CC BY
297
ОСНОВНЫЕ ТИПЫ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН
© Сапарлиев Х.М.*, Нургельдыев Н.*
Туркменский государственный архитектурно-строительный институт, Республика Туркменистан, г. Ашгабад
Туркменский государственный университет нефти и газа, Республика Туркменистан, г. Ашгабад
Дается обзор основных типов сейсмических волн, возникающих при землетрясениях и регистрируемых на поверхности Земли. Основное внимание уделяется объемным волнам, а также поверхностным волнам Рэлея-Лэмба и Лява, помимо этих волн рассматриваются также «быст-розатухающие» волны и некоторые другие типы сейсмических волн.
Ключевые слова сейсмические волны, объемные волны, поверхностные волны, «быстрозатухающие» волны.
Упругие сейсмические волны (СВ), возникающие вследствие возмущений земной коры, принадлежат к нескольким типам. По характеру пути распространения СВ делятся на объёмные и поверхностные.
1. Объемные волны. 1.1. Объемные волны в изотропной среде. Многочисленными экспериментальными и теоретическими исследованиями установлено [см.: 1-3], что при землетрясениях первыми на поверхность Земли приходят объемные волны. В предположении изотропии среды, объемные волны подразделяют на продольные (Р), поляризованные в направлении распространения волны, и поперечные (5), поляризованные в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Продольные являются упругими волнами сжатия-растяжения, а поперечные упругими волнами сдвига. Скорости распространения в упругой изотропной среде продольной (сР) и поперечной (с5) объемных волн определяются следующими выражениями
где р - плотность среды; X и ц - упругие модули Ламе, связанные с модулем Юнга (Е) и коэффициентом Пуассона (V) следующими соотношениями:
(1)
Х =
Е V
Е
(1- 2v)(1 + v)'
; ц =-
2(1 + v)
(2)
* Доцент кафедры «Водо-, газо- и теплоснабжения» Туркменского государственного архитектурно-строительного института, кандидат технических наук.
* Кандидат геолого-минералогических наук.
Из энергетических соображений следует [4], что при любых допустимых значениях Е > 0 и -1 < V < 1/2
сР > с, (3)
С точки зрения поляризации (направления колебаний) объемных волн, пришедших на свободную поверхность, следует отметить, что в ближней зоне эпицентра продольные волны имеют преимущественно вертикальную поляризацию, а поперечные волны в окрестности эпицентра имеют преимущественно горизонтальную поляризацию, рис. 1. Так происходит, если угол падения меньше 45°, если же угол падения больше 45°, продольные волны становятся преимущественно горизонтально поляризованными, а поперечные - вертикально.
Рис. 1. Поляризация объемных Р и 8 волн, пришедших на поверхность Земли
Например, первый толчок Ашхабадского землетрясения 1948 г., отмечался многими, пережившими это землетрясение, как вертикальный удар что означает, что пришедшая, первой продольная объемная волна была поляризована преимущественно вертикально, т.е. угол ее падения был меньше 45°. В предположении однородности и изотропии среды это означает, что расстояние от эпицентра землетрясения было не больше (или не намного больше) глубины залегания очага (гипоцентра).
1.2. Объемные волны в анизотропной среде. В произвольном направлении анизотропной упругой среды распространяются три объемных волны: одна продольная или квазипродольная и две поперечные или квазипоперечные волны. Фазовые скорости этих волн определяются как собственные числа акустического тензора [4]
А (V) = V • С-V, (4)
где V волновой вектор, определяющий направление распространения волны; С - четырёхвалентный тензор упругих модулей. Вектор поляризации этих волн определяется из уравнения Кристоффеля [4]
где р - плотность среды; с - фазовая скорость распространения соответствующей волны; I - единичный тензор (единичная квадратная матрица); т -единичный вектор, задающий искомую поляризацию волны. В случае, если т\№ - волна называется продольной, если 0 < arccos(|m(v)| < л/4) - волна называется квазипродольной; определение поперечной и квазипоперечной волн аналогично.
Надо отметить, что в общем случае случае направления распространения в анизотропной среде скорость квазипродольной волны уже может и не быть строго большей скорости квазипоперечных волн.
Еще одно замечание относится к независимости скорости распространения объемных волн от частоты («бездисперсионность» объемных волн). В случае ангармонических воздействий, например, отвечающих распространению ударного волнового фронта, этот фронт, ввиду отсутствия дисперсии, должен распространяться практически без искажений.
2. Поверхностные волны. Поверхностные волны возникают в результате взаимодействия объёмных волн с поверхностью Земли. К наиболее распространённым типам поверхностных волн относятся волны Рэлея и волны Лява.
2.1. Волны Рэлея. Известно, что на некотором расстоянии от эпицентра возникают поверхностные волны, математическое описание которых дано Рэлеем [5]. Геофизические наблюдения показывают, что рэлеевские волны весьма часто сопровождают тектонические землетрясения.
В случае однородного изотропного полупространства эти волны поляризованы в вертикальной (сагиттальной) плоскости, причем вертикальная компонента приблизительно в 1.5 раза больше горизонтальной компоненты. Этот факт представляет исключительную важность для правильного проектирования систем сейсмозащиты: не учет вертикальной составляющей рэ-леевских волн может привести к катастрофическим последствиям.
Скорость рэлеевской волны вычисляется по бикубическому уравнению Рэлея. Известны приближенные формулы для скорости рэлеевской волны; одной из наиболее распространенных является формула Бергманна -Викторова [6]
где V - коэффициент Пуассона. Вычисления по уравнению Рэлея или приближенной формуле (6) показывают, что при любом значении коэффициента Пуассона скорость волны Рэлея меньше скорости поперечной волны.
(5)
В теоретических исследованиях [7-9] было найдено, что рэлеевская волна зарождается не непосредственно в эпицентре, а на некотором удалении от него. Соответствующая асимптотическая формула для этого расстояния [7], подтвержденная результатами численного моделирования [10], имеет вид
_ cRH
dl _ /2 2 ' (7)
SCS ~cR
где d1 - расстояние от эпицентра до точек наблюдения на свободной поверхности, где начинают проявляться рэлеевские волны; H - глубина очага (гипоцентра).
Результаты численного анализа [10, 11] показывают, что при значениях коэффициента Пуассона, лежащих в диапазоне v е (0,2; 0,4)
d1 «(2.1 ■ 2.3)H. (8)
Таким образом, начиная с расстояний от эпицентра, определяемых выражением (8), в составе пришедших на поверхность волн появляются рэле-евские волны.
2.2. Волны Рэлея-Лэмба. В случае слоистого полупространства или плоскости, следуя современной терминологии, принято говорить о распространении волн Рэлея-Лэмба. В отличие от волн Рэлея в однородном полупространстве, эти волны испытывают дисперсию фазовых скоростей по частоте. Причем для фундаментальной (нулевой) моды скорость распространения волн Рэ-лея-Лэмба монотонно убывает с возрастанием частоты [12-14]. Последнее обстоятельство оказывается важным при анализе сигналов, связанных с приходом волн Рэлея-Лэмба: первыми приходят сигналы, отвечающие длинным волнам (малым частотам) и лишь затем приходят сигналы, отвечающие коротким волнам (высоким частотам). Дисперсия волн Рэлея-Лэмба приводит к размазыванию волнового пакета, отвечающего ангармоническим воздействиям [14].
С точки зрения анализа сейсмических волн, представляющих опасность для сооружений, особо опасными представляются относительно короткие волны Рэлея-Лэмба, длина которых соизмерима или меньше размеров сооружения в плане. Фазовая скорость распространения коротких (с точки зрения сейсмотектоники) волн clim определяется асимптотической формулой [15-18]
^ - limc(X) _ c—, (9)
где X - длина волны.
Таким образом, скорость распространения рэлеевской волны в верхнем слое, является той скоростью, с которой распространяются короткие поверх-
ностные волны Рэлея-Лэмба. Существенно, что скорость С[т определяется физико-механическими свойствами только верхнего слоя (в предположении, что верхний слой имеет достаточную мощность) и скорость С[1т не зависит от свойств нижележащих слоев и контактирующего с ними полупространства.
2.3. Волны Лява. Волны Лява распространяются в системе упругий «слой - подстилающее полупространство», контактирующий с упругим полупространством. Математическое описание этих волн дано Лявом [19]. В случае упругой изотропии эти волны, в отличие от волн Рэлея и Рэлея-Лэмба, имеют горизонтальную поперечную поляризацию, рис. 2.
В [19] получено условие существования волн Лява в виде ограничения на скорости поперечных объемных волн в слое и полупространстве
Причем, если неравенство (10) нарушается, волна Лява не существует.
Имеются обобщения теории волн Лява на случай многослойных анизотропных сред [20]. В частности, в [20] установлено, что фазовая скорость распространения волны Лява в произвольной анизотропной моноклинной неоднородной среде, состоящей из моноклинного слоя и полупространства с общей осью симметрии упругих свойств, лежит в диапазоне
с,
..half-space flayer
'S > cs
(10)
Рис. 2. Поляризация волн Лява; вектор п указывает
направление распространения; V - нормаль к общей границе упругий слой - полупространство
с;
..half-space
'S
(11)
В весьма немногочисленных случаях, когда по данным сейсмологических наблюдений, возникает волна Лява, ее распространение обычно несет
с собой существенные разрушения. Здесь надо отметить, что помимо условия (10) для возникновения волны Лява необходимо наличие почти вертикального разлома и сдвиговых компонент взаимных перемещений тектонических плит (strike fault), рис. 3.
Рис. 3. Механизм землетрясения «strike fault», приводящий при выполнении условия (10) к возникновению волн Лява (geomaps.wr.usgs.gov)
В чистом виде такое взаимное перемещение тектонических плит наблюдается только в одном месте - в районе разлома San-Andreas, на границе между Северо-Американской и Тихоокеанской тектоническими платформами; рис. 4.
Рис. 4. Карта тектонических разломов; стрелками отмечены направления движения тектонических плит (pubs.usgs.gov/publications/text/slabs.html)
В заключение надо отметить, что волны Лява, также как и волны Рэлея-Лэмба - дисперсионные, при этом для коротковолнового предела волн Лява имеет место следующая асимптотическая формула [20]
clim - limc(X) = сГг1-г, (12)
где cSupper 1ауег - скорость распространения объемной поперечной волны в верхнем слое, в предположении, что все слои и полупространство обладают моноклинной симметрией (в частном случае - изотропны) с общей осью упругой симметрии.
2.4. Быстрозатухающие (evanescent), или головные (head) волны. Это довольно редкий вид поверхностных волн, возникающих вследствие изменения направления распространения объемных волн при их рефракции на границе раздела сред. Математические модели для описания этих волн были предложены в [6, 7, 21]. По результатам теоретических исследований [21] вдоль свободной поверхности полупространства или полуплоскости могут распространяться только волны вида SP, т.е. волны, порожденные отраженной от свободной поверхности S-волной, которая при критическом угле отражения преобразуется в P-волну, распространяющуюся непосредственно под свободной поверхностью и параллельно ей со скоростью cP.
Появление головных волн при сейсмических воздействиях регистрировалось в ряде исследований [22-25], а также при численном моделировании процессов происходящих при землетрясениях [11, 26]. Надо отметить, что в соответствии с результатами численного моделирования [26] амплитуда колебаний указанных SP-волн не превышает амплитуд объемных и рэлеев-ских волн, поэтому с точки зрения проектирования систем сейсмозащиты, эти волны представляют меньшую опасность, чем рассмотренные выше объемные и рэлеевские волны.
2.5. Волны Стоунли. Еще один тип поверхностных волн, которые возникают на поверхности раздела двух смежных упругих полупространств. Математическое описание этих волн получено Стоунли [27] применительно к двум изотропным полупространством с общей плоской границей. В этой же работе получено достаточное условие существования этих волн, представленное в виде соотношений Вихерта (Wiechert)
р, X, ц,
— = ^ = —, (13)
Р2 Ц
где рк (к = 1, 2) - плотности контактирующих полупространств, а Хк, цк -соответствующие константы Ламе. Нетрудно видеть, что условие (13) влечет за собой равенства скоростей
CP ~ Ср ; _ CS2 ; CR ~ CR • (14)
Таким образом, при выполнении условия (14) волна Стоунли, фактически представляет собой две волны Рэлея, распространяющиеся по общей интерфейсной границе со скоростью с^ = ск..
Позже, в [28] было найдено необходимое условие существования, несколько расширившее диапазон существования, определяемый уравнениями (13). Имеются обобщения теории волн Стоунли на случай анизотропных упругих полупространств [29-31]. В [32] рассмотрен случай неполного контакта, допускающего проскальзывание между полупространствами.
В заключение необходимо отметить, что с точки зрения сейсмозащиты, волны Стоунли не представляют существенного интереса, поскольку связаны с внутренними границами среды возникают на значительных глубинах.
3. Заключение. Анализ волновых полей, пришедших на поверхность Земли из очагов тектонических землетрясений, показывает, что в ближней к эпицентру зоне основной вклад в воздействие на объекты вносят объемные волны, причем на расстояниях
где Н - глубина очага, вертикальные компоненты (колебательных смещений, скоростей и ускорений) в основном обусловлены приходом Р-волн, а горизонтальные компоненты связаны, в основном, с приходом 5"-волн. Ввиду соотношения (3), первыми в этой зоне будут ощущаться вертикально поляризованные колебания, после чего, с некоторым запаздыванием, будут ощущаться горизонтально поляризованные колебания.
На расстояниях от эпицентра, удовлетворяющих условию
ситуация меняется, т.к. в Р-волне горизонтальная компонента становится доминирующей, а в ^-волне начинает доминировать вертикальная компонента. В этой зоне первыми будут ощущаться горизонтальные колебания, а затем, с некоторым опозданием, будут приходить вертикальные. Верхняя граница расстояний в (16) обусловлена появлением рэлеевских волн, у которых, в соответствии с [5], вертикальные компоненты доминируют над горизонтальными.
В заключение надо отметить, что помимо асимптотических и численных методов по оценке кинематических компонент, применяют энергетические подходы [33, 34], в которых анализируется энергия пришедших на поверхность сейсмических волн.
Список литературы:
1. Пузырёв Н.Н. Методы и объекты сейсмических исследований. Введение в общую сейсмологию. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1997. - 301 с.
г < И.
(15)
И < г < (2.1 ^ 2.3)И
(16)
2. Яновская Т.Б. Основы сейсмологии. - СПб.: С.-Петерб. гос. ун-та, 2008. - 222 с.
3. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. - Издание 2. - М.: Наука, 1973. - 344 с.
4. Achenbach J.D. Wave Propagation in Elastic Solids. North-Holland Publishing. 1973. 425 p.
5. Strutt J.W. (Lord Rayleigh), On wave propagating along the plane surface of an elastic solid // Proc. London Math. Soc., 1885, Vol. 17, pp. 4-11.
6. Nakano H. On Rayleigh waves // Japan Journal of Astronomy and Geophysics, 1925, vol. 2, pp. 233-326.
7. Nakano H. Some problems concerning the propagations of the disturbances in and on semi-infinite elastic solid // Geophysical Magazine, 1930, vol. 2, pp. 189-348.
8. Pekeris C.L. The seismic buried pulse // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1955, vol. 41, pp. 629-639.
9. Sato R. Seismic waves in the near field // J. Phys. Earth. 1972. Vol. 20, pp. 357-375.
10. Komatitsch D., Tromp J. Introduction to the spectral-element method for 3-D seismic wave propagation // Geophys. J. Int. 1999. V139. pp. 806-822.
11. Кузнецов С.В., Терентьева Е.О. Задача Лэмба: Обзор и анализ методов исследования // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2014. - Т. 10. - С. 78-92.
12. Sezawa K. and Kanai K. On the propagation of Rayleigh waves in dispersive elastic media // Bull. Earthquake Research Inst. (Tokyo), 1941, vol. 19, pp. 549-553.
13. Miklowitz J. Theory of Elastic Waves and Waveguides. North-Holland Publishing Company 1978. 634 p.
14. Flores-Lopez M.A., Gregory R.D. Scattering of Rayleigh-Lamb waves by a surface breaking crack in an elastic plate // J. Acoust. Soc. Am. 2006, vol. 119, pp. 2041-2049.
15. Ben-Menahem A., Singh S.J. Seismic Waves and Sources. Dover Publications; 2nd edition. 2012. 1136 p.
16. Wencai Y. Reflection Seismology: Theory, Data Processing and Interpretation. Elsevier. 2013. 272 p.
17. Harkrider D.G., Andersen D.L. Surface wave energy from point sources in plane layered Earth models // J. Geophys. Res., 1966, vol. 71, pp. 2967-2980.
18. Kuznetsov S.V Subsonic Lamb waves in anisotropic plates // Quart. Appl. Math. 2002, vol. 60, pp. 577-587.
19. Love A.E.H. Some Problems of Geodynamics. Cambridge University Press, London, 1911. 212 p.
20. Kuznetsov S.V Love waves in stratified monoclinic media // Quart. Appl. Math., 2004, vol. 62, pp. 749-766.
21. Lapwood E.R. The disturbance due to a line source in a semiinfinite elastic medium // Philos. Trans. Royal Soc. London, Ser. A. 1949, vol. 242, pp. 63-100.
22. Cerveny V and Ravindra R. Theory of Seismic Head Waves. University of Toronto Press, Toronto. 1971. 326 p.
23. Ben-Zion Y., Katz S., Leary P. Joint inversion of fault zone head waves and direct P arrivals for crustal structure near major fault // J. Geophys. Res., 1992, vol. 97, pp. 1943-1951.
24. Ritzwoller M.H., Barmin M.P., Villasenor A., Levshin A.L., and Engdahl E.R. Pn and Sn tomography across Eurasia to improve regional seismic event locations // Tectonophysics, 2002, vol. 358, pp. 39-55.
25. Zhang Zh., Shen Y., and Zhao L. Finite-frequency sensitivity kernels for head waves // Geophys. J. Int. 2007, vol. 171, pp. 847-856.
26. Кузнецов С.В., Терентьева Е.О. Плоская внутренняя задача Лэмба: волны в эпицентральной зоне от вертикального силового источника // Акустический журнал. - 2015. - Т. 61. - С. 178-192.
27. Stoneley R. Elastic waves at the surface of separation of two solids // Proc. Royal Soc. Lond., Ser. A, 1924, vol. 106, pp. 416-428.
28. Sezawa K., Kanai K. The range of possible existence of Stoneley waves, and some related problems // Bull. Earthquake Res. Inst. (Tokyo), 1939, vol. 17 pp. 1-8.
29. Johnson W.W. The propagation of Stoneley and Rayleigh waves in anisotropic elastic media // Bulletin of the Seismological Society of America, 1970, vol. 60, pp. 1105-1122.
30. Lim T.C., Musgrave M.J.P. Stoneley waves in anisotropic media // Nature, 1970, vol. 225, p. 372.
31. Nayfeh A.H. Wave Propagation in Layered Anisotropic Media. North Holland publishing. 1995. 352 p.
32. Maugin GA., Chevalier Y. and Louzar M. Interfacial waves in the presence of areas of slip // Geophys. J. lnt. 1994, vol. 118, pp. 305-316.
33. Rose L.On the energy radiated by Rayleigh waves // Wave Motion, 1984, vol. 6, pp. 359-361.
34. Максимов Г.А., Меркулов М.Е., Кудрявцев В.Ю. Распределение энергии между различными типами сейсмических волн, излучаемых источником с произвольной диаграммой направленности в упругом полупространстве // Акустический журнал. - 2003. - T. 49. - С. 389-399.
