CC BY
53
Сложные системы, квантовая механика и теория информации
УДК 535.14
АТОМ-ПОЛЕВОЕ ПЕРЕПУТЫВАНИЕ ДЛЯ МОДЕЛИ ДЖЕЙНСА-КАММИНГСА С ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ИНТЕНСИВНОСТИ КОНСТАНТОЙ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Е. К. Башкиров, Е. В. Гришина, Е. Ю. Сочкова
Самарский государственный университет,
Россия, 443011, Самара, ул. Академика Павлова, 1.
E-mails: bash@samsu. com, sochkova-elena@mail .ru
Исследована динамика двухатомной модели Джейнса-Каммингса с зависящей от интенсивности константой атом-полевого взаимодействия на основе анализа линейной атомной энтропии и асимптотического поведения полной волновой функции системы. Показана возможность распутывания состояний атома и поля в процессе эволюции. Вычислены условия и времена такого распутывания.
Ключевые слова: двухатомная модель Джейнса-Каммингса, интенсивность сцепления, атом-полевое перепутывание.
Введение. Квантовые атом-атомные и атом-полевые перепутанные состояния являются основным ресурсом квантовой информатики. Для приложений в физике квантовых вычислений нужны максимально перепутанные чистые состояния с достаточно большим временем жизни [1]. В настоящее время предложены и частично реализованы различные схемы генерации и использования перепутанных состояний. Атом-полевые перепутанные состояния наблюдались в ряде экспериментов с ионами и атомами в магнитных и оптических ловушках [1]. В целом интерес к атомам в резонаторах и ионам в оптических и магнитных ловушках обусловлен возможностью использования таких систем в качестве логических элементов квантовых компьютеров (кубитов). Для теоретического описания таких систем используются модель Джейнса-Каммингса (МДК)и её простейшие обобщения. МДК и её простейшие обобщения играют фундаментальную роль в квантовой оптике, поскольку позволяют описать все основные квантовые эффекты взаимодействия излучения с веществом. В частности, на примере двухатомной МДК можно исследовать особенности атомного перепутывания за счет взаимодействия атомов с различными бозонными полями. В последнее время интерес к одно- и двухатомным МДК особенно возрос в связи с их экспериментальной реализацией на атомах и ионах в резонаторах и ловушках, индивидуальных молекулах в органических кристаллах, искусственных атомах на квантовых точках, сверхпроводящих системах. В реальных условиях квантовые системы всегда взаимодействуют с окружением. Такое взаимодействие обычно приводит к декогерентности, так что исследуемая система эволюционирует в смешанное перепутанное состояние, которое оказывается непригодным для целей
Евгений Константинович Башкиров (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. общей и теоретической физики. Евгения Вячеславовна Гришина, студент, каф. общей и теоретической физики. Елена Юрьевна Сочкова, аспирант, каф. общей и теоретической физики.
квантовых вычислений. Однако даже в отсутствие диссипации возникающие атом-полевые перепутанные состояния оказываются нестабильными. В частности, в случае атомов, взаимодействующих с электромагнитным полем в высокодобротных резонаторах и ловушках, нестабильность атомных перепутанных состояний обусловлена осцилляциями Раби. Для стабилизации пере-путывания предлагалось использовать взаимодействие атомов с окружением специального вида: сжатый вакуум, резонаторы низкой добротности, белый оптический шум и др. Однако такие способы стабилизации в настоящее время представляют чисто теоретический интерес, так как не могут быть реализованы экспериментально. Поэтому с практической точки зрения представляет интерес изучение возможности частичной стабилизации атом-полевого пере-путывания за счет более простых механизмов. В частности, возможность контроля атом-полевого перепутывания за счет неидентичности атомов в случае двухатомной двухфотонной МДК исследовалось нами в работе [4].
Исследование атом-полевого перепутывания для МДК было инициировано Финиксом и Найтом [4] и Геа-Банаклоче [5]. Результаты для одноатомной МДК были позднее обобщены на случай двухатомной и многофотонной МДК с различными типами разрешенных атомных переходов [6—11]. Экспериментально атом-полевое перепутывание наблюдалось как для одного, так и для двух атомов, взаимодействующих с полем в резонаторе, с использованием одноатомного мазера [13-16]. Такой эффект был также реализован для ионов в магнитных ловушках Пауля и спинов в твердых телах [17,18].
Хорошо известно, что в двухфотонных процессах характер взаимодействия атомов с полем сильно зависит от его интенсивности. Нелинейный характер взаимодействия атома с полем в резонаторе наблюдался недавно в работе [19]. В настоящей статье мы исследуем динамику атомной и полевой подсистем и атом-полевое перепутывание в двухатомной МДК с зависящей от интенсивности поля константой атом-фотонного взаимодействия в случае, когда резонаторное поле в начальный момент времени находится в когерентном состоянии с большим средним числом фотонов в моде. Рассмотрение проводится как с помощью анализа асимптотического поведения полной волновой функции системы, так и в рамках концепции линейной атомной энтропии. В результате найдены такие начальные состояния атомной подсистемы, для которых распутывание атом-полевой подсистем наименее вероятно. Проведена также оценка времен распутывания атомов и поля для различных начальных состояний атомов и интенсивного когерентного состояния поля.
1. Модель и её точное решение. Рассмотрим одномодовое поле, резонансно взаимодействующее с двумя идентичными двухуровневыми атомами с константами взаимодействия, зависящими от интенсивности поля. Гамильтониан взаимодействия данной системы можно представить в следующем виде:
2 2
Hint = fbjja+a + Нш ^ of + hg ^ (Va+aa+a~ + <тг+ ал/a+aj . (1)
i= 1 i= 1
Здесь Ш — частота перехода в двухуровневом атоме; a+ (a) — операторы рождения (уничтожения) фотонов в моде; сг+ = |+)й(—| и а~ = | — )й(+| —атомные операторы перехода; af — операторы полуразности населённостей двухуровневых атомов; |—)j и |+)j — основное и возбужденное состояния г-того двухуровневого атома (г = 1,2) соответственно. Константа д с оператором
Vo+o играет роль зависящей от интенсивности поля константы взаимодействия атомом и поля. Приведём значения параметров одноатомного мазера в Париже [13], который использовался для получения атом-полевых перепутанных состояний: ш = 321 ГГц, \ffig = 151 кГц.
Предположим, что атомы в начальный момент времени приготовлены в произвольном чистом состоянии, а поле в - когерентном состоянии. Тогда полная волновая функция атом-полевой системы в начальный момент времени может быть представлена как
|Ф(0)> = (ci| + , +) + C2I + , —) + Сз|—, +) + С41 —, —)) \v), (2)
где Cj, i = 1,2, 3,4 — коэффициенты, удовлетворяющие условию нормировки |ci|2 + |с2|2 + |с3|2 + |с4|2 = 1 и когерентному состоянию
со
и = 5~2Fn\n)•
п=О
Здесь Fn = exp(—п/‘2')5 v = nl/2e%4>\ n = \v\2 — среднее число фотонов
в моде; Lp — фаза моды когерентного резонаторного поля.
Точное решение уравнения Шрёдингера для волновой функции при начальных условиях (2) для модели с гамильтонианом (1) имеет вид
|Ф(^)) = [^1га(£)|+) +; n) + X2n(t)\+, —; П + 1) +
п
+ X3n{t)\—, +; n + 1) + X±n{t)\—, —; п + 2)]. (3)
Здесь
(n + 2)2 + (n + l)2cos(2Qrat) (п + 1) sin(2Qra)
n(t) — 2Q2 С1 п г 2 Q с2-Г»г+1
(п + 1) sin(2Qrat) (n + 1)(п + 2) sin2(Qrat)
^---------сЛ+1-----------------------------сА+2,
^2n(i) = + 1^D('2^ra^ciFra + cos2(Qrat)c2Fra+i-
^ u L
• 2/-Г. ^ Г. (п + 2) sin2(Qrat)
- sin (Qrat)c3Fra+i - г-----------—--------c4Fra+2,
Ld u L
X3n(t) = -г^П + ^ Clj?ra _ Sm2(Qnt)c2Fn+i +
£ i L
^ (n + 2) sin2(Qrat) ^
+ cos (Qnt)c3Fn+i - 1-------------—---------cAFn+2,
(п + 1)(п + 2)8\п2(Пп1) (п + 2)вт(2П^)
Х^) = ----------- ------------ ----£1рп - г -----—-------------с2Рп+1-
(п + 2) зт(2Пп£) (п + I)2 + (п + 2)2 сое2(0га£)
“ ‘-------2^--------"Л+1 +----------------2Щ---------------СА+2’
= ^[2п(п + 3) + 5] /2.
Используя вектор состояния (3), можно вычислить вероятности нахождения обоих атомов в возбужденном, основном состоянии и в любом другом чистом состоянии. Очевидно, что вероятности быстро осциллируют на частотах 20,п и А0,п. Интерференция состояний с различным числом фотонов приводит к восстановлению и распаду осцилляций Раби. Восстановление осцилляций Раби имеет место при условиях
|2Пя+1 - 2Пп\Тт = 2тгк, (4)
|4Пп+1 - 4Г^|Т2д = 27Гш, (5)
где к и т = 0,1, 2,.... Для относительно высокой интенсивности когерентного поля (п 1) формулы (4) и (5) могут быть представлены как дТщ = = ттк и = 7гт/2. Таким образом, для рассматриваемой модели имеются две серии восстановления осцилляций Раби для вероятностей с периода-
ми Тш и Тгд.
2. Эволюция вектора состояния системы. Используя точное решение (3), мы можем провести исследование особенностей атом-полевого перепутыва-ния. Учитывая, что резонаторное поле первоначально приготовлено в когерентном состоянии с высокой интенсивностью, исследуем вначале временное поведение собственных векторов полуклассического гамильтониана взаимодействия. Полуклассический гамильтониан взаимодействия для рассматриваемой модели можно записать в виде
Няс = %М ^ + г>(т+) . (6)
г=1
Собственные значения и собственные векторы гамильтониана (6) следующие:
^1,2 = ±2д|г>|2, Л34 = 0;
1*1> = I [е2,у1+, +) + !-,-> + е*(1+, -> +1- +))],
|3>2> = \ [е2‘”| + , +) + !-,->- е‘» (|+, -> + 1-, +))] ,
1 (7)
|Ф3) = [-е2^|+, +) + |-,-)],
1
1Ф4) = [|+, —) — | —, +)] •
Теперь рассмотрим динамику рассматриваемой модели с гамильтонианом (1) для специальных начальных условий. Пусть атомы в начальный момент времени приготовлены в одном из состояний вида (7), а поле — в когерентном состоянии с большим средним числом фотонов в моде п » 1, т.е.
|Ф(0)) = |Фг)|г>), г = 1,2, 3,4. Используя технику, развитую в [8], можно получить следующие асимптотические формулы:
|Ф1)И^^{е-4^е2^|+,+) + !-,-)+
сю
+ е-2^е-^ (|+,_) + !_,+»} Х ^2Сп\п)е~г2П^, (8)
п=О
|Ф2>И^{е4^е2^|+, +) + !-,-)-
сю
-е2^е-^ (!+,-)-!-,+))} х]Гс»е*2П™*, (9)
п=О
|Ф3)И ->■ |Ф3)И, |Ф4>|^> ->■ |Ф4>|^>, (10)
где 0,п ~ п. Из выражений (8)—(10) видно, что вектор состояния системы для выбранных начальных состояний может быть факторизован для любого момента времени. Это означает, что для таких начальных состояний система находится в чистом распутанном состоянии в любой момент времени. Теперь вернемся к изучению динамики системы с гамильтонианом (1). Особый интерес при этом представляют начальные атомные состояний | Ф1) и | Фг) •
Из (8), (9) видно, что атомная система, в начальный момент времени приготовленная в состоянии | Ф1) или |Фг), ни при каких временах не возвращается в это же чистое состояние. Однако атомные состояния (8) и (9) точно совпадают в моменты времени
Ь = (2к + 1)^, (11)
где к — целое число иТш — один из периодов возрождения осцилляций Раби. В эти моменты времени совпадающее атомное состояние есть
\ {-е“г\+, +> + !-,->- >е2‘” (| + , -> + I- +» } .
Предположим теперь, что состояние атомной системы в начальный момент времени приготовлено В виде линейной суперпозиции СОСТОЯНИЙ | Ф1) И |Фг), такой как А-состояние
1*Ы = ^ (|+, -> +1- +» = (|Ф,> - |Ф2»
или 13-состояние
1»Ь = ^ (е^|+, +> + I- -» = ^ (|Ф1> + |3>2» .
Тогда в моменты времени происходит полное распутывание состояний атомов и когерентного поля. При этом поле в указанные моменты времени является когерентной суперпозицией двух макроскопических состояний, которая обычно носит название «кот Шрёдингера».
Кроме того, легко заметить, что состояния поля в выражениях (8) и (9) точно совпадают (при условии п^> 1) для времён
Ь = къ/2д = кТ2К, к = 1,2,.... (12)
а б
Поведение линейной атомной энтропии для начальных атомных состояний:
а) W2l+>-) +1-> +)> б) 1+> +)> начальное число фотонов п = 30; фаза когерентного состояния ip = 0
В результате для рассматриваемой системы имеются две серии времен распутывания поля и атомов, приготовленных в начальный момент времени в состоянии |Фа) или |Фв).
Из точного выражения для волновой функции (3) можно также легко увидеть, что для любых начальных чистых состояний атомов распутывание состояний атомов и поля имеем место также при условиях
| ^гг+2 — 2lг/l, — 2llk. (1*^)
Для большого числа фотонов в моде п^> 1 уравнения (13) удовлетворяются для времён
*3 = (п/д)к = Тщк, (14)
где к — целое число.
Таким образом, для начальных атомных состояний вида |Фа) или |Фб) имеются две серии времен распутывания, для всех же остальных состояний — всего одна серия. Эти результаты отличаются от тех, что были получены нами ранее для двухатомной вырожденной двухфотонной МДК [8] без учета динамического штарковского сдвига. В указанном случае для 5- и А-состояний наблюдаются три серии времен распутывания и одна серия — для всех остальных состояний.
3. Динамика атомной энтропии для различных начальных состояний атомов и поля. Выводы об особенностях динамики перепутывания в рассматриваемой модели, полученные нами на основе анализа асимптотического поведения пол новой волновой функции, могут быть проверены путем численного моделирования линейной атомной энтропии, которая используется в квантовой информатике в качестве одного из критерия оценки степени перепутанности составных систем. Линейная атомная энтропия определяется как 5 = 1 — Tr (pit) , где pat = Тгр(|Ф)(Ф|). В случае, когда 5 = 0, атом-полевая система находится в распутанном состоянии. Максимальной степени перепутывания соответствует значение 5 = 3/4.
Динамика линейной атомной энтропии 5 представлена на рисунке для различных начальных состояний атома и когерентного поля большой интенсивности. Рисунок а демонстрирует поведение линейной атомной энтропии для случая, когда атомная подсистема в начальный момент времени находится в состоянии 5 (или А). Из рисунка видно, что для рассматриваемых
начальных состояний системы имеются две серии времен распутывания ато-мов и поля. Полученный результат полностью совпадает с тем, что получен в предыдущем разделе (см. формулы (11) и (12)). Таким образом, численное моделирование подтверждает заключения, сделанные на основе анализа асимптотического поведения вектора состояния полной системы. Что касается состояний |+, +) (или | —, —), |+, —) и | —, +)), из рисунка б хорошо видно, что в рассматриваемом случае система обладает всего одной серией времен распутывания состояний атомов и поля. Эти времена хорошо описываются формулой (14). Таким образом, можно видеть, что все результаты, полученные путём численного моделирования, полностью согласуются с результатами, полученными на основе анализа динамики полной волновой функции системы.
Заключение. Итак, мы рассмотрели атом-полевое перепутывание системы двух идентичных двухуровневых атомов, взаимодействующих с когерентным электромагнитным полем, с константой взаимодействия, зависящей от интенсивности поля. Количественная оценка степени перепутывания такой системы проведена на основании как анализа асимптотического поведения атом-полевого вектора состояния, так и линейной атомной энтропии. При этом показано, что вероятность распутывания состояний атомов и поля может быть уменьшена путём подходящего выбора начального состояния атомной подсистемы.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (государственное задание 2.2459.2011).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. М. A. Nielsen, I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge, New York: Cambridge University Press, 2011. xxvi+676 pp.
2. D. Schumacher, M. D. Westmoreland, Quantum Processes, Systems, and Information. Cambridge, New York: Cambridge University Press, 2010. xii+469 pp.
3. E. К. Башкиров, E. Ю. Сочкова, “Перепутывание в двухатомной модели с вырожденными рамановскими переходами”// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. №2(23). С. 135-141. [Е. К. Bashkirov, Е. Yu. Sochkova, “Entanglement in two-atom model with degenerate Raman transitions” // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2011. no. 2(23). Pp. 135-141].
4. S. J. D. Phoenix, P. L. Knight, “Fluctuations and entropy in models of quantum optical resonance” // Ann. Phys., 1988. Vol. 186, no. 2. Pp. 381-407.
5. J. Gea-Banacloche, “Collapse and revival of the state vector in the Jaynes-Cummings model: an example of state preparation by a quantum apparatus” // Phys. Rev. Lett., 1990. Vol. 65, no. 27. Pp. 3385-3388.
6. H. T. Dung, N. D. Huyen, “State evolution in the two-photon atom-field interaction with large initial fields” // Phys. Rev. A, 1994. Vol. 49, no. 1. Pp. 473-480.
7. T. Nasreen, K. Zaheer, “Evolution of wave functions in the two-photon Jaynes-Cummings model: The generation of superpositions of coherent states” // Phys. Rev. A, 1994. Vol. 49, no. 1. Pp. 616-619.
8. I. K. Kudryavtsev, A. Lambrecht, H. Moya-Cess, P. L. Knight, “Cooperativity and entanglement of atom-field states” // J. Mod. Opt., 1993. Vol. 40, no. 8. Pp. 1605-1630.
9. H. T. Dung, N. D. Huyen, “Two atom-single mode radiation field interaction. State evolution, level occupation probabilities and emission spectra” // J. Mod. Opt., 1994. Vol. 41, no. 3. Pp. 453-469.
10. E. K. Bashkirov, M. S. Rusakova, “Atom-field entanglement in two-atom Jaynes-Cummings
model with nondegenerate two-photon transitions” // Opt. Comm,., 2008. Vol. 281, no. 17. Pp. 4380-4386.
11. E. K. Bashkirov, “Entanglement in degenerate two-photon Tavis-Cummings model” // Phys. Scr., 2010. Vol. 82, no. 1, 015401.
12. E. K. Bashkirov, M. S. Rusakova, “Entanglement for two-atom Tavis-Cummings model with degenerate two-photon transitions in the presence of the Stark shift” // Optik, 2012. Vol. 123, no. 19. Pp. 1694-1699.
13. S. Haroche, J.-M. Raimond, Exploring the Quantum. Atoms, Cavities and Photons. Cambridge, New York: Cambridge University Press, 2010. x+605 pp.
14. A. Stute, B. Casabone, P. Schindler, T. Monz, P. O. Schmidt, B. Brandstatter, Т. E. North'up, R. Blatt, “Tunable ion-photon entanglement in an optical cavity” // Nature, 2012. Vol. 485, no. 7399. Pp. 482-485, arXiv: 1301.0275 [quant-ph],
15. L. Li, Y. O. Dud,in, A. Kuzmich, “Entanglement between light and an optical atomic excitation” // Nature, 2013. Vol. 498, no. 7455. Pp. 466-469.
16. A. Rauschenbeutel, G. Nogues, S. Osnaghi, P. Bertet, M. Brune, J.-M. Raimond,
S. Haroche, “Step-by-Step Engineered Multiparticle Entanglement” // Science, 2000. Vol. 288, no. 5473. Pp. 2024-2028.
17. В. B. Blinov, D. L. Moehring, L.-M. Duan, C. Monroe, “Observation of entanglement between a single trapped atom and a single photon” // Nature, 2004. Vol. 428, no. 6979. Pp. 153-157.
18. E. Togan, Y. Chu, A. S. Trifonov, L. Jiang, J. Maze, L. Childress, М. V. C. Dutt, A. S. S0rensen, P. R. Hemmer, A. S. Zibrov, M. D. Lukin, “Quantum entanglement between an optical photon and a solid-state spin qubit” // Nature, 2010. Vol. 466, no. 7307. Pp. 730-734.
19. J. M. Fink, M. Goppl, M. Baur, R. Bianchetti, P. J. Leek, A. Blais, A. Wallraff, “Climbing the Jaynes-Cummings ladder and observing its y7n nonlinearity in a cavity QED system” // Nature, 2008. Vol. 454, no. 7202. Pp. 315-318, arXiv: 0902.1827 [cond-mat.mes-hall].
Поступила в редакцию 13/XI/2012; в окончательном варианте — 17/111/2013.
MSC: 81V80; 94А17
АТОМ-FIELD ENTANGLEMENT FOR JAYNES-CUMMINGS MODEL WITH AN INTENSITY-DEPEND COUPLING
E. K. Bashkirov, E. V. Grishina, E. Yu. Sochkova
Samara State University,
1, Academician Pavlov St., Samara, 443011, Russia.
E-mails: bash@samsu. com, [email protected]
We investigate the evolution of a quantum system described by the two-atom Jaynes-Cummings model with an intensity-dependent couplings by displaying the linear atomic entropy and, the asymptotic behavior of state vector. The possibility of the system being initially in a pure disentangled state to revive into this state during the evolution process is shown. Conditions and, times of disentanglement are derived,.
Key words: two-atom Jaynes-Cummings model, intensity-dependent coupling, atom-field entanglement.
Original article submitted 13/XI/2012; revision submitted 17/111/2013.
Eugene K. Bashkirov (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept, of General and Theoretical Physics. Eugenya V. Grishina, Student, Dept, of General and Theoretical Physics. Elena, Yu. Sochkova, Postgraduate Student, Dept, of General and Theoretical Physics.
