CC BY
26
MS С 82В20
ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕКТОРНОЙ РЕШЕТОЧНОЙ МОДЕЛИ С ПАРНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ.
СЛУЧАЙ ВЫРОЖДЕННОГО ОБМЕННОГО ИНТЕГРАЛА
А.С. Клюев, Ю.П. Вирченко
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: virch@bsu.edu.ru
Аннотация. Изучается класс периодических основных состояний сферически симметричной векторной модели статистической механики решеточных систем с парным обменным взаимодействием с суммируемым обменным интегралом. Показано, что векторное поле, минимизирующее энергию, при отсутствии вырождения обменнох'о интеграла таково, что ei'o фурье-образ сосредоточен не более чем в двух противоположных по знаку точках k-пространства.
Ключевые слова: векторная модель, гамильтониан, основное состояние.
Введение. Настоящая работа является продолжением исследований, начатых в |1|, Объектом этих исследований является классическая задача теории магнетизма (см. |2|)
- описание класса векторных нолей, реализующих минимум фиксированного магнитного гамильтониана. Как и в работе |1|, эту задачу мы будем изучать в рамках так называемой векторной сферически симметричной модели статистической механики классических решеточных систем без учета в ней внешнего магнитного ноля |3|. В отличие от указанной работы, мы рассмотрим случай, когда обменный интеграл, описывающий взаимодействие нар магнитных моментов в узлах решетки, обладает фурье-образом, минимум которого реализуется на таком множестве К пар, взаимно-противоположных но знаку волновых векторов, которое содержит более одной нары. При этом парный обменный интеграл предполагается суммируемым па решетке. Мы покажем, что класс распределений векторных нолей па решетке, минимизирующих энергию, является, но сути, тем же самым, что и в случае, когда указанное множество состоит из одной нары, а именно эти векторные ноля представляют спиралеобразные структуры.
1. Векторная решеточная модель. Рассмотрим модель бесконечной идеальной кристаллической решетки в виде дискретного периодического множества Л в Мй, й =
1, 2, 3. Для простоты, будем считать, что решетка обладает простой элементарной кристаллической ячейкой и, более того, представляет собой простую кубическую решетку, то есть ее постоянные векторы решетки в1, е2, е3 (й = 3) взаимно ортогональны и имеют одинаковую длину, которую, опять же дня простоты, будем считать единичной и физически безразмерной. В этом случае множество Л = Zd,
d
Zd = Ix : x = ^ niei, Hi e Z , i = 1, 2, 3 j. i= 1
Здесь полагается, что начало отсчета 0 совмещено либо с одним из узлов Л, либо с центром ячейки.
Обозначим посредством Л^ конечное подмножество из Л, определяемое как
(I
Л^ = |х = пгег : пг = -Ь/2 + к,к = 0 ^ Ь,г = 1 ^ ,
г=1
где N = (Ь + 1)^ и Ь € N. Это множество служит моделью конечного образца кристалла
Ь
Ь
Ь
Обозначим, далее, посредством класс всех векторных (псевдовекторных) полей (Бг(х) : х € Ша,г = 1, 2, 3; sj•(x)sj(х) = в2), По повторяющемуся векторному индексу ] здесь и далее предполагается суммирование от 1 до 3. Таким образом, независимо от размерности й решетки, поле всегда полагается трехмерным. Поэтому, далее, во всех выражениях, в которых векторный индекс не повторяется, полагается, что он принимает значения от 1 до 3, а если векторный индекс у ноля не указывается, то оно выделяется жирным шрифтом как и узлы решетки.
Пусть каждому распределению поля (вг(х); х € Л^) сопоставлено значение гамиль-
1
Нл?М = 9 X! 7(Х 1 - Х2)3г(х1)^(х2) (2)
(х1,х2>ел^
— энергии поля б(х) в кристалле Л^. Решеточная система статистической механики с гамильтонианом (2) называется сферически симметричной векторной моделью в отсутствии внешнего магнитного поля. Здесь функция I(х), заданная на решетке Л, предполагается обладающей свойствами симметрии I(х) = I(—х) и достаточно быстрой сходимости к нулю при |х| —^ такой, что
^ 11 (х)| < о • (3)
хеЛ
В статистической механике часто используется конструкционный прием, который называется введением периодических граничных условий |1|, Этим термином обозначается сопоставление системе с гамильтонианом системы с гамильтонианом, обозначаемым нами далее И[-; Л^], который определяется на классе периодических по modЛN полей б на Л,
3. Задача об определении основного состояния. В рамках моделей с гамильтонианами вида (2) и соответствующих каждому из них периодических аналогов И[-;Л^] представляет особенный интерес решение задачи об описании таких полей (вг(х); х € Л),
1На самом доле, из полученного основного результата работы вытекает, что он остается верным и
в том случае, когда размерность вектора в* равна двум. Одномерный же случай, соответствующий
так называемой модели Изинга, является вырожденным и на него результат настоящей работы не распространяется.
которые реализуют минимум для каждого члена последовательности функционалов (Им; Ь € К). Это означает, что для каждого Лм ищется класс Ъм полей (в(м>(х); х € Лм), (б(м>(х))2 = 1, которые реализуют минимум функционала Им[^;Лм],
Ем = тт{Им[б(м)] ; х € Лм} •
После этого ищется класс Ъ полей (вг(х); х € Л), которые являются предельными точками последовательностей ((в(м>(х); х € Лм); N = (Ь + 1)^) при переходе к пределу Ь — о
Вычисление поля >, которое ревизует условный минимум гамильтониана Им при выполнении совокупности условий (б(м>(х))2 = 1, х € Лм является, таким образом, задачей па условный экстремум. Однако, ее решение па основе стандартного метода неопределенных множителей Лагранжа крайне затруднительно. Поэтому в настоящей работе применяется иной метод решения этой задачи, который был использован в работе 111. Этот метод в сильной степени приспособлен к специфике рассматриваемой задачи и, по-видимому, не допускает широкого обобщения.
При решении задачи об описании класса полей, минимизирующих последовательность функционалов (Им; Ь € К), нами применяется конечное преобразование Фурье для полей на Лм, подробно разобранное в работе [1]. Поэтому мы, при решении задачи, будем обращаться с формализмом конечного преобразования Фурье без детальных пояснений, отсылая читателя за подробностями к цитируемой работе.
4. Описание класса Ъм. Не ограничивая общности, можно с читать, что I (0) = 0 в (2), так как, в противном сну чае, слагаемые ^Е /(0)(з(м)(х))2 = -/(0)М, пропор-
х
циональные I(0), не зависят от вила, поля >(х) и поэтому могут не учитываться при
Ъ
указанному выше гамильтониану И[-;Лм] с периодическими граничными условиями. При этом ноле, минимизирующее энергию, при некоторых ограничениях па порядок перехода к термодинамическому пределу (см. ниже) не зависит от величины N. По этой причине, мы будем далее опускать верхний индекс N в обозначении этого поля. Определим, па основе конечного Фурье-нреобразовапия, функции
1м(к) = ^ 1 (х)ехр(-г(к,х)) , (4)
хеЛ N
Sj(к) = £ Sj (х)е-<“'х> (5)
хеЛ N
так, что имеют место формулы обращения
7<х> = ^ Е Шетх) = ^ Е адк)е-,|1“). <б)
кеЛN кеЛN
2Подробнее об этом продольном пороходо см. [1].
^ Е ь (к)е'{Ы = ^ Е Ч (к>е"““’ • <7>
кеЛN кеЛN
выполняющиеся во всех узлах х € Ъл.
Из условия I(—х) = I(х) и определения (4) следует, что функция /(к) вещественна и для нее имеет место равенство 1(—к) = 1(к), Кроме того, заметим, что, в силу абсолютной суммируемости I(х) на Л (см. (3)), в формуле (4) возможен термодинамический предельный переход Лм ^ Л при Ь ^ то,
/(к) = £ 1 (х)ехР(-*(к,х)) , (8)
хе Л
а также, как следствие, — такой же предельный переход в формуле (6), который приводит к представлению
ад = (^/(9)
кеЛ
где Л = (—п, п]л. При этом функция 1(к) непрерывна внутри Л и периодическая по
тос! Л. Свойство абсолютной суммируемости обменного интеграла I(х) гарантирует
непрерывность Дк) на границе области Л,
Вещественная функция ./(к) определена для всех векторов к, составляющих пространство Мй, в котором она является периодической по тос1Л. В силу свойства -Т(—к) = 1 (к), если эта функция имеет глобальный минимум в какой-либо точке к* € Л, то она обязана иметь такой же минимум в точке —к*.
При решении задачи описания класса основных состояний векторной модели мы будем в настоящей работе предполагать, в отличие от [1], что множество М пар точек {к*, —к*} вместе с возможной точкой к* = 0 (для которой нет парной), в которых функция I(к) достигает глобального минимума в Л, не состоит только из единственной пары.
Дня решения задачи о минимуме преобразуем гамильтониан следующим образом. Подставим в периодический гамильтониан
Н[8(х);Ллг] = ^ ^ /(х! - ха^х^^ха)
ххеЛ, х2еЛN
разложения (7). Тогда, после естественных преобразований (см. |1|), получим
Н[8(х);Ллг] = щ ^ ^к)Мк)|2- (10)
кеЛ N
Пусть функция I м(к) имеет глобальный минимум в какой-то паре точек {к*, —к*} С Лм (либо в точке к* = 0). Тогда при Ь ^ то, тогда Лм ^ Л, в силу непрерывности функции I (к), во всех точках из Лм, соответствующих кри сталлу Лм с размер ом Ь, имеет место предельное соотношение (к) ^ I (к) при т ^ то когда раз мер Ь
кристалла Лм увеличивается пропорционально т € N. Однако, при переходе к такому пределу глобальный минимум функции I(к) может появиться в точке к*, которая не содержится ни в одном из множеств Лм, Не отвлекаясь на эти математические тонкости, будем решать задачу об описании класса основных состояний гамильтониана только для того случая, когда точки минимума функции I(к) не зависят от размера Ь кристалла, начиная с некоторого его значения.
Итак, необходимо минимизировать квадратичную форму (10) с учетом N условий з2(х) = 1, х € Лм, Всю совокупность этих условий запишем в следующей эквивалентной форме
Подстановка в левую часть, фурье-представления (7) векторного поля (х) приводит эту систему условий, ограничивающих возможный выбор поля в і (х) при минимизации квадратичной формы (10), к квадратичной форме в терминах поля в і(к),
При этом на поле /(к), ввиду его комплекснозначности, наложены дополнительные условия Т*(к) = I j(—к).
Поиск минимума формы (10) при совокупности условий (12) производится следующим образом. Сначала, находятся поля I j(к), реализующие минимум с учетом только
к=0
к=0
к=0
з2(х)е-г(х’к) = N4,0 , к Є
хЄЛ^
хЄЛ^
кі,к2Є Л N
хЄЛ^
^ в і (к')вКк'- к) •
кі,к2Є Л N
к'Є Л N
Таким образом, имеем
(12)
к'Є ЛN
кЄ ЛN
(13)
кєЛ N
у которой неотрицательные переменные п(к) = |ві(к)|2 подчинены условию
кеЛ N
При этом переменные п(к) не являются независимыми, а подчинены условиям
П(к) = П(—к) > к € Лм , (15)
где к € д(—п, п]й. Используя непрерывность функции I(к), можно считать, что в форме допускаются также все слагаемые с векторами к € д(—п,п]й и последнее ограничение можно опустить.
Минимизация линейной формы на выпуклом множестве $ = {п(к) > 0 : к € Лм,5^ п(к) = ^} сводится к выбору набора значений п(к) на его границе. Среди ке Лм
всех граничных точек реализуют минимум только те, в которых достигается абсолютный минимум функции I(к). Ранее было указано, что эта функция обладает свойством инвариантности I(к) = I(—к), если к находится внутри Лм, Если же к находится на границе куба Лм (но не в угловой точке), то рассмотрим два случая. Если вектор к лежит на внутренней части какой-либо стороны Лм (не на ребре), то выполняется I (рг(к)) = I(—рг(к)), где рг обозначает проекцию Лм на: координатную плоскость, параллельную этой стороне. Это следует из формулы (8), в которую нужно подставить, например, к = пв1 + рг(к). Если же век тор к лежит на внутренней части ребра куба Лм, то в указанной формуле операция рг обозначает проекцию на координатную ось, параллельную этому ребру, что вытекает из аналогичной подстановки в формулу (8), например, к = п(в1+в2)+рг(к)в3. Отождествив противоположные стороны границы области Лм, можно считать, что функция I(к) инвариантна относительно преобразования к ^ — к на Лм с учетом такого отождествления, что будет далее везде подразумеваться. Возможность включения угловых точек куба в множество К мы не рассматриваем.
Обозначим посредством К подмножество в замыкании с1(Лм), с учетом отождеств-
к
бальный минимум. Это множество инвариантно относительно отражений —К = К, ввиду свойства (15), если иод отражением понимать сделанное выше соглашение об отождествлении сторон Лм, а также ввиду того, что для этих точек минимума имеет место I (к) = I (—к). Кроме того, нужно учесть инвариантность минимизируемой формы относительно замены к ^ —к. Тогда функции п(к), для которых достигается минимум формы (13) могут быть не равны нулю только для к € К. Отсюда следует, что векторное поле ! (к) в общем случае, может быть отлично нуля только при к € К.
Потребуем теперь выполнимости соотношений (12). После подстановки в эти соотношения , получим
4,0 = -^2 X! ^(к')з*(к/ - к) • (16)
к'еж, к-к'еК
При анализе того, к каким ограничениям приводит совокупность этих соотношений, предположим, что множество К удовлетворяет следующему условию: для любой пары векторов к^ и к2 из К выполняется к1 — к2 € К (в частности, это предполагает, что 0 € К точно также как и угловые точки куба Лм). Если такое допущение имеет место, то в представленной сумме найдутся отличные от пуня слагаемые только в том случае, когда к = 0 к = к1 — к2, кь к2 € К, к1 = к2. Это приводит к |К|(|К| — 1) + 1 услови-
к
тождественного нуля только два совпадающих друг с другом слагаемых с ^(к1)!!-(к2) к1 — к2 = к условий
Зафиксируем в списке этих соотношений вектор к1 € К, Тогда в нем, наверняка, имеются два соотношения: ^(к1)!!*(к2) = 0 I'(к1 )!!*(—к2) = 0 с фиксированным вектором к2 = ^ из К, Разложим каждый из векторов I' (к'), к' € К на сумму реальной и мнимой частей: I' (к) = а'(к') + гб' (к'), Тогда из представленных соотношений следует, что I'(к1)а'(к2) = 0 I'(к1)Ь'(к2) = 0, и поэтому
Кроме того, выбрав к = — 2^ и к = —2к2, получим дополнительные соотношения
то есть для каждой пары к1; к2 € К должны существовать четыре вектора, являющиеся все попарно взаимно ортогональными. Это может быть только в том случае, когда один из них равен пуню. Такое положение невозможно, в силу указанных равенств длин векторов о,-(к^ и Ь'(к1^, а также а'(к2) и Ь'(к2).
Следовательно, распределение векторного поля I'(к) и, соответственно, поля в'(х), реализующее минимум функционала (10) (соответственно (2)) таково, что в сумме (13) имеется только два ненулевых слагаемых с п(к') и п(—к') при некотором произвольном, но фиксированном векторе к' € К. Тогда распределение векторного поля в' (х), реализующего минимум энергии, вид
где векторы а' (к') и Ь' (к') взаимно ортогональны и равны по своей длине.
Наконец, обратимся к равенству (17). Оно позволяет определить длину векторов
(17)
к'еК
а'(к^о-(к2) = 0 , Ь'(к^о-(к2) = 0 , а'(к^(к2) = 0 , Ь'(к^(к2) = 0 .
^•(х) = Мк') + г6,-(к/))е*(к,’х)
(18)
где т = а' (к')/|а' (к')| и п = —Ь'(к')/|Ь'(к')| - взаимно ортогональные единичные
векторы.
Таким образом, поле sj(x), при условии, что множество K не содержит 0 и угловых точек куба An, реализующее минимум функционала энергии геометрически, представляет собой спиральную магнитную структуру, определяемую произвольной парой взаимно ортогональных векторов m и п и вектором k7 G K С AN, который определяет направление оси и шаг спирали.
Литература
1. Вирченко Ю.П. Основное состояние векторной решеточной модели /7 Belgorod State
University Scientific Bulletin. Mathematics & Physics. 2012. 23(142);29. C.54-66.
2. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминекий С.В. Спиновые волны / М.: Наука, 1967. 368 с.
3. Ruelle D. Statistical Mechanics, Rigorous Results / Nev York-Amsterdam: W.A.Benjamin, Inc., 1969. (Рюэль Д. Статистическая механика. Строх’ие результаты / М.: Мир, 1971.)
4. Вирченко Ю.П. К теории ochobhoi'o состояния обменной модели Гейзенберга /7 Проблемы теоретической физики / Киев: Наукова думка, 1991. С.80-96.
GROUND STATE OF VECTOR LATTICE MODEL WITH PAIR INTERACTION THE DEGENERATE EXCHANGE INTEGRAL CASE
A.S. Klyuyev, Yu.P. Virchenko
Belgorod State University,
Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: virch@bsu.edu.ru
Abstract. The class of periodical ground states of spherically symmetric vector model of statistical mechanics is studied. It is done at the supposition that external field is absent and the exchange integral in its hamiltonian is integrable. Besides, it is supposed that the Fourier-image of exchange integral is degenerate that is the Fourier-image of pair-exchange integral has more than one pair of sign-opposite points in k-space where its minimum is realized. It is shown that the vector field should be concentrated only at one pair point of k-space with opposite sign as it is in the case without the degeneracy of exchange integral.
Key words: vector model, hamiltonian, ground state.
