Показатель дискретной составляющей ресурса, его расчет и оценки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Садыхов Г.С., Савченко В.П., Некрасова О.В., Гордин М.П. ПОКАЗАТЕЛЬ ДИСКРЕТНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ РЕСУРСА, ЕГО РАСЧЕТ И ОЦЕНКИ

Основным показателем долговечности технического объекта служит «гамма - процентный ресурс» -суммарная наработка ^, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с вероятностью у, выраженной в процентах [1]. Следовательно, имеет место следующее соотношение:

Р( £у) = —, (1)

^ У' юо

где Р(^) - точечная оценка вероятности безотказной работы объекта в течение времени, указанного внутри скобок, у - заданный уровень (0<у<100).

Если разложить суммарное время ^ на составляющие слагаемые, непрерывные по времени длительности, то в каждом слагаемом будет операция «включение» объекта в непрерывную по времени работу и операция «выключение» из неё. Для краткости эти операции будем называть «срабатываниями» объекта.

Таким образом, время ^ будет состоять из непрерывной по времени части - непрерывный ресурс и дискретной части - дискретный ресурс, в результате срабатываний объекта на операции «включение» и «выключение». Тогда ресурсный отказ объекта произойдет в результате предельного состояния либо в процессе срабатываний, либо в процессе непрерывной его работы.

Величину у задают в нормативно-технической документации (НТД) на объект. Как видно из выражения (1) для оценки показателя ^ необходимо продемонстрировать гамма-процентов безотказных однотипных объектов от количества испытанных по результатам ресурсных испытаний. Следовательно, значение у определяет соответствующий минимальный объем выборки объектов для проведения ресурсных испытаний. При этом, чем выше уровень значения у, тем больше должен быть объём выборки. Например, для изделий электронной техники (ИЭТ) традиционными уровнями в НТД считаются уровни у=90% и у=95%, что соответственно определяет следующие минимально необходимые объемы выборок для проведения ресурсных испытаний: 10 объектов для первого и 20 для второго уровней. Очевидно, что такие

объемы выборок даже для ИЭТ не всегда могут быть реализованы на практике (тем более для сложных и дорогостоящих технических объектов в условиях мелкосерийного производства).

Чтобы уменьшить объем выборок, в работе [2] определен показатель «средняя доля безотказной наработки» (СДБН) объекта в течение времени испытания, как математическое ожидание отношения безотказной наработки объекта к длительности времени испытания. Для показателя СДБН объекта установлена точечная оценка и непараметрическая нижняя доверительная граница при заданной вероятности. Показатель СДБН объекта и его оценки, полученные в работе [2], внесены в ГОСТ 27.505 - 86 [3].

Определим для дискретной составляющей ресурса количественный показатель. Для этой цели введем некоторые обозначения. Пусть ^-число срабатываний объекта до отказа. Тогда

= а при ^ < т п р и ^ >т '

- число безотказных срабатываний исследуемого объекта в результате осуществленных т срабатываний (т=1, 2, ...) в процессе ресурсных испытаний.

Определение. Величину, рассчитанную по формуле

1(т) = М(^)

771

назовем «средней долей безотказных срабатываний» (СДБС) объекта в результате т срабатываний, где М(0 - математическое ожидание величины, стоящей внутри скобок.

Для показателя СДБС объекта нами доказана следующая формула:

1 т-1

г(т) = - X Р(Л (2)

т]=1

где Р(з|) - вероятность того, что в результате 31-срабатываний объект будет безотказен.

Другими словами, значение показателя СДБС объекта в количестве т срабатываний равно среднеарифметическому значению вероятностей того, что все предшествующие срабатывания объекта до числа т бли безотказными.

Из формулы (2) вытекают следующие свойства показателя СДБС объекта.

1. (а) = 1.

2. 0 < ((т) < 1.

3. Нш г(т) = 0.

т^да

4. Нш(т(/(т))) = Г, где г - средний дискретный ресурс объекта, равный т^да

00

г = ^Р^) ■

;=0

5. ((т) > Р(т — 1 ).

6. Последовательность значений 1(т) в зависимости от целочисленной величины т монотонно не возрастает.

Из установленных свойств видно, что характер поведения показателя СДБС объекта 1(т), как функция от числа срабатываний т, примерно такой же, что и характер поведения функции Р(т) от этого же аргумента.

В качестве примера рассмотрим геометрический закон распределения дискретного ресурса, для которого:

( .

Имеем, согласно формуле (2), следующее выражение:

1 ~рт

((т) =----------. т = 1 .2 ... (3)

тц

где предполагается, что каждое очередное срабатывание объекта имеет одно и то же значение вероятности, равное p (0^<1); q=1-p.

Из формулы (3) непосредственным образом подтверждаются первые три свойства показателя СДБС объекта.

Поскольку для рассматриваемого закона средний дискретный ресурс объекта равен

_ 1

то, переходя к пределу с учетом (3), получим:

Нш (т(г(т))) =

т^да д '

что подтверждает свойство 4.

Для подтверждения свойства 5 заметим, что для этого закона имеем:

1 — Т)т 1

----------= — ( 1 - р - р 2 --------------1- р т~ 1 ) ,

7тг<7 т

откуда получим искомое соотношение

((т) > рт _ 1 = Р(т — 1 ) . (4)

Наконец, для установления свойства 6 имеем, согласно (3), следующее соотношение:

1

((т — 1 ) — ((т) =-----------------( ((т) — Р(т — 1 ) ),

т — 1 4

откуда в силу оценки (4) получим

( (

что и подтверждает справедливость свойства 6 для рассматриваемого закона.

В заключение отметим, что для введенного показателя СДБС объекта нами найдена несмещенная точечная оценка и непараметрическая нижняя доверительная граница при заданной доверительной вероятности по данным ресурсных испытаний партии однотипных объектов.

Литература

1. ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения. Изд. станд., 1990, -37с.

2. Садыхов Г.С. Показатели остаточной долговечности и их оценки в задачах продления сроков эксплуатации технических объектов. -М.: Знание, 1986, -55с.

3. ГОСТ 27.505-86. Надежность в технике. Система сбора, обработки и анализа информации о

надежности бытовой радиоэлектронной аппаратуры и комплектующих ее изделий. Изд. станд., 1986, -

35с.