Влияние деформируемости угольного пласта на пространственное напряженно-деформированное состояние массива горных пород в окрестности полости Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

- © Н.С. Хапилова, В.В. Залетов,

С.В. Залетов, 2015

УДК 539.3: 622.8

Н.С. Хапилова, В.В. Залетов, С.В. Залетов

ВЛИЯНИЕ ДЕФОРМИРУЕМОСТИ УГОЛЬНОГО ПЛАСТА НА ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД В ОКРЕСТНОСТИ ПОЛОСТИ

На основе решения осесимметричной задачи о деформации упругого полупространства предложен метод расчета нормального напряжения на контакте пород с угольным пластом в окрестности цилиндрической выработки. Численно исследовано влияние деформируемости пласта и глубины его залегания на опорное давление.

Ключевые слова: массив горных пород, угольный пласт, цилиндрическая выработка, опорное давление, теоретические и численные исследования.

Разработка и оптимизация способов охраны подземных выработок и предупреждения динамических явлений в шахтах, как правило, базируются на теоретических либо экспериментальных исследованиях закономерностей распределения напряжений в окрестности полостей, образованных в массиве горных пород. Ниже на основе аналитического решения задачи о пространственном напряженно-деформированном состоянии массива с выработкой, проведенной в пласте полезного ископаемого, проанализированы закономерности распределения напряжений в горных породах, вмещающих угольный пласт с полостью в форме прямоугольного параллелепипеда.

Обозначим через 2h мощность горизонтального угольного пласта, залегающего на глубине H от дневной поверхности.

Введем декартову прямоугольную систему координат, совместив координатную плоскость x, у с поверхностью контакта пласта полезного ископаемого с породами, ось г направим вертикально вверх (рис. 1).

Пространственное напряженное состояние ненарушенного массива опишем формулами

ст° = ст° = ард(Н - г), ст° = рд(Н - г), т0у = £ = т0^ = 0 (1)

„о

Здесь стх, сту,..., туг - компоненты тензора нормальных и касательных напряжений, а - коэффициент бокового распора, р - средняя плотность горных пород, д - ускорение силы тяжести.

В массиве с выработкой неизвестные напряжения стех,сте,...,стуг представим в виде сумм

стх = ст0 + ст , стх = ст0 + ст ,

х х х' у у у'

стХ = ст0 + ^ , стХу = т°у + тху , (2)

стх =т° +т , стх =т° +т .

хг хг хг' ух ух ух

где стх,ст ,...,туг - дополнительные напряжения, появление которых связано с созданием полостей в массиве.

Для достаточно больших глубин залегания разрабатываемого пласта при определении дополнительных напряжений можно пренебречь влиянием дневной поверхности. Тогда задача о напряженном состоянии массива с горизонтальным угольным пластом может быть рассмотрена как трехмерная задача теории упругости для полупространства, лежащего на

Рис. 1. Схема угольного пласта с призматической выработкой

перфорированном упругом основании, моделирующим пласт полезного ископаемого с выработками.

Считаем, что в плане сечение V призматической выработки имеет произвольную форму. Сформулируем граничные условия смешанной задачи. При г = 0 в области V, являющейся потолком выработки, в случае отсутствия крепи дополнительное напряжение о согласно (1), (2), равно рдН. Касательные напряжения тх* ту* в точках граничной плоскости равны нулю. Чтобы учесть деформируемость пласта, принимаем, что в точках поверхности контакта угля с породами выполняется условие пропорциональности нормальных напряжений и смещений.

В работе [1] построено решение сформулированной смешанной задачи теории упругости для изотропного полупространства, позволяющее рассчитать опорное давление на угольный пласт, другими словами, определить распределение нормального напряжения ст® в плоскости контакта угля с породами. Численные результаты исследования пространственного опорного движения в концевой части (нише) очистной выработки приведены в книге [2]. Ниже кратко изложим один из способов решения смешанной задачи, позволяющий вычислить компоненты тензора напряжений не только в плоскости контакта угля с породами, но и в произвольных точках массива.

Для построения искомого решения смешанной задачи используем аналитическое решение задачи о действии сосредоточенной силы на полупространство, лежащее на упругом основании [3]. В этом случае задача осесимметрич-на, поэтому введем цилиндрическую систему координат г, 9, г. В результате решения задачи с помощью интегрального преобразования Ханкеля для компонент напряжений, действующих в изотропном полупространстве, лежащем на упругом основании, имеем следующие формулы [4], [5]:

СТ =

Р_ 2п

1 - 2у

(

\

1 -

(г2 + *2 )1

3г* 2

(г2 + *2 )5

2П; Н ЛI1 - *) J о (П )-(1 - 2у-*) J1 (П)

2пг

* + Х

Л,

(3)

ст

=-2*)

( г2 + г2)

V 2 2 Г

1 --

( г 2 + г2 )1

/у

р£7^2 и о (* ) + (1 - 2у-г ) и о ( п )} ^

Р 7

ст =--V +

-А,

3Рг3 Р 7 г (1 + Ь)

2п(г2 + г2)/2 2п 0 г + Х 3 РГ г2

+ Х

J 0 (Гг) х-гЛ,

Тгг - -

2п( г 2 + г2)

5/ + 7 ^ (гг) л.

2)Т2 2п 0 г + X

(5)

Здесь Р - сосредоточенная ^ила, J0(rt), J1(rt) - функции Бесселя нулевого и первого порядка, г = (х2 + у2) 2. Постоянная х определяется из соотношения

(1 -V2)

Х =(7)

где V - коэффициент Пуассона, Е - модуль упругости пород, к - «коэффициент постели» упругого основания, характеризующий деформируемость угля.

Приравнивая в формуле (5) координату г нулю, получаем закон распределения нормального напряжения на границе полупространства

ст г = Рх Г и 0 (гг = РС(х,у)

г 2п 0 у Ч + х (8)

При единичной сосредоточенной силе равенство (8) совпадает с аналогичной формулой для а приведенной в работе [1]. Закономерности распределения напряжений и перемещений в изотропном полупространстве, лежащем на упругом основании, при действии на него сосредоточенной силы исследованы в [4], [5].

При переходе в решении (3)-(6) от цилиндрической к прямоугольной системе координат вычислим напряжения от единичной сосредоточенной силы, приложенной в произвольной точке (Е,,п) области V. Составляющие напряжений в декартовой системе координат х, у, г имеют вид [6]:

А

ст х -

ст = ст.

(ст Г + ста) +

(стГ + сте) -

(ст г -ста) (х -^)2 -(у - п)2 2 (х - ^)2 + (у - п)2

(ст г -ста) (х -^)2 + (у - п)2

= (стГ - ста)

2 (х -£,) +(у -п) (х -£,)(у -п)

(х -£,) +(у -п)

(9)

(10) (11)

(12)

гг

Т хг Т г.

(х -*)

Т уг

-У) +(у -п)

г (У -П)

■\1(х + (У -п)2

(14)

Здесь напряжения аг, сте, аС, тгг задаются соотношениями (3)-(6), в которых

величина г полагается равной г =

(х -£,)2 +(У -п)2]^ .

Переход от сосредоточенной силы к распределенной нагрузке осуществим общепринятым в теории упругости способом с помощью принципа суперпозиции. Выделим в окрестности точки приложения сосредоточенной силы (Е,,п) элементарную площадку ¿^¿ц и проинтегрируем, используя [7], [8], правые части соответствующим образом преобразованных соотношений (9)-(14) по области приложения распределенной нагрузки неизвестной интенсивности Р(Е,, п).

В результате получаем аналитические формулы для расчета напряжений в произвольных точках полупространства

ах (х, у, г) = п)

+х

2п ■

(1 + 2у- 1г)^(р1) -

3г(х - У)2 + 1 - 2у

р5

р2р1

г(у -п)2 , (х -У2 -(у -п)2

р2

(х -У)2 -(у -п)2

(1 - 2у- ) Jl( р1)

Р1 + г 1 + х|

а г (х, у, г) = 2-{{р( У, п) ]-3г2 + х| (1 + 1г) ^(р1) е

2п

р5

161

1 + х

Туг (х, у, г) = — Л р(У, п)(у - п)'

3г! р5

хг

Р 0

+ Jl(p1 )е

12 61

1 + х

(15)

В соотношениях (15) введены обозначения

Р = д/ (х-У)2 +(у-п)2, Р1 =у1 (х-У)2 +(у-п)2 + г2

Неизвестная функция Р(х, у) находится из решения неоднородного интегрального уравнения

р(х, у) = рдН + ГГ р(У, п)С(х -У, у - п)бубп, (х, у) е V

V , (16)

в котором функция О определяется равенством (8). При переходе к безразмерным напряжениям левые и правые части соотношений (15), (16) делятся на рдН.

Результаты численных исследований распределения напряжения для прямоугольной области V со сторонами 10 м и 6 м приведены на рис. 2, 3. Начало декартовой системы координат совмещено с точкой пересечения диагоналей прямоугольника. Так как область V симметрична относительно координатных осей х, у то пространственное распределение безразмерных нормальных напряжений ах = ах / рдН , аг = аг / рдН в плоскости г = 6 (рис. 2 а, 3 а) исследовано в области V1 = {х е [0; 10], у е [0,10]}, а в плоскости г = 0 (рис. 2 б, 3 б)

Т

Рис. 2. Распределение безразмерных напряжений ах: а) область плоскость z = 6; б) область плоскость г=0

Рис. 3. Распределение безразмерных напряжений <зг: а) область плоскость z = 6; б) область плоскость z = 0

в области V2 = {x е [5; 10],y е [3,10]}, которая является поверхностью контакта угольного пласта с породой. При расчетах коэффициент Пуассона пород полагался равным 0,25.

Входящий в равенстве (7) коэффициент k оценивался по известной формуле [2]

k = (1

«1 + v c )(1 - 2v c)

где v , Ec - коэффициент Пуассона и модуль Юнга угольного пласта. Трехмерные графики построены при % = 1м-1. Аналогичные графики строились для всех компонент напряжений при варьировании параметра %.

Из рис. 2, 3 видно, что картины распределения напряжений в плоскостях z = 6 м и z = 0 отличаются качественно. Расчеты показывают, что в плоскости z = 6 м в некоторой области V3, находящейся непосредственно над областью V, распределение напряжений зависит в основном от нагрузки pgH, по мере удаления от области V3 в плоскости z = 6 м усиливается влияние параметра %, характеризующего деформируемость угольного пласта. Зависимость распределения напряжений от параметра % также возрастает при приближении к граничной плоскости. Из расчетов следует, что в плоскостях z = const нормальные напряжения с ростом % от 0,2 до 1 увеличиваются в 2-4 раза, касательные изменяются на 20-30%. Для получения полных напряжений в массиве необходимо к рассчитанным величинам стх, сту,... Tyz прибавить начальные напряжения, которые задаются соотношениями (1).

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кавлакан М.В., Михайлов А.М. Решение смешанной статической задачи теории упругости для полупространства на упругом основании // Доклады АН СССР. - 1980. - Т. 251. -№ 6. - C. 1338-1341.

2. Хапилова Н.С. Теория внезапного отжима угольного пласта. - Киев: Наукова думка, 1992. - 232 с.

3. Залетов В. В. Осесимметричная задача теории упругости для изотропного полупространства, лежащего на упругом основании, при действии сосредоточенной силы // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. - 2004. - Т. 9. - С. 61-67.

4. Залетов В.В. Распределение напряжений в изотропном полупространстве при заданных граничных условиях смешанного типа // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. - 2006. - Т. 13. - С. 83-91.

5. Залетов В.В., Хапилова Н.С. / Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. - 2010. - Т. 20. - С. 65-73.

6. Амензаде Ю.А. Теория упругости. - М.: Высшая школа, 1971. - 287 с.

7. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1974. - 1108 с.

8. Корн Г., Корн. Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1978. - 832 с.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ_

Хапилова Нелли Сергеевна - доктор технических наук,

Залетов Владислав Всеволодович - кандидат физико-математических наук,

Институт прикладной математики и механики НАН Украины, e-mail: hapines.nelly@gmail.com;

Залетов Сергей Владиславович - аспирант, e-mail: hapines.nelly@gmail.com,

Таганрогский государственный педагогический институт.

UDC 539.3: 622.8

THE INFLUENCE OF DEFORMABILITY OF COAL SEAM

AT SPATIAL STRESSED-STRAINED STATE OF ROCK MASS NEAR OF CAVITY

Khapilova N.S.1, Doctor of Technical Sciences, e-mail: hapines.nelly@gmail.com,

Zaletov V.V.1, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, e-mail: hapines.nelly@gmail.com,

Zaietov S.V., Graduate Student, e-mail: hapines.nelly@gmail.com,

Taganrog State Pedagogical Institute, 347936, Taganrog, Russia,

1 Institute of Applied Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Ukraine, 83114, Donetsk, Ukraine.

It is created the method of the calculation of the three-dimensional stressed state of a rock mass with a working, which has an arbitrary form of the section in the plane. It is numerically investigated the distribution of stresses near the cavity in the form of a cuboid.

Key word: rock mass, coal seam, prismatic working, the spatial stressed-strained state, regularities.

REFERENCES

1. Kavlakan M.V., Mikhailov A.M. Doklady AN SSSR (Proceedings of the USSR Academy of Sciences), 1980, vol. 251, no 6, pp. 1338-1341.

2. Khapilova N.S. Teoriya vnezapnogo otzhima ugolnogo plasta (Theory of sudden squeeze of coal ), Kiev, Naukova dumka, 1992, 232 p.

3. Zaletov V.V. Trudy Instituta prikladnoi matematiki i mekhaniki NAN Ukrainy (Transactions of the Institute of Applied Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Ukraine), 2004. T. 9, pp. 61-67.

4. Zaletov V.V. Trudy Instituta prikladnoi matematiki i mekhaniki NAN Ukrainy (Transactions of the Institute of Applied Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Ukraine), 2006. T. 13, pp. 83-91.

5. Zaletov V.V., Khapilova N.S. Trudy Instituta prikladnoi matematiki i mekhaniki NAN Ukrainy ( Transactions of the Institute of Applied Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Ukraine), 2010, vol. 20, pp. 65-73.

6. Amenzade Yu.A. Teoriya uprugosti (Theory of elasticity), Moscow, Vysshaya shkola, 1971, 287 p.

7. Gradshtein I.S., Ryzhik I.M. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedenii (Tables of integrals, sums, series and products), Moscow, Nauka, 1974, 1108 p.

8. Korn G., Korn. T. Spravochnik po matematike (Handbook on mathematics), Moscow, Nauka, 1978, 832 p.