Особенности атом-полевого перепутывания в двухфотонных моделях тэвиса-каммингса Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 152, кн. 2

Физико-математические пауки

2010

УДК 535.2

ОСОБЕННОСТИ АТОМ-ПОЛЕВОГО ПЕРЕПУТЫВАНИЯ В ДВУХФОТОННЫХ МОДЕЛЯХ ТЭВИСА — КАММИНГСА

М.С. Русакова, Е.К. Башкиров, Е.Ю. Сочкова

Аннотация

В работе рассмотрены особенности атом-полевого перепутывапия в различных двух-фотоппых моделях Тэвиса Каммипгса с позиций динамики волновой функции и динамики лилейной энтропии для различных чистых начальных состояний атомов и сильного когерентного поля. Найдены выражения для времен восстановления систем в распутанные состояния. Определены начальные чистые состояния атомов, при которых в процессе эволюции происходит «распутывание» состояний подсистем.

Ключевые слова: атом-полевое перепутывапие. липейпая энтропия, время распутывания. динамика волновой функции, двухфотоппая модель Тэвнса Каммипгса, ра-маповское взаимодействие, невырожденное двухфотошгое взаимодействие, вырожденная двухфотоппая модель.

Введение

Одним из наиболее перспективных направлений современной квантовой оптики является исследование свойств перепутанных состояний в атомных системах и способов их генерации. Перепутанные состояния важны в таких областях, как квантовая криптография, физика квантовой информации, квантовые вычисления н связь [1]. Удобной моделью для исследования иерепутывания является модель Джейнса Каммипгса (МДК). а также ее различные обобщения, учитывающие наличие второго атома (модель Тэвиса Каммипгса). многофотонное взаимодействие и т. п. Двухфотонноо взаимодействие в моделях типа МДК играет важную роль благодаря высокой степени корреляции между испущенными фотонами. Для МДК с вырожденным, невырожденным двухфотонным и двухфотонным рамановским взаимодействием были исследованы динамика атомных населенно-стей и статистика поля, сжатие, атом-полевое перепутывапие [2]. Исследование атом-полевого перепутывапия в моделях типа МДК было инициировано работами Феникса и Найта [3] и Ги-Банаклоче [4]. где соответственно с позиций анализа асимптотики вектора состояния системы и анализа энтропии было показано, что па половине времени восстановления осцилляций Раби атомных населенностей в системе возникает распутывание состояний атома и поля. В настоящей работе исследованы свойства атом-полевого перепутывапия в двухфотонных моделях Тэвиса Каммипгса с невырожденными и вырожденными двухфотонными переходами н в модели с невырожденными переходами рамановского типа. Найдены начальные чистые состояния атомов, при которых в системе возможна эволюция с распутыванием состояний атомной и фотонной подсистем, получены аналитические выражения для моментов времени распутывания.

1. Рассматриваемые модели и точное решение уравнения Шредингера для вектора состояния

Рассмотрим процесс атом-полового поропутывания для двухфотонных моделей с невырожденными, вырожденными двухфотонными и невырожденными раманов-скими переходами. Взаимодействие атомов с квантовым электромагнитным полем резонатора в таких моделях соответственно описывается гамильтонианами

2

НпА% =53 ^ Кй7 + (1(2 Д+) ,

3=1 2

НЛАР = Е П9 (а+2 Д7 + а2 Д+) ,

3=1 2

НАТ&П = ^ ^ («+«2^7 + ащ+Д+) ,

3=1

где (ц (а+) - оператор уничтожения (рождения) фотона в г-й моде поля (для вырожденного случая а1 = а2 = а), Д++ _ повышающий (понижающий)

атомный оператор в ^'-м атоме, д^ - константа взаимодействия атомов с г-й модой поля. Для упрощения вычислений положили д1 = д2 = д.

Считая, что атомы в начальный момент времени находятся в суперпозиции состояний

|*>аг(0) = а|+, +> + в|—, -> + 7|+, -> + ¿1-, +>,

где |а|2 + |в|2 + |712 + И2 = 1) а поле в начальный момент времени приготов-

__ й»/2

лоно в когерентном состоянии с весовыми коэффициентами Сп = е 2 —-=,

V п!

для рассматриваемых невырожденных моделей мы нашли точное решение уравнения Шредингера для волновой функции системы в общем виде:

|*>(*) = (*)|+, +> + Бщ (*)|—, —> + Сп, (*)|+, —> + Вп, (*)|—, +>) .

п.

Здесь приняты обозначения nf = П1, П2 для невырожденньж моделей, nf = п для вырожденной модели.

Коэффициенты в выражении для волновой функции для модели с невырожденными двухфотонными переходами рассчитываются как

2а

Аг1П2^) = ^тСП1СП2 ((т + 2)(п2 + 2) + (щ + 1)(и2 + 1)совП^) -

- ^с„1+2с„2+28т2 Щ^л/Ьч + 1)(«2 + 1)(«1 + 2)(п2 +2)-

<1г+(5)еп1+1Сп,+1 втП11л/(п1 + 1)(п2 + 1), \11

ВП1П2(г) = -^СП1_2СП2_2 8 т2 П1П-2{П1 - 1)(??.2 - 1)+

21 ц

г(7 + ¿)

+ ^2Сщ-1Сп2-1 ((«1 - 1)(«2 - 1) +п 1??.2С08^Ы) -

Л ¿о

СП1СП2

1Q¿

СП1П,М = -—Cni_iCn,_i sin ü-it^/nino-

" 3

ф _

~ FTCni + iCn^+i sin Q3(m + 1)(??2 + 1)+

"3

+ т^пг c,l2 ((j - S) + (7 + S) cos Q3t),

1Q¿

DnmAt) = ~ 7Г Cn i -1 C„, -1 sin Q3t y/n i n 2 -

ф _

~ TrCni + l^Wl sin й-^л/(«1 + l)(í?-2 + 1) +

"3

+ \c.ni СП2 {{5 - 7) + (7 + s) cos Q3t),

где введены обозначения

fíi (ft'i, it'2) = V2 у/{П1 + 1){п2 + 1) + («i + 2)(Í?2 + 2) =

= "2(ni + 2, П2 + 2) = "3(ni + 1, П2 + 1).

Для модели с вырожденными двухфотонными переходами решение имеет вид 2а

An{t) = {{п + 3)(гг + 4) + {п + 1)(и + 2) соsffl) -

- j¡¡Cn+4 sin2 ^ v/(" + 1)(« + 2)(« + 3)(w + 4)-

Sin Шу/(и+1)(п + 2),

Bn(t) = -^Cn+4 Sin Qty/(n + 3)(n + 4) + Cn+2 ^7 eos2 ^ - ¿sin2 ^ -

- —Cn sin ttt.y/(n+ !)(»? +2),

Cn{t) = ~Cn sinQt.y/{n + l)(n + 2) - 4 тШ^(п + 3)(п + 4)+

/ 2 "t . 2 "t

+ Cn+2 I ó eos- — - 7 sur —

A>(*) = sin2 ?v/(" + 1)(" + 2)(« + 3)(« + 4)- líI±^C„+2 sin m+

"2 2 "

2в

+ ((n + l)(n + 2) + {n + 3)(n + 4) cosííí).

Здесь приняты обозначения И = у/(п + 1)(гг. + 2) + (п + 3)(п + 4). Для двухатомной модели с невырожденным рамановским взаимодействием коэффициенты не приведены ввиду их громоздкого вида.

2. Эволюция вектора состояния в случае сильного начального когерентного поля

Пусть поло в начальный момент времени приготовлено в когерентном состоянии со средним числом фотонов в моде п ^ 1. В работе далее будет показано, что если атомы приготовлены в некоторой суперпозиции чистых состояний, а поле в когерентном большой интенсивности, то волновая функция полной системы в некоторые моменты времени может быть факторизована.

Найдем асимптотическую эволюцию векторов состояния рассматриваемых моделей Тэвиса Каммингса. Полуклассические гамильтонианы взаимодействия данных коллективных двухфотонных моделей имеют вид:

Щс = Ьд (иМД- + и1и2 Д+ + и*и>2 Д- + и1и2Д+) , н!с = Ьд (и*2ДГ + и2Д+ + и*2д- + и2д+),

яиатап = Ьд (и*и2Д- + Д+ + и*Т2Д- + Д+) .

Собственные значения полуклассического гамильтониана для рассматриваемых моделей есть

1*1> = \ +> + !-->+ ^ (1+, ") + I", +))] ,

|Ф2) = \ [е2,*|+, +) + I", ") " ^ (|+, -) + +))] , |Фз> = [-е2**|+, +) + I", ")] , |Ф4> = [|+, ") " I", +)] •

Здесь < = у>1 + <^>2 для модели с невырожденными двухфотонными переходами, < = <1 — <2 для модели с невырожденными рамановскими переходами (индексы 1 и 2 относятся к начальной фазе поля в соответствующей моде). Для вырожденной двухфотонной модели < = 2^, где < - начальная фаза поля.

Если атомы в начальный момент времени приготовлены в одном из собственных состояний полу классического гамильтониана, а поле в когерентном состоянии большой интенсивности, то волновая функция системы в любые моменты времени может быть представлена произведением волновых функций подсистем. Особый интерес представляют суперпозиции состояний |Ф1> и |Ф2> вида

|Ф5) = е11р(|Ф!> - |Ф2» , |ФВ> = е11р(|Ф!> + |Ф2» .

Если атомы в начальный момент времени приготовлены в одном из приведенных выше супорпозиционных состояний, а поле - в когерентном состоянии большой интенсивности, то для всех рассматриваемых моделей в системе возникает распутывание в определенные моменты времени . Из анализа динамики волновой функции систем можно определить аналитические выражения для моментов времени распутывания:

а = 7гу^(2ш+1) = 41}(2т+1) = г£}(2т+1) Ш5 2д(к+1) Цк+1) 2(А-+1) '

0.6

н 0.5

<

0.4

н 1 0.3

Ti сл 0.2

0.1

[\ Д А д д д Д д А А

1 1 1 1 1

и • V V v » "

10 12 14

gt

Рис. 1. Эволюция .линейной энтропии (черпая кривая) и вероятности обнаружить оба атома в возбужденном состоянии (серая кривая) для двухатомной модели с невырожденными двухфотоппымн переходами для начального атомного состояния и г?1 = пз = 50 (к =1)

Raman dis

г Vk-

T

(1)

2g(k - 1) 2(k - 1)'

где Тд(Тд) — период основных (вспомогательных) осцилляции Раби атомных насе-лонностей. к = пг/по для невырожденных моделей, т = 0,1, 2 ... Стоит отметить, что распутывание для выбранных начальных состояний подсистем в указанные моменты времени для модели с невырожденными рамановскими переходами происходит только для к > 1. Для модели с вырожденными двухфотонными переходами

(3)

в моменты времени = Тдш распутывание возникает для любых чистых

начальных атомных состояний.

3. Динамика линейной энтропии для различных начальных состояний атомов и поля

Выводы о характере динамики поропутывания. сделанные на основании анализа вектора состояния системы, могут быть подтверждены при рассмотрении эволюции линейной атомной энтропии. Для рассматриваемых моделей линейная энтропия редуцированной атомной матрицы плотности имеет вид

5=1 - Тг (р\Т) =

оо \ / оо \ / оо \ / оо

Е Ап, Ап, + Е вп, впА + Е ^ сп , + Е ^ °пА +

Кп, = 0 ) \п, =0 У \п, = 0 у \п, =0

о о о о

+2 Е а™, вп, Е в™,аП/+2 Е , Е сп, +

п, = 0 п, =0 п, = 0 п, = 0

о о о о

+ 2 53 Ап, Сп, Сп, АП, + 2 53 Ап, ^п, АП, +

п, =0 п, = 0 п, = 0 п, = 0

о о о о

+ 2 Е вп, с*ч Е сп,+2 Е вп, Е

з

О

О

О

/У

/У

/У

/У

1

0.8

0.6

1 0.5

з 0.4

н 1 0.3

1

и т 0.2

0.1

4 Е*

а)

б)

Рис. 2. Эволюция линейной энтропии (черпая кривая) и вероятности обнаружить оба атома в возбужденном состоянии (серая кривая) для двухатомной модели с вырожденными двухфотонными переходами для начального атомного состояния: о) |Фз}; б) | + , —} и п = 50

0.7 ^ 0.6 ^ 0.5

Ср

Г 0.4 Н

0.3 ^ 0.2 0.1

I' I' 11

I . и I I

10 12 14

Е*

Е*

б)

Рис. 3. Эволюция линейной энтропии (черпая кривая) и вероятности обнаружить оба атома в возбужденном состоянии (серая кривая) для двухатомной модели с вырожденными двухфотонными переходами для начального атомного состояния и (а) г?1 = пз = 50 (к = 1): (б) П! = 150, п2 = 50 (к = 3)

где п^ = П1, П2 для невырожденных моделей и п^ = п для вырожденной. Значение линейной энтропии Б = 0 соответствует распутанному состоянию, Б = 3/4 — максимальному перспутыванию атомов с полем.

На рис. 1 3 представлена эволюция линейной энтропии для рассматриваемых моделей в случае когерентного начального состояния поля большой интенсивности и различных чистых начальных атомных состояний. Для наглядности на графиках серым цветом приведена вероятность обнаружить оба атома в возбужденном состоянии.

Для двухатомной модели с невырожденными двухфотонными переходами линейная энтропия стремится к нулю в моменты времени, описываемые выражением для ¿П! > чт0 соответствует наличию распутывания состояний в системе (см. рис. 1). Для коллективной модели с вырожденными двухфотонными переходами распутывание наблюдается для любых начальных чистых атомных состояний в моменты времени (рис. 2, б), а для чистых атомных состояний } и |ФВ} график

линейной энтропии демонстрирует наличие трех серий распутываний, соответствующих временам (1), (2) и (3) (рис. 2, о).

В модели Тэвиса Каммингса с невырожденным рамановскнм взаимодействием линейная энтропия не обращается в нуль в случае, когда поле в начальный момент времени приготовлено в когерентном состоянии с равным большим числом фотонов в обеих модах и любых чистых начальных состояний атомов, то есть система после начала эволюции всегда находится в сильно перепутанном состоянии (см. рис. 3. а). Если же атомы приготовлены в одном из состояний ) или |Фв}, то в моменты времени линейная энтропия стремится к нулю, то есть состояния атомов и

поля «распутываются» (рис. 3, б).

Summary

M.S. Rusakova, Е.К. Bashkirov, Е. Yu. Suchkuva. About Atom-Field Entanglement in Two-Photon Tavis Cummings Models.

The characteristic properties of atom-field entanglement in various two-photon Tavis Cummings models are considered both in terms of wave function dynamics and linear entropy dynamics for several initial pure atomic states and a strong coherent field. The expressions for disentanglement times are found for each model. The initial pure atomic states, which are necessary for the disentanglement of subsystem states, are determined.

Key words: atom-field entanglement., linear entropy, disentanglement time, wave function dynamics, two-photon Tavis Cummings model, Raman interaction, nondegenerat.e t.wo-phot.on interaction, degenerate two-photon model.

Литература

1. Баумейстер Д., Экерт Ф., Цайлиигер А. Физика квантовой информации. М.: Пост-маркет, 2002. 376 с.

2. Dell'Anno F., Be Siena S., Illuminati F. Multiphot.on quantum optics and quantum state engineering // Pliys. Rep. 2006. V. 428 P. 53 168.

3. Phoenix S.J.D, Knight P.L. Establishment of an entangled atom-field state in the Jaynes Cumming model // Pliys. Rev. A. 1991. V. 44, No 9. P. 6023 6029.

4. Gea-Banacloche J. Atom- and field-state evolution in the Jaynes Cummings model for large initial fields // Pliys. Rev. A. 1991. V. 44, No 9. P. 5913 5931.

Поступила в редакцию 04.12.09

Русакова Маргарита Сергеевна кандидат физико-математических паук, старший преподаватель кафедры информатики и вычислительной математики Самарского государственного университета.

E-mail: rumaQssu.samara,ru

Вашкиров Евгений Константинович доктор физико-математических паук, профессор кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета.

E-mail: bashQssu.samara.ru

Сочкова Екатерина Юрьевна аспирант кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета.