривой 4 на рис. 4.
Медленный рост кривых 1-3 на рис. 5 при Н > Нт|п вызван тем, что при таких достаточно больших толщи-
нах покрытий происходит стабилизация (с увеличением Н) напряженно-деформированного состояния во всех слоях образца и величина Р возрастает за счет увеличения толщины покрытий. При этом для композиции Mg-B (кривая 2) даже при столь больших толщинах покрытий как Н = 1.5 мм (сопоставимых уже с толщиной базового материала образца) значение Р(Н) (правая точка на кривой 2 рис. 5) существенно меньше значения Р(Нор(), где Нор( = 0.0508 мм, и даже меньше значения Р(0), т.е. меньше несущей способности образца без покрытий.
5. Заключение
Проведенные расчеты и анализ особенностей напряженно-деформированного состояния в образцах с жесткими покрытиями позволили объяснить такие особенности их поведения, как резкое увеличение несущей способности конструкции при нанесении достаточно тонких покрытий (толщиной порядка 0.05-0.2 мм) и незначительное увеличение, а в некоторых случаях и уменьшение несущей способности конструкции при нанесении более толстых покрытий (толщиной порядка
0.4.1.5 мм).
Работа выполнена при финансовой поддержке Президиума СО РАН (Постановление № 54 от 9.02.2006 г., проект № 2.2).
Литература
1. Панин В.Е. Физическая мезомеханика поверхностных слоев твердых тел // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 6. - С. 5-23.
2. Панин С.В., Коваль А.В., Почивалов Ю.И. Особенности разрушения образцов малоуглеродистой стали с боридными слоями различной толщины при одноосном статическом нагружении // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 4. - С. 85-95.
3. Псахье С.Г., Моисеенко Д.Д., Смолин А.Ю., Шилько Е.В., Дмитриев А.И. Исследование особенностей разрушения хрупких керамических покрытий на основе метода подвижных клеточных автоматов // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. - № 2. - С. 95-100.
4. Немировский Ю.В., Мищенко А.В. Влияние выбора материалов и структуры конструкции на пластическое деформирование и разрушение слоистых стержневых систем // Физ. мезомех. - 2004. -Т. 7. - Спец. выпуск. - Ч. 1. - С. 180-183.
5. Панин В.Е., Фомин В.М., ТитовВ.М. Физические принципы мезо-механики приповерхностных слоев и внутренних границ раздела в деформируемом твердом теле // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. -№ 2. - С. 5-14.
6. Панин В.Е., Витязь П.А. Физическая мезомеханика разрушения и износа на поверхностях трения твердых тел // Физ. мезомех. -2002. - Т. 5. - № 1. - С. 5-13.
7. Панин В.Е., Елсукова Т.Ф., Ангелова Г.В. Динамика локализации деформации в поверхностном монокристаллическом слое плоских поликристаллических образцов алюминия при циклическом нагружении // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 4. - С. 79-88.
8. Тушинский Л.И., Плохов А.В., Столбов А.А., Синдеев В.И. Конструкционная прочность композиции основной металл - покрытие. - Новосибирск: Наука, 1996. - 296 с.
9. Горынин Г.Л., НемировскийЮ.В. Пространственные задачи изгиба и кручения слоистых конструкций. Метод асимптотического расщепления. - Новосибирск: Наука, 2004. - 409 с.
10. Демидов С.П. Теория упругости. - М.: Высш. школа, 1979. - 432 с.
11. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. - М.-Л.: ОГИЗ, 1947. -355 с.
12. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. / Под ред. Н. Н. Малинина - М.: Машиностроение, 1988. -272 с.
13. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. - М.: Наука, 1967. - 268 с.
14. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Вариант нелинейной теории упругих многослойных пологих оболочек // Механика композитных материалов. - 1985. - № 5. - С. 856-860.
15. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость и колебания. - Новосибирск: Наука, 2001. - 287 с.
16. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1988. - 334 с.
17. БахваловН.С. Численные методы. Т. I. - М.: Наука, 1973. - 631 с.
18. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. - М.: Физ-матгиз, 1959. - 464 с.
19. Агаловян Л.А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. - М.: Наука, 1997. - 414 с.
20. Композиционные материалы. Справочник. - Киев: Наук. думка, 1985. - 592 с.
21. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. -М.: Машиностроение, 1968. - 400 с.
22. ФеодосьевВ.И. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1986. -516 с.
