Осесимметричная задача о распределении напряжений на упруго закрепленной границе изотропного полупространства при действии нормальной нагрузки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА О РАСПРЕДЕЛЕНИИ НАПРЯЖЕНИЙ

НА УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ГРАНИЦЕ ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ ДЕЙСТВИИ НОРМАЛЬНОЙ НАГРУЗКИ

© 2013 г. Н.С. Хапилова, В.В. Залетов, С.В. Залетов

Хапилова Нелли Сергеевна - доктор технических наук, заведующая отделом аналитических методов механики горных пород, Институт прикладной математики и механики НАН Украины, ул. Р. Люксембург, 74, г. Донецк, Украина, 83114, e-mail: [email protected].

Залетов Владислав Всеволодович - кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник, Институт прикладной математики и механики НАН Украины, ул. Р. Люксембург, 74, г. Донецк, Украина, 83114, e-mail: [email protected].

Залетов Сергей Владиславович - аспирант, Таганрогский государственный педагогический институт им. А.П. Чехова, ул. Инициативная, 48, г. Таганрог, Ростовская область, 347936, e-mail: [email protected].

Khapilova Nelli Sergeevna - Doctor of Technical Science, Head of the Department of Analytical Methods of the Rock Mechanics, Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the National Academy of Science of Ukraine, R. Lyuksemburg St., 74, Donetsk, Ukraine, 83114, e-mail: [email protected].

Zaletov Vladislav Vsevolodovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Junior Scientific Researcher, Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the National Academy of Science of Ukraine, R. Lyuksemburg St., 74, Donetsk, Ukraine, 83114, e-mail: [email protected]. ua.

Zaletov Sergey Vladislavovich - Post-Graduate Student, Chekhov Taganrog State Pedagogical Institute, Initsiativnaya St., 48, Taganrog, Rostov Region, Russia, 347936, e-mail: [email protected].

Исследовано аналитическое решение осесимметричной задачи о деформации изотропного полупространства при упругом закреплении границы вне области приложения нормальной нагрузки. Получено интегральное уравнение Фредгольма второго рода для определения входящей в решение неизвестной функции, характеризующей плотность нагрузки в круговой области. Предложен алгоритм расчета нормального напряжения на границе. Изучены закономерности распределения напряжения на упруго закрепленной части границы в случае, когда в круговой области приложена нагрузка постоянной интенсивности.

Ключевые слова: теория упругости, изотропное полупространство, распределенная нагрузка, упруго закрепленная граница, аналитическое решение, расчет напряжений.

The analytical solution of axisymmetric problem about deformation of an isotropic half-space with boundary elastically fixed outside the area of the application of the normal load is considered. It is obtained Fredholm integral equation of the second kind for the determination of unknown function, which density of the load in a circular area simulates. The algorithm for the calculation of the normal stress on the boundary is supposed. The regularities of the distribution of stress on the elastically fixed boundary are investigated in the case when the load of constant intensity is applied in the circular domain.

Keywords: theory of elasticity, isotropic half-space, distributed load, elastically fixed boundary, analytical solution, stress analysis.

В теории упругости при аналитических исследованиях задач о действии распределенной нагрузки на полупространство, как правило, используется принцип суперпозиции решений задачи Буссинеска о напряженном состоянии упругого полупространства, к границе которого приложена сосредоточенная сила [1]. В случае осесимметричных задач применение принципа суперпозиции, с помощью которого осуществляется переход от сосредоточенной силы к распределенной нагрузке, связано со значительными вычислительными трудностями. Так, с помощью этого метода в классических работах С.П. Тимошенко и Дж. Гудьера получены аналитические формулы [2] для компонент тензора напряжений и вектора перемещений только на границе полупространства в случае нагрузки, равномерно распределенной по круговой области.

В [3] для решения задачи о симметричной деформации изотропного полупространства использован метод интегрального преобразования Ханкеля. В результате построено аналитическое решение осесим-метричной задачи для полупространства при упругом

закреплении границы вне круговой области приложения распределенной нагрузки, заданной функцией, зависящей от радиальной координаты. При этом получены формулы для компонент тензора напряжений и вектора перемещений как в упругом полупространстве, так и на его границе.

В настоящей работе решение из [3] преобразовано путем перехода от трансформанты к оригиналу введенной вспомогательной функции, построено интегральное уравнение для её определения, выполнен численный анализ распределения нормального напряжения на упруго закрепленной части границы.

Постановка задачи

Рассматривается смешанная задача теории упругости о деформации изотропного полупространства, на границе которого действует распределенная по круговой области нагрузка, удовлетворяющая условиям осевой симметрии; вне области приложения нагрузки нормальные напряжения и перемещения пропорциональны; касательные напряжения на всей плоскости,

ограничивающей полупространство, отсутствуют; напряжения на бесконечности обращаются в нуль.

Совместим начало цилиндрической системы координат г ,в, г с центром круговой области приложения нагрузки (рис. 1). Ось г направим вертикально вверх. В случае осесимметричной деформации система уравнений теории упругости для изотропного тела [2] сводится к уравнению

у2 у2 ф = 0 , где Ф(г, z) - функция напряжений Лява,

(1)

У2 =

а2

1 8

а2

8 r2 r 8r 8 z2

Рис. 1. Упругое полупространство ъ > 0 Компоненты тензора напряжений <гг (г, г),

< (г, г), < (г, г), т (г, г) и вектора перемещений и (г, г), и(г, г) через функцию Ф(г, г) выражаются следующими формулами:

д , д2 Ф д , 1 дФ

< =ТТ 0?2Ф-—), 0?2Ф - - —) , (2)

дг дг дг г дг

д , д2Ф д , д2Ф

< =-[(2-V)?2Ф-—г], ти = -[(1 -V)?2Ф--у], (3)

дг дг дг дг

1 + v82 Ф E 8r8z

(4)

(5)

1 , д2 Ф

и = — [2(1 -V)?2 Ф -— ], 2О дг

где модуль сдвига О = Е/[2(1 + V)]; Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона.

Граничные условия для верхнего упругого полупространства г > 0 запишем в виде

< (г,0) = д(г), г < а; < (г,0) = ки(г,0), г > а ; (6) Т(г,0) = 0, г . (7)

Здесь д(г) - интенсивность нагрузки, распределенной по кругу радиуса а; к - постоянный коэффициент пропорциональности напряжений и перемещений.

Таким образом, задача сводится к определению из уравнения (1) функции Ф(г, г), для которой в плоскости г = 0 выполняются граничные условия (6), (7) при подстановке в них напряжений < , тп и перемещения и в соответствии с формулами (3), (5). При известной функции Ф(г, г) компоненты тензора напряжений и вектора перемещения вычисляются по формулам (2) - (5). Частными случаями исследуемой задачи являются задача о действии сосредоточенной силы на полупространство с упруго закрепленной

границей [4], а также задача Буссинеска и первая основная задача теории упругости, когда к = 0 . На практике к смешанной задаче (6), (7) приводятся математические постановки задач о расчете пространственного напряженно-деформированного состояния массива горных пород при разработке пластовых месторождений полезных ископаемых, а также задач об оценке прочности деталей с тонкими перфорированными прослойками.

Аналитическое решение осесимметричной смешанной задачи

В [3] при построении решения сформулированной граничной задачи (6), (7) введена функция

ß(r) = f<7(r) + Mr,0X r < a ß( ) | 0, r > a '

(8)

с помощью которой первые два условия (6) преобразованы к одному соотношению

< (г,0) = - Дг) + ки(г,0) , г < да. (9)

Чертой, поставленной над функцией, будем обозначать её трансформанту при интегральном преобразовании Ханкеля [5]. В частности, для трансформанты функции в(г) имеем

Д0 = %Р(г)^0(г^г, (10)

где - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Согласно [3], где получено решение задачи о симметричной деформации изотропного полупространства при смешанных граничных условиях (6), (7), распределение напряжений в граничной плоскости г 0 имеет вид

< (г ,0)=—-—¡;тчго—, щ) г+% г г+%

ae(r,0) = 2v\;p(t )J o(rt)

t2 dt 1 - 2v

t + Z r t2 dt

J0°ß(0 Ji(rt)

tdt t + X

(r,0) = -J0 ß(t)J0 (rt) --, (r,0) = 0,

t + Ж

а перемещения на границе полупространства определяются формулами

✓ (1 + v)(1 -2v) ч tdt

u(r,0) =---^-J0 ß(t)Jx(rf)

E

t + Ж

w(r,0) =

2(1 - v2)

J0°ß(t )J 0(rt)

tdt

(12)

(13)

Е ......г + %

В равенствах (11) - (13) символом ^ обозначена функция Бесселя первого рода, параметр % находится из соотношения [3]

2k (1 - v2)

~E

(14)

Если граница полупространства не закреплена (к = 0), то входящая в решение функция /3(г), как следует из формулы (8), равна ^(г). В этом случае для использования решения (11) - (13) достаточно вычислить по формуле (10) трансформанту функции, задающей приложенную к телу нагрузку. Если для конкретной нагрузки д(г) вычисление трансформанты затруднительно, то в решении (11) - (13) следует

z

вернуться к оригиналу функции //(г), применив формулу обращения.

В случае, когда вне области приложения нормальной нагрузки граница закреплена, в решении (11) -(13) также удобнее перейти к оригиналу неизвестной функции /(г). Преобразуем, например, формулу (13) для вертикального перемещения на границе. Учитывая, что функция //(г) обращается в нуль при г > а, находим

2(1 — V^ )

™(г0) = | [ Л№Уо Г)-=

Е о о : + у

2(1 - у 2) E

%ß(?)g w (ё, r)d4 ..

где

g w (ё, r)=ёГ J о(ё) J 0(rt)

tdt

(15)

(16)

: + У

Подобным же образом легко преобразуются формулы (11), (12) для радиального перемещения и нормальных напряжений на границе.

Для определения входящей в соотношение (15) неизвестной функции /(г) в круге г < а используем равенство (8). Из него с учетом формул (14)-(16) получим интегральное уравнение

/(г) = д(г) + /Лёъ (Л, гЖ, г < а, (17)

ядро которого находится из соотношения

(Л, г) = У% „ (Л, г) . (18)

Таким образом, распределение перемещения w на границе полупространства определяется формулой (15), причем входящая в неё функция /(г) находится из интегрального уравнения (17), (18). Если на упруго закрепленной границе действует сосредоточенная сила Р , то устремив радиус круга а к нулю, найдем,

что функция /(г) равна Р /2ж, а полученные результаты совпадают с формулами, приведенными в [4, 6].

Расчет нормального напряжения о(г) на границе полупространства в случае нагрузки, равномерно распределенной по круговой области

Численная реализация решения смешанной задачи (6), (7) при известном законе распределения нагрузки д(г) в заданной круговой области начинается с решения интегрального уравнения (17). Оно представляет собой неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода, решение которого может быть записано в виде бесконечного ряда Неймана [7] //(г) = 2Г=о Кпд(г), г е у.

Здесь К - интегральный оператор уравнения (17).

Численно решение уравнения (17) осуществляется методом последовательных приближений [8] с помощью равенств

/\г) = д(г),

j (r) = q(r) + ¡few (r,(4)d£ , j > 0 .

(19)

Исследуем задачу в случае, когда к границе полупространства приложена распределенная по круговой области нагрузка постоянной интенсивности = const. Преобразуем интегральное уравнение

(17), разделив левую и правую части на и введя безразмерную функцию /(г) = /3(г)/д0, получим

/(г) = 1 + (г,ЛЖЛ . (20)

В соотношениях (19) также перейдем к безразмерной функции /(г), разделив правые и левые части на . При численном решении уравнения (20) методом последовательных приближений в соотношениях (19) положим /З^0 = 1, заменим интеграл суммой произведений значений подынтегральной функции на величину элементарного отрезка и найдем значение /[11 в 1-м приближении. При реализации метода последовательных приближений на ПК расчет функции / в точке (г,о) продолжается до момента выполнения условия/] — —1})/] <е, где £ - заданная точность вычисления. Изложенный метод решения интегрального уравнения позволяет найти значение функции /(г) в произвольной точке области 0 < г < а.

При решении контактных задач теории упругости, а также задач строительной и горной механики большой практический интерес представляет расчет нормального напряжения а2. Исследуем распределение напряжения < (г,0) на упруго закрепленной части границы г > а . Из формул (8), (9), (13) - (16) найдем

гж

z (r ,0) = kW (r ,0) = x\ß(t)J o(rt)

t + Z

= „Лг)Л , г > а . (21)

о

Разделим равенство (21) на

< (г,0) = х£РЛ)%„(Л,г)Л , г > а . (22)

Положим а = 1, тогда Л < 1, координата г > 1, вид функции ^ определяется формулой (16), функция /(Л) находится из решения интегрального уравнения

/(Л) = 1+(ЛЛУЛ (23)

Преобразуем несобственный интеграл, содержащийся в равенстве (16),

■» ™ : + у — у г) = |Уо(ЛУо(г:)-= 1 Уо(ЛУо(г:) У У Ж: =

о : + у о : + у

dt

(24)

о о t + z

Вычислим [9] первый интеграл в правой части

= IУ о Л У о (г:)Л — у | у о (ЛУо (г:)

о

Вычислим формулы (24)

] у о ЛУо (г:)Ж: = — К | Л |, о <4, < г. (25) о жг ^ г )

Здесь К- полный эллиптический интеграл 1-го

рода. Подставим выражение (25) в формулу (24), получим

2 (ё \ ™ dt

<рёr) = -K\ ё1 I -zi Jоё)Jo(rt)--

TD- \ r ) о t + z

a

о

Опустим «волну» над функциями в равенствах (22), (23). Тогда формула для безразмерного нормального напряжения о^г, 0) примет вид

<(r,0) = х/А£)£р(6,r)d4i , r > 1,

(27)

где функция ср(^х, г) задается равенством (26), а ) определяется из интегрального уравнения (23).

На рис. 2 представлены графики распределения нормального напряжения < (г,0)/^ при изменении радиальной координаты г^ от 1 до 4 для значений параметра х, равных 0,2; 1; 1,8 м-1. В качестве материала полупространства выбирались горные породы, лежащие на упругом основании (угольном пласте), ослабленном цилиндрической выработкой. Интеграл в правой части формулы (27) вычислялся по формуле

трапеции.

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

-0,0Î

-0,10

-0,Ii

-0,20

-0,2i

-0,30

oz

-0,35

■ 1 ■

■ 1 ■

х =0,2

- х =1

=1,8

б

Рис. 2. Распределение напряжения а2 в области упругого закрепления границы: а - r/a е [1,1; 2,0]; б - r/a е [2,0; 4,0]

В случае первой основной задачи, когда параметр X = 0, напряжение az вне области приложения нагрузки равно нулю. Из рис. 2 видно, что при упругом закреплении границы (х ^ 0) в области r>1 появляются напряжения, максимум которых достигается при r = 1, т.е. на контуре круговой области приложения нагрузки. С ростом параметра х от 0,2 до 1,8 максимум az, увеличивается. При удалении от области приложения нагрузки абсолютные значения функции < (r,0) монотонно убывают. Как показывает рис. 2, при меньших значениях параметра X убывание кривых происходит медленнее. Поэтому график az, соответствующий значению х = 1,8, пересекает кривые, построенные для

X = 1 в точке r » 2,1 и для х = 0,2 в точке r2 » 3,6. Обозначим через r3 координату точки пересечения графиков, соответствующих значениям параметра X = 0,2 и х = 1. Из рисунка видно, что при r < r напряжения az увеличиваются с ростом параметра х, а при r > r3 закономерность влияния параметра х изменяется: напряжения становятся больше при меньших значениях параметра х. Из расчетов следует, что при выбранных значениях х радиальная координата Г » 4,1, а в области r e[r,, r3 ] имеет место сложная зависимость нормального напряжения от величины параметра х. При любых х напряжение az при r ^ ® обращается в нуль. Если же х ^ œ (случай жесткого закрепления), то напряжения при r = 1 становятся бесконечно большими.

Литература

1. Boussinesq J. Application eles Potentiels a l'Etude l'Equilibre et du Mouvement des Solides Elastiques. Paris, 1885. 721 p.

2. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., 1975. 576 с.

3. Хапилова Н.С., Залётов С.В. Осесимметричная деформация изотропного полупространства при упругом закреплении границы вне области приложения нормальной нагрузки // Современные проблемы механики сплошной среды : тр. XV междунар. конф. Ростов н/Д, 4-7 декабря 2011 г. Т. 2. Ростов н/Д, 2011. С. 246 - 250.

4. Залётов В.В. Осесимметричная задача теории упругости для изотропного полупространства, лежащего на упругом основании, при действии сосредоточенной силы // Тр. ИПММ НАН Украины. 2004. Т. 9. С. 61 - 67.

5. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л., 1963. 368 с.

6. Хапилова Н.С., Залётов В.В. Симметричная деформация упругого полупространства при смешанных граничных условиях // Математические проблемы механики неоднородных структур : материалы VIII междунар. науч. конф. Львов, 14 - 17 сентября 2010 г. Львов, 2010. С. 96 - 97.

7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., 1978. 832 с.

8. Канторович Л. В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1984. 752 с.

9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1974. 1108 с.

Поступила в редакцию

12 февраля 2013 г.

0

а