CC BY
2
Л.И. Санеева, канд. физ.-мат.наук, доц., e-mail: ili04@mail.ru В.С. Данзанова, аспирант, e-mail: danz_valentina@mail.ru Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления, г. Улан-Удэ
УДК 519.6
ОПТИМИЗАЦИЯ УЗЛОВ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
Рассмотрена задача о распределении узлов в зависимости от поведения подынтегральной функции и ее производных. При вычислении интеграла была выбрана сетка мельче там, где норма функции больше или максимум производных функции больше.
Ключевые слова: кубатурные формулы, функционал погрешности, оптимальное распределение узлов, многомерные интегралы, пограничный слой.
L.I. Saneeva, Cand. Sc. Physics and Math., Prof. V.S. Danzanova, P.G.
OPTIMIZATION OF CUBATURE INTEGRATION POINTS
The article is devoted to the problem of the integration points distribution in terms of the subintegral function and its derivatives. When evaluating the integral the finer grid was used where the norm of the function is greater or the maximum of derivatives is bigger.
Key words: cubature formulas, the error functional, the optimal distribution of points, multidimensional integrals, the boundary layer.
Возможные постановки классической задачи рассматривались многими математиками. В работах Н.С. Бахвалова [1], Л.В. Войтишек [2] предложены схемы об оптимальном распределении узлов, близкие к нашей схеме.
В одномерном случае в работе Н.С. Бахвалова вычисляется интеграл
1
J ( f Н f ( x ) dx,
0
и подынтегральная функция удовлетворяет следующим условиям:
If Ч x )|£ M
на отрезках W . =aj-1==aj )=j 1, 2, ..., k, 0 a0 < a1 < ... < ak = 1.
Интеграл по всему отрезку [0,1] вычисляется по формулам с переменным шагом интегрирования [3]:
J(f (x)) = }f (x)dx @±Sh (f).
0 j=1
В работе С.Л. Соболева [4] построены формулы с пограничным слоем для рациональных многогранников.
В работе Л.В. Войтишек [2] исследуются кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования в n-мерном пространстве En для рациональных многогранников M сА.
Сначала рассматривается функционал lA с регулярным пограничным слоем для n-мерного куба с узлами на решетке с шагом h, затем строится функционал для рационального многогранника M сА с вершинами в узлах решетки с шагом h1 вида
l1 (x)= X CrhnS(x-hg)- X CyhnS{x-hg),
hgeM hgeM
где коэффициенты C = C , C , ..., C определяются из системы
g g1 g2 gn
( и\а
т
Е С,- 1)га
у=0
а +1
а 0,1, к, т.
Искомый функционал /Д (х) определяется равенством
/Д (х ) = £д( х)- Е КСУ5( х - Иуу)- Е Ь"Су8{х - Иу).
ИууеМ ИуеД \М
Функционал /1 (х) аннулирует точечную часть функционала /Д( х), относящуюся к внутренней области М , и заменяется функционалом с шагом И1.
В данной статье строятся кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования для произвольной области интегрирования О с кусочно-гладкой границей.
Построим кубатурные формулы, используя идею из монографии Ц.Б. Шойнжурова ([4], с. 188-192) и схемы из работ С.Н. Бахвалова [1] и Л.В. Войтишек [2] по теории кубатурных формул.
Пусть область О с кусочно-гладкой границей разбита на к частей О., , = 1, 2, ..., к.
Введем класс функций В1:
В =
ре ст/ тах\Оар\<М , j = 1, 2,
хеО^
\а\<т
Лемма 1. Пусть О - область определения с кусочно-гладкой границей и разбивается на
к
частей
( 2ягр)ав 2р'Рх
О,, j = 1, 2, к, к,
О
тах|
хеО ,
|а\< т
Р)\=М,, ^=И, ЕN=N
iv, ,=1
<ь, ¡о( х )=Е /°,( х)
,=1
и1 (х)' где ¡О (х) - функционалы погрешности с погранич-
В0 =|Е Иь. 2
д \а\<т 2/р
ным слоем для О, и ре В1.
Тогда имеет место при N асимптотическое равенство
-Во Е О № (! + ° (!)).
1=1
Теорема 1. При выполнении условия леммы лучший размер сетки в классе функций В1 определяется равенством
И =
-Е М1 |О,|т
N " М,
Отсюда видно, что размер сетки области меньше там, где норма больше. Поскольку N1 должны быть целыми, в формулах берем целую часть N1, т.е. N11. Рассмотрим одномерный случай.
Пусть 1°. = и и /Д (х) - функционал с симметричным пограничным слоем с узлами на N
решетке с шагом И, Д = [0,1].
Разобьем Д на непересекающиеся интервалы О,, , = 1, 2, ..., к с концами в узлах
ИЬ е [0,1], д ЕЕ о, и
О
> 0.
1=1
Функционал с переменным шагом интегрирования представим в виде
'(од)(- )=Е 'к (-).
У=о
Сначала построим вспомогательный точечный функционал для построения функционалов ¡; (-):
ц(-) =Щх-с;(])5(--57)5-, ; = о, 1,2, к, к- -1,
удовлетворяющих условиям:
;=0
(¡¡I, -а) = 0, а = 0, 1, к, т.
Отсюда коэффициент с; (у) определяется из систем:
X с (у 7а =
;=0
Вычисление показывает, что
( У+1 к
V к- 0
а 0, 1, к, т= 5 0, 1
? • • • 9
к- -1
С (j)=5. (-1Г7^- 1)к(^- т), 7 к ;(т-;)\(п-;) '
где л = = 5 < 1, 5 = 1, 2, к, к- - 1.
Обозначим через — и — соответственно левые и правые концы интервалов,
- = 1, 2, к, к.
Суммируя функционалы по к РеО и 5 , где
т
: (-) = Xс; (-Щ (- - к- (р + ;))к-, имеем
;=0 Д.2)
V т "7
к,-1
Д2)+т-1
¡}(-)= X XXс;(у)Щ(--к-(в+;)к) X кРр=№{--к-Р),
кь=- 7=0 ;=0
(1)
где
М у )=
XXС; (-), *к-Р £ (т - 1)к + *«,
;=0 5=0
1,
*(2) + т-1-р к,-1
* (1)+ тк. £ к В < *( 2),
X X С„СЛ - £ к-В < <ч + тк-.
7=0 5=0
Искомый функционал (1) построен.
Особенность этого функционала заключается в том, что он аннулирует точечные функ-
ционалы по малым участкам
"*(1) *(2)
и заменяет их функционалами с шагами к.. Рассмотрим одномерный случай.
Пусть Р (х) - модельная функция, характеризующая свойства подкласса функций ВР = {/ е Ст }, удовлетворяющая для всего подкласса ВР условиям
/(т)|< Р (х) на отрезке [0,1], - = р(*) - непрерывная дифференцируемая функция
р(0) = 0 и р(1) = 1 и * = *(-) - обратная функция к функции - = р(*);
г (0) = 0 и г (1) = 1.
Пусть отрезок [0,1] разбит на части [хь,хр+1 ], Ь = 0,1, ..., N,
х0 — 0 < х1 < х2 < . • • < хN — 1. Очевидно,
* Р^Й--рШ + Ш при N
и
_max_
_ хр, хь+1 _
/т)( х )< mлax Р (х) Р =хь+1) + о (1) Р
Р
Ь +1
N
'(1).
Рассмотрим интеграл и квадратурную формулу
1 N-1 N-1 хЬ+1
3(/) = {/(х)йх = Е З, (/) = Е 1 /(х)йх
1=1
1=0
и
5 (/ )=Е (/)
(2)
1=1
с остаточным членом
где И = —.
N
3 (/)- 5 (/) = Е В^ /(т)(х)
1=1
В результате преобразований получаем
^ Л
йг
1
(г' (р))"
-р (р)
0 или Р(р)(р'(г))т+ = еотг.
(3)
Общее решение этого уравнения зависит от двух произвольных постоянных С0 и С1. В формуле (3) переходим к старым переменным х :
[г'(х)]-(т+1) Р(х) = с0 или г'(х) = с0^т+1 (х).
Отсюда имеем
х 1
г (х ) = С01 р^1 (х) йх + с1.
Значения постоянных С0 и С1 определяются из начальных условий г (0) = 0 и г (1) = 1. Решение уравнения (3) принимает вид:
х 1
г (х ) = I-
| р^1 (х) йх
(4)
| р^1 (х) йх
Из приведенных выше рассуждений следует следующая теорема.
Теорема 2. Если / е Вр е Ж", х = р(г) - непрерывная дифференцируемая функция, р(0) = 0 и р(1) = 1 и г = г(х)- обратная функция к р(г), г(0) = 0, г(1) = 1 и 5/ = ^5./ -
1=1
квадратурная формула с остаточным членом
Я =
± 1 [р'( г)]т+В0р [р( г)] йг + о (1),
0
0
0
то при N асимптотически оптимальное распределение узлов Хр формулы (2) выражается формулой (4).
Формула (3) дает равенство оценок погрешностей на элементарных отрезках интегрирования при оптимальном распределении узлов.
Такой подход позволяет оценить функционалы погрешности на малых участках, в этом заключается отличие от работы Л.В. Войтишек [2]. Рассмотрим и-мерный случай.
Построенные функционалы используются для вычисления и-кратных интегралов для и-мерного куба и в этом направлении вычисления интегралов обобщают исследования Л.В. Войтишек.
Интеграл по кубу А сводится к вычислению интегралов
1 1 1
х)йх = |йх11йх2х1,Х2,...,хп)йхп.
А 0 0 0
По индукции имеем
N N N
|ср(х)йх @ £ £.. .£ Н>(нрнр2,...нрп).
А А=0 рг 0 = Рп 0 =
Пусть 1 = н и
N
1 т-1 N-т N
х)йх@£ноР(р(нр) + £Нф(нр)+ £ ноР(р(нр),
0 р=0 = = р т р N-(т-1)
Р
где б =£ с и Су определяются из системы
7=0
т 1
£ с^=_, «=0,1,
т +1.
„ I г ' '
7=0
По методу С.Л. Соболева построим кубатурную формулу с симметричным пограничным слоем для куба А :
х )йх @£ £ ... £ба Эрг... БрН^ НА нр2,... нрп).
А р=0 рг 0 = рп 0 =
Приступим к построению кубатурных формул с переменным шагом интегрирования для и-мерного куба.
Пусть А - и-мерный куб, — = Н, А . е А - прямоугольные п-мерные параллелепипе-
N
ды, . = 1, 2, ..., к, с вершинами в узлах решетки с шагом Н с длинами ребер Ь- а, . = 1, 2, ..., к, где а. и Ь. принадлежат решетке с шагом Н. .
Пусть А= А \ . и ¡1 (х) - функционал с симметричным пограничным слоем для А . Построим точечный функционал с пограничным слоем путем суммирования точечных функционалов, построенных выше, с шагом Н. вдоль положительных направлений
осей координат. В результате получаем односторонний пограничный слой вдоль А. -п-мерного параллелепипеда.
Тогда искомый функционал ¡А (х) имеет вид
¡а (х) = £а(х)-£$ (х),
.=0
где /Д1 (х) - функционал с шагом И, с точечным пограничным слоем вдоль координатных осей для области Д ..
Минимизируя норму этого функционала в пространстве Ж" (Еп) при определенных условиях, указанных в лемме 1, находим лучший размер сетки.
Таблица 1
1 1
Результаты вычисления интеграла Ц(х12 +х11)йх1йх1
0 0
т ь Результат Погрешность
2 0,01 0.66666699999 0.00000033332
2 0,0001 0.66666666658 0.00000000009
3 0,01 0.66666666666 0
3 0,0001 0.66666666644 0.00000000023
4 0,01 0.66666666665 0.00000000002
4 0,0001 0.66666666663 0.00000000003
5 0,01 0.66666666663 0.00000000003
5 0,0001 0.66666666660 0.00000000006
10 0,01 0.66666666672 0.00000000006
10 0,0001 0.66666666659 0.00000000007
Точный результат - 2/3.
Таблица 2
11
Результаты вычисления интеграла }}(е* ^^
00
т ь Результат Погрешность
2 0,01 3.43656396630 0.00000030936
2 0,0001 3.43656365160 -0.00000000529
3 0,01 3.43656365780 0.00000000088
3 0,0001 3.43656365130 -0.000000000567
4 0,01 3.43656365690 -0.00000000002
4 0,0001 3.43656365150 -0.00000000541
5 0,01 3.43656365700 0.00000000004
5 0,0001 3.43656365120 -0.00000000570
10 0,01 3.43656365700 0.00000000008
10 0,0001 3.43656365260 -0.00000000427
Точный результат - 2(е—1).
По результатам расчета определенных интегралов с использованием оптимального выбора размера сетки в зависимости от поведения функции видно, что погрешность появляется в 7-10 знаках после запятой.
Статья выполнена при поддержке государственного задания МОиНРФ высшим учебным заведениям на 2012 -2014 гг. на выполнение НИР, регистрационный номер проекта: 1.926.2011.
Библиография
1. БахваловН.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973. - 631 с.
2. Войтишек Л. В. Об одном частном случае построения кубатурных формул с пограничным слоем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1969. - Т.9, №2. - С. 417-419.
3. Санеева Л.И. О некоторых кубатурных формулах для областей с гладкими границами. -Изд-во LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. - 110 с.
4. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. - М.: Наука, 1974. - 808 с.
5. Шойнжуров Ц.Б. Оценка нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах. - Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2005. - 247 с.
Bibliography
1. Bakhvalov N.S. Numerical methods. - М.: Nauka, 1973. - 631 p.
2. Voitishek L.V. A special case of the cubature formulas creating with a boundary layer // Zhurnal Vychislitelnoy Matematiki i Matematicheskoy Fiziki. - 1969. - Vol. 9, N 2. - P. 417-419.
3. Saneeva L.I. About some cubature formulas for areas with smooth borders. - LAP LAMBERT Academic Publishing house, 2011. - 110 p.
4. Sobolev S.L. Introduction to the theory of cubature formulas. - М.: Nauka, 1974. - 808 p.
5. Shoynzhurov Ts.B. Evaluation of the norm of the cubature functional error in different functional spaces. - Ulan-Ude: BSC Publishing house of the Siberian Branch of the Russian Academy of Science, 2005. - 247 p.
