Основы оценок остаточного ресурса изделий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-192

Г. С. С а д ы х о в, В. П. С а в ч е н к о, О. В. Е л и с е е в а

ОСНОВЫ ОЦЕНОК ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА

ИЗДЕЛИЙ*

Изложены фундаментальные основы расчета и оценок количественных показателей остаточного ресурса изделии.

E-mail: gsadykhov@gmail.com

Ключевые слова: остаточный ресурс, средний остаточный ресурс, гамма-процентный остаточный ресурс, остаточный дискретный ресурс, средний остаточный дискретный ресурс.

Предварительные сведения об остаточном ресурсе. В процессе эксплуатации технические изделия подразделяются на невосстанав-ливаемые и восстанавливаемые.

Пусть Z— наработка до отказа невосстанавливаемого изделия. Под остаточным ресурсом сверх времени т будем понимать наработку изделия начиная с момента т до перехода его в предельное состояние при установленных режимах применения и условия эксплуатации.

Обозначив значение остаточного ресурса через ZT, согласно определению, получим

Z = С - T|Z > т.

Величина ZT — условная и случайная. Определим показатель «средний остаточный ресурс» [1]

R (т) = M [Z ], (1)

где M[] — математическое ожидание величины, находящейся внутри квадратных скобок.

При т = 0 значение R(0) совпадает с классическим показателем «средний ресурс» r, т. е.

R (0) = r = M [Z].

Аналогичным образом определяются показатели «средний остаточный срок службы» и «средний остаточный срок сохраняемости».

Точно так же определяются показатели остаточного времени жизни для восстанавливаемых изделий. Так, «средний остаточный ресурс» р(т) сверх времени т определяется согласно формуле (1), где величина С,т выражает наработку восстанавливаемого изделия от момента т до следующего очередного момента отказа [2]. При этом до момента т могут быть отказы у изделия, которые к моменту времени т,

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 10-08-00607-а).

по предположению, должны быть устранены. Поскольку время восстановления, как правило, мало по сравнению со временем жизни, то для простоты дальнейших рассуждений считаем, что восстановление изделия происходит мгновенно. Следовательно, в соотношении

р(т) = М[Ст = с-т |с >Т] (2)

величина £ описывает не только наработку, но и процесс восстановления. Методы оценки среднего остаточного ресурса для восстанавливаемых изделий отличаются от методов для невосстанавливаемых.

Отметим еще один класс изделий типа реле, переключателей, контакторов, излучателей, коммутаторов сигналов, ламп сигнализации и т. п., ресурс которых определяют по предельному числу безотказных срабатываний (коммутаций, переключений, импульсов, вспышек и т. п.). Для такого класса изделий ресурс является дискретным в отличие от рассмотренного выше непрерывного случая.

Пусть предельное состояние такого рода изделий определяется некоторым числом срабатываний, после которого изделие не используется по назначению, т. е. £ — число срабатываний, при котором происходит отказ изделия.

Под остаточным дискретным ресурсом после определенного числа безотказных срабатываний к будем понимать число срабатываний изделия до отказа при установленных режимах применения и условиях эксплуатации, следовательно, остаточный дискретный ресурс

Ск = С - к,

где С $ к + 1.

Заметим, что — условная и случайная величина, и ее не следует путать с безусловной, равной £ - к.

Определим показатель «средний остаточный дискретный ресурс» г (к) после к срабатываний по формуле [3]:

г (к ) = М [Ск ].

В частности, при к = 0 имеем

г(0) = Р,

где р = М[£] — среднее число безотказных срабатываний.

Характеристики дискретного ресурса отличны от характеристик непрерывного ресурса, поэтому методы оценки дискретного ресурса также отличны, хотя и где-то аналогичны.

Средний остаточный ресурс. В работе [1] приведено следующее соотношение для показателя (1):

1 ~

т=рт) | р( х ж (3)

доказательство которого приведено в [2]. Здесь Р() — вероятность безотказной работы изделия в течение времени, указанного внутри скобок.

Соотношение (3) позволяет рассчитывать показатель «средний остаточный ресурс» сверх времени т для невосстанавливаемых изделий при заданном законе распределения ресурса. Так, для экспоненциального закона распределения ресурса при Р(х) = в~Ях (Я > 0 — постоянная), согласно (3),

Л(1)=г

Правая часть последнего выражения не зависит от т. Можно показать, что это верно только для экспоненциального закона, поскольку показатель Я(т) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению [5]:

Я'(т) = А(т) Я(г) -1, (4)

Р'(т)

где А(т) =--^^ — интенсивность отказов; Р(т) — вероятность безотказной работы изделия в течение времени т.

Приведем основополагающее соотношение для показателя «средний остаточный дискретный ресурс» г(к) после к безотказных срабатываний [3]:

1 ~

г (к) =---У Рг(£ > к + т),

Рг(с > к+1) т=1 ^ Л

где Рг() — вероятность события, заключенного внутри скобок.

Эта формула позволяет рассчитывать средний остаточный дискретный ресурс, если известен закон распределения числа срабатываний £ до отказа согласно определенной модели. Например, если число срабатываний до отказа £ имеет геометрическое распределение [6], т. е.

Рг(С = р"~1ч); п = 1,2,... ,

здесь р — вероятность безотказности одного срабатывания (0 < р < 1, q = 1 - р), то получим [3]

г (к) = 1; к = 0,1,2,...

q

Правая часть не зависит от числа предшествующих к безотказных срабатываний. В [3] доказано, что это справедливо только для геометрического распределения. Такой вывод следует из соотношения

г (к +1) - г(к) = ¡л(к + 1)г (г +1) -1,

Рг(С = к +1) ,

где ц(к +1) = ——--; к = 0,1,2,... — интенсивность отказов для

Рг(С > к +1) дискретного ресурса £ [7].

Приведем следующее основополагающее соотношение для показателя (2), доказательство которого приведено в [8]:

р(т) = (1 + й(г) )г-т, (5)

где г — средняя наработка между соседними отказами восстанавливаемого изделия; й(т) = | ю^ — среднее число восстановлений из-

делия в течение времени т; ю^) = /(^) +1 ю(х)/(^ - х— параметр

0

потока отказов; /— плотность распределения наработок между соседними отказами.

Если закон распределения наработок экспоненциальный, т. е. /^) = Яв~А, то ш(^) / Я, откуда ^(т) = Ат. Здесь Я > 0 — постоянная. Подставив полученное в (5), имеем

р(т) 5 Р

поскольку для этого закона г = —. Правая часть не зависит от т. Ис-

Я

пользуя соотношение

р'(т) = гю(т) -1, (6)

вытекающее из (5), делаем следующее заключение: только для экспоненциального закона правая часть не зависит от т.

Гарантированные оценки для среднего остаточного ресурса.

Пусть а(т) — некоторый показатель ресурса. Оценки вида а(т) < < а(т); а(т) > а(т) назовем гарантированными. Оценка а(т) «оптимистическая», поскольку она завышает надежность, а оценка а(т) — пессимистическая, так как она занижает.

Считаем, что оценки а(т) и а(т) достижимы, если существуют такие распределения вероятностей ресурса, когда соответственно а(т) = = а(т) или а(т) = а(т).

Используя (3), легко доказать следующую гарантированную оценку для показателя (1):

Я(т) > г - т. (7)

Справа имеем «остаточный средний ресурс» сверх времени т, слева «средний остаточный ресурс». В [9] доказано, что оценка (7) достижима тогда и только тогда, когда

Р^) = 1 пр и 0 < I < т. (8)

Следовательно, если не выполняется соотношение (8), то имеет место строгое неравенство

Я(т) > г - т.

В [10] приведен пример, когда значение Я(т) значительно превышает правую часть (7).

Аналогичная ситуация наблюдается и для дискретного ресурса, а именно: для показателей «средний остаточный дискретный ресурс» г(к) после к срабатываний и «средний ресурс» р имеет место следующее соотношение:

г (к) = р - к. (9)

При этом знак равенства достигается тогда и только тогда, когда [10]:

Рг(£ < к) = 0.

Из (5) следует оценка

р(т) > г - т. (10)

Оценки (8), (9) и (10) показывают, что «средний остаточный ресурс» и «остаточный средний ресурс» — характеристики разные. Для оценки остаточного ресурса «остаточный средний ресурс» как показатель не годится, так как при т > г правые части оценок (7) и (10) и при к > т правая часть оценки (9) теряют смысл.

Поскольку для «стареющих» изделий (т. е. для изделий, которые имеют монотонно возрастающую интенсивность отказов) справедливо соотношение [11]: Я(т) <—1—, то из (4) имеем

А(т)

Я'(т) < 0. (11)

Следовательно, для таких изделий показатель Я(т), согласно (11), монотонно убывает. Откуда имеем следующую гарантированную оценку:

Я(т) > Я(т0), т < т (12)

Соотношение (12) позволяет оценивать средний остаточный ресурс Я(т) сверх времени т через его значение более позднего времени т0, т. е. оценка (12) имеет ретроспективный характер, так как значение

более позднего периода времени оценивает значение более раннего промежутка времени.

Асимптотическое поведение показателей остаточного ресурса.

В процессе эксплуатации изделий иной раз трудно установить число срабатываний к, сверх которого необходимо рассчитывать средний остаточный ресурс, поскольку это значение бывает, как правило, очень велико. Таким образом, возникает вопрос о характере поведения показателя «средний остаточный дискретный ресурс» сверх к срабатываний при больших значениях к.

В этой связи в [12] доказано, что

lim г (к) = -L (13)

M

где M = lim ¡л(к); ¡л(к) — интенсивность отказов.

к^ж

Из (13)следует

г (к) « — при к ^ ж.

M

Аналогичным образом в [13] доказано, что

lim R(t) = -1, (14)

L

где L = lim А(т); А(т) — интенсивность отказов для изделий с непре-

рывным ресурсом. Из (14)следует

R(t) «1 при т ^ж.

Для восстанавливаемых изделий, используя соотношение [2]

lim

Q(t) -1

г

2 2 с — г

получим, согласно (5), следующее соотношение:

2г2

2 , 2 с + г

limр(т) -, (15)

т^ж 2г

где о2 — дисперсия наработок между соседними отказами.

Например, для пуассоновского потока отказов из (15) имеем

limр(т) = г. Для произвольного закона при больших значениях т, согласно (15), запишем асимптотическую оценку

2 , 2 / ч С + г

р(т) —; т > то.

2г

Точечные оценки для показателей среднего остаточного ресурса. Из (1) следует, что в качестве точечной оценки показателя Я (т) служит величина

1 п-к —

п-к

/ 2 ь т

(16)

где С,^ = ^ - т; ^ > т — наработка до отказа /-го изделия; к — число отказавших однотипных изделий в течение времени т из всех наблюдаемых в количестве п. В [14] доказано, что

M[Rn(t)] = Kn(t)R(r),

где Кп(т) = 1 - (1 - Р(т))п; Р(т) — вероятность безотказной работы исследуемого изделия в течение времени т; М[.] — математическое ожидание выражения, находящегося внутри скобок.

Видно, что оценка (16) смещенная при т > 0, если Р(т) Ф 1. При т = 0 оценка несмещенная, поскольку Кп(0) = 1. Для т > 0 используют следующую точечную оценку:

(17)

Очевидно, что Яп(т) не смещена, поскольку, согласно (16), имеем МЯп(т)] = Яп(т). В [15] показано, что оценки (16) и (17) состоятель-

{р) >Я(т) и Д,(т)—при п^оо до вероят-

ны, т. е. ясности Р.

Аналогичным образом можно установить, что несмещенной точечной оценкой показателя «средний остаточный дискретный ресурс» г (к) после к срабатываний служит величина [16]

(18)

где п — общее число однотипных исследуемых изделий от начала наблюдений; т — число отказавших изделий при их срабатывании до к(т < п);

£к0 = - к при £ > к +1.

Здесь — число срабатываний до отказа /-го изделия; а( п, к) = = 1 - (1 - Рк)п; Р — вероятность безотказной работы изделия при одном срабатывании.

Поскольку для показателя р(т), определенного соотношением (5),

характеристики ^(т) и г — классические, то точечная оценка р(т)

Л Л

выражается через соответствующие точечные оценки г и ^(т), т. е.

уЗ(г) = (1 + 0(г))Я-г.

Доверительные оценки для показателей среднего остаточного ресурса. При малых значениях п степень доверия к точечным оценкам среднего остаточного ресурса уменьшается, поэтому в этом случае необходимо использовать доверительные оценки. Приведем нижнюю доверительную оценку для показателя «средний остаточный ресурс» Я(т), установленную в [14] при заданном уровне вероятности р (0 <р < 1) и любом законе распределения ресурса, которая определяется по следующей формуле:

Р

R (t ,t, n) = R0(t ,t, n) - a(zt (t)) j-

\

1 +-L -1

n P (t)

(19)

Ro(t,T,n) = -Ц- £ZT')(t) пр и k < n, (20)

n - k 7=i

где

ZT' )(t)

(хI -т, е сли отказ произошел на интервале (т,т + X); [ X, ес л и не было отказа н а этом инт ер в але;

(у(Ст (X)) — среднеквадратическое отклонение величины £т( X);

[С -т, е с л и о тк азыв ает из д е л и е на интерв ал е (т,т + X); т [ X, е сли н е т о тказ а н а э том интер в ал е;

к — число изделий, отказавших до времени т из общего числа п с начала наблюдения. Из (19) видно, что

Я(~,0, п) = Яо(п)-Л ~~ ( при т = 0 и X (21)

V 1 - р <п

где а— среднеквадратическое отклонение величины согласно (20), значение

1 п

*0( п) = . (22)

п ¡-1

Заметим, что если величина ресурса £ распределена по нормальному закону, то, как известно, нижняя доверительная граница показателя «средний ресурс» Я определяется по следующей формуле [17]:

R(n) = Ro(n) - up , (23)

\Jn

где значение R0(n) найдено согласно (22); up — квантиль стандартного нормального распределения при заданном уровне вероятности p; а— среднеквадратическое отклонение величины Z

Отличие (21) и (23) состоит в том, что оценка (22) верна для любого закона распределения ресурса, в то время как оценка (23) — лишь для нормального закона.

Следовательно, оценку (23) можно рассматривать как обобщение оценки (22), кроме того, легко заметить, что выполняется следующее соотношение:

lim R (n) = 1.

R(n)

Отсюда следует, что нижнюю доверительную оценку для показателя R(t), определенную (22), нельзя улучшить при больших n.

Можно показать, что если интенсивность отказов ¡и (n) как функция от целочисленного аргумента n монотонно растет, то при больших значениях n нижней доверительной границей при заданной вероятности p > - для показателя «средний остаточный дискретный ресурс» r(k) сверх k срабатываний служит величина [18]

где г(т)(к) определено соотношением (18); хр — число, значение которого находится из следующего выражения для интеграла Лапласа:

1 х ^

Ф(х) = р - 0,5 = е 2йг;

л/2п 0

т — число изделий, отказавших до к срабатываний из общего числа п от начала наблюдения.

Точно так же, как и для точечной оценки показателя р(т), определенного выражением (5), нижней доверительной границей показателя р(т) служит величина

Рр(т) = г_р (1 + ар(т))-т,

где -г р — нижняя доверительная граница средней наработки между соседними отказами при доверительной вероятности 0 < р < 1;

^ р (т) — аналогичная оценка для среднего числа отказов до момента времени т.

Гамма-процентный остаточный ресурс. В некоторых случаях появляется возможность довести определенное количество изделий до предельного состояния из определенного числа выделенных для этой цели изделий. В таких случаях для оценки остаточного ресурса изделий целесообразным оказывается использовать показатель «гамма-процентный остаточный ресурс», который введен в [18] и определяется из уравнения

Р (т + X) у

—-- = — (24)

Р(т) 100 У }

как решение его относительно X = Т^(т) при заданном значении у(0 < у < 100) процентов. Здесь Р( ) — вероятность безотказной работы объекта в течение указанного времени.

Если соотношению (24) удовлетворяет не одно значение X, то в качестве показателя Т^(т) выбираем наибольшее. Из определения показателя следует, что Т^(т) > 0.

Очевидно, что традиционный показатель «гамма-процентный ресурс» Ху является частным случаем показателя Т^(т), поскольку Т^(0) = Х^.

Показатель «гамма-процентный остаточный ресурс» Т^(т) не следует путать с величиной «остаточный гамма-процентный ресурс», значение которого определяется как разность X^ - т, так как между ними имеется следующее соотношение [19]:

ТДт) > Xr - т. (25)

При этом оценка (25) достижима только тогда, когда Р^) / 0 при X е [0,т).

Легко убедиться в том, что для экспоненциального закона распределения ресурса при любом значении 0 < т < ~ выполняется соотношение ТДт) / X поскольку Р(х) = ехр(-Ах), где Л > 0 — постоянная интенсивность отказов.

Можно доказать, что «гамма-процентный остаточный ресурс» совпадает с «гамма-процентным ресурсом» только тогда, когда распределение ресурса имеет экспоненциальный закон распределения.

В [20] установлено, что

Ш. = /<т> 1, (26)

дт Х(т + ТДт))

где Л() — интенсивность отказов в момент времени, значение которого указано внутри скобок.

Из (26) следует, что если интенсивность отказов монотонно растет, то показатель Т^(т) как функция времени т монотонно убывает, так как

в этом случае Т'(т) < 0. Следовательно, для такого класса изделий имеем

гх

следующую гарантированную оценку:

Т(т) > ТД^) при т < т0. (27)

В частности, Ту(т0) < XJ пр и т > 0.

Аналогично для изделий с монотонно убывающей функцией интенсивности отказов показатель ТДт) как функция времени т монотонно растет, поскольку ТДт) > 0, и, в частности, для этих изделий

справедливо соотношение Ту(т) > XY при т > 0. Поэтому для класса

изделий с монотонно убывающей интенсивностью отказов имеем гарантированную оценку (27) с той лишь разницей, что здесь т > т0.

Легко заметить связь между последними выводами и оценками, сделанными в начале главы, поскольку, как показано в [21], существует

такое значение у0, при котором Т^ (т) = Я(т), т. е. значение показателя

«гамма-процентный остаточный ресурс» Ту(т) при некотором значении у равно показателю «средний остаточный ресурс». В [10] доказано следующее соотношение:

г

100 У

уЩ)'

где Xv — ню-процентный ресурс. В частности, при Я(X) = Л > 0 из (28) имеем известную зависимость

1 . 100

Я 7

Используя идею доказательства (28) из работы [10], в [22] выведено соотношение более общего характера, чем (28), а именно:

100 г!

Т (т) (29)

При т = 0 из (29) следует формула (28).

Соотношение (29) позволяет найти гарантированные оценки для показателя ТДт), например, если интенсивность отказов монотонно не возрастает, то

Т(т + Ту (т) )< Т(т). (30)

Используя оценку (30) в (29), найдем

T (т) >

1

■ln

100

Я(т) у

(31)

Очевидно, что оценка (31) достижима для экспоненциального закона распределения ресурса. Кроме того, из (28) и (29) следует, что для такого класса изделий справедлива оценка Ту(т) $ tY.

Аналогичным образом устанавливается следующая достижимая гарантированная оценка:

T (т) <■

i

ln

100

ад г

для изделий с монотонно неубывающей интенсивностью отказов. Точечные оценки гамма-процентного остаточного ресурса.

Поскольку Ту(т) $ ТДт) при у # V, то показатели ресурса, как видно из (28) и (29), определяются характеристиками ресурса, которые соответствуют более раннему периоду его расходования независимо от режима применения и эксплуатации изделия. Эти соотношения являются фундаментальной основой для получения оценок показателей tY и Т^(т), в расчетных формулах которых не участвуют наработки изделия, превосходящие значения вычисляемого показателя.

В работе [10] приведен алгоритм получения точечных оценок для показателя Ту(т), (0 < у < 100), если известна оценка ¡и(т) интенсивности отказов А(т) в течение некоторого периода времени. Согласно этому алгоритму, интервал (у, 100) разбивается на п + 1 частей п точками у.; г = 1,п, так, что у < у1 < у2 < ... < уп < 100.

Далее оценивается TY (т) согласно соотношению

~Уп

ju(T)

Затем 1 | (г) находят по формуле

In

100

Уп '

71 (т) = Ту{т) + -

Уп-1

In

М

У_п_

Уп-\

Точно так же находят оценки для Ту 2(т),Ту з(т),...,Тп(т). Следовательно, искомая оценка для ТДт) будет

Т(т) = Т(т) + -

1

-In

Ух

(32)

ц[т + Тп{т)) У

Алгоритм получения точечной оценки для показателя «гамма-процентный остаточный ресурс» носит параметрический характер, поскольку требует знания оценки интенсивности отказов, которая в свою

очередь соответствует тому или иному закону распределения ресурса. Приведем другой способ — непараметрический, который не требует априорного знания того или иного закона распределения ресурса. Пусть

< < ... < *т < ... (33)

— остаточные наработки исследуемых однотипных изделий после времени т.

Тогда точечная оценка показателя Ту(т) рассчитывается по следующей формуле [23]:

где гт _1 и гт — остаточные наработки из последовательности (32), для которых выполнено соотношение

Р(т + ^ ) < Г < Р(т +

коэффициент

Р (т) 100 P (т) Р (т + -1) Y

<—-^; (35)

ß(T) = Р (т) 100

Р(т + ^-!) - Р(т + ^т ) • Р(т) Р(т)

Из (35) следует правило выбора минимально необходимого числа изделий в целях точечной оценки показателя Т^(т) при заданном значении 0 < у < 100.

Если требуется, например, получить точечную оценку 90%-ного остаточного ресурса Т90(т) после времени т, то минимально необходимое число исследуемых изделий должно быть десять.

Р (т + г )

Действительно, поскольку оценкой для выражения —-— слу-

Р (т)

(г - т)

жит величина ---, т. е.

г

то, согласно (35), имеем

(г - т) ^ . . г - т +1 ---< 0,9 <-,

r

где г — общее число изделий, наблюдаемых с момента времени т; т — число их отказов.

Откуда имеем следующие значения: г = 10 при т = 1; г = 20 при т = 2 и т. д. (по мере роста т увеличивается г).

Итак, минимально необходимое число исследуемых изделий при т = 1 равно десяти.

В общем случае для оценки показателя Т^(т) минимально необходимое число наблюдаемых (исследуемых) изделий (при планировании одного отказа после времени т)

r0 =

1

100

где знак [] — целая часть выражения, заключенного внутри скобок.

Доверительные оценки гамма-процентного остаточного ресурса. При малом числе наблюдаемых изделий степень доверия к способу оценки гамма-процентного остаточного ресурса, изложенному выше, крайне низка, поэтому приведем доверительные оценки показателя ТДт) при заданном значении уровня доверия, равном вероятности Р (0 < Р < 1). Для этой цели воспользуемся соотношением из [24], которое применительно к порядковой статистике (33) имеет вид

1-0,01/

| хт-1(1 - X)г-тдх Рг ( (т) > ) = -0-; г > т, (36)

f xm-1(1 - x)r-mdx

где Рг() — вероятность события, заключенного внутри скобок.

Заметим, что существуют специальные таблицы [25] для расчета интегралов, стоящих в правой части соотношения (36). Из (36) получим

Pr ( (т) > Г, ) = 1-

' Y V

V100,

пр и m = 1,

(37)

поскольку

1 1-0,017 1 ^ 1 С ч r-1 . 1

f(1 -x)r-1 dx = -; f (1 -x)r-1 dx = -

J у J у

V100y

Полагая правую часть (37) не меньше заданного значения вероятности 0 < Р < 1 (это эквивалентно тому, что справедливо неравенство

1

гЛ

r >

ln(1 - P)

ln

100

(38)

найдем

pr ( (t) > Zi )> P.

Следовательно, гх является нижней доверительной оценкой показателя Ту(т) при заданных значениях уровней у и доверительной вероятности Р.

Из (38) получаем

ro =

ln(1 - P)

ln

У

100 ln(1 - P)

ln

100

если правая часть (38) целое число,

+1, если правая часть (38) нецелое число,

(39)

минимально необходимое число исследуемых однотипных изделий при условии возникновения отказа у одного из наблюдаемых изделий. Здесь [.] — целая часть выражения, стоящего в скобках.

Из (39) следует, что с увеличением значений доверительной вероятности Р и уровней у возрастает минимально необходимое число исследуемых изделий г0 и, напротив, с уменьшением значений Р и у уменьшается значение г0.

В [26] доказано, что при больших г (условно г > 30) и условии, что интенсивность отказов как функция времени ^ монотонно возрастает начиная с момента времени т, в качестве нижней доверительной оценки для показателя Т (т) служит величина

ТЛт) =

ТЛт)

1 + иМу,г)

при 0,5<Р<1,

где ф(у, r) = ■

^100 Л

ln

100/у

; Т(т) — точечная оценка показателя

Т^(т), определенная соотношением (34); up — корень уравнения

Ф (u) = P - 0;

1 u

, :[

e 2 dt — интеграл Лапласа.

1

r

/

Таким образом, изложены методологические основы расчета и оценок количественных показателей остаточного ресурса, позволяющие решать инженерные задачи по обеспечению надежности сложных технических объектов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. F r a n k e l E. G. Reliability analysis // Naval Engineers journal. 1962, Vol. 74. №4, P. 619-627.

2. К о к с Д., С м и т В. Теория восстановления. - М.: Сов. радио, 1967. - 299 с.

3. С а д ы х о в Г. С. Теоретические основы остаточного дискретного ресурса технических объектов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1999. № 3. С. 102-108.

4. Р а й н ш к е К. Модели надежности и чувствительности систем. - М.: Мир, 1979. - 452 с.

5. С а д ы х о в Г. С., К у з н е ц о в В. И. Методы и модели оценок безопасности сверхназначенных сроков эксплуатации технических объектов. - М.: ЛКИ, 2007. - 144 с.

6. Г н е д е н к о Б. В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1969.

7. Б а р л о у Р., П р о ш а н Ф. Математическая теория надежности. - М.: Сов. радио, 1969. - 488 с.

8. С а д ы х о в Г. С., К у з н е ц о в В. И., А л ш е х а б и С. Непараметрические оценки опасных и безопасных состояний ремонтируемого объекта // Фундаментальные проблемы системной бзопасности. Вычислительный центр РАН - М.: Вузовская книга. 2008. - С. 260-266.

9. С а д ы х о в Г. С. Критерии оценок безопасности эксплуатации технических объектов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2005. № 1. С. 119-122.

10. С а д ы х о в Г. С., С а в ч е н к о В. П. Зависимость показателей ресурса от характеристик его расходования // Доклады Академии наук. 1998. Т. 361. № 2. С. 189-191.

11. С а в ч е н к о В. П., С а д ы х о в Г. С., К у з н е ц о в В. И. Новая методология сверхсрочной безопасной эксплуатации технических объектов // Петербургский журнал электроники. 2004. № 3-4. С. 184-188.

12. С а д ы х о в Г. С., А л ш е х а б и С. Оценка среднего остаточного ресурса стареющих изделий // Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 11. Т. 29. М.: УРСС. 2007. С. 233-236.

13. С а д ы х о в Г. С., А л ш е х а б и С. Оценка длительности безопасной эксплуатации и допустимого числа безопасных срабатываний свыше назначенных уровней для стареющих техногенно-опасных объектов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2008. № 3. С. 120-126.

14. С а д ы х о в Г. С., С а в ч е н к о В. П., Ф е д о р ч у к X. Р. Непараметрический метод оценки нижней доверительной границы среднего остаточного ресурса технических изделий // Доклады Академии наук. 1995. Т. 343. № 3. С. 326-328.

15. S a d y k h o v G. S., Y a k u s h e v Ya. V., F e d o r c h u k H. R., D i v e y e v A. J. Stability of useful life expenditure in subsystems of elements connected in parallel // Dynamics of non-homogeneous systems: Proceedings of ISA RAS. 2004. Vol. 7. P. 180-189.

16. S a d y k h o v G. S., G e r a s i m o v A. V Fiducial evaluation of mean residual discrete useful life of furnishing items of flight vehicles // Dynamics of non-homogeneous systems: Proceedings of ISA RAS. 2000. Vol. 4. P. 101-103.

17. Г н е д е н к о Б. В., Б е л я е в Ю. К., С о л о в ь е в А. Д. Математические методы в теории надежности. - М.: Наука, 1965. - 524 с.

18. С а д ы х о в Г. С. Показатель остаточного ресурса и его свойства // Изв. АН СССР. Сер. техническая кибернетика. 1985. № 4. С. 98-102.

19. С а в ч е н к о В. П. Расчет остаточного ресурса на основе ретроспективной непараметрической модели его расходования. Сб. докл. Международного симпозиума «Надежность и качество - 99». - Пенза: Изд-во ПГУ 1999. С. 391-392.

20. С а д ы х о в Г. С. Остаточный ресурс технических объектов и методы его оценки. - М.: Знание, 1986. 50 с.

21. С а в ч е н к о В. П., А л ш е х а б и С. Оценка состояния технической безопасности объекта одноразового применения. Труды международного симпозиума «Надежность и качество». - Пенза. 2006. С. 36.

22. С а в ч е н к о В. П., К у з н е ц о в В. И. Оценка длительности безопасного продления срока эксплуатации стареющего объекта // Сб. докл. Международного симпозиума «Надежность и качество». Пенза: Изд-во ПТУ, 2005. С. 33.

23. С а д ы х о в Г. С., А л ш е х а б и С. Экстремальные оценки среднего ресурса // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. 2000. Вып. 3. С. 79 - 85.

24. К е н д а л л М. Д., С т ю а р т А. Статистические выводы и связи. - М.: Наука, 1973.

25. Статистические задачи отработки систем и таблицы для числовых расчетов показателей надежности / Под ред. Р. С. Судакова. - М.: Высш. шк., 1975.

26. С а д ы х о в Г. С. Расчет и оценка времени восстановления ремонтируемых объектов // РМВ. Ремонт. Восстановление. Модернизация, 2006. № 11. С. 3-10.

27. S a d y k h o v G. S., S a v c h e n k o V. P., G u l y a e v Ju. V Estimation of the Residual Life for Items of Equipment, Based on a Physical Model of Additive Accumulation of Damages // The Smithsonian/NASA Astrophysics Data System, Physics-Doklady. 1995. Vol. 40. Issue 8. P. 397-400.

28. S a d y k h o v G. S., S a v c h e n k o V P., F e d o r c h u k Kh. R., G u l y a e v Ju. V A Nonparametric Method for Estimation of the Lower Confidence Limit of the Mean Residual Life of Equipment Items // The Smithsonian/NASA Astrophysics Data System, Physics-Doklady. 1995. Vol. 40. Issue 7. P. 343-345.

29. S a d y k h ov G. S., S a v c h e n k o V. P. Dependence of the Operating-Life Index on the Characteristics of Life-Reserve Spending // The Smithsonian/NASA Astrophysics Data System, Physics-Doklady. 1998. Vol. 43. Issue 7. P. 412-414.

Статья поступила в редакцию 27.10.2011.

Садыхов Гулам Садыхович, доктор технических наук, профессор Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана, автор 207 печатных работ, из которых 7 монографий, область научных интересов: системный анализ и обработка информации для принятия управляющих решений по обеспечению безопасной и надежной эксплуатации техногенно-опасных обьектов. Савченко Владимир Петрович, доктор технических наук, лауреат Государственной премии РФ, генеральный директор ОАО «Радиотехнический институт им. акад. А.Л. Минца», автор 95 печатных работ, из которых 3 монографии; область научных интересов: непараметрические методы оценок остаточного ресурса радиоэлектронной аппаратуры.

Елисеева Ольга Валерьевна, аспирант МГТУ им. Н.Э. Баумана, инженер-программист ОАО «Ракетно-космической корпорации "Энергия" им. С.П. Королева», автор 12 печатных работ, без ученой степени и звания; область научных интересов: теория надежности и безопасности.