CC BY
37
УДК 004.3
ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ В СОЦИОТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
© 2012 г. В.А. Петраков, А.С. Сомов, А.В. Петракова
Южный федеральный университет, Southern Federal University
г. Ростов-на-Дону Rostov-on-Don
Поставлена и решена задача нахождения эффективного управления в социотехнической системе, рассматриваемой как взаимодействие элементов, обладающих своим «естественным» самодвижением и интегрированных в единую систему организации и управления техникой и технологиями. При управлении проектом это соответствует нахождению ресурса, при котором достигается эффективное решение многокритериальной задачи оптимизации по совокупности основных свойств проекта: качество, стоимость, время исполнения и сложность.
Ключевые слова: социотехническая система; СТС; компромисс; критерий; векторная оптимизация; эффективное решение.
The article formulates and solves the problem of finding efficient control in a sociotechnological system. Such system is considered as an interaction of some elements which are characterized by «natural» self-motion and integrated into a single system of technique and technology organization and control. In project management it means finding the resource, which allows effective solution of optimization multicriterion problem on the basis of the main project properties: quality, cost, time and complexity.
Keywords: sociotechnological system; STS; compromise; criterion; vector optimization; effective solution.
Под социотехнической системой (СТС) будем понимать взаимодействие фрагментов (человек - машина), обладающих своим «естественным» самодвижением. Их интеграция в единую систему представляет собой по форме процесс организации и управления техникой и технологиями. Такое определение наиболее полно, на наш взгляд, отвечает особенностям проектирования подобных систем. Действительно, управление проектом можно представить в виде системы формирования самого проекта, как объекта управления со своими свойствами, и синтез необходимых для реализации проекта профессиональных компетенций непосредственно исполнителя, т.е. проект становится в этом случае генератором необходимых для его реализации знаний проектировщика.
Рассмотрим задачу синтеза управления в социо-технической системе из условия достижения ею заданных свойств. Для задачи выполнения проекта это соответствует выбору (нахождению) ресурса, который надо направить на проектирование с тем, чтобы достичь эффективных решений по совокупности основных свойств проекта (качество, стоимость, время исполнения и сложность).
При выполнении проекта может оказаться, что его реализация не удовлетворяет ожиданиям. Например, проект заканчивается слишком поздно или его стоимость превышает допустимые пределы. Изменения, вносимые в любой из показателей проекта, всегда влияют на его качество. Качество есть результат действий со временем, стоимостью и объемом работ. Так, если появилось лишнее время в расписании, то можно увеличить объем работ, добавив задачи и увеличив длительность проекта. С этими дополнительными задачами и временем можно добиться более высокого
качества проекта. Если же необходимо снизить расходы, чтобы уложиться в бюджет, возможно, понадобится уменьшить объем работ, убрав некоторые из задач или уменьшив их длительность. С уменьшенным объемом работ у проекта будет меньше шансов выйти на требуемый уровень качества, поэтому снижение расходов может привести к снижению качества проекта.
В реальных условиях выполнение отдельных или даже всех работ проектного комплекса можно ускорить путем выделения для них большего количества ресурса. Это приводит к увеличению общих прямых затрат на выполнение работ. Вместе с тем появляется множество различных комбинаций продолжительно-стей работ. Каждая комбинация может давать различные значения общей стоимости проекта.
Исследуемую задачу можно рассматривать как многокритериальную, и синтез управления проектом в этом случае нужно вести как нахождение ресурса, направленного на достижение эффективного решения многокритериальной задачи оптимизации. Функцией цели оптимизации СТС при этом становится векторный критерий /(v)=(/i(v), I2(v), I3(v)), где Ii(v) - стоимость выполняемого проекта; I2(v) - время его реализации; I3(v) - сложность при определенно достигаемом качестве /(v); v(t) - ресурс.
Пусть объект управления в социотехнической системе описывается векторным дифференциальным уравнением
X = f (x(t ), v(t ), t ), (1)
определенным в некоторой области N(x(t), v(t)) > 0 пространства вектора состояния х(х1, х2, ..., хп) и управлений v(v1, v2, ..., vm), te[t0, T].
Пусть задан класс допустимых управлений V для вектора v(v\, т2, ... vm), принимающего свои значения в области N > 0, а также задан векторный функционал
/(V) = F(x(t), v(t), 1) (2)
с компонентами
/(V) = F(x(í), т(1), 1) (I = 1, ..., п). (3)
Для вектора х(1) заданы концевые значения
х(1о) = Хо, х(Т) = Хт, (4)
где число Т не является фиксированным.
Пусть на компоненты векторного функционала (2), (3) наложены ограничения:
/(V) - /,о| < М (/ = 1, ..., п), (5)
где М1 > 0 - заданные числа, а /0 - оптимальные значения скалярных функционалов (3), определенные с помощью известных методов [1].
Предположим, что нижний участок поверхности (множество допустимых управлений, или область компромиссов), образованный концами не улучшаемых векторов, найден. Назовем его неулучшаемой поверхностью.
Пусть К - множество точек этой поверхности.
Введем следующие утверждения:
1. Будем говорить, что социотехническая система управляема (проект реализуем) в области допустимых компромиссов, если существуют такие управления v*(t)eV, что
/(т>(/\(т*), ..., /я(т*))е X, (6)
где X = {(/1, ..., /„): |/,- /,о1 < М( = 1,., п)}.
2. Для того чтобы выполнялось первое утверждение (6), необходимо и достаточно, чтобы
У = КпХф 0.
Множество У0*сУ* назовем областью оптимальных управлений, если каждый элемент v0*eV0* оптимизирует векторный функционал (2) в смысле /МеУ.
Определим задачу многокритериальной оптимизации управления в социотехнической системе. Пусть нам удалось получить динамическую модель системы в форме уравнения в пространстве состояний (1). Найдены граничные условия (4), а также определен векторный функционал в виде (2) и (3) с ограничениями (5) на компоненты и класс допустимых управлений V. Требуется определить область У0* оптимальных управлений. Рассмотрим частный случай сформулированной задачи.
Пусть векторный функционал /(V) есть функционал вида /(у)= (/\(у), /2(у)).
В этом случае поиск множества К (К - множество точек неулучшаемой кривой) может быть организован следующим образом.
Допустим, что известными методами (например, динамическое программирование [2]) для каждого I = 1,2 определено оптимальное по скалярному функционалу / управление у0(1)=у0(1)(1, х0, хТ)(1 = 1,2).
Значения соответствующих функционалов равны /10(у0(\)) (1=1,2). Если при у0(1) функционал /\ принимает значение /10, то при том же управлении функционал /2 принимает значение /2(10). Аналогично при управлении т0(2) функционал /2 принимает значение /2 = /20, а /\ = /\(20). Значения /\(20) и /2(10) в общем случае «хуже» /10 и /20 соответственно. Управления т(1)е V, для которых
| /(V) - /|01 > I /((0)-/я I (I, ] = 1,2; 1ф) (7)
нет смысла рассматривать, так как всегда векторы 1*=(/10/2(10)) и /**=(/\(20), /20) будут оптимальными по отношению к векторам, для которых справедливо выражение (7). Таким образом, координаты точек не улучшаемой кривой подчинены ограничениям
/|0 < / < (I,] = 1,2; I *]) (8)
при минимизации /\ и /2. При максимизации одного или двух функционалов знаки неравенства в выражении (8) для этих функционалов следует заменить обратными знаками.
Пусть требуется минимизировать /\(т) и максимизировать /2(у). Для нахождения точек неулучшаемой кривой поступим следующим образом. К граничным условиям задачи добавим условие /2(у) = /2Т. /2Т е [/2(10), /20] - заранее нефиксированное число. Решая теперь задачу минимизации /\(у), получим управления V (1, /2Т), при которых точки (/\( V), /2Т)еК. В простых случаях удается получить аналитическую зависимость /\ = ф(/2), а в более сложных - необходимо применять компьютерные технологии.
После нахождения множества К (уравнения не улучшаемой кривой) необходимо убедиться, что система /\ = ф(/2); |/i - /0| < М{ (I = 1,2) совместна, т.е. проект реализуем в области допустимых компромиссов.
Область оптимальных управлений определяется следующим выражением:
Р0*= {V (1, /2Т) : /\(V) - /\0 < М; ^[/20 -М /20]}.
Пример. Пусть процесс проектирования в безразмерном времени 1 описывается системой уравнений X \ = х2; х 2 = V, определенной в замкнутой области Х(х) = 3 - | х\ |> 0, где х\, х2 - переменные состояния, V - управляющее воздействие.
Из класса допустимых управлений, определенных ограничением | V |< 1, требуется отыскать такие у0*еУ0*, которые переводят объект (проект) из начального состояния
х\(0) = 1, х2(0) = 0 (9)
в положение Х\(Т) = 0 при одновременной минимизации функционала
Т
/\(т) = | dt = Т (10)
0
и максимизации значения
Ш = Х2(Т). (11)
Причем необходимо, чтобы
| /¿(Т0*- /ю! < Мг (I = 1, 2). (12)
Управление, минимизирующее функционал (10), для конкретного начального условия (9) имеет вид у(1)= -1, которое переводит систему из точки (9) на ось Х2 за возможно минимальное время /ю= Т-1^ 1,41. При этом /2(10)« -1,41.
Управление, максимизирующее функционал (11), имеет вид V(2) = -1 при 0 < г <гШр; ^(2) = +1 при гШр< < г < Т; ?пер=2, /1(20) « 6,45, /20 « 2,45.
«Граничными» векторами для не улучшаемой кривой являются /= (1,41; -1,41), /*= (6,45; 2,45). /*, ГеК.
Для построения этой кривой считаем, что /2(у) = = Х2т^[-1,41; 2,45]. Для каждого Х2Т имеем задачу с закрепленными граничными точками. Решая задачу минимизации /\(у), получим т?(г) = -1 при 0 < г < гпер, т?(г) = +1 при гпер < г < Т.
Уравнение не улучшаемой кривой имеет вид:
Т(Т,х2т) = Т2 - 2х2тТ - х22т - 4 = 0, (13)
Т - х
2Т
пер
2
1 < 'пер < 2.
I(v0) = (2
1. Пусть М1=1,6; М2=1,5. Можно показать, что 0,54). Ясно, что конец вектора /(V0) не принадлежит области, определяемой выражением (12):
2 2 г -С
2М2 = 4,81; 2[/1^°)-/10] = 5,24 > 4,81.
г=1 г=1
Следовательно, при заданных М1 и М2 проект не может быть реализован в области допустимых компромиссов.
22
2. Пусть М1= 2,6; М2= 1. Тогда 2 М2 = 7,76. Хотя
1=1
7,76 > 5,24, но и в данном случае проект не реализуем, так как область (12) не пересекается с кривой (13).
3. Пусть М1= 2,6; М2= 1,5. Тогда
22
2 М2 = 9,01 >5,24.
1=1
В последнем случае область (12) включает часть кривой (13) и, следовательно, проект может быть реализован при заданных МОптимальная область управлений найдена с помощью ЦВМ, что дало в
результате ) = -1 при 0 < г < г^; ^(г) =+1 при г;ер < г < Т; v; = |г0(г) ^ е [1,2051; 1,3563]} . /(г*0) е К.
При этом компоненты вектора /(у^)находятся в заданных допусках. На рисунке проиллюстрированы случаи 1, 2, 3.
2,0 1,5 1,0 0,5 0 -0,5 -1,0 -1,5
/ 1 1 1 I 1 i
/ 1 1 1 2 i 1 i . kv —
7 1 f-— i ¿b t i
/— [ß
J
1 0 2,0 3 0 4 ,0 5 ,0 Ii
— -
Области эффективных решений
Следует отметить, что описанный метод построения кривой, образованной концами неулучшаемых векторов, можно рекомендовать при оптимизации двух функционалов. При большем числе оптимизируемых функционалов резко возрастают вычислительные трудности. В этом случае целесообразней представлять функционал в виде скалярного произведения вектора функционалов и вектора неизвестных параметров, которые могут быть определены после нахождения оптимального управления из неравенств (5).
Литература
1. Бешман Р. Динамическое программирование. М., 1960. 400 с.
2. Моделирование и синтез обучающей среды в многокритериальной задаче оптимизации / В.А. Петраков [и др.] // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2011. № 5. С. 207 - 213.
Поступила в редакцию
21 ноября 2011 г.
Петраков Владимир Александрович - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Автоматизация и управление», Южный федеральный университет. Тел. 79281-952-545.
Сомов Александр Сергеевич - аспирант, кафедра «Системный анализ и управление», Южный федеральный университет. Тел. 7903-4011-047. E-mail: irosru@gmail.com
Петракова Анастасия Вадимовна - студентка, кафедра «Системный анализ и управление», Южный федеральный университет. Тел. 79281-952-545.
Petrakov Vladimir Alexandrovich - Doctor of Technical Science; professor, department «Systems Analysis and Control» Southern Federal University. Ph. 79281-952-545.
Somov Alexander Sergeevich - post-graduate student, department «Systems Analysis and Control», Southern Federal University. Ph. 7903-4011-047. E-mail: irosru@gmail.com
Petrakova Anastasiya Vladimirovna - student, department «Systems Analysis and Control», Southern Federal University. Ph. 79281-952-545.
