CC BY
27
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 149, ки. 1
Физико-математические пауки
2007
УДК 535.14
ПЕРЕПУТЫВАНИЕ В ДВУХАТОМНОЙ ДВУХФОТОННОЙ НЕВЫРОЖДЕННОЙ МОДЕЛИ ДЖЕЙНСА - КАММИНГС А
М.С. Русакова, Е.К. Башкиров
Аннотация
В работе пайдепа точная волновая функция, получены асимптотические решения для векторов состояний систем в приближении сильного поля для двухатомной модели с невырожденным двухфотоппым взаимодействием. Описана динамика редуцированной энтропии для различных начальных состояний атомов и когерентного начального состояния поля, сделаны выводы о свойствах атомпо-полевого перепутывапия. Показано существование возможности восстановления системы, приготовленной вначале в чистом пеперепуташгом состоянии, в дашгое состояние в процессе эволюции.
Введение
В современной квантовой физике многие из наиболее важных концептуальных проблем связаны с изучением так называемых перепутанных состояний ("entangled states"). Перепутанные состояния играют основополагающую роль в квантовой криптографии, квантовой теории информации, физике квантовых вычислений [1]. Изолированную контролируемую квантово-механическую систему, удобную для генерации и исследования свойств перепутанных состояний, представляет собой резо-наторная электродинамика: атом, связанный с модой квантового электромагнитного поля через дипольное взаимодействие в высокодобротном резонаторе. Простейшим примером такой системы может служить модель Джейнса Каммингса (МДК). используя обобщения которой, можно исследовать как атомно-полевое. так и атом-атомное перепутывание. Для оценки степени перепутывапия состояний атомной и полевой подсистем, приготовленных в начальный момент в чистом состоянии, может быть использована редуцированная энтропия атомной (или полевой) подсистемы [2]. Эволюция редуцированной энтропии одной из подсистем отражает временное поведение степени перепутывапия состояний, при этом большие значения энтропии соответствуют большему перепутывапию.
Нами была ранее исследована динамика энтропии двухмодовой модели трехуровневого атома лестничного типа [3]. двухуровневого атома с мультиплетными переходами в резонаторе с расстройкой [4]. В продолжение начатых исследований в данной работе была поставлена задача исследовать динамику редуцированной энтропии атомной подсистемы для обобщения МДК двухатомной модели с невырожденными двухфотонными переходами. В п. 1 описана рассматриваемая модель и найдена точная волновая функция системы. В п. 2 получены асимптотические разложения для вектора состояния системы в приближении сильного поля. В п. 3 описана динамика редуцированной энтропии для различных начальных состояний атомов и когерентного начального состояния поля, сделаны выводы о свойствах атомно-полсвого перепутывапия в системе.
1. Описание модели. Точное решение уравнения Шредингера для волновой функции системы
Двухатомная модель с невырожденными двухфотонными переходами может быть описана при помощи гамильтониана взаимодействия
Hint = hg (a+a+Rj + aia2R+) , j=i
где приняты стандартные обозначения (см. рис. 1). Для простоты мы положили константы диполь-фотонного взаимодействия равными друг другу g1 = g2 = g.
ш1
ы2
W.,
ш2
l+>
В
Hi
Рис. 1. Схема разрешенных переходов в двухатомной модели с невырожденным двухфо-тонным взаимодействием
В предположении, что атомы в начальный момент времени находятся в некой суперпозиции атомных состояний, а поле в когерентном состоянии, полная волновая функция системы атом — поле может быть представлена в виде
то то
|Ф(0)> = (а|+, +> + в|- - + Y|+, -> + SI-, +>) £ ]Т CniCn2 Ы|п2>,
n 1=0 П2=0
Y¡n/2 ^
Сп = exp(-ñ/2). vn!
Точное решение уравнения Шредингера для волновой функции и для данного начального состояния системы, таким образом, принимает вид
|Ф(í)> = V (A П1П2 (t)I+, +> + B ni П2 (t)I-, -> + Cnin2(t)I + ,-> + D П1П2 (t)|-, +>).
ni,n-2
Здесь
Anin2 (t) = щСП1 СП2 ((m + 2) (n2 + 2) + (m + 1) (n2 + 1) COS Oit) -
щСП1+2СП2+ 2 sin2 + 1) (n2 + 1) (ni + 2) (п2 + 2) -
i-^—Cn1 + lCn2 + 1 sin Íííty/in! + 1) (n2 + 1),
Sil
Вп
,(*) =
4а 2в,
2 (??1 - 1) (п2 - 1) +
+ ^2-СП1_1СП2_1 ((??! - 1) {по - 1) + П1П0 СОв^Ы) -
7 + 6 _
- г ——Сщс„, эт ^л/пщо, "2
"3
р _
*7Г1 +1 Сп->+1 Бт V7(«1 + 1) («2 + 1) + "3
\сп1сп.2 ((у - 6) + (7 + 6) совП3г),
(У. _
Ацп, (*) = -г—СП1_1СП,_1 эт П-^^ирго -
"3
[3 _
- «тгСп 1 +1 С«,+1 вт V(«1 + 1) (п2 + 1) +
"3
1
СП1СП2 ((6 - 7) + (7 + 5) сов "з*),
где введены обозначения
= л/2л/("-1 + 1) («2 + 1) + ("1 + 2) (п2 + 2) =
= "2(п1 + 2, П2 + 2) = "з(щ + 1, П2 + 1).
Как видно, в общем случае волновая функция системы не может быть представлена в виде произведения векторов состояний атомной и полевой частей, что означает существование атомно-полевого перепутывання. При помощи данного точного решения для волновой функции системы можно построить редуцированную матрицу плотности системы, если взять след по полевым переменным от выражения |Ф(£))(Ф(£)|. Таким образом, зная точное выражение для волновой функции рассматриваемой системы, мы можем получить точное выражение для параметра атомно-полевого перепутывання в системе, провести оценку степени перепутывання. а также исследовать возможности и условия распутывания системы в начальное чистое неперепутанное состояние.
2. Эволюция вектора состояния системы
В п. 1 было найдено точное решение уравнения Шредннгера для волновой
функции рассматриваемой системы. Однако, если в начальный момент времени
интенсивность электромагнитного поля достаточно высока, то в системе можно
наблюдать так называемое распутывание или возвращение к непереиутанному первоначальному состоянию. В связи с этим представляет интерес исследовать поведение вектора состояния системы в случае сильного когерентного поля.
Как уже упоминалось выше, если в начальный момент времени система была приготовлена в чистом неперепутанном состоянии, то эволюция волновой функции может происходить таким образом, что в определенные моменты времени система восстанавливается в данное чистое неперепутанное состояние. В эти моменты времени вектор состояния системы будет представлен в виде произведения векторов
состояний атомной и половой подсистем. В качестве таких начальных состояний атомной подсистемы могут выступать собственные значения полуклассического га-
мильтониана взаимодействия Не = % (и*и* Д- + и 1 и>2 Д+ + и*и* Д- + и^и^Д
|Ф 1 > = 1*2> =
1 + , +> + 1-, -> +'
¿(^1+^2)
1+, +> + 1-, ->- е
¿(^1+^2)
I
(1 + , -> + |-, +>)
(1 + , -> + |-, +>)
1
|+,+> + !-,-> , |Ф4> = [|+,->-!-+>]•
Если атомы в начальный момент времени будут находиться в одном из данных собственных состояний полу классического гамильтониана, а поле в начальный момент времени в когерентном состоянии большой интенсивности, то эволюция вектора состояния такой системы будет описываться следующей асимптотикой:
|Ф 1 >|и>
1
СтСпа И>|гг2>е-2<»*ОТ4е^х
П1 ,"2=0
|Ф2>|и>
|Фз>|и>
2 X х
П1 ,П2=0
|Фз> |и>, |Ф4>|и> ^ |Ф4>|и>.
Как следует из данных выражений, в процессе эволюции вектор состояния данной системы может быть факторизован в любой момент времени. Это означает, что система при рассматриваемых условиях находится в чистом нопоропутанном состоянии в любой момент времени. Для последних двух собственных состояний полуклассического гамильтониана видно, что вектор состояния не эволюционирует с течением времени, и. соответственно, никакого атомно-полового поропутывания при данных начальных условиях в системе не возникает.
—>
3. Динамика редуцированной энтропии атомной подсистемы для различных начальных состояний атомов и поля
В качестве критерия степени поропутывания для систем, состоящих из двух подсистем н приготовленных в чистом состоянии, может быть выбрана линейная энтропия редуцированной атомной (или полевой) матрицы плотности. Линейная энтропия редуцированной матрицы плотности атомной подсистемы для рассматриваемой модели имеет вид:
5
1 - Тг (р\т) = 1 -
Е
V"! ,"2 = 0
АП1П2 А„1П2
+
Е
,"2=0
В"1"2 В„1П2 +
+
Е
,"2=0
С"1"2 СП1П2
+
Е
У"1,"2=0
П*
"1"2 ПП1П2
2
+
2
2
2
94
М.С. РУСАКОВА, Е.К. БАНКИРОВ
0 * 0
7 6 5 0.4
Л А
и] У 11- -М- 1 1-Ц- У-У-
2 4 6 8 10 12 14
<N1
3 Н
1
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4
б)
\1 1
Ц/ \/
и!
-У.
и
и
у
2 4 6 8 10 12 14 gt
Рис. 2. Эволюция Тг (рАт) для сиданого когерентного поля ((тех) = (п2) = 50) и началь-
ных состояний атомов ^ (| + , —} + | —, +}) (а) и
1_ 2г(^1+<^2)
(1 + , +) + 1-, -))
ОС
+ 2 53 Втп2 53 АП1П2 +
П1,П2 = 0 П1,П2 = 0
^ ОО
+ 2 53 С"1"2 СП1П2 +
П1,П2 = 0 П1,П2=0
+ 2 53 А"1"2 Сп1п2 53 С"1"2 АП1П2 +
1 2 1 2 п1 ,п 2 = 0 П1,П2=0
+ 2 Е 1"2 Вп£ 1"2 Ап1П2 +
п1 ,п 2 = 0 П1 ,п 2 = 0
^ ОО
+ 2 £ Вп 1П 2 Сп1п2 53 Сп 1П2 Вп1п2 + П1 ,П 2 = 0 п1 ,п 2=0
+ ^53 Вп 1п 2 ВП 1п2 Вп 1п 2 В п1п2
п1 ,п 2 = 0 п1 ,п 2 =0
где коэффициенты Ап 1п2, Вп 1п2, Сп 1п2, Вп 1п2 получены в п. 1. При этом значение линейной энтропии, равное 0, соответствует полностью неперепутанному состоянию, а значение, равное 3/4, - максимально перепутанному состоянию.
Если атомная система в начальный момент времени приготовлена в одном из собственных состояний полуклассического гамильтониана либо в суперпозиции таких состояний, то существуют возможные пути эволюции энтропии, когда система периодически возвращается в чистое неперепутанное состояние либо когда система не эволюционирует вовсе, и перепутанные состояния не возникают вовсе. На графиках представлена эволюция величины Тг (р\т) для различных начальных состояний атомов и когерентного начального состояния поля большой интенсивности ((«4} = («.2} = 50, все величоны представлены в относительных единицах константы связи д). Значению Тг (р\т) = 1 на графике соответствует неперепутанное состояние атомио-полевой системы, соответственно, чем ближе значение 1/4
подсистем друг с другом.
Рис. 2, а, б демонстрируют возможность периодического возвращения системы в чистое неперепутанное состояние. Этим моментам времени на графике соответ-
2 4 6 8 10 12 14 gt
б)
1
_ 0.98 % 0.96
3 Н
0.94 0.92
ж i\A/ М/ Wf fW\ m\ ГШ vw
! 1
10 15 20 25 30 35 40 gt
Рис. 3. Эволюция Тг (рАт) для сиданого когерентного поля ((тех) = (п2) = 50) и начальных состояний атомов | + , +} (о) и |Ф3} (б)
ствуют значения Тг (р\т) > близкие к единице. Характер поведения - строго периодический. при этом в системе создается перепутывание (степень которого близка к 70%), которое периодически сменяется практически полным восстановлением системы в первоначальное чистое иеперепутапиое состояние. Рис. 3. б иллюстрирует вариант поведения системы, когда вектор состояния можно считать практически неизменным с течением времени (система все время остается в чистом неперепу-танном состоянии). Данный результат иллюстрирует выводы, сделанные на основе анализа динамики асимптотики вектора состояния |Ф3), и подтверждает их. И, наконец. на рис. 3. а представлена ситуация, когда атомы приготовлены в начальный момент времени в чистом состоянии вида |+, +). Вектор состояния такой системы не демонстрирует восстановления до начального значения ни для каких моментов времени, система переходит в перепутанное состояние. Максимальная степень пе-реиутывания в данном случае достигает ~ 80%, система периодически частично распутывается, достигая величины переиутывания порядка 35%.
Заключение
Атомно-полевое перепутывание в рассматриваемой системе может быть разрушено в процессе эволюции системы. При этом, если система находилась в начальный момент времени в чистом неперепутанном состоянии, процесс «распутывания» может носить периодический характер, а система в данные моменты времени может возвращаться в начальное состояние. В работе найдены такие начальные условия, которые приводят к подобной эволюции системы. Получены точные и асимптотические выражения для векторов состояния системы, на их основе построено выражение для линейной энтропии редуцированной атомной матрицы плотности как критерия степени перепутывання. Проведена оценка степени перепутывання, возникающего в системе.
Summary
M.S. Rusakuva, E.K. Bashkirov. Entanglement, in the two-atom t.wo-phot.ou nondegenerat.e Jaynes Cummings model.
The exact wave function is found in t.lie work, the asymptotic solutions for system state vectors are obtained in the approximation of strong field for two-atom model with nondegenerat.e t.wo-phot.ou interaction. The reduced entropy dynamics is described for various initial atomic states and coherent, field input., some conclusions about, atom-field entanglement, are made. We also show the possibility for the system being initially in the pure nonent.angled state to revive into this state during the evolution process.
Литература
1. Бауместер Д., Эксрт Ф., Цайлиигср А. Физика квантовой информации. М.: Пост-маркет. 2002. 376 с.
2. Gea-Banacloche J. Atom- and field-state evolution in the Jaynes Cummings model for large initial fields // Pliys. Rev A. 1991. V. 44. P. 5913 5931.
3. Багитроо E.K., Русакова М.С. Перепутанные состояния в системе трехуровневого атома Н-типа, взаимодействующего с квантовым электромагнитным полем // Физика волновых процессов. 2006. Л' 9. С. 4 10.
4. Багитроо Е.К., Русакова М.С. Перепутанные состояния и эволюция энтропии в мпо-гофотоппой модели Джейпса Каммипгса // Концепции симметрии и фундаментальных полей в квантовой физике XXI века. Самара: Упиверс-групп. 2005. С. 94 96.
Поступила в редакцию 12.01.07
Русакова Маргарита Сергеевна аспирант кафедры оптики и спектроскопии Самарского государственного университета.
E-mail: rumaQssu.samara.ru
Вашкиров Евгений Константинович доктор физико-математических паук, профессор кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета.
E-mail: bashQssu.samara.ru
