CC BY
2
УДК: 519.6+504.064.36:574
Мурадов Ф.А. базовый докторант Научно-инновационный центр информационно-коммуникационных технологий Ташкентский университет информационных технологий им.
Мухаммада Аль Хорезмия Набиева С. С. студент магистратуры Эгамкулов А.Ш. студент магистратуры Набиева И. С. студент бакалавриата ТУИТ СФ
Республика Узбекистан, г. Ташкент О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ ОСНОВНЫХ И
СОПРЯЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ДИФФУЗИИ И ПЕРЕНОСА
Аннотация. В статье приведены математическая модель и результаты численных расчетов на ЭВМ для определения основных физических параметров, воздействующих на процесс переноса и диффузии аэрозольных выбросов в атмосфере с целью мониторинга и прогнозирования экологической ситуации в промышленных регионах. При выводе математической модели исследуемого процесса, были учтены основные параметры: скорость и направление ветра, изменяющиеся по времени, коэффициент поглощения аэрозольных частиц в атмосфере, мощность и координаты источников выброса вредных веществ, а также такой существенный параметр как рельеф местности рассматриваемого региона. Приводится краткий обзор литературы, посвященной вопросам математического моделирования и вычислительного эксперимента, применительно к процессу распространения вредных веществ. На основе разработанных модели и алгоритма авторами была проведена серия вычислительных экспериментов на ЭВМ. Результаты расчетов проиллюстрированы в виде графиков и снабжены соответствующими комментариями и выводами.
Ключевые слова: математическая модель, численный алгоритм, вычислительный эксперимент, перенос и диффузия вредных веществ, погодно-климатический фактор, орография местности.
Muradov F.A. Senior research Scientist research-Innovation Center of Information and Communication Technologies at the Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad
Al Khorezm, Republic of Uzbekistan, Tashkent city Masters
Nabiyeva S.S.
Egamkulov A.Sh. bachelor Nabiyeva I.S.
in TUIT SB
ON THE NUMERICAL SOLUTION OF THE SYSTEM OF BASIC AND CONJUGATE DIFFUSION AND TRANSPORT EQUATIONS
Annotation. The paper presents a mathematical model and the results of numerical calculations for determining the basic physical parameters of the effects in the transfer process and the diffusion of aerosol emissions in the atmosphere for the purpose of research, forecasting and decision-making. In deriving the mathematical model of the object of study these main parameters is taken into account: the change of speed and wind direction with time; absorption coefficient of aerosol particles in the atmosphere; power and coordinate of sources of emissions of harmful substances as well as a significant parameter - the topography of the region, etc. The article gives a detailed overview of references related to the problem of mathematical modeling and computational experiment of the transfer process and the diffusion of harmful substances. The paper presents the results of numerical calculations in the form of graphics and conclusions associated with it.
Keywords: mathematical model, numerical algorithm, numerical simulation, transfer and diffusion ofpollutants, climatic factor, terrain orography.
В частности, работа [1] посвящена созданию информационной системы для моделирования процессов распространения вредных веществ в атмосфере, выброшенных из промышленных объектов, с использованием прикладного программного обеспечения «ArcGIS», отражающей реальное состояние атмосферного воздуха на местах. Следует отметить, что в рамках данной системы результаты могут быть получены только в отдельных точках, и они не могут дать адекватной картины состояния воздуха на остальной территории.
В статье [2] разработана математическая модель динамики и кинетики процесса распространения аэрозольных частиц в пограничном слое атмосферы как многокомпонентной среды с учетом фотохимической трансформации и образования аэрозолей в тропосфере северного полушария, а также кинетических процессов энуклеации, конденсации и коагуляции.
Автором статьи [3] разработано математическое обеспечение для исследования экологического состояния рассматриваемого региона, размещения пожароопасных объектов и их оптимизации с учетом рельефа местности и пространственной формы.
Статья [4] посвящена разработке компьютерной модели для мониторинга и прогнозирования процесса переноса и диффузии аэрозольных частиц в окружающую среду автотранспортными средствами. Авторы приводят результаты численной реализация модели на ЭВМ с использованием метода контрольного объема на основе разработанного распределенного алгоритма расчета.
В [5] разработана математическая модель процесса распространения вредных веществ в атмосфере с учетом поля ветровых течений на основе системы уравнений Навье-Стокса с учетом сжимаемости и турбулентности воздушной среды, рельефа местности. В качестве численного метода используется SIMPLE-алгоритм.
Исследование [6] проводилось на основе разработанных региональных моделей процесса диффузии веществ, описываемым
гидротермодинамическим уравнением, а именно уравнением молекулярной теплопроводности в активном слое почвы с учетом теплового баланса подстилающей поверхности (вода, земля). Разработанная исследователями комплексная математическая модель состоит из отдельных блоков, каждый из которых представляет математическую модель, описывающую гидротермодинамические процессы в отдельных объектах окружающей среды. В работе рассматривается экологическая проблема, связанная с распределением загрязняющих веществ от известных источников и определяется вероятное местонахождение источника в водной среде.
Процесс переноса и диффузии аэрозольных частиц в атмосфере с учетом различных погодно-климатических факторов и внешних возмущений рассмотрен в работе [7]. В статье обсуждены перенос загрязнителей воздуха от источника с учетом адвекции загрязняющих веществ от среднего движения воздуха, смешивание загрязняющих атмосферной турбулентности и массовой диффузии. Также в работе проводится исследование процесса распространения аэрозольных частиц при различных физических и математических аспектах, связанных с транспортом и диффузией загрязнителей воздуха в пограничном слое атмосферы при слабом и сильном ветрах.
Выбросы промышленных предприятий могут состоять из нескольких компонентов аэрозолей, часть которых под влиянием водяного пара в атмосфере, кислорода, азота и других соединений образует цепочку последовательно превращающихся химических веществ различной токсичности.
Пусть в области О в точке А размещено промышленного предприятие, выбрасывающее на высоте г=Ъ аэрозольные компоненты различных видов. Пусть это будет а1, а2,.... Они распространяются в атмосфере под данным регионам, частично осаждаясь на поверхности и загрязняя окружающую среду. В процессе переноса и диффузии часть таких аэрозольных соединений под влиянием химических реакций в атмосфере переходит в другие формы и описывается следующей системой дифференциальных уравнений.
ь ь ь
ь
Ф] ,о + -Ф] ,о = ,
Ф],1 + а],1 Ф],1 — а]Ф]0 = Ф],2 + а],2 Ф],2 ,1 Ф],1 = °
ф. , +а. , ■ ф. , — а. 0 -Ф
г], ш—1 ], ш—1 т], ш—1 /, ш—2 г ,
Ь-Ф. — а. л-ф. , = °
Т], ш ], ш—1 Т] , ш—1
], ш—2 , ш—2 °
Ф], I дф
], ш—
(1)
У, 1
д7
= 'Ф
] Г], 1
дФ
], 1
д7
= °
на 7 = О на 7 = О
на 7 = О
°5
и ■
Ф] . (г,Т) = Ф]I (г,°), I = °,1,2,...,ш; ] = 1,2,...,п
где
(2)
^х°, ], >о, ], 7°, ]
) >
Ь =--\-diviu, )--V--и - А
' дг дг
Систему дифференциальных уравнений (1) запишем в векторно-матричной форме
ЬФ — АФ = К
] ] ] ] (3)
где
Ф] = (Ф],°, Ф],1,"',Ф],ш—1,Ф],ш ),
° ° ° ° ° 1
—а],1 ° ° ° °
° а],1 а], 2 ° ° °
° ° ° а 9 ], ш—2 —а , ], ш 1 °
° ° ° ° а °
А. =
]
], ш—1
Матрица Л) является матрицей специального типа. Ранг матрица А равен т. Нетрудно убедиться, что собственными числами является: А.п=—а. п,А.л=—а. , = — а = —а , ] = 1,2,..., пг.
т.е. все собственные числа действительные и простые и матрицу можно представить в виде
А=Б]А В,
-1
где В) является собственные вектора матрицы А], соответствующей с
В "1
собственному А/. Преобразуем систему (3), умножая её на ]
+ а2. <) = /(1)
V/,1 ],1 Т],1 ^ ],г
где
В-Ф_ _«0,<>,...,]),
В-1р _ Р(1) _( Г(1) г(1) г(1) ) В] Г] _ Г] _(^,1 ,т )
а2:, _-Л,Л-;< О, г _ 0,1,2,..., т; / _ 1,2,..., п. Собственно, преобразуются и краевые условия (2)
<) _ 0, на О,
(4)
е<1
—^ _«/. ) на °0 , ег
_ 0 на П„.
ег я
(5)
Итак, система дифференциальных уравнений сводилась к независимым дифференциальным уравнениям виде
{— + ) - —V— - ц • АV:1; + о*, = Гп
^ } ег ег Г,г ], ,г ,г
(6)
с краевыми условиями (5).
С решением уравнений (6) мы ознакомились выше.
<(1)
Решая задачу (6)-(5) находим функции ] ,г, и с помощью (4) от функции
<' переходим к функции <■' решения задачи (1) - (2).
Теперь рассмотрим сопряженное уравнение соответствующей (1)
<*,0 ,0 <<,0 _ Р),0, Г -<}Л + а),1 -<}Л -а/,1 _ )
Т* * _ р
, т ], т. <,г _ 0,
е<
], г
ег
е<
/, г
ег
а <
],г г
0
(7)
на О, на О,
на Оя.
< г (г,Г)_<< г (г,0), г _ 0,1,2,...,т; ] _ 1,2,...,п
Систему дифференциальных уравнений (7) напишем в векторно-матиричном виде
ЬФ+АФ=К
] ] ] ]
(9)
где
* / * * * \ ф* =(ф* ,°,ф* , ш)
=(^,1,''',,ш ),
А] =
а
] °
° °
а
] ,0
°
а
] ,1
—а
] ,1
° °
° °
° °
° °
а
], ш 1 °
—а
], ш 1 °
У
А
Ранг матрицы ] равен т, а собственные числа
а г\ = а-,-,, а л=а-,, а .~.=а-п,...,а ■ ,=а- ,, а. = °
],° ] ],1 М' ],2 7,^' ' ], ш—1 ], ш—1' ], ш
А
Матрицу ] можно представить в виде
А * = В* Л*В *-1,
] ] ] ] '
В
где столбцами матрицы ] являются собственные векторы матрицы
А
а* В*"1
, соответствующей собственному числу ],1, умножая (9) на ] приходим к
уравнению
Ь>*(1) +а2 ф.(1) = / (1)
V], I ],1Т],1 Jj
(1°)
где
аи = А*,|, I = °,1,2,.",ш — 1,
в*-Ф;=(ф*,°(1),Ф*^„Ф*,(1)
о*
] ,1
в*-1*;=( а", >:]:.(1>......с )
], ш , ш
),
.2
> .
], ш
а^- = ] = °
Соответственно, преобразуются и краевые условия (8)
(11)
Ф
(1)
], 1
дф
(1)
дг дФ
],I * (1)
], = "],г ' Ф*,|
], 1
дг
°
на О, на ОА
на Оя.
(12)
Фф, |(1) ( г,Т) = ф*, |(1) (г,°), I = 0,1,2,''', ш; ] = 1,2,''', п
Задача (10) - (12) решается разностным методом и с помощью (11) находим решение задачи (2) -( 8).
*
Зная J , J - можно находить функционал, характеризующий загрязнения экологически значимых зон.
Использованные источники:
1. Смирнов Е.А. Информационная система для моделирования распространения загрязнения атмосферного воздуха с использованием ArcGIS // Актуальные вопросы технических наук: материалы междунар. науч. конф. - Пермь, 2011. - С. 27-31.
2. Алоян А.Е. Динамика и кинетика газовых примесей и аэрозолей в атмосфере. - М.: ИВМ РАН, 2002. - 201 с.
3. Чуб А.И. Математическая модель оптимизационной задачи размещения пожароопасных объектов с учетом рельефа области размещения // Радюелектрошка, шформатика, управлшня выпуск. - 2013. - № 1. - С. 88-93.
4. Сухинов А.И., Гадельшин В.К., Любомищенко Д.С. Математическая модель распространения вредных выбросов от автотранспортных средств на основе метода контрольного объема и ее параллельная реализация на кластере распределенных вычислений // Известия Южного федерального университета. Технические науки. - 2009. - № 2. - Том 91. - C. 8-14
5. Гадельшин В.К., Любомищенко Д.С., Сухинов А.И. Математическое моделирование поля ветровых течений и распространения загрязняющих примесей в условиях городского рельефа местности с учетом k-е-модели турбулентности // Известия Южного федерального университета. Технические науки. - 2010. - № 6. - Том 107. - C. 48-67.
6. Kordzadze А. Mathematical modelling of dynamical and ecological processes in the system sea-land-atmosphere // Air, Water and Soil Quality Modelling for Risk and Impact Assessment. - 2007. - PP. 181-193.
7. Sharan M., Gopalakrishnan S.G. Mathematical modeling of diffusion and transport of pollutants in the atmospheric boundary layer // January pure and applied geophysics. - 2003. - Vol. 160. - Issue 1-2. - PP. 357-394.
