ОСНОВНЫЕ И СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.386

Мурадов Ф. А.

старший научный сотрудник-исследователь Научно-инновационный центр информационно-коммуникационных технологий при ТУИТ

Набиева С.С. бакалавр ТУИТ

СФ, Республика Узбекистан, г. Самарканд

ОСНОВНЫЕ И СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ

Аннотация. Бу маколада манбаадан(источник деб таржима) чикаётган захарли моддаларнинг таркалиш ва диффузия жараёнининг асосий ва тескари(сорряженные таржима) масалалари каралган.

Решение проблемы об оценке загрязнения атмосферы и подстилающей поверхности пассивными и активными примесями, о математическом моделировании оптимизационных проблем, связанных с охраной окружающей среды связано с решением уравнения переноса и диффузии и задач оптимизации.

Ключевые слова: математическая модель, перенос и диффузия вредных веществ, погодно-климатический фактор, гидромеханика, численный алгоритм, краевая задача.

Muradov A.F. Senior Researcher-Researcher Scientific and Innovation Center of Information and Communication Technologies at TUIT Nabieva S.S. Bachelor in TUIT SF, Republic of Uzbekistan, the city of

Samarkand

BASIC AND ADJOINT DIFFUSION EQUATIONS.

Annotation. Bu makolada manbaadan (the source of the debut tarzhima) chika-gangan zaharli modaldarning tarkalish v diffusion zharaeninning arsosi wa teskari (sorbed tarzhima) masalalari karalgan. The solution of the problem of estimating the pollution of the atmosphere and the underlying surface by passive and active impurities, and the mathematical modeling of optimization problems related to environmental protection is related to the solution of the transport and diffusion equation and optimization problems.

Keywords: mathematical model, transport and diffusion of harmful substances, weather and climate factor, hydromechanics, numerical algorithm, boundary value problem.

Рассмотрим модели распространения примесей в атмосфере от источников загрязнения, когда конвективные движения отсутствуют. Нестационарная трехмерная задача переноса субстанций принимает вид[2]:

Ô( + Sp = — vÔP + uAp + QS(r -r )

Ôt Ôz Ôz ^ V 07 (1)

где p - интенсивность аэрозольной субстанции;

S>0 - коэффициент поглощения, величина, обратно пропорциональная

величине 1;

у /- вертикальный и горизонтальный коэффициенты диффузии; Л - оператор Лапласа.

Уравнение (1) рассмотрим в параллелепипеде

Б = {0 < х < , 0 < у < 12, 0 < г < 4}

К уравнению (1) присоединим краевые условия. На гранях параллелепипеде могут быть краевые условия следующего вида:

ф(X, у, г,0) = ф(X, у, г) дф а

«1,1 - — -Рч ■P = -Лu,

ох

—«

дф дх

— Р1,2 -ф = —

х = 0,

X = I

дф а «2,1 ^ —Р2,1 ■ф = —Лn, ду

_ Оф_я =_ «2,2 - ^ р2,2 ' ф Л2,2, ду

У = 0, у = ^

дф

рз,1 ■ ф = —Лз,1

г = 0,

_ ф _ я -«3,2 - ~ Р3,2 ' ф Л3,2 ,

дг

г = /3.

Если ат,п=0 то получим первую краевую задачу, при вт,п=0 вторую краевую задачу, а при ат,пф0, @т,пф0 третью краевую задачу(т=1, 2, 3, п=1, 2). Если ат,п, [5т,п - одновременно в нуль не обращаются, то на краях области получим условия различного рода. Численное решение задачи (1 -2) с условием различного рода также не представляет трудности. Численные решения таких задач разработаны нами в.

Пусть область представляет собой круговой цилиндр[1].

Б = {0 < г < Я,0 <Л< 2 -ж, 0 < г < 1} ,,

, тогда уравнение диффузии имеет вид

дф д дф С

—1— + 5-ф = —у-?- + / д дг дг

2 .„Л

1 д дф 1 д ф

-г Т ' т

у г дг дг г2 дЛ2 у

е (г—г)

А краевые условия

0

ф(г,Л, г, 0) = ф(г, Л, г) дф

—«1Лг^~ — Р1,1 -ф = /1,1, дг

дф п

«2,1 - --Р2,1 -ф = — /2,1,

дг

дф п

—«2 2 -У- — — Р22 ■Ф=—Л22,

дг

(3)

г = Я, г = 0 , г = I,

ф( г, Л, г, ?) = ф( г, Л + 2 -ж, г, ?)

Здесь также могут быть условия первого, второго и третьего родов или смешанного типа[3].

Задача (3)-(4) решается разностными методом, рассмотренным в.

Аналогичным образом можно рассмотреть уравнение (1) в области

D = {0<г <h, 0<Л<2-к, 0<в<к}

представляющей шар с радиусом R. Тогда уравнение (1) имеет вид:

др е 1 д( 2 др^ ( 1 д . др 1 д2рЛ

-*- + $-р = —— rv—\ + ^ -г~.---s—^ '

дх r дг I дг J r sin в дв

дв r2 sin2 в дЛ

QS(r - Го)

(5)

а краевые условия записываются как

0

р( г ,Л,в,0) = р(/■ ,Л,в)

.2. др

-а1г v"S--P=

дг

r = R,

<р( г, Я, в, г) = р( г,Л +2 • ж, в, г)

Здесь такие могут быть условия по г первого, второго и третьего родов[4].

Если уравнение (1) рассматривается в полу шаре, тогда,

в=к

соответственно, ставится условие при

• а др

дв

а если область представляет

Б = {Я < г < Я, \<Л<^, вх<в<в, Я < Я Л~А< 2-ж, в2~в<ж} тогда краевые условия записываются в виде

2 др а а r v---P •Ю = -^1Д,

дг

2 др

-а12Г V^-Pl2 •Ю=-M2,

дг

■ адр а дв

■адр а

-а2 2Sin^ — -P2 2 р = -И2 2 , дв

др о аз, 1ТТ -рз, 1 -р = -Мз, 1 ,

дЛ

_ др_

а3,^0 p3,2 -р Мз,2,

дЛ

г = R

г = R

в = в.

в = в

Л = л, Л = Л2,

В этом случае также могут быть условия первого, второго и третьего родов и алгоритм решения не представляет трудности. Теперь рассмотрим сопряженные уравнения.

Сопряженное уравнение, соответствующее уравнению (1), имеет вид

др* _ » д др* . » п + 5р =—+ + Р

дх

дг дг

(8)

при начальных данных р*=0 при t=T, с граничными условиями типа (2). Если произвести замену независимый переменной т=^, то уравнение (8) переходит в уравнение

2

да>* д да>* . » _ » л —— = — + -5р + Р дХ дг дг

с соответствующими начальными и краевыми условиями, которое не отличается от (1) и решается аналогично задаче (1)-(2) при заданных Р. Зная р, р*, можно вычислить требуемый функционал J, связанный с оптимизационный задачей по размещениям промышленных предприятий, выбросами действующих промышленных предприятий и т.д..

Сопряженные уравнения для (3), (5) записываются так

дт _ * д дт + 5-т =—v^— + n

дт дт *

дг дт

f 1 д дт* 1 д 2а>*^

---г—!— +---—

У r дг дг r2 дЛ2 j

P

с *

+ о-т =

L д

г2 дг

2 дт г v-

дг

И

2

д2т

д дт -sm0-

Vг2 sin2 в дЛ2 г2ът6д6 дв j

P

при начальных данных р*=0 при т=0; а краевые условия записываются аналогично (4), (6).

Задачу (3)-(4) решаем разностных методом. Введем сетку по ?

щ = (ХИ = пАХ, п = 1,2,...) и уравнение (3)-(4) запишем в момент

т"+1 -т"

дТ~

+о-т = 4 -т + 4 -т + Lx-rn + f

где

4=дЛ ■4=И\b f ■4=м7 Л r"=Q (г - F»)

И получим уравнение Гельмгольца

1

(4 + 4 + 4) ^ - +^ ] = -Г1 (*, г Д),

Итак решение уравнения (3) на каждом временном шаге сводилось к решению трехмерного уравнения Гельмгольца. Методы решения его описаны в первой главе.

Рассмотрим подробное решение задачи (5)-(6). С обеих сторон уравнение (5) умножим на г2, дифференциальный оператор по ? заменим разностным и получим

(4 + ьв+ Л rnm+l - г2 (1+о j тп+1 = -f "+1,

где

т д 2 д т И д . п д т И д2

4 = — г v —, Le =--sine —, Lx =—----

дг дг sine дв дв sin в дЛ

f"+1 = г2в(г -г0)+1 т"-г2

К уравнению (9) присоединим краевые условия

(9)

1

1

j

V

-агут

дрп+1 дт

-р<+1 =-мП+1, т = я,

рп+1 (т,Л,в, г) = <рп+1 (т,Л+2 -Ж,в, г)

Уравнение (9) представляет трехмерное уравнение эллиптического типа с разделяющимися переменными. В дальнейшем для не усложнения записи опустим верхней индекс.

Введем сетку

щ ={т = (г + 0,5)\, г = 0,1,...,N+1, К = я/(N +1,5)}.

и напишем уравнение (9) при г=и; с учетом краевых условный получим систему уравнений в матричном виде

(Ьв- ЬД)Ф + Ат Ф = -Р,

где

^ =

А =

/о, •/!,..., +1

V

'-¿0 Со 0 ...

а -К с ...

2м

Ата1

0

0

0 0

0

00

+1 ¿^ +1У

С0 =

тЖ

К = С + т2

2 ' с/0 ^ 1 ' 1

2 V

—+£ Аг

(10)

а- ^ с =-£, К = а+ С+1-1т2,г = 1,2,...,N1

К

и

2т2

а\т I 1

11

Аг 2Д

,2 ' N. +1 N. +1 , I А ,

Нг 1 1 иа V Аг

+ |— + ¿1 т2

Матрицу Ar можно представить в виде

А = В Л В 1

т т т т

где столбцы матрицы Br - являются собственным векторами Ar, соответствующее собственному числу М матрицы Ar;

Лт [Л,Л,...,А'1 ] - диагональная матрица, состоящая из собственных

В-1

чисел матрица Ar. Умножая (10) на т , получим преобразованное уравнение

+ -г< =/ (11)

где

втф = Ф(1) = (р01},Р1(1),...,р?+1)

г1 = -ДД <0, г = 0,1,2,...,N1 + 1 Соответственно преобразуется и условие периодичности

< (вД) = < — + 2. ж)

Теперь вводим сетку по Д

N +-

G>k=\

= ] = 1,2,..., М2 )

и дифференциальный оператор по Л заменим разностным и преобразуя его получим дифференциальное уравнение вида

1 а . ( , , 1 Л

sineae ев

^ j Sin в J j

где

j

Р'ф« = Ф(2) = )

/7(2^ ( f (2) f(2) f (2) \

, i = 0,1,...,N +1, j = 1,2,...,N2

(13)

(14)

2

v пл J

Теперь в уравнении (13) дифференциальный оператор заменим

разностным и получим трехточечную систему уравнений с диагональным

ф(2)

преобладанием, которая решается методом прогонки. Зная Vi,j,к, с помощью

®(2)

(14), (12) от функции Yi,j к переходим к функции

N +1 n2

Vi,j,к = ^ ,i,Sl ' P7,j,s2 ' ,к

s1 = 0 s2 = 0

Повторяя этот процесс n - раз получим решение задачи (5)-(6) в момент времени tn=nAt. Аналогично решается задача (5)-(7) и соответствующие сопряженные задачи.

Использованные источники:

1. Ravshanov N., Sharipov D., Muradov F. Computational experiment for forecasting and monitoring the environmental condition of industrial regions // Theoretical & Applied Science : International Scientific Journal. - 2016. - Vol. 35. - Issue 3. - Pp. 132-139. - Doi: http://dx.doi.org/10.15863/TAS.2016.03.35.22.

2. Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислителная математика в примерах и задачах. - М.: Наука, 2008. - 368 с.

3. Равшанов Н., Шарипов Д.К., Ахмедов Д. Моделирования процесса загрязнения окружающей среды с учетом рельефа местности погодно-климатических факторов // Информационные технологии моделирования и управления - Воронеж, 2015.№3. - С. 222-235.

4. Фаддеева В.Н. Метод прямых в применении к некоторым краевым задачам//Труды Математического института АН СССР им. В.А. Стеклова, т. XXVIII (28), М., 1949.